3.6: Transformación de funciones

Tabla de contenidos

Identificación de desplazamientos verticales

Un tipo simple de transformación implica desplazar todo el gráfico de una función hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda. El desplazamiento más simple es un desplazamiento vertical, que mueve el gráfico hacia arriba o hacia abajo, porque esta transformación implica agregar una constante positiva o negativa a la función. En otras palabras, agregamos la misma constante al valor de salida de la función independientemente de la entrada. Para una función (g (x) = f (x) + k ), la función (f (x) ) se desplaza verticalmente (k ) unidades. Consulte la Figura ( PageIndex {2} ) para ver un ejemplo.

Vertical shift by k=1 of the cube root function f(x)=3√x. — Figura ( PageIndex {2} ): Desplazamiento vertical por (k = 1 ) de la función raíz del cubo (f (x) = 3 sqrt [3] {x} ).

Para ayudarlo a visualizar el concepto de desplazamiento vertical, considere que (y = f (x) ). Por lo tanto, (f (x) + k ) es equivalente a (y + k ). Cada unidad de (y ) se reemplaza por (y + k ), por lo que el valor de (y ) aumenta o disminuye según el valor de (k ). El resultado es un cambio hacia arriba o hacia abajo.

Desplazamiento vertical

Dada una función (f (x) ), una nueva función (g (x) = f (x) + k ), donde (k ) es una constante, es una vertical shift de la función (f (x) ). Todos los valores de salida cambian por (k ) unidades. Si (k ) es positivo, la gráfica se desplazará hacia arriba. Si (k ) es negativo, el gráfico se desplazará hacia abajo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Agregar una constante a una función

Para regular la temperatura en un edificio verde, las ventilas de flujo de aire cerca del techo se abren y cierran durante todo el día. La Figura ( PageIndex {3} ) muestra el área de respiraderos abiertos (V ) (en pies cuadrados) durante todo el día en horas después de la medianoche, (t ). Durante el verano, el gerente de las instalaciones decide tratar de regular mejor la temperatura aumentando la cantidad de respiraderos abiertos en 20 pies cuadrados durante el día y la noche. Dibuja un gráfico de esta nueva función.

Solución

Podemos dibujar un gráfico de esta nueva función agregando 20 a cada uno de los valores de salida de la función original. Esto tendrá el efecto de desplazar el gráfico verticalmente hacia arriba, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

Observe que en la Figura ( PageIndex {4} ), para cada valor de entrada, el valor de salida ha aumentado en 20, por lo que si llamamos a la nueva función (S (t) ), podríamos escribir [ 19459003]

[S (t) = V (t) +20 ]

Esta notación nos dice que, para cualquier valor de (t ), (S (t) ) se puede encontrar evaluando la función (V ) en la misma entrada y luego agregando 20 al resultado . Esto define (S ) como una transformación de la función (V ), en este caso un desplazamiento vertical de hasta 20 unidades. Observe que, con un desplazamiento vertical, los valores de entrada permanecen iguales y solo cambian los valores de salida. Consulte la Tabla ( PageIndex {1} ).

Tabla ( PageIndex {1} )
(t )	0	8	10	17	19	24
(V (t) )	0	0	220	220	0	0
(S (t) )	20	20	240	240	20	20

Dada una función tabular, cree una nueva fila para representar un desplazamiento vertical.

Identifique la fila o columna de salida.
Determine la magnitud del cambio.
Agregue el cambio al valor en cada celda de salida. Agregue un valor positivo para arriba o un valor negativo para abajo.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Desplazamiento vertical de una función tabular

Una función (f (x) ) se da en la Tabla ( PageIndex {2} ). Cree una tabla para la función (g (x) = f (x) −3 ).

Tabla ( PageIndex {2} )
(x )	2	4	6	8
(f (x) )	1	3	7	11

Solución

La fórmula (g (x) = f (x) −3 ) nos dice que podemos encontrar los valores de salida de (g ) restando 3 de los valores de salida de (f ). Por ejemplo:

( begin {align} f (x) & = 1 & text {Given} \ g (x) & = f (x) -3 & text {Given Transformation} \ g (2) & = f (2) −3 \ & = 1-3 \ & = – 2 end {align} )

Restando 3 de cada valor de (f (x) ), podemos completar una tabla de valores para (g (x) ) como se muestra en la Tabla ( PageIndex {3} ).

Tabla ( PageIndex {3} )
(x )	2	4	6	8
(f (x) )	1	3	7	11
(g (x) )	-2	0	4	8

Análisis

Al igual que con el desplazamiento vertical anterior, observe que los valores de entrada permanecen igual y solo cambian los valores de salida.

La función (h (t) = – 4.9t ^ 2 + 30t ) da la altura (h ) de una pelota (en metros) lanzada hacia arriba desde el suelo después de (t ) segundos. Supongamos que la pelota fue arrojada desde la parte superior de un edificio de 10 m. Relacione esta nueva función de altura (b (t) ) a (h (t) ), y luego encuentre una fórmula para (b (t) ).

(b (t) = h (t) + 10 = −4.9t ^ 2 + 30t + 10 )

Identificación de cambios horizontales

Acabamos de ver que el desplazamiento vertical es un cambio en la salida o fuera de la función. Ahora veremos cómo los cambios de entrada, en el interior de la función, cambian su gráfico y significado. Un desplazamiento a la entrada da como resultado un movimiento del gráfico de la función hacia la izquierda o hacia la derecha en lo que se conoce como desplazamiento horizontal , que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

Figura ( PageIndex {4} ): Desplazamiento horizontal de la función (f (x) = sqrt [3] {x} ) Tenga en cuenta que (h = + 1 ) desplaza el gráfico hacia la izquierda, es decir, hacia valores negativos de (x ).

