Aquí (a_ {n} ) representa cualquier número real y (n ) representa cualquier número entero. El grado de un polinomio con una variable es el mayor exponente de todos los términos. Normalmente, organizamos los términos de los polinomios en orden descendente según su grado y los clasificamos de la siguiente manera:
( begin {array} {lr} {f (x) = 2} & { color {Cerulean} {Constant : function : (degree} : 0)} \ {g (x) = 3 x + 2} y { color {Cerulean} {Lineal : function : (degree :} 1)} \ {h (x) = 4 x ^ {2} + 3 x + 2} & { color {Cerulean} {Quadratic : function : (degree :} 2)} \ {r (x) = 5 x ^ {3} + 4 x ^ {2} + 3 x + 2} & { color {Cerulean} {Cubic : function : (degree :} 3)} end {array} )
En este libro de texto, llamamos a cualquier polinomio con un grado superior a (3 ) un (n ) polinomio de tercer grado. Por ejemplo, si el grado es (4 ), lo llamamos polinomio de cuarto grado; si el grado es (5 ), lo llamamos polinomio de quinto grado, y así sucesivamente.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Dado (f (x) = x ^ {2} −8x + 17 ), encuentra (f (2) ) y (f (4) ).
Solución
Reemplace cada instancia de (x ) con el valor dado dentro de los paréntesis.
( begin {alineado} f ( color {Cerulean} {2} color {black} {)} & = ( color {Cerulean} {2} color {black} {)} ^ {2 } – 8 ( color {Cerulean} {2} color {black} {)} + 17 \ & = 4 – 16 + 17 \ & = 4 + 1 \ & = 5 end {alineado} )
( begin {alineado} f ( color {Cerulean} {4} color {black} {)} & = ( color {Cerulean} {4} color {black} {)} ^ {2 } – 8 ( color {Cerulean} {4} color {black} {)} + 17 \ & = 16 – 32 + 17 \ & = – 16 + 17 \ & = 1 end {alineado} )
Tabla 4.1.1
Podemos escribir (f (2) = 5 ) y (f (4) = 1 ). Recuerde que (f (x) = y ) y así podemos interpretar estos resultados en el gráfico de la siguiente manera:
Tabla 4.1.1
Respuesta :
(f (2) = 5; f (4) = 1 )
A menudo se nos pedirá evaluar polinomios para expresiones algebraicas.
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Dado (g (x) = x ^ {3} −x + 5 ), encuentra (g (−2u) ) y (g (x − 2) ).
Solución
Reemplace (x ) con las expresiones entre paréntesis.
( begin {alineado} g ( color {Cerulean} {- 2 u} color {black} {)} & = ( color {Cerulean} {- 2 u} color {black} {) } ^ {3} – ( color {Cerulean} {- 2 u} color {black} {)} + 5 \ & = – 8 u ^ {3} + 2 u + 5 end {alineado} )
( begin {alineado} g ( color {Cerulean} {x – 2} color {black} {)} & = ( color {Cerulean} {x – 2} color {black} {) } ^ {3} – ( color {Cerulean} {x – 2} color {black} {)} +5 \ & = (x – 2) (x-2) (x-2) – (x – 2) + 5 \ & = (x – 2) (x ^ {2} – 4x +4) -x +7 \ & = x ^ {3} – 4 x ^ {2} + 4 x – 2x ^ {2} + 8x -8 -x +7 \ & = x ^ {3} – 6 x ^ {2} + 11x – 1 end {alineado} )
Con esta fórmula, la altura (h (t) ) se puede calcular en cualquier momento dado (t ) después del lanzamiento del objeto. La letra (g ) representa la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra, que es (32 ) pies por segundo al cuadrado (o, usando unidades métricas, (g = 9.8 ) metros por segundo al cuadrado). La variable (v_ {0} ), pronunciada “ v-naught ”, o algunas veces “ v-zero ,” representa la velocidad inicial del objeto, y (s_ {0} ) representa la altura inicial desde la cual se lanzó el objeto.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Se lanza un objeto desde el suelo a una velocidad de (64 ) pies por segundo. Escriba una función que modele la altura del objeto y úsela para calcular la altura de los objetos en (1 ) segundo y en (3.5 ) segundos.
