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las matematicas

3.8: Funciones inversas

Una bomba de calor reversible es un sistema de control climático que es un acondicionador de aire y un calentador en un solo dispositivo. Operado en una dirección, bombea calor de una casa para proporcionar enfriamiento. Operando en reversa, bombea calor al edificio desde el exterior, incluso en climas fríos, para proporcionar calefacción. Como calentador, una bomba de calor es varias veces más eficiente que el calentamiento convencional por resistencia eléctrica.

Si algunas máquinas físicas pueden funcionar en dos direcciones, podríamos preguntarnos si algunas de las funciones “máquinas” que hemos estado estudiando también pueden funcionar en sentido inverso. La figura ( PageIndex {1} ) proporciona una representación visual de esta pregunta. En esta sección, consideraremos la naturaleza inversa de las funciones.

Verificación de que dos funciones son funciones inversas

 

Supongamos que un diseñador de moda que viaja a Milán para un desfile de moda quiere saber cuál será la temperatura. No está familiarizado con la escala Celsius . Para tener una idea de cómo se relacionan las mediciones de temperatura, le pide a su asistente, Betty, que convierta 75 grados Fahrenheit a grados Celsius. Ella encuentra la fórmula

 

[C = dfrac {5} {9} (F − 32) ]

 

y sustituye 75 por (F ) para calcular

 

[ dfrac {5} {9} (75−32) aprox24 ^ { circ} ]

 

Sabiendo que un cómodo 75 grados Fahrenheit es de aproximadamente 24 grados Celsius, envía a su asistente el pronóstico del tiempo de la semana de la Figura ( PageIndex {2} ) para Milán, y le pide que convierta todas las temperaturas a grados Fahrenheit .

 
A forecast of Monday’s through Thursday’s weather.  
Figura ( PageIndex {2} ): un pronóstico del clima de lunes a jueves.
 
 

Al principio, Betty considera usar la fórmula que ya encontró para completar las conversiones. Después de todo, ella conoce su álgebra y puede resolver fácilmente la ecuación para (F ) después de sustituir un valor por (C ). Por ejemplo, para convertir 26 grados Celsius, ella podría escribir

 

[ begin {align} 26 & = dfrac {5} {9} (F-32) \ 26⋅ dfrac {9} {5} & = F − 32 \ F & = 26⋅ dfrac {9} {5} +32 approx79 end {align} ]

 

Sin embargo, después de considerar esta opción por un momento, se da cuenta de que resolver la ecuación para cada una de las temperaturas será terriblemente tedioso. Ella se da cuenta de que, dado que la evaluación es más fácil que resolver, sería mucho más conveniente tener una fórmula diferente, una que tome la temperatura Celsius y produzca la temperatura Fahrenheit.

 

La fórmula que busca Betty corresponde a la idea de una función inversa , que es una función para la cual la entrada de la función original se convierte en la salida de la función inversa y la salida del original La función se convierte en la entrada de la función inversa.

 

Dada una función (f (x) ), representamos su inverso como (f ^ {- 1} (x) ), leído como “ (f ) inverso de (x ). ” El −1 elevado es parte de la notación. No es un exponente; no implica un poder de -1. En otras palabras, (f ^ {- 1} (x) ) no significa ( frac {1} {f (x)} ) porque ( frac {1} {f (x)} ) es el recíproco de (f ) y no el inverso.

 

La notación “como exponente” proviene de una analogía entre la composición de funciones y la multiplicación: tal como (a ^ {- 1} a = 1 ) (1 es el elemento de identidad para la multiplicación) para cualquier número distinto de cero ( a ), entonces (f ^ {- 1} { circ} f ) es igual a la función de identidad, es decir,

 

[(f ^ {- 1} { circ} f) (x) = f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} (y) = x ] [19459001 ]  

Esto se aplica a todos (x ) en el dominio de (f ). Informalmente, esto significa que las funciones inversas se “deshacen” entre sí. Sin embargo, así como cero no tiene un recíproco , algunas funciones no tienen inversas.