Por ejemplo, si (f (x) = x ^ 2 ), entonces (g (x) = (x − 2) ^ 2 ) es una nueva función. Cada entrada se reduce en 2 antes de cuadrar la función. El resultado es que el gráfico se desplaza 2 unidades hacia la derecha, porque necesitaríamos aumentar la entrada anterior en 2 unidades para obtener el mismo valor de salida que se da en (f ).

Nota: Desplazamiento horizontal

Dada una función (f ), una nueva función (g (x) = f (x − h) ), donde (h ) es una constante, es un desplazamiento horizontal [19459025 ] de la función (f ). Si (h ) es positivo, el gráfico se desplazará a la derecha. Si (h ) es negativo, el gráfico se desplazará a la izquierda.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Agregar una constante a una entrada

Volviendo a nuestro ejemplo de flujo de aire del edificio de la Figura ( PageIndex {2} ), supongamos que en otoño el gerente de las instalaciones decide que el plan de ventilación original comienza demasiado tarde y quiere comenzar todo el programa de ventilación 2 horas antes. Dibuja un gráfico de la nueva función.

Solución

Podemos configurar (V (t) ) para que sea el programa original y (F (t) ) para ser el programa revisado.

[V (t) = text {el plan de ventilación original} ]

[F (t) = text {comenzando 2 horas antes}}]

En el nuevo gráfico, en cada momento, el flujo de aire es el mismo que la función original (V ) era 2 horas más tarde. Por ejemplo, en la función original (V ), el flujo de aire comienza a cambiar a las 8 am, mientras que para la función (F ), el flujo de aire comienza a cambiar a las 6 am Los valores de función comparables son (V (8 ) = F (6) ). Ver Figura ( PageIndex {5} ). Observe también que los respiraderos se abrieron por primera vez a (220 text {ft} ^ 2 ) a las 10 a.m. bajo el plan original, mientras que bajo el nuevo plan los respiraderos alcanzan (220 text {ft} ^ 2 ) a las 8 am, entonces (V (10) = F (8) ).

En ambos casos, vemos que, porque (F (t) ) comienza 2 horas antes, (h = −2 ). Eso significa que se alcanzan los mismos valores de salida cuando (F (t) = V (t – (- 2)) = V (t + 2) ).

Análisis

Tenga en cuenta que (V (t + 2) ) tiene el efecto de desplazar el gráfico hacia la izquierda.

Los cambios horizontales o “cambios internos” afectan el dominio de una función (la entrada) en lugar del rango y, a menudo, parecen contradictorios. La nueva función (F (t) ) usa las mismas salidas que (V (t) ), pero hace coincidir esas salidas con las entradas 2 horas antes que las de (V (t) ). Dicho de otra manera, debemos agregar 2 horas a la entrada de (V ) para encontrar la salida correspondiente para (F: F (t) = V (t + 2) ).

Dada una función tabular, cree una nueva fila para representar un desplazamiento horizontal.

Identifique la fila o columna de entrada.
Determine la magnitud del cambio.
Agregue el cambio al valor en cada celda de entrada.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Desplazar una función tabular horizontalmente

Una función (f (x) ) se proporciona en la Tabla ( PageIndex {4} ). Cree una tabla para la función (g (x) = f (x − 3) ).

Tabla ( PageIndex {4} )
(x )	2	4	6	8
(f (x) )	1	3	7	11

Solución

La fórmula (g (x) = f (x − 3) ) nos dice que los valores de salida de (g ) son los mismos que el valor de salida de (f ) cuando el valor de entrada es 3 menos que el valor original. Por ejemplo, sabemos que (f (2) = 1 ). Para obtener el mismo resultado de la función (g ), necesitaremos un valor de entrada que sea 3 más grande. Ingresamos un valor que es 3 mayor para (g (x) ) porque la función quita 3 antes de evaluar la función (f ).

( begin {align} g (5) & = f (5-3) \ & = f (2) \ & = 1 end {align} )

Continuamos con los otros valores para crear la Tabla ( PageIndex {5} ).

Tabla ( PageIndex {5} )
(x )	5	7	9	11
(x-3 )	2	4	6	8
(f (x) )	1	3	7	11
(g (x) )	1	3	7	11

El resultado es que la función (g (x) ) se ha desplazado hacia la derecha en 3. Observe que los valores de salida para (g (x) ) siguen siendo los mismos que los valores de salida para (f (x) ), pero los valores de entrada correspondientes, (x ), se han desplazado hacia la derecha en 3. Específicamente, 2 desplazado a 5, 4 desplazado a 7, 6 desplazado a 9 y 8 desplazado a 11. [ 19459003]

Análisis

La figura ( PageIndex {6} ) representa ambas funciones. Podemos ver el desplazamiento horizontal en cada punto.

Graph of the points from the previous table for f(x) and g(x)=f(x-3) — Figura ( PageIndex {6} ): Gráfico de los puntos de la tabla anterior para (f (x) ) y (g (x) = f (x-3) )

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Identificación de un desplazamiento horizontal de una función del kit de herramientas

La figura ( PageIndex {7} ) representa una transformación de la función del kit de herramientas (f (x) = x ^ 2 ). Relacione esta nueva función (g (x) ) con (f (x) ), y luego encuentre una fórmula para (g (x) ).

Graph of a parabola — Figura ( PageIndex {7} ): Gráfico de una parábola

Solución

Observe que el gráfico tiene una forma idéntica a la función (f (x) = x ^ 2 ), pero los valores (x ) – se desplazan a la derecha 2 unidades. El vértice solía estar en ((0,0) ), pero ahora el vértice está en ((2,0) ). El gráfico es la función cuadrática básica desplazada 2 unidades hacia la derecha, entonces

[g (x) = f (x − 2) ]

Observe cómo debemos ingresar el valor (x = 2 ) para obtener el valor de salida (y = 0 ); los valores (x ) – deben ser 2 unidades más grandes debido al desplazamiento hacia la derecha de 2 unidades. Entonces podemos usar la definición de la función (f (x) ) para escribir una fórmula para (g (x) ) evaluando (f (x − 2) ).