Solución
Sabemos que la aceleración debida a la gravedad es (g = 32 ) pies por segundo al cuadrado y se nos da la velocidad inicial (v_ {0} = 64 ) pies por segundo. Dado que el objeto se lanza desde el suelo, la altura inicial es (s_ {0} = 0 ) pies. Cree el modelo matemático sustituyendo estos coeficientes en la siguiente fórmula:
( begin {array} {l} {h (t) = – frac {1} {2} gt ^ {2} + v _ {0} t + s _ {0}} \ { h (t) = – frac {1} {2} ( color {Cerulean} {32} color {black} {)} t ^ {2} + ( color {Cerulean} {64} color {black } {)} t + color {Cerulean} {0}} \ {h (t) = – 16 t ^ {2} + 64 t} end {array} )
Use este modelo para calcular la altura del objeto en (1 ) segundo y (3.5 ) segundos.
( begin {array} {l} {h ( color {Cerulean} {1} color {black} {)} = – 16 ( color {Cerulean} {1} color {black} { )} ^ {2} + 64 ( color {Cerulean} {1} color {black} {)} = – 16 + 64 = 48} \ {h ( color {Cerulean} {3.5} color {black } {)} = – 16 ( color {Cerulean} {3.5} color {black} {)} ^ {2} + 64 ( color {Cerulean} {3.5} color {black} {)} = – 196 + 224 = 28} end {array} )
Respuesta :
(h (t) = – 16 t ^ {2} + 64 t ); En (1 ) segundo, el objeto está a una altura de (48 ) pies, y en (3.5 ) segundos está a una altura de (28 ) pies.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Se deja caer un objeto desde una altura de 6 metros. Escriba una función que modele la altura del objeto y úsela para calcular la altura del objeto (1 ) segundo después de que se suelte.
Respuesta
(h (t) = – 4.9 t ^ {2} + 6 ); En (1 ) segundo, el objeto está a una altura de (1.1 ) metros.
Funciones de suma y resta
La notación solía indicar suma 1 y resta 2 de funciones siguientes:
Adición de funciones : ((f + g) (x) = f (x) + g (x) )
Resta de funciones : ((f − g) (x) = f (x) −g (x) )
Al usar la notación de función, tenga cuidado de agrupar toda la función y sumar o restar en consecuencia.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Dado (f (x) = x ^ {3} −5x − 7 ) y (g (x) = 3x ^ {2} + 7x − 2 ), encuentra ((f + g) (x) ) y ((f − g) (x) ).
Solución
La notación (f + g ) indica que debemos agregar las expresiones dadas.
( begin {alineado} (f + g) (x) & = f (x) + g (x) \ & = left (x ^ {3} – 5 x – 7 right) + left (3 x ^ {2} + 7 x – 2 right) \ & = x ^ {3} – 5 x – 7 + 3 x ^ {2} + 7 x – 2 \ & = x ^ { 3} + 3 x ^ {2} + 2 x – 9 end {alineado} )
La notación (f − g ) indica que debemos restar las expresiones dadas. Al restar, los paréntesis se vuelven muy importantes. Recuerde que podemos eliminarlos después de aplicar la propiedad distributiva.
( begin {alineado} (f – g) (x) & = f (x) – g (x) \ & = left (x ^ {3} – 5 x – 7 right) – left (3 x ^ {2} + 7 x – 2 right) \ & = x ^ {3} – 5 x – 7 – 3 x ^ {2} – 7 x + 2 \ & = x ^ { 3} – 3 x ^ {2} – 12 x – 5 end {alineado} )
Es posible que se nos solicite evaluar la suma o diferencia de dos funciones. Tenemos la opción de encontrar primero la suma o diferencia en general y luego usar la función resultante para evaluar la variable dada, o evaluar cada una primero y luego encontrar la suma o diferencia.