 

Dada una función (f (x) ), podemos verificar si alguna otra función (g (x) ) es la inversa de (f (x) ) comprobando si (g ( f (x)) = x ) o (f (g (x)) = x ) es verdadero. Podemos probar cualquier ecuación con la que sea más conveniente trabajar porque son lógicamente equivalentes (es decir, si una es verdadera, entonces también lo es la otra)

 

Por ejemplo, (y = 4x ) y (y = frac {1} {4} x ) son funciones inversas.

 

[(f ^ {- 1} { circ} f) (x) = f ^ {- 1} (4x) = dfrac {1} {4} (4x) = x ]

 

y

 

[(f { circ} f ^ {- 1}) (x) = f Big ( dfrac {1} {4} x Big) = 4 Big ( dfrac {1} {4 } x Big) = x ]

 

Algunos pares de coordenadas de la gráfica de la función (y = 4x ) son ((- 2, −8) ), ((0, 0) ), y ((2, 8 ) ). Algunos pares de coordenadas de la gráfica de la función (y = frac {1} {4} x ) son ((- 8, −2) ), ((0, 0) ) y ((8, 2) ). Si intercambiamos la entrada y la salida de cada par de coordenadas de una función, los pares de coordenadas intercambiados aparecerían en el gráfico de la función inversa.

 
 

Definición: Función inversa

 

Para cualquier función uno a uno (f (x) = y ), una función (f ^ {- 1} (x) ) es una función inversa de (f ) if (f ^ {- 1} (y) = x ). Esto también se puede escribir como (f ^ {- 1} (f (x)) = x ) para todos (x ) en el dominio de (f ). También se deduce que (f (f ^ {- 1} (x)) = x ) para todos (x ) en el dominio de (f ^ {- 1} ) if (f ^ {- 1} ) es el inverso de (f ).

 

La notación (f ^ {- 1} ) se lee ” (f ) inversa”. Al igual que cualquier otra función, podemos usar cualquier nombre de variable como entrada para (f ^ {- 1} ), por lo que a menudo escribiremos (f ^ {- 1} (x) ), que leemos como ” (f ) inverso de (x ) “. Tenga en cuenta que

 

[f ^ {- 1} (x) neq dfrac {1} {f (x)} ]

 

y no todas las funciones tienen inversas.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Identificación de una función inversa para un par de entrada-salida dado

 

Si para una función uno a uno particular (f (2) = 4 ) y (f (5) = 12 ), ¿cuáles son los valores de entrada y salida correspondientes para la función inversa?

 

Solución

 

La función inversa invierte las cantidades de entrada y salida, por lo que si

 

[f (2) = 4, text {entonces} f ^ {- 1} (4) = 2; \ f (5) = 12, text {entonces} f ^ {- 1} ( 12) = 5 ].

 

Alternativamente, si queremos nombrar la función inversa (g ), entonces (g (4) = 2 ) y (g (12) = 5 ).

 

Análisis

 

Observe que si mostramos los pares de coordenadas en forma de tabla, la entrada y la salida están claramente invertidas. Consulte la Tabla ( PageIndex {1} ).

                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {1} )
((x, f (x)) ) ((x, g (x)) )
((2,4) ) ((4,2) )
((5,12) ) ((12,5) )
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Dado que (h ^ {- 1} (6) = 2 ), ¿cuáles son los valores de entrada y salida correspondientes de la función original (h )?

 
     
Respuesta
     
     

(h (2) = 6 )

     
 
 
 
 

Cómo: Dadas dos funciones (f (x) ) y (g (x) ), prueba si las funciones son inversas entre sí.