[ begin {align} f (x) & = x ^ 2 \ g (x) & = f (x-2) \ g (x) & = f (x-2) = (x -2) ^ 2 end {align} ]

Análisis

Para determinar si el desplazamiento es (+ 2 ) o (- 2 ), considere un solo punto de referencia en el gráfico. Para un cuadrático, es conveniente mirar el punto de vértice. En la función original, (f (0) = 0 ). En nuestra función desplazada, (g (2) = 0 ). Para obtener el valor de salida de 0 de la función (f ), debemos decidir si un signo más o menos funcionará para satisfacer (g (2) = f (x − 2) = f (0) = 0 ). Para que esto funcione, necesitaremos restar 2 unidades de nuestros valores de entrada.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Interpretación de desplazamientos horizontales versus verticales

La función (G (m) ) da la cantidad de galones de gasolina necesarios para conducir (m ) millas. Interpretar (G (m) +10 ) y (G (m + 10) )

Solución

(G (m) +10 ) puede interpretarse como agregar 10 a la salida, galones. Este es el gas requerido para conducir (m ) millas, más otros 10 galones de gasolina. El gráfico indicaría un desplazamiento vertical.

(G (m + 10) ) puede interpretarse como sumar 10 a la entrada, millas. Entonces, este es el número de galones de gasolina necesarios para conducir 10 millas más que (m ) millas. El gráfico indicaría un desplazamiento horizontal.

Dada la función (f (x) = sqrt {x} ), grafica la función original (f (x) ) y la transformación (g (x) = f (x + 2) ) en los mismos ejes. ¿Es este un desplazamiento horizontal o vertical? ¿De qué manera se desplaza el gráfico y en cuántas unidades?

Solución

Las gráficas de (f (x) ) y (g (x) ) se muestran a continuación. La transformación es un desplazamiento horizontal. La función se desplaza a la izquierda 2 unidades.

Graph of a square root function and a horizontally shift square foot function. — Figura ( PageIndex {8} )

Combinación de desplazamientos verticales y horizontales

Ahora que tenemos dos transformaciones, podemos combinarlas. Los desplazamientos verticales son cambios externos que afectan los valores del eje de salida ((y -) ) y desplazan la función hacia arriba o hacia abajo. Los cambios horizontales son cambios internos que afectan los valores del eje de entrada ((x -) ) y desplazan la función hacia la izquierda o hacia la derecha. La combinación de los dos tipos de cambios hará que el gráfico de una función se desplace hacia arriba o hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda.

Dada una función y un desplazamiento vertical y horizontal, dibuje el gráfico.

Identifica los cambios verticales y horizontales de la fórmula.
El desplazamiento vertical resulta de una constante agregada a la salida. Mueva el gráfico hacia arriba para una constante positiva y hacia abajo para una constante negativa.
El desplazamiento horizontal resulta de una constante agregada a la entrada. Mueva el gráfico hacia la izquierda para una constante positiva y hacia la derecha para una constante negativa.
Aplica los cambios al gráfico en cualquier orden.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Graficar desplazamientos verticales y horizontales combinados

Dado (f (x) = | x | ), dibuje una gráfica de (h (x) = f (x + 1) −3 ).

Solución

La función (f ) es nuestra función de valor absoluto de kit de herramientas. Sabemos que este gráfico tiene forma de V, con el punto en el origen. La gráfica de (h ) ha transformado (f ) de dos maneras: (f (x + 1) ) es un cambio en el interior de la función, dando un desplazamiento horizontal a la izquierda por 1, y la resta por 3 en (f (x + 1) −3 ) es un cambio hacia el exterior de la función, dando un desplazamiento vertical hacia abajo por 3. La transformación del gráfico se ilustra en la Figura ( PageIndex {9} )

Sigamos un punto de la gráfica de (f (x) = | x | ).

El punto ((0,0) ) se transforma primero desplazando hacia la izquierda 1 unidad: ((0,0) rightarrow (−1,0) )
El punto ((- 1 , 0) ) se transforma luego desplazando hacia abajo 3 unidades: ((- 1,0) rightarrow (−1, −3) )

Graph of an absolute function, (y=|x|), and how it was transformed to (y=|x+1|-3) — Figura ( PageIndex {9} ): Gráfico de una función absoluta, (y = | x | ), y cómo se transformó en (y = | x + 1 | -3 ) [ 19459016]

La figura ( PageIndex {10} ) muestra el gráfico de (h ).

The final function (y=|x+1|-3). — Figura ( PageIndex {10} ): La función final (y = | x + 1 | -3 ).

( PageIndex {3} ): Dado (f (x) = | x | ), dibuje un gráfico de (h (x) = f (x −2) +4 ).

Solución

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Identificación de desplazamientos combinados verticales y horizontales

Escriba una fórmula para el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {12} ), que es una transformación de la función de raíz cuadrada del kit de herramientas.

Graph of a square root function transposed right one unit and up 2. — Figura ( PageIndex {12} ): Gráfico de una función de raíz cuadrada transpuesta a la derecha una unidad y hacia arriba 2.

Solución

El gráfico de la función del kit de herramientas comienza en el origen, por lo que este gráfico se ha desplazado 1 a la derecha y hacia arriba 2. En la notación de función, podríamos escribir eso como

[h (x) = f (x − 1) +2 ]

Usando la fórmula para la función de raíz cuadrada, podemos escribir

[h (x) = sqrt {x − 1} +2 ]

Análisis

Tenga en cuenta que esta transformación ha cambiado el dominio y el rango de la función. Este nuevo gráfico tiene dominio ( left [1, infty right) ) y range ( left [2, infty right) ).

