las matematicas

3.7: Gráficas de funciones

3.7: Gráficas de funciones

Identificar gráficos de funciones básicas

 

Utilizamos la ecuación (y = 2x − 3 ) y su gráfica a medida que desarrollamos la prueba de la línea vertical. Dijimos que la relación definida por la ecuación (y = 2x − 3 ) es una función.

 

Podemos escribir esto como en notación de función como (f (x) = 2x − 3 ). Todavía significa lo mismo. La gráfica de la función es la gráfica de todos los pares ordenados ((x, y) ) donde (y = f (x) ). Entonces podemos escribir los pares ordenados como ((x, f (x)) ). Se ve diferente pero el gráfico será el mismo.

 

Compare la gráfica de (y = 2x − 3 ) mostrada anteriormente en Figura con la gráfica de (f (x) = 2x − 3 ) mostrada en Figura . Nada ha cambiado excepto la notación.

 
 
This figure has a graph next to a table. The graph has a straight line on the x y-coordinate plane. The x and y-axes run from negative 10 to 10. The line goes through the points (0, negative 3), (1, negative 1), and (2, 1). The line is labeled f of x equals2 x minus 3. There are several vertical arrows that relate values on the x-axis to points on the line. The first arrow relates x equalsnegative 2 on the x-axis to the point (negative 2, negative 7) on the line. The second arrow relates x equalsnegative 1 on the x-axis to the point (negative 1, negative 5) on the line. The next arrow relates x equals0 on the x-axis to the point (0, negative 3) on the line. The next arrow relates x equals3 on the x-axis to the point (3, 3) on the line. The last arrow relates x equals4 on the x-axis to the point (4, 5) on the line. The table has 7 rows and 3 columns. The first row is a title row with the label f of x equals2 x minus 3. The second row is a header row with the headers x, f of x, and (x, f of x). The third row has the coordinates negative 2, negative 7, and (negative 2, negative 7). The fourth row has the coordinates negative 1, negative 5, and (negative 1, negative 5). The fifth row has the coordinates 0, negative 3, and (0, negative 3). The sixth row has the coordinates 3, 3, and (3, 3). The seventh row has the coordinates 4, 5, and (4, 5).  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 
 
 
 

GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN

 

La gráfica de una función es la gráfica de todos sus pares ordenados, (x, y) (x, y) o usando la notación de función, (x, f (x)) (x, f (x)) donde y = f (x) .y = f (x).

 

[ begin {array} {ll} {f} & { text {nombre de la función}} \ {x} & { text {coordenada x del par ordenado}} \ {f ( x)} & { text {coordenada y del par ordenado}} \ nonumber end {array} ]

 
 
 

A medida que avanzamos en nuestro estudio, es útil estar familiarizado con los gráficos de varias funciones básicas y poder identificarlas.

 

A través de nuestro trabajo anterior, estamos familiarizados con las gráficas de ecuaciones lineales. El proceso que usamos para decidir si (y = 2x − 3 ) es una función se aplicaría a todas las ecuaciones lineales. Todas las ecuaciones lineales no verticales son funciones. Las líneas verticales no son funciones ya que el valor x tiene infinitos valores y .

 

Escribimos ecuaciones lineales en varias formas, pero será más útil para nosotros aquí usar la forma pendiente-intersección de la ecuación lineal. La forma pendiente-intersección de una ecuación lineal es (y = mx + b ). En notación de función, esta función lineal se convierte en (f (x) = mx + b ) donde m es la pendiente de la línea y b es y [19459023 ] -intercepción.

 

El dominio es el conjunto de todos los números reales, y el rango también es el conjunto de todos los números reales.

 
 
 

FUNCIÓN LINEAL

 

This figure has a graph of a straight line on the x y-coordinate plane. The line goes through the point (0, b). Next to the graph are the following: “f of x equalsm x plus b”, “m, b: all real numbers”, “m: slope of the line”, “b: y-intercept”, “Domain: (negative infinity, infinity)”, and “Range: (negative infinity, infinity)”.

