Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Suponga que una batería no proporciona voltaje a un circuito cuando un interruptor está abierto. Luego, comenzando en el tiempo (t = 0 ), el interruptor se cierra y la batería proporciona 5 voltios constantes a partir de ese momento. Cree una función por partes que modele las restricciones del problema y dibuje su gráfico.

 

Solución

 

Este es un ejercicio bastante simple, pero tendremos que introducir alguna notación nueva. En primer lugar, si el tiempo t es menor que cero ( (t <0 )), entonces el voltaje es 0 voltios. Si el tiempo t es mayor o igual a cero ( (t geq 0 )), entonces el voltaje es constante de 5 voltios. Aquí está la notación que usaremos para resumir esta descripción del voltaje.

 

[V (t) = left { begin {array} {ll} {0,} & { text {if} t <0} \ {5,} & { text {if} t geq 0} end {array} right. ]

 

Algunos comentarios están en orden:

 

     
• La diferencia de voltaje que proporciona la batería en el circuito es una función del tiempo. Por lo tanto, V (t) representa el voltaje en el tiempo t.
     
• La notación utilizada en (4) es adoptada universalmente por los matemáticos en situaciones en las que la función cambia de definición según el valor de la variable independiente. Esta definición de la función V se denomina “definición por partes”. Debido a que cada una de las piezas en esta definición es constante, la función V se llama función constante por partes.
     
• Esta función particular tiene dos piezas. La función es la función constante (V (t) = 0 ), cuando (t <0 ), pero una función constante diferente, (V (t) = 5 ), cuando (t geq 0 ).
 

 

If (t <0, V (t) = 0. ) Por ejemplo, para (t = -1, t = -10, ) y (t = -100 )

 

[V (-1) = 0, quad V (-10) = 0, quad text {y} quad V (-100) = 0 ]

 

Por otro lado, si (t geq 0, ) entonces (V (t) = 5. ) Por ejemplo, para (t = 0, t = 10, ) y (t = 100 )

 

[V (0) = 5, quad V (10) = 5, quad text {y} quad V (100) = 5 ]

 

Antes de presentar el gráfico de la función constante V por partes, hagamos una pausa por un momento para asegurarnos de que entendemos algunos términos geométricos estándar.

   

   

 

Con estos términos en la mano, volvamos nuestra atención al gráfico del voltaje definido por la ecuación (4). Cuando (t <0 ), entonces (V (t) = 0 ). Normalmente, la gráfica de (V (t) = 0 ) sería una línea horizontal donde cada punto de la línea tiene un valor V igual a cero. Sin embargo, (V (t) = 0 ) solo si (t <0 ), entonces el gráfico es el rayo horizontal que comienza en el origen, luego se mueve indefinidamente a la izquierda, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ). Es decir, la línea horizontal (V = 0 ) se ha restringido al dominio ( {t: t <0 } ) y existe solo a la izquierda del origen.

 

Del mismo modo, cuando (t geq 0 ), entonces (V (t) = 5 ) es el rayo horizontal que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ). Cada punto del rayo tiene un valor V igual a 5.

 

   

 

Dos comentarios están en orden:

 

     
• Debido a que (V (t) = 0 ) solo cuando t <0, el punto (0, 0) no está lleno (es un círculo abierto). El círculo abierto en (0, 0) es una forma matemática de decir que este punto en particular no está trazado ni sombreado.
     
• Debido a que (V (t) = 5 ) cuando (t geq 0 ), el punto (0, 5) se llena (es un círculo lleno). El círculo relleno en (0, 5) es una forma matemática de decir que este punto en particular está trazado o sombreado.
 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Considere la función definida por partes

 

[f (x) = left { begin {array} {ll} {0,} & { text {if} x <0} \ {1,} & { text {if} 0 leq x <2} \ {2,} & { text {if} x geq 2} end {array} right. ]

 

Evalúe f (x) en x = −1, 0, 1, 2 y 3. Dibuje la gráfica de la función por partes f.