( PageIndex {4} ): Escriba una fórmula para una transformación de la función recíproca del kit de herramientas (f (x) = frac {1} {x} ) eso desplaza el gráfico de la función una unidad hacia la derecha y una unidad hacia arriba.

Solución

(g (x) = dfrac {1} {x-1} +1 )

Representación gráfica de funciones usando reflexiones sobre los ejes

Otra transformación que se puede aplicar a una función es una reflexión sobre el eje xo y. Una reflexión vertical refleja un gráfico verticalmente a través del eje x, mientras que una reflexión horizontal refleja una gráfica horizontalmente a través del eje y. Las reflexiones se muestran en la Figura ( PageIndex {13} ) .

Graph of the vertical and horizontal reflection of a function. — Figura ( PageIndex {13} ): Gráfico de la reflexión vertical y horizontal de una función.

Observe que la reflexión vertical produce un nuevo gráfico que es una imagen especular de la base o el gráfico original sobre el eje x. La reflexión horizontal produce un nuevo gráfico que es una imagen especular de la base o el gráfico original sobre el eje y.

Reflexiones

Dada una función (f (x) ), una nueva función (g (x) = – f (x) ) es una reflexión vertical de la función (f (x ) ), a veces llamado reflexión sobre (o sobre o a través) del eje x.

Dada una función (f (x) ), una nueva función (g (x) = f (−x) ) es una reflexión horizontal de la función (f (x ) ), a veces llamado una reflexión sobre el eje y.

Dada una función, refleja el gráfico tanto vertical como horizontalmente.

Multiplique todas las salidas por –1 para una reflexión vertical. El nuevo gráfico es un reflejo del gráfico original sobre el eje x.
Multiplique todas las entradas por –1 para obtener una reflexión horizontal. El nuevo gráfico es un reflejo del gráfico original sobre el eje y.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Reflejando un gráfico horizontal y verticalmente

Refleja la gráfica de (s (t) = sqrt {t} ) (a) verticalmente y (b) horizontalmente.

Solución

a. Reflejar el gráfico verticalmente significa que cada valor de salida se reflejará sobre el eje t horizontal como se muestra en la Figura ( PageIndex {14} ).

Graph of the vertical reflection of the square root function. — Figura ( PageIndex {14} ): Gráfico de la reflexión vertical de la función de raíz cuadrada.

Debido a que cada valor de salida es el opuesto del valor de salida original, podemos escribir

[V (t) = – s (t) text {o} V (t) = – sqrt {t} ]

Observe que este es un cambio externo, o desplazamiento vertical, que afecta los valores de salida (s (t) ), por lo que el signo negativo pertenece fuera de la función.

b. Reflejar horizontalmente significa que cada valor de entrada se reflejará sobre el eje vertical como se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ).

$Graph of the horizontal reflection of the square root function.$
Figura ( PageIndex {15} ): Reflejo horizontal de la función de raíz cuadrada

Debido a que cada valor de entrada es el opuesto del valor de entrada original, podemos escribir

[H (t) = s (−t) text {or} H (t) = sqrt {−t} ]

Observe que este es un cambio interno o horizontal que afecta los valores de entrada, por lo que el signo negativo está en el interior de la función.

Tenga en cuenta que estas transformaciones pueden afectar el dominio y el rango de las funciones. Mientras que la función de raíz cuadrada original tiene dominio ( left [0, infty right) ) y range ( left [0, infty right) ), la reflexión vertical da (V (t) ) funciona el rango ( left (- infty, 0 right] ) y la reflexión horizontal le da a la función (H (t) ) el dominio ( left (- infty, 0 right] ).

( PageIndex {5} ): Refleja la gráfica de (f (x) = | x − 1 | ) (a) verticalmente y (b) horizontalmente.

Solución

a.

Graph of a vertically reflected absolute function. — Figura ( PageIndex {16} ): Gráfico de una función absoluta reflejada verticalmente.

b.

Graph of an absolute function translated one unit left. — Figura ( PageIndex {17} ): Gráfico de una función absoluta traducida una unidad a la izquierda.

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Reflejando una función tabular horizontal y verticalmente

Una función (f (x) ) se proporciona como Tabla ( PageIndex {6} ). Cree una tabla para las funciones a continuación.

a. (g (x) = – f (x) )
b. (h (x) = f (−x) )

Tabla ( PageIndex {6} )
(x )	2	4	6	8
(f (x) )	1	3	7	11

a. Para (g (x) ), el signo negativo fuera de la función indica una reflexión vertical, por lo que los valores de x permanecen igual y cada valor de salida será el opuesto del valor de salida original. Consulte la Tabla ( PageIndex {7} ).

Tabla ( PageIndex {7} )
(x )	2	4	6	8
(g (x) )	-1	-3	-7	-11

b. Para (h (x) ), el signo negativo dentro de la función indica una reflexión horizontal, por lo que cada valor de entrada será el opuesto del valor de entrada original y los valores de (h (x) ) permanecerán igual que el valor (f (x) ) valores. Consulte la Tabla ( PageIndex {8} ).

Tabla ( PageIndex {8} )
(x )	-2	-4	-6	-8
(h (x) )	1	3	7	11

( PageIndex {6} ): Una función (f (x) ) se proporciona como Tabla ( PageIndex {9} ). Cree una tabla para las funciones a continuación.

a. (g (x) = – f (x) )
b. (h (x) = f (−x) )

Tabla ( PageIndex {9} )
(x )	-2	0	2	4
(f (x) )	5	10	15	20

Solución

a. (g (x) = – f (x) )

Tabla ( PageIndex {10} )
(x )	-2	0	2	4
(g (x) )	-5	-10	-15	-20

b. (h (x) = f (−x) )

Tabla ( PageIndex {11} )
(x )	-2	0	2	-4
(h (x) )	15	10	5	20

Ejemplo ( PageIndex {12} ): Aplicación de una ecuación de modelo de aprendizaje

Un modelo común para el aprendizaje tiene una ecuación similar a (k (t) = – 2 ^ {- t} +1 ), donde (k ) es el porcentaje de dominio que se puede lograr después de ( t ) sesiones de práctica. Esta es una transformación de la función (f (t) = 2 ^ t ) que se muestra en Figura ( PageIndex {18} ). Dibuja una gráfica de (k (t) ).

