las matematicas

3.7: Multiplicar y dividir enteros (Parte 1)

3.7: Multiplicar y dividir enteros (Parte 1)

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Multiplicar enteros
    •      
  • Divide enteros
    •      
  • Simplificar expresiones con enteros
    •      
  • Evaluar expresiones variables con enteros
    •      
  • Traduce frases de palabras a expresiones algebraicas
    •  
 
 
 
 

prepárate!

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Traduce el cociente de (20 ) y (13 ) en una expresión algebraica. Si omitió este problema, revise Ejemplo 1.5.12 .
    2.      
  2. Añadir: (- 5 + (−5) + (−5) ). Si omitió este problema, revise Ejemplo 3.2.8 .
    3.      
  3. Evalúa (n + 4 ) cuando (n = −7 ). Si se perdió este problema, revise Ejemplo 3.2.10 .
    4.  
 
 
 

Multiplicar enteros

 

Dado que la multiplicación es una abreviatura matemática para la suma repetida, nuestro modelo de contador se puede aplicar fácilmente para mostrar la multiplicación de enteros. Veamos este modelo concreto para ver qué patrones notamos. Usaremos los mismos ejemplos que usamos para sumar y restar.

 

Recordamos que (a • b ) significa sumar (a ), (b ) veces. Aquí, estamos usando el modelo que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) solo para ayudarnos a descubrir el patrón.

 

This image has two columns. The first column has 5 times 3. Underneath, it states add 5, 3 times. Under this there are 3 rows of 5 blue circles labeled 15 positives and 5 times 3 equals 15. The second column has negative 5 times 3. Underneath it states add negative 5, 3 times. Under this there are 3 rows of 5 red circles labeled 15 negatives and negative 5 times 3 equals 15.

 

Figura ( PageIndex {1} )

 

Ahora considere lo que significa multiplicar (5 ) por (- 3 ). Significa restar (5 ), (3 ) veces. Mirar la resta como quitar, significa quitar (5 ), (3 ) veces. Pero no hay nada que quitar, así que comenzamos agregando pares neutrales como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

 

This figure has 2 columns. The first column has 5 times negative 3. Underneath it states take away 5, 3 times. Under this there are 3 rows of 5 red circles. A downward arrow points to six rows of alternating colored circles in rows of fives. The first row includes 5 red circles, followed by five blue circles, then 5 red, five blue, five red, and five blue. All of the rows of blue circles are circled. The non-circled rows are labeled 15 negatives. Under the label is 5 times negative 3 equals negative 15. The second column has negative 5 times negative 3. Underneath it states take away negative 5, 3 times. Then there are 6 rows of 5 circles alternating in color. The first row is 5 blue circles followed by 5 red circles. All of the red rows are circled. The non-circles rows are labeled 15 positives. Under the label is negative 5 times negative 3 equals 15.

 

Figura ( PageIndex {2} )

 

En ambos casos, comenzamos con (15 ) pares neutros. En el caso de la izquierda, quitamos (5 ), (3 ) veces y el resultado fue (- 15 ). Para multiplicar ((- 5) (- 3) ), quitamos (- 5 ), (3 ) veces y el resultado fue (15 ). Entonces encontramos que

                                                                                                              
5 (3) = 15 -5 (3) = -15
5 (-3) = -15 (-5) (- 3) = 15
 

Observe que para la multiplicación de dos números con signo, cuando los signos son iguales, el producto es positivo, y cuando los signos son diferentes, el producto es negativo.

 
 

Definición: Multiplicación de números firmados

 

El signo del producto de dos números depende de sus signos.

                                                                                                                                                                           
Los mismos signos Producto
Dos aspectos positivos Positivo
Dos negativos Positivo
                                                                                                                                                                           
Diferentes signos Producto
Positivo • negativo Negativo
Negativo • positivo Negativo
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): multiplica

 

Multiplica cada uno de los siguientes:

 
         
  1. (- 9 • 3 )
    2.      
  2. (- 2 (−5) )
    3.      
  3. (4 (−8) )
    4.      
  4. (7 • 6 )
    5.  
 

Solución

 
         
    2.  
                                                              
Multiplica, observando que los signos son diferentes y que el producto es negativo. –9 • 3 = –27
 
         
    2.  
                                                              
Multiplica, observando que los signos son los mismos y que el producto es positivo. –2 (–5) = 10
 
         
    2.  
                                                              
Multiplica, observando que los signos son diferentes y que el producto es negativo. 4 (–8) = –32
 
         
    2.  
                                                              
Los signos son los mismos, por lo que el producto es positivo. 7 • 6 = 42
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Multiplicar:

 
         
  1. (- 6 • 8 )
    2.      
  2. (- 4 (−7) )
    3.      
  3. (9 (−7) )
    4.      
  4. (5 • 12 )
    5.  
 
     
Responde a
     
     

(- 48 )

     
     
Respuesta b
     
     

(28 )

     
     
Respuesta c
     
     

(- 63 )

     
     
Respuesta d
     
     

(60 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Multiplicar:

 
         
  1. (- 8 • 7 )
    2.      
  2. (- 6 (−9) )
    3.      
  3. (7 (−4) )
    4.      
  4. (3 • 13 )
    5.  
 