( begin {alineado} (f – g) (x) & = f (x) – g (x) \ & = left (5 x ^ {2} – x + 4 right) – left (x ^ {2} + 2 x – 3 right) \ & = 5 x ^ {2} – x + 4 – x ^ {2} – 2 x + 3 \ & = 4 x ^ {2 } – 3 x + 7 end {alineado} )
Por lo tanto,
((f – g) (x) = 4 x ^ {2} – 3 x + 7 ).
Luego, sustituye (3 ) por la variable (x ).
( begin {alineado} (f – g) ( color {OliveGreen} {3} color {black} {)} & = 4 ( color {OliveGreen} {3} color {black} { )} ^ {2} – 3 ( color {OliveGreen} {3} color {black} {)} + 7 \ & = 36 – 9 + 7 \ & = 34 end {alineado} ) [19459005 ]
Por lo tanto, ((f − g) (3) = 34 ).
Solución alternativa
Dado que ((f − g) (3) = f (3) −g (3) ), podemos encontrar (f (3) ) y (g (3) ) y luego restar Los resultados.
( begin {alineado} f (x) & = 5 x ^ {2} – x + 4 \ f ( color {Cerulean} {3} color {black} {)} & = 5 ( color {Cerulean} {3} color {black} {)} ^ {2} – ( color {Cerulean} {3} color {black} {)} + 4 \ & = 45 – 3 + 4 & = 46 end {alineado} )
( begin {alineado} g (x) & = x ^ {2} + 2 x – 3 \ g ( color {Cerulean} {3} color {black} {)} & = ( color {Cerulean} {3} color {black} {)} ^ {2} + 2 ( color {Cerulean} {3} color {black} {)} – 3 \ & = 9 + 6 – 3 & = 12 end {alineado} )
Tabla 4.1.3
Por lo tanto,
( begin {alineado} (f – g) (3) & = f (3) – g (3) \ & = 46 – 12 \ & = 34 end {alineado} ) [19459005 ]
Observe que obtenemos la misma respuesta.
Respuesta :
((f − g) (3) = 34 )
Nota
Si se van a evaluar múltiples valores, es mejor encontrar primero la suma o diferencia en general y luego usarla para evaluar.
Funciones de multiplicación y división
La notación solía indicar multiplicación 3 y división 4 de funciones siguientes:
Multiplicación de funciones:
((f cdot g) (x) = f (x) cdot g (x) )
División de funciones:
((f / g) (x) = frac {f (x)} {g (x)}, text {where} g (x) neq 0 )
La notación (f⋅g ) indica que debemos multiplicar. Aplica la propiedad distributiva y simplifica.
( begin {alineado} (f cdot g) (x) & = f (x) cdot g (x) \ & = left (15 x ^ {4} – 9 x ^ {3 } + 6 x ^ {2} right) left (3 x ^ {2} right) \ & = 15 x ^ {4} cdot color {Cerulean} {3 x ^ {2}} color {negro} {-} 9 x ^ {3} cdot color {Cerulean} {3 x ^ {2}} color {black} {+} 6 x ^ {2} cdot color {Cerulean} {3 x ^ {2}} \ & = 45 x ^ {6} – 27 x ^ {5} + 18 x ^ {4} end {alineado} )
La notación (f / g ) indica que debemos dividir. Para este cociente, suponga (x ≠ 0 ).
