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las matematicas

3.7: Funciones de valor absoluto

Hasta la década de 1920, se creía que las llamadas nebulosas espirales eran nubes de polvo y gas en nuestra propia galaxia, a unas decenas de miles de años luz de distancia. Luego, el astrónomo Edwin Hubble demostró que estos objetos son galaxias por derecho propio, a distancias de millones de años luz. Hoy, los astrónomos pueden detectar galaxias que están a miles de millones de años luz de distancia. Las distancias en el universo se pueden medir en todas las direcciones. Como tal, es útil considerar la distancia como una función de valor absoluto. En esta sección, investigaremos funciones de valor absoluto .

Comprensión del valor absoluto

 

Recuerde que en su forma básica (f (x) = | x | ), la función valor absoluto , es una de nuestras funciones del kit de herramientas. La función de valor absoluto se considera comúnmente que proporciona la distancia desde la cual el número es cero en una recta numérica. Algebraicamente, para cualquier valor de entrada, la salida es el valor sin tener en cuenta el signo.

 
 

Función de valor absoluto

 

La función de valor absoluto se puede definir como una función por partes

 

[f (x) = | x | = begin {cases} x & text {if} x { geq} 0 \ -x & text {if} x <0 end {cases} ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Determine un número dentro de una distancia prescrita

 

Describa todos los valores (x ) dentro o incluyendo una distancia de 4 desde el número 5.

 

Solución

 

Queremos que la distancia entre (x ) y 5 sea menor o igual que 4. Podemos dibujar una recta numérica, como la que está adentro, para representar la condición que se debe satisfacer.

 
Number line describing the difference of the distance of 4 away from 5
Figura ( PageIndex {2} ): línea numérica que describe la diferencia de la distancia de 4 a 5
 

La distancia de (x ) a 5 se puede representar utilizando el valor absoluto como (| x − 5 | ). Queremos los valores de (x ) que satisfagan la condición (| x − 5 | leq4 ).

 

Análisis

 

Tenga en cuenta que

 

[ begin {align} -4 & { leq} x-5 & x-5 & leq4 \ 1 & { leq} x & x & { leq} 9 end {align} ]

 

Entonces (| x − 5 | leq4 ) es equivalente a (1 { leq} x leq9 ).

 

Sin embargo, los matemáticos generalmente prefieren la notación de valor absoluto.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Describa todos los valores (x ) a una distancia de 3 del número 2.

 

Solución

 

(| x − 2 | leq3 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): resistencia de una resistencia

 

Las partes eléctricas, como resistencias y condensadores, vienen con valores específicos de sus parámetros de funcionamiento: resistencia, capacitancia, etc. Sin embargo, debido a la imprecisión en la fabricación, los valores reales de estos parámetros varían de una pieza a otra, incluso se supone que son lo mismo. Lo mejor que pueden hacer los fabricantes es tratar de garantizar que las variaciones se mantengan dentro de un rango específico, a menudo ± 1%, ± 5% o ± 10%.

 

Supongamos que tenemos una resistencia nominal de 680 ohmios, ± 5%. Use la función de valor absoluto para expresar el rango de valores posibles de la resistencia real.

 

Solución

 

5% de 680 ohmios es 34 ohmios. El valor absoluto de la diferencia entre la resistencia real y nominal no debe exceder la variabilidad establecida, por lo tanto, con la resistencia (R ) en ohmios,

 

[| R − 680 | leq34 ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Los estudiantes que obtengan una puntuación de 20 puntos sobre 80 pasarán una prueba. Escriba esto como una distancia desde 80 usando notación de valor absoluto.

 

Solución

 

Usando la variable (p ) para pasar, (| p − 80 | leq20 )

 
 

Graficando una función de valor absoluto

 

La característica más significativa del gráfico de valor absoluto es el punto de esquina en el que el gráfico cambia de dirección. Este punto se muestra en el origen en la Figura ( PageIndex {3} ).

 
Graph of an absolute function.
Figura ( PageIndex {3} ): Gráfico de una función absoluta.
 

La figura 1.6.4 muestra la gráfica de (y = 2 | x – 3 | +4 ). La gráfica de (y = | x | ) se ha desplazado hacia la derecha 3 unidades, estirada verticalmente por un factor de 2, y desplazada hacia arriba 4 unidades. Esto significa que el punto de esquina se encuentra en ((3,4) ) para esta función transformada.