 

Solución

 

Debido a que cada parte de la función en (6) es constante, la evaluación de la función es bastante fácil. Solo tienes que seleccionar la pieza correcta.

 

• Tenga en cuenta que x = −1 es menor que 0, por lo que usamos la primera pieza y escribimos f (−1) = 0.

 

• Tenga en cuenta que x = 0 satisface (0 leq x <2 ), por lo que usamos la segunda pieza y escribimos f (0) = 1.

 

• Tenga en cuenta que x = 1 satisface (0 leq x <2 ), por lo que usamos la segunda pieza y escribimos f (1) = 1.

 

• Tenga en cuenta que x = 2 satisface (x geq 2 ), por lo que usamos la tercera pieza y escribimos f (2) = 2.

 

• Finalmente, tenga en cuenta que x = 3 satisface (x geq 2 ), por lo que usamos la tercera pieza y escribimos f (3) = 2. El gráfico es igual de simple de dibujar.

 

• Debido a que f (x) = 0 para x <0, el gráfico de esta pieza es un rayo horizontal con punto final en x = 0. Cada punto en este rayo tendrá un valor y igual a cero y el rayo tendrá se encuentran completamente a la izquierda de x = 0, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

 

• Debido a que f (x) = 1 para (0 leq x <2 ), la gráfica de esta pieza es un segmento horizontal con un punto final en x = 0 y el otro en x = 2. Cada punto en este segmento tendrá un valor y igual a 1, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

 

• Debido a que f (x) = 2 para (x geq 2 ), la gráfica de esta pieza es un rayo horizontal con punto final en x = 2. Cada punto en este rayo tiene un valor y igual a 2 y el rayo se encuentra completamente a la derecha de x = 2, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

 

Varias observaciones están en orden:

 

• La función es cero a la izquierda del origen (para x <0), pero no en el origen. Esto se indica mediante un círculo vacío en el origen, una indicación de que no estamos trazando ese punto en particular.

 

• Para (0 leq x <2 ), la función es igual a 1. Es decir, la función es constantemente igual a 1 para todos los valores de x entre 0 y 2, incluido cero pero no incluido 2. Esto es por qué ves un círculo lleno en (0, 1) y un círculo vacío en (2, 1).

 

• Finalmente, para (x geq 2 ), la función es igual a 2. Es decir, la función es constantemente igual a 2 cuando x es mayor o igual que 2. Es por eso que ve un círculo lleno en (2, 2).

 

   

 

 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Considere la función definida por partes

 

[f (x) = left { begin {array} {ll} {- x + 2,} & { text {if} x <2} \ {x-2,} & { text {if} x geq 2} end {array} right. ]

 

Evalúa f (x) para x = 0, 1, 2, 3 y 4, luego dibuja la gráfica de la función definida por partes.

 

Solución

 

La función cambia la definición en x = 2. Si x <2, entonces f (x) = −x + 2. Debido a que tanto 0 como 1 son estrictamente menores que 2, evaluamos la función con esta primera parte de la definición .

 

[ begin {array} {ll} {f (x) = – x + 2} & text {and} & {f (x) = – x + 2} \ {f (0) = -0 + 2} & & {f (1) = – 1 + 2} \ {f (0) = 2} & & {f (1) = 1} end {array} ]

 

Por otro lado, si (x geq 2 ), entonces (f (x) = x – 2 ). Como 2, 3 y 4 son todos mayores o iguales que 2, evaluamos la función con esta segunda parte de la definición.

 

[ begin {array} {lll} {f (x) = x-2} & { text {and}} & {f (x) = x-2} & { text {and}} & {f (x) = x-2} \ {f (2) = 2-2} & { text {and}} & {f (3) = 3-2} & { text {and}} & {f (4) = 4-2} \ {f (2) = 0} & { text {and}} & {f (3) = 1} & { text {and}} & {f ( 4) = 2} end {array} ]

 

Un posible enfoque para la gráfica de f es colocar los puntos que ya hemos calculado, más un par adicional, en una tabla (ver Figura ( PageIndex {5} ) (a)), trazarlos ( vea la Figura ( PageIndex {5} ) (b)), luego intuya la forma del gráfico a partir de la evidencia proporcionada por los puntos trazados. Esto se hace en la Figura ( PageIndex {5} ) (c).