Graph of (k(t)) — Figura ( PageIndex {18} ): Gráfico de (k (t) )

Solución

Esta ecuación combina tres transformaciones en una ecuación.

Una reflexión horizontal: (f (−t) = 2 ^ {- t} )
Una reflexión vertical: (- f (−t) = – 2 ^ {- t} )
Un desplazamiento vertical: (- f (−t) + 1 = −2 ^ {- t} +1 )

Podemos dibujar un gráfico aplicando estas transformaciones de una en una a la función original. Sigamos dos puntos a través de cada una de las tres transformaciones. Elegiremos los puntos ((0, 1) ) y ((1, 2) ).

Primero, aplicamos una reflexión horizontal: ((0, 1) ; (–1, 2) ).
Luego, aplicamos una reflexión vertical: ((0, −1) ; (-1, –2) ).
Finalmente, aplicamos un desplazamiento vertical: ((0, 0) ; (-1, -1) ).

Esto significa que los puntos originales, ((0,1) ) y ((1,2) ) se convierten en ((0,0) ) y ((- 1, -1) ) después de aplicar las transformaciones.

En la Figura ( PageIndex {19} ), el primer gráfico resulta de una reflexión horizontal. El segundo resulta de una reflexión vertical. El tercer resultado de un desplazamiento vertical hacia arriba 1 unidad.

Graphs of all the transformations. — Figura ( PageIndex {19} ): Gráficos de todas las transformaciones.

Análisis

Como modelo para el aprendizaje, esta función se limitaría a un dominio de (t geq0 ), con el rango correspondiente ( left [0,1 right) ).

( PageIndex {7} ): Dada la función del kit de herramientas (f (x) = x ^ 2 ), gráfico (g (x) = – f ( x) ) y (h (x) = f (−x) ). Tome nota de cualquier comportamiento sorprendente para estas funciones.

Solución

Graph of x^2 and its reflections. — Figura ( PageIndex {20} ): Gráfico de (x ^ 2 ) y sus reflexiones.

Aviso: (g (x) = f (−x) ) tiene el mismo aspecto que (f (x) ).

Determinación de funciones pares e impares

Algunas funciones exhiben simetría para que las reflexiones den como resultado el gráfico original. Por ejemplo, reflejar horizontalmente las funciones del kit de herramientas (f (x) = x ^ 2 ) o (f (x) = | x | ) dará como resultado el gráfico original. Decimos que este tipo de gráficos son simétricos con respecto al eje y. Las funciones cuyas gráficas son simétricas con respecto al eje y se llaman funciones pares .

Si las gráficas de (f (x) = x ^ 3 ) o (f (x) = frac {1} {x} ) se reflejaran en ambos ejes, el resultado sería la gráfica original , como se muestra en la Figura ( PageIndex {21} ).

Graph of (x^3) and its reflections. — Figura ( PageIndex {21} ): (a) La función del kit de herramientas cúbicas (b) Reflejo horizontal de la función del kit de herramientas cúbicas (c) Los reflejos horizontales y verticales reproducen la función cúbica original.

Decimos que estos gráficos son simétricos sobre el origen. A function with a graph that is symmetric about the origin is called an odd function .

Note: A function can be neither even nor odd if it does not exhibit either symmetry. For example, (f(x)=2^x) is neither even nor odd. Also, the only function that is both even and odd is the constant function (f(x)=0).

Even and Odd Functions

A function is called an even function if for every input (x)

(f(x)=f(−x))

The graph of an even function is symmetric about the y-axis.

A function is called an odd function if for every input (x)

(f(x)=−f(−x))

The graph of an odd function is symmetric about the origin.

Given the formula for a function, determine if the function is even, odd, or neither.

Determine whether the function satisfies (f(x)=f(−x)). If it does, it is even.
Determine whether the function satisfies (f(x)=−f(−x)). If it does, it is odd.
If the function does not satisfy either rule, it is neither even nor odd.

Example (PageIndex{13}): Determining whether a Function Is Even, Odd, or Neither

Is the function (f(x)=x^3+2x) even, odd, or neither?

Solution

Without looking at a graph, we can determine whether the function is even or odd by finding formulas for the reflections and determining if they return us to the original function. Let’s begin with the rule for even functions.

[f(−x)=(−x)^3+2(−x)=−x^3−2x]

This does not return us to the original function, so this function is not even. We can now test the rule for odd functions.

[−f(−x)=−(−x^3−2x)=x^3+2x]

Because (−f(−x)=f(x)), this is an odd function.

Analysis

Consider the graph of (f) in Figure (PageIndex{22}). Notice that the graph is symmetric about the origin. For every point ((x,y)) on the graph, the corresponding point ((−x,−y)) is also on the graph. For example, ((1, 3)) is on the graph of (f), and the corresponding point ((−1,−3)) is also on the graph.

Figure (PageIndex{22}): Graph of (f(x)) with labeled points at ((1, 3)) and ((-1, -3)).

(PageIndex{8}): Is the function (f(s)=s^4+3s^2+7) even, odd, or neither?

Solution

even

Graphing Functions Using Stretches and Compressions

Adding a constant to the inputs or outputs of a function changed the position of a graph with respect to the axes, but it did not affect the shape of a graph. We now explore the effects of multiplying the inputs or outputs by some quantity.

