En esta sección presentamos una técnica gráfica para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas. Como vimos en el capítulo anterior, si un punto satisface una ecuación, entonces ese punto se encuentra en la gráfica de la ecuación. Si estamos buscando un punto que satisfaga dos ecuaciones, entonces estamos buscando un punto que se encuentre en las gráficas de ambas ecuaciones; es decir, estamos buscando un punto de intersección.
Por ejemplo, considere las dos ecuaciones:
[ begin {alineado} x-3 y & = – 9 \ 2 x + 3 y & = 18 end {alineado} nonumber ]
que se llama un sistema de ecuaciones lineales . Las ecuaciones son ecuaciones lineales porque sus gráficos son líneas, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ). Tenga en cuenta que las dos líneas en la Figura ( PageIndex {1} ) se cruzan en el punto ((3,4) ). Por lo tanto, el punto ((3,4) ) debe satisfacer ambas ecuaciones. Vamos a revisar.
Sustituye (3 ) por (x ) y (4 ) por (y ).
[ begin {alineado} x-3 y & = – 9 \ 3-3 (4) & = – 9 \ 3-12 & = – 9 \ – 9 & = – 9 end { alineado} nonumber ]
Sustituye (3 ) por (x ) y (4 ) por (y ).
[ begin {alineado} 2 x + 3 y & = 18 \ 2 (3) +3 (4) & = 18 \ 6 + 12 & = 18 \ 18 & = 18 end {alineado } nonumber ]
Por lo tanto, el punto ((3,4) ) satisface ambas ecuaciones y se llama una solución del sistema.
Solución de un sistema lineal
Un punto ((x, y) ) se llama solución de un sistema de dos ecuaciones lineales si y solo si satisface ambas ecuaciones. Además, debido a que un punto satisface una ecuación si y solo si se encuentra en la gráfica de la ecuación, para resolver un sistema de ecuaciones lineales gráficamente, necesitamos determinar el punto de intersección de las dos líneas que tienen las ecuaciones dadas.
Probemos un ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: [3x + 2y = 12 \ y = x + 1 label {system1} ]
Solución
Estamos buscando el punto ((x, y) ) que satisface ambas ecuaciones; es decir, estamos buscando el punto que se encuentra en el gráfico de ambas ecuaciones. Por lo tanto, el enfoque lógico es trazar los gráficos de ambas líneas, luego identificar el punto de intersección.
Primero, determinemos las (x ) – y (y ) – intersecciones de (3x + 2y = 12 ).
Para encontrar la intersección con (x ), deje que (y = 0 ).
[ begin {alineado} 3 x + 2 y & = 12 \ 3 x + 2 (0) & = 12 \ 3 x & = 12 \ x & = 4 end {alineado} nonumber ]
Para encontrar la intersección con (y ), deje que (x = 0 ).
[ begin {alineado} 3 x + 2 y & = 12 \ 3 (0) +2 y & = 12 \ 2 y & = 12 \ y & = 6 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la intersección (x ) es ((4,0) ) y la intersección (y ) es ((0,6) ). Estas intersecciones se trazan en la Figura ( PageIndex {2} ) y la línea (3x + 2y = 12 ) se dibuja a través de ellas.
Al comparar la segunda ecuación (y = x + 1 ) con la forma pendiente-intersección (y = mx + b ), vemos que la pendiente es (m = 1 ) y que la intersección es ((0,1) ). Trace la intersección ((0,1) ), luego suba la unidad (1 ) y la unidad derecha (1 ), luego dibuje la línea (vea la Figura ( PageIndex {3} )).
Estamos tratando de encontrar el punto que se encuentra en ambas líneas, por lo que trazamos ambas líneas en el mismo sistema de coordenadas, etiquetando cada una con su ecuación (ver Figura ( PageIndex {4} )). Parece que las líneas se cruzan en el punto ((2,3) ), haciendo ((x, y) = (2, 3) ) la solución del Sistema en el Ejemplo ( PageIndex {1} ) (ver Figura ( PageIndex {4} )).
Verifique: Para mostrar que ((x, y) = (2, 3) ) es una solución de System ref {system1}, debemos demostrar que obtenemos declaraciones verdaderas cuando sustituya (2 ) por (x ) y (3 ) por (y ) en ambas ecuaciones de System ref {system1}.
Sustituyendo (2 ) por (x ) y (3 ) por (y ) en (3x + 2y = 12 ), obtenemos:
[ begin {alineado} 3 x + 2 y & = 12 \ 3 (2) +2 (3) & = 12 \ 6 + 6 & = 12 \ 12 & = 12 end {alineado } nonumber ]
Por lo tanto, ((2,3) ) satisface la ecuación (3x + 2y = 12 ).