( begin {alineado} (f / g) (x) & = frac {f (x)} {g (x)} \ & = frac {15 x ^ {4} – 9 x ^ {3} + 6 x ^ {2}} {3 x ^ {2}} \ & = frac {15 x ^ {4}} {3 x ^ {2}} – frac {9 x ^ { 3}} {3 x ^ {2}} + frac {6 x ^ {2}} {3 x ^ {2}} \ & = 5 x ^ {2} – 3 x + 2 end {alineado} )
( begin {alineado} (f cdot g) (x) & = f (x) cdot g (x) \ & = (6 x – 5) left (3 x ^ {2} – 2 x – 1 derecha) \ & = 18 x ^ {3} – 12 x ^ {2} – 6 x – 15 x ^ {2} + 10 x + 5 \ & = 18 x ^ {3} – 27 x ^ {2} + 4 x + 5 end {alineado} )
Por lo tanto ((f cdot g) (x) = 18 x ^ {3} – 27 x ^ {2} + 4 x + 5 ), y tenemos,
( begin {alineado} (f cdot g) ( color {Cerulean} {0} color {black} {)} & = 18 ( color {Cerulean} {0} color {black} {)} ^ {3} – 27 ( color {Cerulean} {0} color {black} {)} ^ {2} + 4 ( color {Cerulean} {0} color {black} {)} + 5 \ & = 5 end {alineado} )
( begin {alineado} (f cdot g) ( color {Cerulean} {- 1} color {black} {)} & = 18 ( color {Cerulean} {- 1} color { negro} {)} ^ {3} – 27 ( color {Cerulean} {- 1} color {black} {)} ^ {2} + 4 ( color {Cerulean} {- 1} color {black} {)} + 5 \ & = -18-27-4 + 5 \ & = – 44 end {alineado} )
Aquí exploramos la geometría de agregar funciones. Una forma de hacerlo es utilizar el hecho de que ((f + g) (x) = f (x) + g (x) ). Agregue las funciones juntas usando x -valores para los cuales se definen f y g.
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Usa las gráficas de (f ) y (g ) para graficar (f + g ). Además, proporcione el dominio de (f + g ).
Figura 4.1.2
Solución
En este caso, ambas funciones están definidas para (x ) – valores entre (2 ) y (6 ). Usaremos (2 ), (4 ) y (6 ) como valores representativos en el dominio de (f + g ) para dibujar su gráfico.
( begin {array} {l} {(f + g) ( color {Cerulean} {2} color {black} {)} = f ( color {Cerulean} {2} color { negro} {)} + g ( color {Cerulean} {2} color {black} {)} = 3 + 6 = 9} \ {(f + g) ( color {Cerulean} {4} color {black} {)} = f ( color {Cerulean} {4} color {black} {)} + g ( color {Cerulean} {4} color {black} {)} = 2 + 4 = 6 } \ {(f + g) ( color {Cerulean} {6} color {black} {)} = f ( color {Cerulean} {6} color {black} {)} + g ( color {Cerulean} {6} color {black} {)} = 4 + 5 = 9} end {array} )
Dibuja la gráfica de f + g usando las tres soluciones de pares ordenados ((2,9), (4,6) ) y ((6,9) ).
Figura 4.1.3
Respuesta :
(f + g ) graficado arriba tiene dominio ([2,6] ).
Ejemplo ( PageIndex {9} )
Usa las gráficas de (f ) y (g ) para graficar (f + g ). Además, proporcione el dominio de (f + g ).
Figura 4.1.4
Solución
Otra forma de agregar gráficamente funciones no negativas es copiar el segmento de línea formado desde el eje (x ) a una de las funciones sobre la otra como se ilustra a continuación.
Figura 4.1.5
El segmento de línea desde el eje (x ) a la función (f ) representa (f (a) ). Copie este segmento de línea en la otra función sobre el mismo punto; el punto final representa (f (a) + g (a) ). Hacer esto por varios puntos nos permite obtener un bosquejo rápido del gráfico combinado. En este ejemplo, el dominio de (f + g ) está limitado a los valores de (x ) para los que se define (f ).
Respuesta :
Dominio: ([1, ∞) )
Figura 4.1.6
En general, el dominio de (f + g ) es la intersección del dominio de (f ) con el dominio de (g ). De hecho, este es el caso de todas las operaciones aritméticas con una consideración adicional para la división. Al dividir las funciones, tenemos mucho cuidado de eliminar cualquier valor que haga que el denominador sea cero. Esto se discutirá con más detalle a medida que avancemos en álgebra.