 
Graph of the different types of transformations for an absolute function.
Figura ( PageIndex {4} ): Gráfico de los diferentes tipos de transformaciones para una función absoluta.
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Escribir una ecuación para una función de valor absoluto

 

Escriba una ecuación para la función graficada en la figura 1.6.5.

 
Graph of an absolute function.
Figura ( PageIndex {5} ): Gráfico de una función absoluta.
 

Solución

 

La función de valor absoluto básico cambia de dirección en el origen, por lo que este gráfico se ha desplazado hacia la derecha 3 unidades y hacia abajo 2 unidades desde la función básica del kit de herramientas. Ver Figura ( PageIndex {6} ).

 
Graph of two transformations for an absolute function at (3, -2)
Figura ( PageIndex {6} ): Gráfico de dos transformaciones para una función absoluta en ((3, -2) ).
 

También notamos que el gráfico aparece estirado verticalmente, porque el ancho del gráfico final en una línea horizontal no es igual a 2 veces la distancia vertical desde la esquina a esta línea, como lo sería para una función de valor absoluto sin estirar . En cambio, el ancho es igual a 1 veces la distancia vertical como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ).

 
Figura ( PageIndex {7} ): Gráfico de dos transformaciones para una función absoluta en ((3, -2) ) y las relaciones entre las dos transformaciones diferentes.
 

De esta información podemos escribir la ecuación

 

[ begin {align} f (x) & = 2 | x-3 | -2, ; ; ; ; ; ; text {tratando el estiramiento como un estiramiento vertical, o} \ f (x) & = | 2 (x-3) | -2, ; ; ; text {tratando el estiramiento como una compresión horizontal.} end {align} ]

 

Análisis

 

Tenga en cuenta que estas ecuaciones son algebraicamente equivalentes: el estiramiento para una función de valor absoluto se puede escribir indistintamente como un estiramiento o compresión vertical u horizontal.

 
 

Si no pudiéramos observar el estiramiento de la función a partir de los gráficos, ¿podríamos determinarlo algebraicamente?

 

Sí. Si no podemos determinar el estiramiento en función del ancho del gráfico, podemos resolver el factor de estiramiento al poner un par conocido de valores para (x ) y (f (x) ).

 

[f (x) = a | x − 3 | −2 ]

 

Ahora sustituyendo en el punto ((1, 2) )

 

[ begin {align} 2 & = a | 1-3 | -2 \ 4 & = 2a \ a & = 2 end {align} ]

 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Escriba la ecuación para la función de valor absoluto que se desplaza horizontalmente hacia la izquierda 2 unidades, se voltea verticalmente y se desplaza verticalmente hacia arriba 3 unidades.

 

Solución

 

(f (x) = – | x + 2 | +3 )

 
 

¿Las gráficas de las funciones de valor absoluto siempre se cruzan con el eje vertical? El eje horizontal?

 

Sí, siempre se cruzan con el eje vertical. El gráfico de una función de valor absoluto se cruza con el eje vertical cuando la entrada es cero.

 

No, no siempre se cruzan con el eje horizontal. El gráfico puede o no cruzarse con el eje horizontal, dependiendo de cómo se haya desplazado y reflejado el gráfico. Es posible que la función de valor absoluto se cruce con el eje horizontal en cero, uno o dos puntos (consulte Figura ( PageIndex {8} ) ).

 
Graph of the different types of transformations for an absolute function.
Figura ( PageIndex {8} ): (a) La función de valor absoluto no se cruza con el eje horizontal. (b) La función de valor absoluto se cruza con el eje horizontal en un punto. (c) La función de valor absoluto se cruza con el eje horizontal en dos puntos.
 

Resolviendo una ecuación de valor absoluto

 

Ahora que podemos graficar una función de valor absoluto, aprenderemos cómo resolver una ecuación de valor absoluto. Para resolver una ecuación como (8 = | 2x − 6 | ), notamos que el valor absoluto será igual a 8 si la cantidad dentro del valor absoluto es 8 o -8. Esto lleva a dos ecuaciones diferentes que podemos resolver de forma independiente.

 

[2x-6 = 8 text {o} 2x-6 = -8 ]

 

[ begin {align} 2x & = 14 & 2x & = – 2 \ x & = 7 & x & = – 1 end {align} ]

 

Es útil saber cómo resolver problemas que involucran funciones de valor absoluto. Por ejemplo, es posible que necesitemos identificar números o puntos en una línea que están a una distancia específica de un punto de referencia dado.