 
 
 

Usaremos las técnicas gráficas que usamos anteriormente, para graficar las funciones básicas.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Gráfico: (f (x) = – 2x − 4 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(f (x) = – 2x − 4 )
Reconocemos esto como una función lineal.
Encuentre la pendiente y y -intercepción. (m = −2 )
(b = −4 )
Grafica usando la intersección de la pendiente. .
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Gráfico: (f (x) = – 3x − 1 )

 
     
Respuesta
     
     

The figure has the graph of a linear function on the x y-coordinate plane. The x and y-axes run from negative 6 to 6. The line goes through the points (1, negative 4), (0, negative 1), and (negative 1, 2).

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Gráfico: (f (x) = – 4x − 5 )

 
     
Respuesta
     
     

The figure has the graph of a linear function on the x y-coordinate plane. The x and y-axes run from negative 6 to 6. The line goes through the points (negative 2, 3), (0, negative 5), and (negative 1, negative 1).

     
 
 
 
 
 

La siguiente función cuya gráfica veremos se llama función constante y su ecuación es de la forma (f (x) = b ), donde b es cualquier número real. Si reemplazamos (f (x) ) con y, obtenemos (y = b ). Reconocemos esto como la línea horizontal cuya y -intercepción es b . La gráfica de la función (f (x) = b ), es también la línea horizontal cuya y -intercepción es b .

 

Observe que para cualquier número real que ingresemos en la función, el valor de la función será b . Esto nos dice que el rango tiene un solo valor, b .

 
 
 

FUNCIÓN CONSTANTE

 

This figure has a graph of a straight horizontal line on the x y-coordinate plane. The line goes through the point (0, b). Next to the graph are the following: “f of x equalsb”, “b: any real number”, “b: y-intercept”, “Domain: (negative infinity, infinity)”, and “Range: b”.

 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Gráfico: (f (x) = 4 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
(f (x) = 4 )
Reconocemos esto como una función constante.
El gráfico será una línea horizontal a través de ((0,4) ). .
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Gráfico: (f (x) = – 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

The figure has the graph of a constant function on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 12 to 12. The y-axis runs from negative 12 to 12. The line goes through the points (0, negative 2), (1, negative 2), and (2, negative 2).

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Gráfico: (f (x) = 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

The figure has the graph of a constant function on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 12 to 12. The y-axis runs from negative 12 to 12. The line goes through the points (0, 3), (1, 3), and (2, 3).

     
 
 
 
 
 

La función de identidad, (f (x) = x ) es un caso especial de la función lineal. Si lo escribimos en forma de función lineal, (f (x) = 1x + 0 ), vemos que la pendiente es 1 y la intersección y es 0.

 
 
 

FUNCIÓN IDENTIDAD

 

This figure has a graph of a straight line on the x y-coordinate plane. The line goes through the points (0, 0), (1, 1), and (2, 2). Next to the graph are the following: “f of x equalsx”, “m: 1”, “b: 0”, “Domain: (negative infinity, infinity)”, and “Range: (negative infinity, infinity)”.

 
 
 

La siguiente función que veremos no es una función lineal. Entonces el gráfico no será una línea. El único método que tenemos para graficar esta función es el trazado de puntos. Debido a que esta es una función desconocida, nos aseguramos de elegir varios valores positivos y negativos, así como 0 para nuestros valores de x.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Gráfico: (f (x) = x ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

Elegimos valores x . Los sustituimos y luego creamos un gráfico como se muestra.

     

This figure has a graph next to a table. In the graph there is a parabola opening up graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 4 to 4. The y-axis runs from negative 2 to 6. The parabola goes through the points (negative 3, 9), (negative 2, 4), (negative 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), and (3, 9). The table has 8 rows and 3 columns. The first row is a header row with the headers x, f of x equalsx squared, and (x, f of x). The second row has the coordinates negative 3, 9, and (negative 3, 9). The third row has the coordinates negative 2, 4, and (negative 2, 4). The fourth row has the coordinates negative 1, 1, and (negative 1, 1). The fifth row has the coordinates 0, 0, and (0, 0). The sixth row has the coordinates 1, 1, and (1, 1). The seventh row has the coordinates 2, 4, and (2, 4). The seventh row has the coordinates 3, 9, and (3, 9).

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Gráfico: (f (x) = x ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

This figure has a graph next to a table. In the graph there is a parabola opening up graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 6 to 6. The y-axis runs from negative 4 to 8. The parabola goes through the points (negative 2, 4), (negative 1, 1), (0, 0), (1, 1), and (2, 4).