We can transform the inside (input values) of a function or we can transform the outside (output values) of a function. Each change has a specific effect that can be seen graphically.

Vertical Stretches and Compressions

When we multiply a function by a positive constant, we get a function whose graph is stretched or compressed vertically in relation to the graph of the original function. If the constant is greater than 1, we get a vertical stretch ; if the constant is between 0 and 1, we get a vertical compression . Figure (PageIndex{23}) shows a function multiplied by constant factors 2 and 0.5 and the resulting vertical stretch and compression.

Graph of a function that shows vertical stretching and compression. — Figure *(PageIndex{23})* : Vertical stretch and compression

Vertical Stretches and Compressions

Given a function (f(x)), a new function (g(x)=af(x)), where (a) is a constant, is a vertical stretch or vertical compression of the function (f(x)).

If (a>1), then the graph will be stretched.
If (0
If (a<0), then there will be combination of a vertical stretch or compression with a vertical reflection.

Given a function, graph its vertical stretch.

Identify the value of (a).
Multiply all range values by (a)

a. If (a>1), the graph is stretched by a factor of (a).

b. If (0

c. If (a<0), the graph is either stretched or compressed and also reflected about the x-axis.

Example 1.5.14: Graphing a Vertical Stretch

A function (P(t)) models the population of fruit flies. The graph is shown in Figure (PageIndex{24}).

Figure (PageIndex{24}): Graph to represent the growth of the population of fruit flies.

A scientist is comparing this population to another population, (Q), whose growth follows the same pattern, but is twice as large. Sketch a graph of this population.

Solution

Because the population is always twice as large, the new population’s output values are always twice the original function’s output values. Graphically, this is shown in Figure (PageIndex{25}).

If we choose four reference points, ((0, 1)), ((3, 3)), ((6, 2)) and ((7, 0)) we will multiply all of the outputs by 2.

The following shows where the new points for the new graph will be located.

[(0, 1)rightarrow(0, 2)]

[(3, 3)rightarrow(3, 6)]

[(6, 2)rightarrow(6, 4)]

[(7, 0)rightarrow(7, 0)]

$Graph of the population function doubled.$
Figure (PageIndex{25}) : Graph of the population function doubled.

Symbolically, the relationship is written as

[Q(t)=2P(t)]

This means that for any input (t), the value of the function (Q) is twice the value of the function (P). Notice that the effect on the graph is a vertical stretching of the graph, where every point doubles its distance from the horizontal axis. The input values, (t), stay the same while the output values are twice as large as before.

Given a tabular function and assuming that the transformation is a vertical stretch or compression, create a table for a vertical compression.

1. Determine the value of (a).

2. Multiply all of the output values by (a).

Example (PageIndex{15}): Finding a Vertical Compression of a Tabular Function

A function (f) is given as Table (PageIndex{12}). Create a table for the function (g(x)=frac{1}{2}f(x)).

Table (PageIndex{12})
(x)	2	4	6	8
(f(x))	1	3	7	11

Solution

The formula (g(x)=frac{1}{2}f(x)) tells us that the output values of (g) are half of the output values of (f) with the same inputs. For example, we know that (f(4)=3). Then

[g(4)=frac{1}{2}f(4)=frac{1}{2}(3)=frac{3}{2}]

We do the same for the other values to produce Table (PageIndex{13}).

Table (PageIndex{13})
(x)	2	4	6	8
(g(x))	(dfrac{1}{2})	(dfrac{3}{2})	(dfrac{7}{2})	(dfrac{11}{2})

Analysis

The result is that the function (g(x)) has been compressed vertically by (frac{1}{2}). Each output value is divided in half, so the graph is half the original height.

(PageIndex{9}): A function (f) is given as Table (PageIndex{14}). Create a table for the function (g(x)=frac{3}{4}f(x)).

Table (PageIndex{14})
(x)	2	4	6	8
(f(x))	12	16	20	0

Solution

Table (PageIndex{15})
(x)	2	4	6	8
(g(x))	9	12	15	0

Example (PageIndex{16}): Recognizing a Vertical Stretch

The graph in Figure (PageIndex{26}) is a transformation of the toolkit function (f(x)=x^3). Relate this new function (g(x)) to (f(x)), and then find a formula for (g(x)).

[Graph of a transformation of (f(x)=x^3) — Figure (PageIndex{26}): Graph of a transformation of (f(x)=x^3)

When trying to determine a vertical stretch or shift, it is helpful to look for a point on the graph that is relatively clear. In this graph, it appears that (g(2)=2). With the basic cubic function at the same input, (f(2)=2^3=8). Based on that, it appears that the outputs of (g) are (frac{1}{4}) the outputs of the function (f) because (g(2)=frac{1}{4}f(2)). From this we can fairly safely conclude that (g(x)=frac{1}{4}f(x)).

We can write a formula for (g) by using the definition of the function (f).

[g(x)=frac{1}{4} f(x)=frac{1}{4}x^3.]

(PageIndex{10}): Write the formula for the function that we get when we stretch the identity toolkit function by a factor of 3, and then shift it down by 2 units.

Solution

(g(x)=3x-2)

Horizontal Stretches and Compressions

Now we consider changes to the inside of a function. When we multiply a function’s input by a positive constant, we get a function whose graph is stretched or compressed horizontally in relation to the graph of the original function. If the constant is between 0 and 1, we get a horizontal stretch ; if the constant is greater than 1, we get a horizontal compression of the function.

Graph of the vertical stretch and compression of x^2. — Figure (PageIndex{27}) : Graph of the vertical stretch and compression of (x^2).