 

Una ecuación de valor absoluto es una ecuación en la que la variable desconocida aparece en barras de valor absoluto. Por ejemplo,

 

[| x | = 4, ]

 

[| 2x − 1 | = 3, ]

 

[| 5x + 2 | −4 = 9, ]

 
 

Soluciones para ecuaciones de valor absoluto

 

Para números reales (A ) y (B ), una ecuación de la forma (| A | = B ), con (B geq0 ), tendrá soluciones cuando (A = B ) o (A = −B ). Si (B <0 ), la ecuación (| A | = B ) no tiene solución.

 
 

Dada la fórmula para una función de valor absoluto, encuentre las intersecciones horizontales de su gráfico.

 
         
  1. Aislar el término de valor absoluto.
  2.      
  3. Use (| A | = B ) para escribir (A = B ) o (- A = B ), suponiendo (B> 0 ).
  4.      
  5. Resuelve para (x ).
  6.  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar los ceros de una función de valor absoluto

 

Para la función (f (x) = | 4x + 1 | −7 ), encuentre los valores de (x ) tales que (f (x) = 0 ).

 

Solución

 

[ begin {align} 0 & = | 4x + 1 | -7 & & & text {Sustituye f por x (x).} \ 7 & = | 4x + 1 | & & & text {Aislar el valor absoluto en un lado de la ecuación.} \ 7 & = 4x + 1 & text {o} -7 & = 4x + 1 & text {Romper en dos ecuaciones separadas y resolver.} \ 6 & = 4x & -8 & = 4x & \ x & = frac {6} {4} = 1.5 & x & = frac {-8} {4} = – 2 end {align} ]

 

La función genera 0 cuando (x = 1.5 ) o (x = −2 ). Ver Figura ( PageIndex {9} ).

 
Graph of an absolute function with x-intercepts at -2 and 1.5.
Figura ( PageIndex {9} ): Gráfico de una función absoluta con intersecciones en x en -2 y 1.5.
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Para la función (f (x) = | 2x − 1 | −3 ), encuentre los valores de (x ) de modo que (f (x) = 0 ).

 

Solución

 

(x = −1 ) o (x = 2 )

 
 

¿Deberíamos esperar siempre dos respuestas al resolver (| A | = B )?

 

No. Podemos encontrar una, dos o incluso ninguna respuesta. Por ejemplo, no hay solución para (2+ | 3x − 5 | = 1 ).

 

Dada una ecuación de valor absoluto, resuélvala .

 
         
  1. Aislar el término de valor absoluto.
  2.      
  3. Use (| A | = B ) para escribir (A = B ) o (A = −B ).
  4.      
  5. Resuelve para (x ).
  6.  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Resolviendo una ecuación de valor absoluto

 

Resuelve (1 = 4 | x − 2 | +2 ).

 

Solución

 

Aislar el valor absoluto en un lado de la ecuación da lo siguiente.

 

[ begin {align} 1 & = 4 | x-2 | +2 \ -1 & = 4 | x-2 | \ – frac {1} {4} & = | x-2 | end {align} ]

 

El valor absoluto siempre devuelve un valor positivo, por lo que es imposible que el valor absoluto sea igual a un valor negativo. En este punto, notamos que esta ecuación no tiene soluciones.

 
 
 

En el ejemplo 1.6.3, si (f (x) = 1 ) y (g (x) = 4 | x − 2 | +2 ) se graficaron en el mismo conjunto de ejes, las gráficas ¿intersecarse?

 

No. Las gráficas de (f ) y (g ) no se intersectarían, como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ). Esto confirma, gráficamente, que la ecuación (1 = 4 | x − 2 | +2 ) no tiene solución.

 
Graph of (g(x)=4|x-2|+2) and (f(x)=1).
Figura ( PageIndex {10} ): Gráfico de (g (x) = 4 | x-2 | +2 ) y (f (x) = 1 ) .
 

Encuentra dónde la gráfica de la función (f (x) = – | x + 2 | +3 ) intersecta los ejes horizontal y vertical.

 

(f (0) = 1 ), por lo que el gráfico interseca el eje vertical en ((0,1) ). (f (x) = 0 ) cuando (x = −5 ) y (x = 1 ) para que el gráfico cruce el eje horizontal en ((- 5,0) ) y ((1 , 0) ).