 
         
  1. Determine si (f (g (x)) = x ) o (g (f (x)) = x ).
  2.      
  3. Si ambas afirmaciones son verdaderas, entonces (g = f ^ {- 1} ) y (f = g ^ {- 1} ). Si cualquiera de las declaraciones es falsa, ambas son falsas, y (g { neq} f ^ {- 1} ) y (f { neq} g ^ {- 1} ).
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Prueba de relaciones inversas algebraicamente

 

Si (f (x) = frac {1} {x + 2} ) y (g (x) = frac {1} {x} −2 ), es (g = f ^ {- 1} )?

 

Solución

 

[ begin {align} g (f (x)) & = dfrac {1} {( frac {1} {x + 2}) – 2} \ & = x + 2−2 & = x end {align} ]

 

entonces

 

[g = f ^ {- 1} text {y} f = g ^ {- 1} ]

 

Esto es suficiente para responder sí a la pregunta, pero también podemos verificar la otra fórmula.

 

[ begin {align} f (g (x)) & = dfrac {1} { frac {1} {x} -2 + 2} \ & = dfrac {1} { frac {1} {x}} \ & = x end {align} ]

 

Análisis

 

Observe que las operaciones inversas están en orden inverso a las operaciones de la función original.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Si (f (x) = x ^ 3−4 ) y (g (x) = sqrt [3] {x + 4} ), es (g = f ^ {- 1} )?

 
     
Respuesta
     
     

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Determinación de relaciones inversas para funciones de potencia

 

Si (f (x) = x ^ 3 ) (la función de cubo) y (g (x) = frac {1} {3} x ), es (g = f ^ {- 1} )?

 

Solución

 

[f (g (x)) = dfrac {x ^ 3} {27} { neq} x ]

 

No, las funciones no son inversas.
Análisis

 

La inversa correcta del cubo es, por supuesto, la raíz del cubo ( sqrt [3] {x} = x ^ { frac {1} {3}} ), es decir, el tercio es un exponente, no un multiplicador.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Si (f (x) = (x − 1) ^ 3 ) y (g (x) = sqrt [3] {x} +1 ), es (g = f ^ {- 1} )?

 
     
Respuesta
     
     

     
 
 
 

Encontrar el dominio y el rango de funciones inversas

 

Las salidas de la función (f ) son las entradas a (f ^ {- 1} ), por lo que el rango de (f ) es también el dominio de (f ^ {- 1} ). Del mismo modo, dado que las entradas a (f ) son las salidas de (f ^ {- 1} ), el dominio de (f ) es el rango de (f ^ {- 1} ). Podemos visualizar la situación como en la Figura ( PageIndex {3} ).

 

Domain and range of a function and its inverse.
Figura ( PageIndex {3} ): Dominio y rango de una función y su inverso.

 

Cuando una función no tiene una función inversa, es posible crear una nueva función donde esa nueva función en un dominio limitado sí tiene una función inversa. Por ejemplo, el inverso de (f (x) = sqrt {x} ) es (f ^ {- 1} (x) = x ^ 2 ), porque un cuadrado “deshace” una raíz cuadrada; pero el cuadrado es solo el inverso de la raíz cuadrada en el dominio ( left [0, infty right) ), ya que ese es el rango de (f (x) = sqrt {x} ).

 

Podemos ver este problema desde el otro lado, comenzando con la función cuadrada (kit de herramientas cuadrática) (f (x) = x ^ 2 ). Si queremos construir una inversa a esta función, nos encontramos con un problema, porque para cada salida dada de la función cuadrática, hay dos entradas correspondientes (excepto cuando la entrada es 0). Por ejemplo, la salida 9 de la función cuadrática corresponde a las entradas 3 y –3. Pero una salida de una función es una entrada a su inverso; Si esta entrada inversa corresponde a más de una salida inversa (entrada de la función original), entonces el “inverso” no es una función en absoluto. Para decirlo de otra manera, la función cuadrática no es una función uno a uno; no pasa la prueba de la línea horizontal, por lo que no tiene una función inversa. Para que una función tenga un inverso, debe ser una función uno a uno.