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

(f (x) = – x ^ 2 )

 
     
Respuesta
     
     

This figure has a graph next to a table. In the graph there is a parabola opening up graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 6 to 6. The y-axis runs from negative 4 to 8. The parabola goes through the points (negative 2, negative 4), (negative 1, negative 1), (0, 0), (1, negative 1), and (2, negative 4).

     
 
 
 
 
 

Mirando el resultado en Ejemplo , podemos resumir las características de la función cuadrada. Llamamos a este gráfico una parábola. Al considerar el dominio, observe que cualquier número real puede usarse como un valor x . El dominio es todos los números reales.

 

El rango no es todos los números reales. Observe que el gráfico consta de valores de y nunca van por debajo de cero. Esto tiene sentido ya que el cuadrado de cualquier número no puede ser negativo. Entonces, el rango de la función cuadrada es todos los números reales no negativos.

 
 
 

FUNCIÓN CUADRADA

 

This figure has a graph of a parabola opening up graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 4 to 4. The y-axis runs from negative 2 to 6. The parabola goes through the points (negative 2, 4), (negative 1, 1), (0, 0), (1, 1), and (2, 4). Next to the graph are the following: “f of x equalsx squared”, “Domain: (negative infinity, infinity)”, and “Range: [0, infinity)”.

 
 
 

La siguiente función que veremos tampoco es una función lineal, por lo que el gráfico no será una línea. Nuevamente, utilizaremos el trazado de puntos y nos aseguraremos de elegir varios valores positivos y negativos, así como 0 para nuestros valores x .

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Gráfico: (f (x) = x ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

Elegimos valores x . Los sustituimos y luego creamos un gráfico.

     

This figure has a curved line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 4 to 4. The y-axis runs from negative 4 to 4. The curved line goes through the points (negative 2, negative 8), (negative 1, negative 1), (0, 0), (1, 1), and (2, 8). Next to the graph is a table. The table has 6 rows and 3 columns. The first row is a header row with the headers x, f of x equalsx cubed, and (x, f of x). The second row has the coordinates negative 2, negative 8, and (negative 2, negative 8). The third row has the coordinates negative 1, negative 1, and (negative 1, negative 1). The fourth row has the coordinates 0, 0, and (0, 0). The fifth row has the coordinates 1, 1, and (1, 1). The sixth row has the coordinates 2, 8, and (2, 8).

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Gráfico: (f (x) = x ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

This figure has a curved line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 6 to 6. The y-axis runs from negative 6 to 6. The curved line goes through the points (negative 2, negative 8), (negative 1, negative 1), (0, 0), (1, 1), and (2, 8).

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Gráfico: (f (x) = – x ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

This figure has a curved line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 6 to 6. The y-axis runs from negative 6 to 6. The curved line goes through the points (negative 2, 8), (negative 1, 1), (0, 0), (1, negative 1), and (2, negative 8).

     
 
 
 
 
 

Mirando el resultado en Ejemplo , podemos resumir las características de la función de cubo. Al considerar el dominio, observe que cualquier número real puede usarse como un valor x . El dominio es todos los números reales.

 

El rango es todos los números reales. Esto tiene sentido ya que el cubo de cualquier número distinto de cero puede ser positivo o negativo. Entonces, el rango de la función de cubo es todos los números reales.

 
 
 

FUNCIÓN CUBO

 

This figure has a curved line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 4 to 4. The y-axis runs from negative 4 to 4. The curved line goes through the points (negative 2, negative 8), (negative 1, negative 1), (0, 0), (1, 1), and (2, 8).). Next to the graph are the following: “f of x equalsx cubed”, “Domain: (negative infinity, infinity)”, and “Range: (negative infinity, infinity)”.

 
 
 

La siguiente función que veremos no cuadra ni cubica los valores de entrada, sino que toma la raíz cuadrada de esos valores.

 

Grafiquemos la función (f (x) = sqrt {x} ) y luego resumamos las características de la función. Recuerde, solo podemos sacar la raíz cuadrada de números reales no negativos, por lo que nuestro dominio será los números reales no negativos.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

(f (x) = sqrt {x} )

 
     
Respuesta
     
     

Elegimos valores x . Como tomaremos la raíz cuadrada, elegimos números que sean cuadrados perfectos para facilitar nuestro trabajo. Los sustituimos y luego creamos un gráfico.