 

   

 

Sin embargo pragmático, este enfoque de trazado de puntos es un poco tedioso; pero, lo que es más importante, no proporciona los antecedentes necesarios para la discusión de la función de valor absoluto en la siguiente sección. Necesitamos extender nuestra comprensión a un nivel superior. Afortunadamente, toda la base está en su lugar. Solo necesitamos aplicar lo que ya sabemos sobre las ecuaciones de líneas para ajustar esta situación por partes.

 

Enfoque alternativo. Usemos nuestro conocimiento de la ecuación de una línea (es decir, y = mx + b) para ayudar a dibujar la gráfica de la función por partes definida en (8).

 

Dibujemos la primera parte de la función f definida en (8). Tenemos f (x) = −x + 2, siempre que x <2. Normalmente, esto sería una línea (con pendiente −1 e intercepción 2), pero debemos dibujar solo una parte de esa línea, la parte donde x < 2 (x está a la izquierda de 2). Por lo tanto, esta parte del gráfico será un rayo, comenzando en el punto donde x = 2, luego moviéndose indefinidamente hacia la izquierda.

 

La forma más fácil de dibujar un rayo es calcular primero y trazar su punto final fijo (en este caso en x = 2), luego trazar un segundo punto en el rayo que tenga un valor x menor que 2, luego use una regla para dibuja el rayo.

 

Con este pensamiento en mente, para encontrar las coordenadas del punto final del rayo, sustituya x = 2 en f (x) = −x + 2 para obtener f (2) = 0. Ahora, técnicamente, estamos no se supone que use esta parte de la función a menos que x sea estrictamente menor que 2, pero podríamos usarla con x = 1.9, o x = 1.99, o x = 1.999, etc. Así que sigamos y usemos x = 2 en este parte de la función, pero indica que no debemos usar este punto dibujando un “círculo vacío” en (2, 0), como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (a).

 

Para completar la gráfica del rayo, necesitamos un segundo punto que se encuentre a la izquierda de su punto final en (2, 0). Tenga en cuenta que x = 0 está a la izquierda de x = 2. Evalúe f (x) = −x + 2 en x = 0 para obtener f (0) = −0 + 2 = 2. Esto nos da el segundo punto (0 , 2), que trazamos como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (a). Finalmente, dibuje el rayo con el punto final en (2, 0) y el segundo punto en (0, 2), como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (a).

 

   

 

Ahora repetimos este proceso para la segunda parte de la función definida en (8). La ecuación de la segunda pieza es f (x) = x – 2, siempre (x geq 2 ). Normalmente, f (x) = x – 2 sería una línea (con pendiente 1 e intersección −2), pero se supone que solo debemos dibujar esa parte de la línea que se encuentra a la derecha de x = 2. Por lo tanto , la gráfica de esta segunda pieza es un rayo, que comienza en el punto con x = 2 y continúa hacia la derecha. Si evaluamos f (x) = x – 2 en x = 2, entonces f (2) = 2 – 2 = 0. Por lo tanto, el punto final fijo del rayo está en el punto (2, 0). Como se supone que debemos usar esta pieza con x = 2, indicamos este hecho con un círculo lleno en (2, 0), como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (b).

 

Necesitamos un segundo punto a la derecha de este punto final fijo, por lo que evaluamos f (x) = x − 2 en x = 4 para obtener f (4) = 4 – 2 = 2. Por lo tanto, un segundo punto en el rayo es el punto (4, 2). Finalmente, simplemente dibujamos el rayo, comenzando en el punto final (2, 0) y pasando por el segundo punto en (4, 2), como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (b).