     
Responde a
     
     

(- 56 )

     
     
Respuesta b
     
     

(54 )

     
     
Respuesta c
     
     

(- 28 )

     
     
Respuesta d
     
     

(39 )

     
 
 
 
 

Cuando multiplicamos un número por (1 ), el resultado es el mismo número. ¿Qué sucede cuando multiplicamos un número por (- 1 )? Multipliquemos un número positivo y luego un número negativo por (- 1 ) para ver qué obtenemos.

                                                                                                                                                              
−1 • 4 −1 (−3)
−4 3
−4 es lo opuesto a 4 3 es lo contrario de −3
 

Cada vez que multiplicamos un número por (- 1 ), obtenemos su opuesto.

 
 

Definición: Multiplicación por (- 1 )

 

Multiplicar un número por (- 1 ) da su opuesto.

 

[- 1 cdot a = -a ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): multiplica

 

Multiplica cada uno de los siguientes:

 
         
  1. (- 1 • 7 )
    2.      
  2. (- 1 (−11) )
    3.  
 

Solución

 
         
    2.  
                                                                                                              
Los signos son diferentes, por lo que el producto será negativo. −1 • 7
Observe que −7 es lo opuesto a 7. −7
 
         
    2.  
                                                                                                              
Los signos son los mismos, por lo que el producto será positivo. −1 (−11)
Observe que 11 es lo contrario de −11. 11
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Multiplica.

 
         
  1. (- 1 • 9 )
    2.      
  2. (- 1 • (−17) )
    3.  
 
     
Responde a
     
     

(- 9 )

     
     
Respuesta b
     
     

(17 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Multiplica.

 
         
  1. (- 1 • 8 )
    2.      
  2. (- 1 • (−16) )
    3.  
 
     
Responde a
     
     

(- 8 )

     
     
Respuesta b
     
     

(16 )

     
 
 
 
 

Divide enteros

 

La división es la operación inversa de la multiplicación. Entonces, (15 ÷ 3 = 5 ) porque (5 • 3 = 15 ) En palabras, esta expresión dice que (15 ) se puede dividir en (3 ) grupos de (5 ) cada uno porque sumar cinco tres veces da (15 ). Si miramos algunos ejemplos de multiplicar enteros, podríamos descubrir las reglas para dividir enteros.

                                                                                                              
5 • 3 = 15, entonces 15 ÷ 3 = 5 −5 (3) = −15, entonces −15 ÷ 3 = −5
(−5) (- 3) = 15, entonces 15 ÷ (−3) = −5 5 (−3) = −15 entonces −15 ÷ −3 = 5
 

La división de números con signo sigue las mismas reglas que la multiplicación. Cuando los signos son iguales, el cociente es positivo, y cuando los signos son diferentes, el cociente es negativo.

 
 

Definición: División de números firmados

 

El signo del cociente de dos números depende de sus signos.

                                                                                                                                                                           
Los mismos signos Cociente
Dos aspectos positivos Positivo
Dos negativos Positivo
                                                                                                                                                                           
Diferentes signos Cociente
Positivo y negativo Negativo
Negativo y positivo Negativo
 

Recuerde, siempre puede verificar la respuesta a un problema de división multiplicando.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): dividir

 

Divide cada uno de los siguientes:

 
         
  1. (- 27 ÷ 3 )
    2.      
  2. (- 100 ÷ (−4) )
    3.  
 

Solución

 
         
    2.  
                                                              
Divide, observando que los signos son diferentes y que el cociente es negativo. –27 ÷ 3 = –9
 
         
    2.  
                                                              
Divide, observando que los signos son los mismos y que el cociente es positivo. –100 ÷ (–4) = 25
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Divide:

 
         
  1. (- 42 ÷ 6 )
    2.      
  2. (- 117 ÷ (−3) )
    3.  
 
     
Responde a
     
     

(- 7 )

     
     
Respuesta b
     
     

(39 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Divide:

 
         
  1. (- 63 ÷ 7 )
    2.      
  2. (- 115 ÷ (−5) )
    3.  
 
     
Responde a
     
     

(- 9 )

     
     
Respuesta b
     
     

(23 )

     
 
 
 

Tal como vimos con la multiplicación, cuando dividimos un número por (1 ), el resultado es el mismo número. ¿Qué sucede cuando dividimos un número por (- 1 )? Vamos a dividir un número positivo y luego un número negativo por (- 1 ) para ver qué obtenemos.

                                                                                                                                                              
8 ÷ (−1) −9 ÷ (−1)
−8 9
−8 es lo opuesto a 8 9 es lo opuesto a −9
 

Cuando dividimos un número entre, (- 1 ) obtenemos su opuesto.

 
 

Definición: División por (- 1 )

 

Dividir un número por (- 1 ) da su opuesto.

 

[a div (-1) = -a ]

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): dividir

 

Divide cada uno de los siguientes:

 
         
  1. (16 ÷ (−1) )
    2.      
  2. (- 20 ÷ (−1) )
    3.  
 