Given a function (y=f(x)), the form (y=f(bx)) results in a horizontal stretch or compression. Consider the function (y=x^2). Observe Figure (PageIndex{27}). The graph of (y=(0.5x)^2) is a horizontal stretch of the graph of the function (y=x^2) by a factor of 2. The graph of (y=(2x)^2) is a horizontal compression of the graph of the function (y=x^2) by a factor of 2.

Horizontal Stretches and Compressions

Given a function (f(x)), a new function (g(x)=f(bx)), where (b) is a constant, is a horizontal stretch or horizontal compression of the function (f(x)).

If (b>1), then the graph will be compressed by (frac{1}{b}).
If (0
If (b<0), then there will be combination of a horizontal stretch or compression with a horizontal reflection.

Given a description of a function, sketch a horizontal compression or stretch.

Write a formula to represent the function.
Set (g(x)=f(bx)) where (b>1) for a compression or (0

Example (PageIndex{17}): Graphing a Horizontal Compression

Suppose a scientist is comparing a population of fruit flies to a population that progresses through its lifespan twice as fast as the original population. In other words, this new population, (R), will progress in 1 hour the same amount as the original population does in 2 hours, and in 2 hours, it will progress as much as the original population does in 4 hours. Sketch a graph of this population.

Solution

Symbolically, we could write

(begin{align} R(1)&=P(2), \ R(2)&=P(4), &text{and in general,} \ R(t)&=P(2t).end{align})

See Figure (PageIndex{28}) for a graphical comparison of the original population and the compressed population.

$Two side-by-side graphs. The first graph has function for original population whose domain is [0,7] and range is [0,3]. The maximum value occurs at (3,3). The second graph has the same shape as the first except it is half as wide. It is a graph of transformed population, with a domain of [0, 3.5] and a range of [0,3]. The maximum occurs at (1.5, 3).$
Figure (PageIndex{28}): (a) Original population graph (b) Compressed population graph

Analysis

Note that the effect on the graph is a horizontal compression where all input values are half of their original distance from the vertical axis.

Example (PageIndex{18}): Finding a Horizontal Stretch for a Tabular Function

A function (f(x)) is given as Table (PageIndex{16}). Create a table for the function (g(x)=f(frac{1}{2}x)).

Table (PageIndex{16})
(x)	2	4	6	8
(f(x))	1	3	7	11

The formula (g(x)=f(frac{1}{2}x)) tells us that the output values for (g) are the same as the output values for the function (f) at an input half the size. Notice that we do not have enough information to determine (g(2)) because (g(2)=f(frac{1}{2}⋅2)=f(1)), and we do not have a value for (f(1)) in our table. Our input values to (g) will need to be twice as large to get inputs for (f) that we can evaluate. For example, we can determine (g(4)).

[g(4)=f(dfrac{1}{2}⋅4)=f(2)=1]

We do the same for the other values to produce Table (PageIndex{17}).

Table (PageIndex{17})
(x)	4	8	12	16
(g(x))	1	3	7	11

Figure (PageIndex{29}) shows the graphs of both of these sets of points.

Figure (PageIndex{29}): Graph of the previous table.

Analysis

Because each input value has been doubled, the result is that the function (g(x)) has been stretched horizontally by a factor of 2.

Example (PageIndex{19}): Recognizing a Horizontal Compression on a Graph

Relate the function (g(x)) to (f(x)) in Figure (PageIndex{30}).

Figure (PageIndex{30}): Graph of (f(x)) being vertically compressed to (g(x)).

Solution

The graph of (g(x)) looks like the graph of (f(x)) horizontally compressed. Because (f(x)) ends at (6,4) and (g(x)) ends at (2,4), we can see that the x-values have been compressed by (frac{1}{3}), because (6(frac{1}{3})=2). We might also notice that (g(2)=f(6)) and (g(1)=f(3)). Either way, we can describe this relationship as (g(x)=f(3x)). This is a horizontal compression by (frac{1}{3}).

Analysis

Notice that the coefficient needed for a horizontal stretch or compression is the reciprocal of the stretch or compression. So to stretch the graph horizontally by a scale factor of 4, we need a coefficient of (frac{1}{4}) in our function: (f(frac{1}{4}x)). This means that the input values must be four times larger to produce the same result, requiring the input to be larger, causing the horizontal stretching.

(PageIndex{11}): Write a formula for the toolkit square root function horizontally stretched by a factor of 3.

Solution

(g(x)=f(frac{1}{3}x)), so using the square root function we get (g(x)=sqrt{frac{1}{3}x})

Performing a Sequence of Transformations

When combining transformations, it is very important to consider the order of the transformations. For example, vertically shifting by 3 and then vertically stretching by 2 does not create the same graph as vertically stretching by 2 and then vertically shifting by 3, because when we shift first, both the original function and the shift get stretched, while only the original function gets stretched when we stretch first.

When we see an expression such as (2f(x)+3), which transformation should we start with? The answer here follows nicely from the order of operations. Given the output value of (f(x)), we first multiply by 2, causing the vertical stretch, and then add 3, causing the vertical shift. In other words, multiplication before addition.

Horizontal transformations are a little trickier to think about. When we write (g(x)=f(2x+3)), for example, we have to think about how the inputs to the function (g) relate to the inputs to the function (f). Suppose we know (f(7)=12). What input to (g) would produce that output? In other words, what value of (x) will allow (g(x)=f(2x+3)=12?) We would need (2x+3=7). To solve for (x), we would first subtract 3, resulting in a horizontal shift, and then divide by 2, causing a horizontal compression.

This format ends up being very difficult to work with, because it is usually much easier to horizontally stretch a graph before shifting. We can work around this by factoring inside the function.

[f(bx+p)=f(b(x+frac{p}{b}))]

Let’s work through an example.

[f(x)=(2x+4)^2]

We can factor out a 2.

[f(x)=(2(x+2))^2]

Now we can more clearly observe a horizontal shift to the left 2 units and a horizontal compression. Factoring in this way allows us to horizontally stretch first and then shift horizontally.