 

Para completar el gráfico de la función por partes f definida en la ecuación (8), simplemente combine las dos piezas en la Figura ( PageIndex {6} ) (a) y la Figura ( PageIndex {6} ) ( b) para obtener el gráfico terminado en la Figura ( PageIndex {7} ). Tenga en cuenta que el gráfico en la Figura ( PageIndex {7} ) es idéntico al resultado anterior en la Figura ( PageIndex {5} ) (c).

 

 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Una fuente proporciona voltaje a un circuito de acuerdo con la definición por partes

 

[V (t) = left { begin {array} {ll} {0,} & { text {if} t <0} \ {t,} & { text {if} t geq 0} end {array} right. ]

 

Dibuje la gráfica del voltaje V versus el tiempo t.

 

Solución

 

Para todo el tiempo t que es menor que cero, el voltaje V es cero. La gráfica de V (t) = 0 es una función constante, por lo que su gráfica es normalmente una línea horizontal. Sin embargo, debemos restringir

 

   

 

el gráfico al dominio ((- infty, 0) ), por lo que esta ecuación (10) será un rayo horizontal, comenzando en el origen y moviéndose indefinidamente a la izquierda, como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (a).
Por otro lado, V (t) = t para todos los valores de t que son mayores o iguales a cero. Normalmente, esta sería una línea con pendiente 1 e intersección cero. Sin embargo, debemos restringir el dominio a ([0, infty) ), por lo que esta ecuación (10) será un rayo, que comenzará en el origen y se moverá indefinidamente hacia la derecha.

 

     
• El punto final de este rayo comienza en t = 0. Debido a que V (t) = t, V (0) = 0. Por lo tanto, el punto final de este rayo está en el punto (0, 0).
     
• Elija cualquier valor de t que sea mayor que cero. Elegiremos t = 5. Porque V (t) = t, V (5) = 5. Esto nos da un segundo punto en el rayo en (5, 5), como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} )(si).
 

 

   

 

Finalmente, para proporcionar un gráfico completo de la función de voltaje definida por la ecuación (10), combinamos los gráficos de cada pieza de la definición que se muestra en las Figuras ( PageIndex {8} ) (a) y (b) .

 

El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ). Los ingenieros se refieren a este tipo de función de entrada como una “función de rampa”.

 

   

 

 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Las tasas de impuestos federales sobre la renta para un solo declarante en el año 2005 se dan en la Tabla ( PageIndex {1} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

Ingresos	Tasa de impuestos
Hasta $ 7,150	10%
$ 7,151- $ 29,050	15%
$ 29,051- $ 70,350	25%
$ 70,351- $ 146,750	28%
$ 146,751- $ 319,100	33%
$ 319,101 o más	35%

 

Tabla ( PageIndex {1} ). Tasas del impuesto federal sobre la renta de 2005 para un solo declarante.

 

Cree una definición por partes que proporcione la tasa impositiva en función del ingreso personal.

 

Solución

 

Al informar ingresos imponibles, los montos se redondean al dólar más cercano en el formulario de impuesto federal sobre la renta. Técnicamente, el dominio es discreto. Puede declarar un ingreso imponible de $ 35,000 o $ 35,001, pero los números entre estos dos ingresos no se utilizan en el formulario de impuesto federal sobre la renta. Sin embargo, pensaremos en el ingreso como un continuo, permitiendo que el ingreso sea cualquier número real mayor o igual a cero. Si no hiciéramos esto, nuestra gráfica sería una serie de puntos, uno por cada monto en dólares. ¡Tendríamos que trazar muchos puntos!

 

Dejaremos que R represente la tasa impositiva y yo represente los ingresos. El objetivo es definir R como una función de I.

 

     
• Si el ingreso I es cualquier cantidad mayor o igual a cero, y menor o igual a $ 7,150, la tasa impositiva R es 10% (es decir, R = 0.10). Por lo tanto, si ( $ 0 leq I leq $ 7,150 ), R (I) = 0,10.
     