     

This figure has a curved half-line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from 0 to 8. The y-axis runs from 0 to 8. The curved half-line starts at the point (0, 0) and then goes up and to the right. The curved half line goes through the points (1, 1) and (4, 2). Next to the graph is a table. The table has 5 rows and 3 columns. The first row is a header row with the headers x, f of x equalssquare root of x, and (x, f of x). The second row has the coordinates 0, 0, and (0, 0). The third row has the coordinates 1, 1, and (1, 1). The fourth row has the coordinates 4, 2, and (4, 2). The fifth row has the coordinates 9, 3, and (9, 3).

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Gráfico: (f (x) = x ).

 
     
Respuesta
     
     

This figure has a curved half-line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from 0 to 10. The y-axis runs from 0 to 10. The curved half-line starts at the point (0, 0) and then goes up and to the right. The curved half line goes through the points (1, 1), (4, 2), and (9, 3).

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Gráfico: (f (x) = – sqrt {x} ).

 
     
Respuesta
     
     

This figure has a curved half-line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from 0 to 10. The y-axis runs from negative 10 to 0. The curved half-line starts at the point (0, 0) and then goes down and to the right. The curved half line goes through the points (1, negative 1), (4, negative 2), and (9, negative 3).

     
 
 
 
 
 
 
 

FUNCIÓN DE RAÍZ CUADRADA

 

This figure has a curved half-line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from 0 to 8. The y-axis runs from 0 to 8. The curved half-line starts at the point (0, 0) and then goes up and to the right. The curved half line goes through the points (1, 1) and (4, 2). Next to the graph are the following: “f of x equalssquare root of x”, “Domain: [0, infinity)”, and “Range: [0, infinity)”.

 
 
 

Nuestra última función básica es la función de valor absoluto, (f (x) = | x | ). Tenga en cuenta que el valor absoluto de un número es su distancia desde cero. Como nunca medimos la distancia como un número negativo, nunca obtendremos un número negativo en el rango.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Gráfico: (f (x) = | x | ).

 
     
Respuesta
     
     

Elegimos valores x . Los sustituimos y luego creamos un gráfico.

     

This figure has a v-shaped line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 4 to 4. The y-axis runs from negative 1 to 6. The v-shaped line goes through the points (negative 3, 3), (negative 2, 2), (negative 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), and (3, 3). Next to the graph is a table. The table has 8 rows and 3 columns. The first row is a header row with the headers x, f of x equalsabsolute value of x, and (x, f of x). The second row has the coordinates negative 3, 3, and (negative 3, 3). The third row has the coordinates negative 2, 2, and (negative 2, 2). The fourth row has the coordinates negative 1, 1, and (negative 1, 1). The fifth row has the coordinates 0, 0, and (0, 0). The sixth row has the coordinates 1, 1, and (1, 1). The seventh row has the coordinates 2, 2, and (2, 2). The eighth row has the coordinates 3, 3, and (3, 3).

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Gráfico: (f (x) = | x | ).

 
     
Respuesta
     
     

This figure has a v-shaped line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 6 to 6. The y-axis runs from negative 2 to 10. The v-shaped line goes through the points (negative 3, 3), (negative 2, 2), (negative 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), and (3, 3).

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Gráfico: (f (x) = – | x | ).

 
     
Respuesta
     
     

This figure has a v-shaped line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 6 to 6. The y-axis runs from negative 8 to 4. The v-shaped line goes through the points (negative 3, negative 3), (negative 2, negative 2), (negative 1, negative 1), (0, 0), (1, negative 1), (2, negative 2), and (3, negative 3).

     
 
 
 
 
 
 
 

FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO

 

This figure has a v-shaped line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 4 to 4. The y-axis runs from negative 1 to 6. The v-shaped line goes through the points (negative 3, 3), (negative 2, 2), (negative 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), and (3, 3). The point (0, 0) where the line changes slope is called the vertex. Next to the graph are the following: “f of x equalsabsolute value of x”, “Domain: (negative infinity, infinity)”, and “Range: [0, infinity)”.

 
 
 
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antonio1095

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