 

En muchos casos, si una función no es uno a uno, aún podemos restringir la función a una parte de su dominio en el que es uno a uno. Por ejemplo, podemos hacer una versión restringida de la función cuadrada (f (x) = x ^ 2 ) con su rango limitado a ( left [0, infty right) ), que es un función uno a uno (pasa la prueba de la línea horizontal) y que tiene un inverso (la función de raíz cuadrada).

 

Si (f (x) = (x − 1) ^ 2 ) en ([1, ∞) ), entonces la función inversa es (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x} +1 ).

 
         
  • El dominio de (f ) = rango de (f ^ {- 1} = left [1, infty right) ).
  •      
  • El dominio de (f ^ {- 1} ) = rango de (f = left [0, infty right) ).
  •  
 

¿Es posible que una función tenga más de una inversa?

 

No. Si dos funciones supuestamente diferentes, por ejemplo, (g ) yh, ambas cumplen con la definición de ser inversas de otra función (f ), entonces puede probar que (g = h ). Acabamos de ver que algunas funciones solo tienen inversas si restringimos el dominio de la función original. En estos casos, puede haber más de una forma de restringir el dominio, lo que lleva a inversas diferentes. Sin embargo, en cualquier dominio, la función original todavía tiene solo un inverso único.

 
 

Nota: Dominio y rango de funciones inversas

 

El rango de una función (f (x) ) es el dominio de la función inversa (f ^ {- 1} (x) ).

 

El dominio de (f (x) ) es el rango de (f ^ {- 1} (x) ).

 
 
 

HowTo: Dada una función, encuentra el dominio y el rango de su inverso.

 
         
  1. Si la función es uno a uno, escriba el rango de la función original como el dominio de la inversa, y escriba el dominio de la función original como el rango de la inversa.
  2.      
  3. Si el dominio de la función original necesita ser restringido para que sea uno a uno, entonces este dominio restringido se convierte en el rango de la función inversa.
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar las inversiones de las funciones del kit de herramientas

 

Identifique cuáles de las funciones del kit de herramientas además de la función cuadrática no son uno a uno, y encuentre un dominio restringido en el que cada función sea uno a uno, si corresponde. Las funciones del kit de herramientas se revisan en la Tabla ( PageIndex {2} ). Restringimos el dominio de tal manera que la función asume todos los valores y exactamente una vez.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
Tabla ( PageIndex {2} )
Constante Identidad Cuadrático Cúbico Recíproco
(f (x) = c ) (f (x) = x ) (f (x) = x ^ 2 ) (f (x) = x ^ 3 ) (f (x) = frac {1} {x} )
Cuadrado recíproco Raíz cúbica Raíz cuadrada Valor absoluto
(f (x) = frac {1} {x ^ 2} ) (f (x) = sqrt [3] {x} ) (f (x) = sqrt {x} ) (f (x) = | x | )
 

Solución

 

La función constante no es uno a uno, y no hay dominio (excepto un único punto) en el que pueda ser uno a uno, por lo que la función constante no tiene inversa significativa.

 

La función de valor absoluto puede restringirse al dominio ( left [0, infty right) ), donde es igual a la función de identidad.

 

La función de cuadrado recíproco puede restringirse al dominio ((0, infty) ).

 

Análisis

 

Podemos ver que estas funciones (si no están restringidas) no son individuales mirando sus gráficos, que se muestran en la Figura ( PageIndex {4} ). Ambos fallarían la prueba de la línea horizontal. Sin embargo, si una función está restringida a un determinado dominio para que pase la prueba de la línea horizontal, entonces en ese dominio restringido, puede tener un inverso.

 

Graph of an absolute function.
Figura ( PageIndex {4} ): (a) Valor absoluto (b) Recíproco al cuadrado

 
 

( PageIndex {4} ): El dominio de la función (f ) es ((1, infty) ) y el rango de la función (f ) es ((- infty, −2) ). Encuentra el dominio y el rango de la función inversa.