• Si el ingreso I es cualquier cantidad que sea estrictamente mayor que $ 7,150 pero menor o igual a $ 29,050, entonces la tasa impositiva R es del 15% (es decir, R = 0.15). Por lo tanto, si $ 7, 150  

 

Continuando de esta manera, podemos construir una definición por partes de la tasa R en función de la renta imponible I.

 

[R (I) = left { begin {array} {ll} {0.10,} & { text {if} $ 0 leq I leq $ 7,150} \ {0.15, } & { text {if} $ 7,150 $ 319,100} end {array} right. ]

 

Dirijamos nuestra atención al gráfico de esta función definida por partes. Todas las piezas son funciones constantes, por lo que cada pieza será una línea horizontal en un nivel que indica la tasa de impuestos. Sin embargo, cada una de las primeras cinco piezas de la función definida en la ecuación (12) son segmentos, porque la tasa se define en un intervalo con un ingreso inicial y final. La sexta y última pieza es un rayo, ya que tiene un punto final inicial, pero la tasa se mantiene constante para todos los ingresos por encima de $ 319,100. Utilizamos este conocimiento para construir el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ).

 

La primera tasa es del 10% y se asigna a ingresos imponibles que comienzan en $ 0 y terminan en $ 7,150, inclusive. Por lo tanto, observe el primer segmento de línea horizontal en la Figura ( PageIndex {10} ) que va de $ 0 a $ 7,150 a una altura de R = 0.10. Tenga en cuenta que cada uno de los puntos finales son círculos rellenos.

 

La segunda tasa es del 15% y se asigna a ingresos imponibles mayores de $ 7,150, pero menores o iguales a $ 29,050. El segundo segmento de línea horizontal en la Figura 10 va de $ 7,150 a $ 29,050 a una altura de R = 0.15. Tenga en cuenta que el punto final en el extremo izquierdo de este segmento horizontal es un círculo abierto, mientras que el punto final en el extremo derecho es un círculo lleno porque los ingresos imponibles varían en $ 7, 150  

Los segmentos restantes se dibujan de manera similar.

 

La última pieza asigna una tasa de R = 0.35 a todas las rentas imponibles estrictamente superiores a $ 319,100. Por lo tanto, la última pieza es un rayo horizontal, que comienza en ($ 319 100, 0.35) y se extiende indefinidamente a la derecha. Tenga en cuenta que el punto final izquierdo de este rayo es un círculo abierto porque la tasa R = 0.35 se aplica a los ingresos imponibles I> $ 319, 100.

 

Hablemos un momento sobre el dominio y el rango de la función R definida por la ecuación (12). El gráfico de R se representa en la Figura ( PageIndex {10} ). Si proyectamos todos los puntos del gráfico en el eje horizontal, todo el eje “quedará en la sombra”. Así, al principio

 

   

 

vistazo, uno diría que el dominio de R es el conjunto de todos los números reales que son mayores o iguales a cero.

 

Sin embargo, recuerde que elegimos modelar una situación discreta con un continuo. Los ingresos imponibles siempre se redondean al dólar más cercano en los formularios de impuestos federales. Por lo tanto, el dominio es en realidad todos los números enteros mayores o iguales a cero. En símbolos,

 

[ text {Domain} = {I in mathbb {W}: I geq 0 } ]

 

Para encontrar el rango de R, proyectaríamos todos los puntos en el gráfico de R en la Figura ( PageIndex {10} ) en el eje vertical. El resultado sería que seis puntos estarían sombreados en el eje vertical, uno en 0.10, 0.15, 0.25, 0.28, 0.33 y 0.35. Por lo tanto, el rango es un conjunto discreto finito, por lo que se describe mejor simplemente enumerando sus miembros.

 

[ text {Range} = {0.10,0.15,0.25,0.28,0.33,0.35 } ]