Solución

 
         
    2.  
                                                                                                              
El dividendo, 16, se divide por –1. 16 ÷ (–1)
Dividir un número por –1 da su opuesto. –16
 

Observe que los signos eran diferentes, por lo que el resultado fue negativo.

 
         
    2.  
                                                                                                              
El dividendo, –20, se divide por –1. –20 ÷ (–1)
Dividir un número por –1 da su opuesto. 20
 

Observe que los signos son los mismos, por lo que el cociente fue positivo.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Divide:

 
         
  1. (6 ÷ (−1) )
    2.      
  2. (- 36 ÷ (−1) )
    3.  
 
     
Responde a
     
     

(- 6 )

     
     
Respuesta b
     
     

(36 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Divide:

 
         
  1. (28 ÷ (−1) )
    2.      
  2. (- 52 ÷ (−1) )
    3.  
 
     
Responde a
     
     

(- 28 )

     
     
Respuesta b
     
     

(52 )

     
 
 
 

Simplificar expresiones con enteros

 

Ahora simplificaremos las expresiones que usan las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y división) con números enteros. Recuerde seguir el orden de las operaciones.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): simplificar

 

Simplifica: (7 (−2) + 4 (−7) – 6 ).

 

Solución

 

Utilizamos el orden de las operaciones. Multiplica primero y luego suma y resta de izquierda a derecha.

                                                                                                                                                              
Multiplica primero. −14 + (−28) −6
Agregar. −42-6
Restar. −48
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Simplifica: (8 (−3) + 5 (−7) −4 )

 
     
Respuesta
     
     

(- 63 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Simplifica: (9 (−3) + 7 (−8) – 1 )

 
     
Respuesta
     
     

(- 84 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): simplificar

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 2) ^ 4 )
    2.      
  2. (- 2 ^ 4 )
    3.  
 

Solución

 

El exponente dice cuántas veces multiplicar la base.

 
         
  1. El exponente es (4 ) y la base es (- 2 ). Elevamos (- 2 ) a la cuarta potencia.
    2.  
                                                                                                                                                                                                              
Escribir en forma expandida. (−2) (- 2) (- 2) (- 2)
Multiplica. 4 (−2) (- 2)
Multiplica. −8 (−2)
Multiplica. 16
 
         
  1. El exponente es (4 ) y la base es (2 ). Elevamos (2 ) a la cuarta potencia y luego tomamos lo contrario.
    2.  
                                                                                                                                                                                                              
Escribir en forma expandida. – (2 • 2 • 2 • 2)
Multiplica. – (4 • 2 • 2)
Multiplica. – (8 • 2)
Multiplica. −16
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 3) ^ 4 )
    2.      
  2. (- 3 ^ 4 )
    3.  
 
     
Responde a
     
     

(81 )

     
     
Respuesta b
     
     

(- 81 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 7) ^ 2 )
    2.      
  2. (- 7 ^ 2 )
    3.  
 
     
Responde a
     
     

(49 )

     
     
Respuesta b
     
     

(- 49 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): simplificar

 

Simplifique: (12 – 3 (9 – 12) ).

 

Solución

 

Según el orden de las operaciones, primero simplificamos los paréntesis internos. Luego multiplicaremos y finalmente restaremos.

                                                                                                                                                              
Reste los paréntesis primero. 12-3 (−3)
Multiplica. 12 – (−9)
Restar. 21
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Simplificar: (17 – 4 (8 – 11) )

 
     
Respuesta
     
     

(29 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Simplificar: (16 – 6 (7 – 13) )

 
     
Respuesta
     
     

(52 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): simplificar

 

Simplifique: (8 (−9) ÷ (−2) ^ 3 ).

 

Solución

 

Primero simplificamos el exponente, luego lo multiplicamos y lo dividimos.

                                                                                                                                                              
Simplifica el exponente. 8 (−9) ÷ (−8)
Multiplica. −72 ÷ (−8)
Divide. 9
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Simplifique: (12 (−9) ÷ (−3) ^ 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(4 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Simplifique: (18 (−4) ÷ (−2) ^ 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(9 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): simplificar

 

Simplifique: (- 30 ÷ 2 + (−3) (- 7) ).

 

Solución

 

Primero, multiplicaremos y dividiremos de izquierda a derecha. Luego lo agregaremos.

                                                                                                                                                              
Divide. −15 + (−3) (- 7)
Multiplica. −15 + 21
Agregar. 6
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Simplifique: (- 27 ÷ 3 + (−5) (- 6) )

 
     
Respuesta
     
     

(21 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Simplifique: (- 32 ÷ 4 + (−2) (- 7) )

 
     
Respuesta
     
     

(6 )

     
 
 
 
 

Colaboradores

 
         
  • Lynn Marecek (Santa Ana College) y MaryAnne Anthony-Smith (antes de Santa Ana College). Este contenido producido por OpenStax y está licenciado bajo una licencia Creative Commons Attribution License 4.0 .  
    •  
 
                                  
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antonio1095

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