 
 

Resolviendo una desigualdad de valor absoluto

 

Las ecuaciones de valor absoluto no siempre implican igualdades. En cambio, es posible que necesitemos resolver una ecuación dentro de un rango de valores. Usaríamos una desigualdad de valor absoluto para resolver tal ecuación. Una desigualdad de valor absoluto es una ecuación de la forma

 

[| A | B, text {or} | A | { geq} B ],

 

donde una expresión (A ) (y posiblemente pero no usualmente (B )) depende de una variable (x ). Resolver la desigualdad significa encontrar el conjunto de todos (x ) que satisfacen la desigualdad. Por lo general, este conjunto será un intervalo o la unión de dos intervalos.

 

Hay dos enfoques básicos para resolver las desigualdades de valor absoluto: gráfico y algebraico. La ventaja del enfoque gráfico es que podemos leer la solución interpretando los gráficos de dos funciones. La ventaja del enfoque algebraico es que proporciona soluciones que pueden ser difíciles de leer en el gráfico.

 

Por ejemplo, sabemos que todos los números dentro de 200 unidades de 0 pueden expresarse como

 

[| x | <200 text {o} −200  

Supongamos que queremos saber todos los posibles retornos de una inversión si pudiéramos ganar una cantidad de dinero dentro de $ 200 de $ 600. Podemos resolver algebraicamente el conjunto de valores (x ) de modo que la distancia entre (x ) y 600 sea inferior a 200. Representamos la distancia entre (x ) y 600 como (| x − 600 | ).

 

[| x − 600 | <200 text {o} −200  

[- 200 + 600  

[400  

Esto significa que nuestras devoluciones estarían entre $ 400 y $ 800.

 

A veces se nos presentará un problema de desigualdad de valor absoluto en términos de una función de valor absoluto desplazada y / o estirada o comprimida, donde debemos determinar para qué valores de la entrada la salida de la función será negativa o positiva.

 

Dada una desigualdad de valor absoluto de la forma (| x − A | { leq} B ) para números reales (a ) y (b ) donde (b ) es positivo, resuelve el valor absoluto de la desigualdad algebraicamente.

 
         
  1. Encuentra puntos límite resolviendo (| x − A | = B ).
  2.      
  3. Intervalos de prueba creados por los puntos límite para determinar dónde (| x − A | { leq} B ).
  4.      
  5. Escriba el intervalo o la unión de intervalos que satisfagan la desigualdad en la notación de intervalo, desigualdad o generador de conjuntos.
  6.  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Resolver una desigualdad de valor absoluto

 

Resuelve (| x −5 | { leq} 4 ).

 

Solución

 

Con ambos enfoques, necesitaremos saber primero dónde es verdadera la igualdad correspondiente. En este caso, primero encontraremos donde (| x − 5 | = 4 ). Hacemos esto porque el valor absoluto es una función sin interrupciones, por lo que la única forma en que los valores de la función pueden cambiar de menos de 4 a más de 4 es pasando por donde los valores son iguales a 4. Resolver (| x − 5 | = 4 ).

 

[ begin {align} x − 5 & = 4 & text {or} ; ; ; ; ; ; ; ; x & = 9 \ x − 5 & = – 4 & x & = 1 end {align} ]

 

Después de determinar que el valor absoluto es igual a 4 en (x = 1 ) y (x = 9 ), sabemos que el gráfico solo puede cambiar de menos de 4 a más de 4 en estos valores. Esto divide la línea numérica en tres intervalos:

 

[x <1, ; 1 9. ]

 

Para determinar cuándo la función es menor que 4, podríamos elegir un valor en cada intervalo y ver si la salida es menor o mayor que 4, como se muestra en la Tabla ( PageIndex {1} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Tabla ( PageIndex {1} )
Prueba de intervalo (x ) (f (x) ) (<4 ) o (> 4 )
(x <1 ) 0 (| 0-5 | = 5 ) Mayor que
(1               6 (| 6-5 | = 1 ) Menos de
(x> 9 ) 11 (| 11-5 | = 6 ) Mayor que
 

Debido a que (1 { leq} x { leq} 9 ) es el único intervalo en el que la salida en el valor de prueba es menor que 4, podemos concluir que la solución a (| x − 5 | { leq} 4 ) es (1 { leq} x { leq} 9 ), o ([1,9] ).

 

Para usar un gráfico, podemos esbozar la función (f (x) = | x − 5 | ). Para ayudarnos a ver dónde están las salidas 4, la línea (g (x) = 4 ) también se puede dibujar como en la Figura ( PageIndex {11} ).