 

Solución

 

El dominio de la función (f ^ {- 1} ) es ((- infty, −2) ) y el rango de la función (f ^ {- 1} ) es ((1 , infty) ).

 

Encontrar funciones inversas y sus gráficos

 

Ahora que podemos encontrar el inverso de una función, exploraremos las gráficas de funciones y sus inversas. Volvamos a la función cuadrática (f (x) = x ^ 2 ) restringida al dominio ( left [0, infty right) ), en el que esta función es uno a uno, y grafíquelo como en la Figura ( PageIndex {7} ).

 

 Graph of f(x).
Figura ( PageIndex {7} ): Función cuadrática con dominio restringido a ([0, infty) ).

 

Restringir el dominio a ( left [0, infty right) ) hace que la función sea uno a uno (obviamente pasará la prueba de línea horizontal), por lo que inversa en este dominio restringido.

 

Ya sabemos que el inverso de la función cuadrática del kit de herramientas es la función de raíz cuadrada, es decir, (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x} ). ¿Qué sucede si graficamos tanto (f ) como (f ^ {- 1} ) en el mismo conjunto de ejes, usando el eje x para la entrada a ambos (f ) y (f ^ { -1} )?

 

Notamos una relación distinta: la gráfica de (f ^ {- 1} (x) ) es la gráfica de (f (x) ) reflejada sobre la línea diagonal (y = x ), que llamaremos la línea de identidad, que se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) .

 

Graph of (f(x)) and (f^(-1)(x)). .
Figura ( PageIndex {8} ): Funciones cuadradas y de raíz cuadrada en el dominio no negativo

 

Esta relación se observará para todas las funciones uno a uno, porque es el resultado de la función y sus entradas y salidas de intercambio inverso. Esto es equivalente a intercambiar los roles de los ejes vertical y horizontal.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Encontrar el inverso de una función usando la reflexión sobre la línea de identidad

 

Dada la gráfica de (f (x) ) en la Figura ( PageIndex {9} ), dibuje una gráfica de (f ^ {- 1} (x) ).

 
Graph of (f^(-1)(x))  
Figura ( PageIndex {9} ): Gráfico de (f ^ (- 1) (x) ).
 
 

Esta es una función uno a uno, por lo que podremos dibujar un inverso. Tenga en cuenta que el gráfico que se muestra tiene un dominio aparente de ((0, infty) ) y un rango de ((- infty, infty) ), por lo que el inverso tendrá un dominio de ((- infty , infty) ) y rango de ((0, infty) ).

 

Si reflejamos este gráfico sobre la línea (y = x ), el punto ((1,0) ) refleja a ((0,1) ) y el punto ((4,2 ) ) refleja a ((2,4) ). Dibujar el inverso en los mismos ejes que el gráfico original da la Figura ( PageIndex {10} ).

 
Graph of (f(x)) and (f^(-1)(x)).  
Figura ( PageIndex {10} ): La función y su inverso, que muestra la reflexión sobre la línea de identidad
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Dibuje gráficos de las funciones (f ) y (f ^ {- 1} ) del Ejemplo ( PageIndex {8} ).

 
     
Respuesta
     
     
Graph of (f(x)) and (f^(-1)(x)).      
Figura ( PageIndex {11} ): Gráfico de (f (x) ) y (f ^ (- 1) (x) ).
     
     
 
 
 

¿Hay alguna función que sea igual a su propia inversa?

 

Sí. Si (f = f ^ {- 1} ), entonces (f (f (x)) = x ), y podemos pensar en varias funciones que tienen esta propiedad. La función de identidad

 

sí, y también lo hace la función recíproca, porque

 

[ dfrac {1} { frac {1} {x}} = x ]

 

Cualquier función (f (x) = c − x ), donde (c ) es una constante, también es igual a su propia inversa.

 
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