Note: Combining Transformations

When combining vertical transformations written in the form (af(x)+k), first vertically stretch by (a) and then vertically shift by (k).

When combining horizontal transformations written in the form (f(bx+h)), first horizontally shift by (h) and then horizontally stretch by (frac{1}{b}).

When combining horizontal transformations written in the form (f(b(x+h))), first horizontally stretch by (frac{1}{b}) and then horizontally shift by (h).

Horizontal and vertical transformations are independent. It does not matter whether horizontal or vertical transformations are performed first.

Example (PageIndex{20}): Finding a Triple Transformation of a Tabular Function

Given Table (PageIndex{18}) for the function (f(x)), create a table of values for the function (g(x)=2f(3x)+1).

Table (PageIndex{18})
(x)	6	12	18	24
(f(x))	10	14	15	17

Solution

There are three steps to this transformation, and we will work from the inside out. Starting with the horizontal transformations, (f(3x)) is a horizontal compression by (frac{1}{3}), which means we multiply each (x)-value by (frac{1}{3}).See Table (PageIndex{19}).

Table (PageIndex{19})
(x)	2	4	6	8
(f(3x))	10	14	15	17

Looking now to the vertical transformations, we start with the vertical stretch, which will multiply the output values by 2. We apply this to the previous transformation. See Table (PageIndex{20}).

Table (PageIndex{20})
(x)	2	4	6	8
(2f(3x))	20	28	30	34

Finally, we can apply the vertical shift, which will add 1 to all the output values. See Table (PageIndex{21}).

Table (PageIndex{21})
(x)	2	4	6	8
(g(x)=2f(3x)+1+1)	21	29	31	35

Example (PageIndex{21}): Finding a Triple Transformation of a Graph

Use the graph of (f(x)) in Figure (PageIndex{31}) to sketch a graph of (k(x)=fBig(frac{1}{2}x+1Big)−3).

Figure (PageIndex{31}): Graph of a half-circle.

To simplify, let’s start by factoring out the inside of the function.

[fBig(dfrac{1}{2}x+1Big)−3=fBig(dfrac{1}{2}(x+2)Big)−3]

By factoring the inside, we can first horizontally stretch by 2, as indicated by the (frac{1}{2}) on the inside of the function. Remember that twice the size of 0 is still 0, so the point ((0,2)) remains at ((0,2)) while the point ((2,0)) will stretch to ((4,0)). See Figure (PageIndex{32}).

Figure (PageIndex{32}): Graph of a vertically stretch half-circle.

Next, we horizontally shift left by 2 units, as indicated by (x+2). See Figure (PageIndex{33}).

Figure (PageIndex{33}): Graph of a vertically stretch and translated half-circle.

Last, we vertically shift down by 3 to complete our sketch, as indicated by the −3 on the outside of the function. See Figure (PageIndex{34}).

Figure (PageIndex{34}): Graph of a vertically stretch and translated half-circle.

Key Equations

Vertical shift (g(x)=f(x)+k) (up for (k>0))
Horizontal shift (g(x)=f(x−h))(right) for (h>0)
Vertical reflection (g(x)=−f(x))
Horizontal reflection (g(x)=f(−x))
Vertical stretch (g(x)=af(x)) (a>0 )
Vertical compression (g(x)=af(x)) (0
Horizontal stretch (g(x)=f(bx)(0
Horizontal compression (g(x)=f(bx)) (b>1)

Key Concepts

A function can be shifted vertically by adding a constant to the output.
A function can be shifted horizontally by adding a constant to the input.
Relating the shift to the context of a problem makes it possible to compare and interpret vertical and horizontal shifts.
Vertical and horizontal shifts are often combined.
A vertical reflection reflects a graph about the x-axis. A graph can be reflected vertically by multiplying the output by –1.
A horizontal reflection reflects a graph about the y-axis. A graph can be reflected horizontally by multiplying the input by –1.
A graph can be reflected both vertically and horizontally. The order in which the reflections are applied does not affect the final graph.
A function presented in tabular form can also be reflected by multiplying the values in the input and output rows or columns accordingly.
A function presented as an equation can be reflected by applying transformations one at a time.
Even functions are symmetric about the y-axis, whereas odd functions are symmetric about the origin.
Even functions satisfy the condition (f(x)=f(−x)).
Odd functions satisfy the condition (f(x)=−f(−x)).
A function can be odd, even, or neither.
A function can be compressed or stretched vertically by multiplying the output by a constant.
A function can be compressed or stretched horizontally by multiplying the input by a constant.
The order in which different transformations are applied does affect the final function. Both vertical and horizontal transformations must be applied in the order given. However, a vertical transformation may be combined with a horizontal transformation in any order.

Glossary

even function

a function whose graph is unchanged by horizontal reflection, (f(x)=f(−x)), and is symmetric about the y-axis

horizontal compression
a transformation that compresses a function’s graph horizontally, by multiplying the input by a constant b>1

horizontal reflection
a transformation that reflects a function’s graph across the y-axis by multiplying the input by −1

horizontal shift
a transformation that shifts a function’s graph left or right by adding a positive or negative constant to the input

horizontal stretch
a transformation that stretches a function’s graph horizontally by multiplying the input by a constant 0

odd function
a function whose graph is unchanged by combined horizontal and vertical reflection, (f(x)=−f(−x)), and is symmetric about the origin

vertical compression
a function transformation that compresses the function’s graph vertically by multiplying the output by a constant 0

vertical reflection
a transformation that reflects a function’s graph across the x-axis by multiplying the output by −1

vertical shift
a transformation that shifts a function’s graph up or down by adding a positive or negative constant to the output

vertical stretch
a transformation that stretches a function’s graph vertically by multiplying the output by a constant a>1