 
Graph of an absolute function and a vertical line, demonstrating how to see what outputs are less than the vertical line.
Figura ( PageIndex {11} ): Gráfico para encontrar los puntos que satisfacen una desigualdad de valor absoluto.
 

Podemos ver lo siguiente:

 
         
  • Los valores de salida del valor absoluto son iguales a 4 en (x = 1 ) y (x = 9 ).
  •      
  • La gráfica de (f ) está debajo de la gráfica de (g ) en (1      
  • El valor absoluto es menor o igual a 4 entre estos dos puntos, cuando (1 { leq} x leq9 ). En notación de intervalo, este sería el intervalo ([1,9] ).
  •  
 

Análisis

 

Para las desigualdades de valor absoluto,

 

[| x − A | C, \ – C C. ]

 

El símbolo (<) o (> ) se puede reemplazar por ( leq ) o ( geq ).

 

Entonces, para este ejemplo, podríamos usar este enfoque alternativo.

 

[ begin {align} | x − 5 | & { leq} 4 \ −4 & { leq} x − 5 { leq} 4 & text {Reescriba eliminando las barras de valor absoluto.} \ −4 + ​​5 & { leq} x − 5 + 5 { leq} 4 + 5 & text {Aislar la x.} \ 1 & { leq} x leq9 end {align} ] [19459003 ]  

 

( PageIndex {5} ): Resuelve (| x + 2 | leq6 ).

 

Solución

 

(4 { leq} x leq8 )

 

Dada una función de valor absoluto, resuelva el conjunto de entradas donde la salida es positiva (o negativa).

 
         
  1. Establezca la función igual a cero y resuelva los puntos límite del conjunto de soluciones.
  2.      
  3. Use puntos de prueba o un gráfico para determinar dónde la salida de la función es positiva o negativa.
  4.  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Uso de un enfoque gráfico para resolver desigualdades de valor absoluto

 

Dada la función (f (x) = – frac {1} {2} | 4x − 5 | +3 ), determine los valores (x ) – para los cuales los valores de la función son negativos.

 

Solución

 

Estamos tratando de determinar dónde (f (x) <0 ), que es cuando (- frac {1} {2} | 4x − 5 | +3 <0 ). Comenzamos aislando el valor absoluto.

 

[ begin {align} – frac {1} {2} | 4x − 5 | & <- 3 ; ; ; text {Multiplica ambos lados por –2 e invierte la desigualdad.} \ | 4x − 5 | &> 6 end {align} ]

 

A continuación resolvemos la igualdad (| 4x − 5 | = 6 ).

 

[ begin {align} 4x-5 & = 6 & 4x-5 & = – 6 \ 4x-6 & = 6 ; ; & text {o} ; ; ; 4x & = – 1 \ x & = frac {11} {4} & x & = – frac {1} {4} end {align} ]

 

Ahora, podemos examinar la gráfica de (f ) para observar dónde la salida es negativa. Observaremos dónde están las ramas debajo del eje (x ). Tenga en cuenta que ni siquiera es importante exactamente cómo se ve el gráfico, siempre que sepamos que cruza el eje horizontal en (x = – frac {1} {4} ) y (x = frac {11 } {4} ) y que el gráfico se ha reflejado verticalmente. Ver Figura ( PageIndex {12} ).

 
Figura ( PageIndex {12} ) : Gráfico de una función absoluta con intersecciones x en -0.25 y 2.75.]
 

Observamos que la gráfica de la función está debajo del eje (x ) – a la izquierda de (x = – frac {1} {4} ) y a la derecha de (x = frac {11} {4} ). Esto significa que los valores de la función son negativos a la izquierda de la primera intersección horizontal en (x = – frac {1} {4} ), y negativos a la derecha de la segunda intersección en (x = frac {11 } {4} ). Esto nos da la solución a la desigualdad.

 

[x <- frac {1} {4} text {o} x> 1 frac {1} {4} ]

 

En notación de intervalo, esto sería ((- infty, −0.25) cup (2.75, infty) ).

 
 

( PageIndex {6} ): Resuelve (- 2 | k − 4 | leq − 6 ).

 

Solución

 

(k leq1 ) o (k leq7 ); en notación de intervalo, esto sería ((- leq 7) ); en notación de intervalo, esto sería ( left (- infty, 1 right] cup left [7, infty right) )

 
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