Sustituyendo (2 ) por (x ) y (3 ) por (y ) en (y = x + 1 ), obtenemos:
[ begin {array} {l} {y = x + 1} \ {3 = 2 + 1} \ {3 = 3} end {array} nonumber ]
Por lo tanto, ((2,3) ) satisface la ecuación (y = x + 1 ).
Debido a que ((2,3) ) satisface ambas ecuaciones, esto hace que ((2,3) ) sea una solución del Sistema ref {system1} .
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {alineado} 2 x-5 y & = – 10 \ y & = x-1 end {alineado} nonumber ]
- Respuesta
-
((5,4) )
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: [3x-5y = -15 \ 2x + y = -4 label {system2} ]
Solución
Una vez más, estamos buscando el punto que satisfaga ambas ecuaciones del Sistema ref {system2}. Por lo tanto, necesitamos encontrar el punto que se encuentra en las gráficas de ambas líneas representadas por las ecuaciones de System ref {system2}. El enfoque será graficar ambas líneas, luego aproximar las coordenadas del punto de intersección. Primero, determinemos las intersecciones (x ) – y (y ) – de (3x − 5y = −15 ).
Para encontrar la intersección con (x ), deje que (y = 0 ).
[ begin {alineado} 3 x-5 y & = – 15 \ 3 x-5 (0) & = – 15 \ 3 x & = – 15 \ x & = – 5 end { alineado} nonumber ]
Para encontrar la intersección con (y ), deje que (x = 0 ).
[ begin {alineado} 3 x-5 y & = – 15 \ 3 (0) -5 y & = – 15 \ – 5 y & = – 15 \ y & = 3 end { alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la intersección (x ) es ((- 5,0) ) y la intersección (y ) es ((0,3) ). Estas intersecciones se trazan en la Figura ( PageIndex {5} ) y la línea (3x − 5y = −15 ) se dibuja a través de ellas.
A continuación, determinemos las intersecciones de la segunda ecuación (2x + y = −4 ).
Para encontrar la intersección con (x ), deje que (y = 0 ).
[ begin {alineado} 2 x + y & = – 4 \ 2 x + 0 & = – 4 \ 2 x & = – 4 \ x & = – 2 end {alineado} nonumber ]
Para encontrar la intersección con (y ), deje que (x = 0 ).
[ begin {alineado} 2 x + y & = – 4 \ 2 (0) + y & = – 4 \ y & = – 4 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la intersección (x ) – es ((- 2,0) ) y la intersección (y ) – es ((0, −4) ). Estas intersecciones se trazan en la Figura ( PageIndex {6} ) y la línea (2x + y = −4 ) se dibuja a través de ellas.
Para encontrar la solución de System ref {system2}, necesitamos trazar ambas líneas en el mismo sistema de coordenadas y determinar las coordenadas del punto de intersección. A diferencia del Ejemplo ( PageIndex {1} ), en este caso tendremos que contentarnos con una aproximación de estas coordenadas. Parece que las coordenadas del punto de intersección son aproximadamente ((- 2.6,1.4) ) (ver Figura ( PageIndex {7} )).
Verificación: Debido a que solo tenemos una aproximación de la solución del sistema, no podemos esperar que la solución se verifique exactamente en cada ecuación. Sin embargo, esperamos que la solución verifique aproximadamente.
Sustituye ((x, y) = (- 2.6,1.4) ) en la primera ecuación de System ref {system2}.
[ begin {alineado} 3 x-5 y & = – 15 \ 3 (-2.6) -5 (1.4) & = – 15 \ – 7.8-7 & = – 15 \ – 14.8 & = -15 end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que ((x, y) = (- 2.6,1.4) ) no se verifica exactamente, pero está bastante cerca de ser una declaración verdadera.
Sustituye ((x, y) = (- 2.6,1.4) ) en la segunda ecuación de Sistema ref {system2}.
[ begin {alineado} 2 x + y = -4 \ 2 (-2.6) + 1.4 = -4 \ – 5.2 + 1.4 = -4 \ – 3.8 = -4 end {alineado} nonumber ]
Nuevamente, tenga en cuenta que ((x, y) = (−2.6,1.4) ) no se verifica exactamente, pero está bastante cerca de ser una declaración verdadera.
Nota
Más adelante en esta sección aprenderemos cómo usar la utilidad de intersección en la calculadora gráfica para obtener una aproximación mucho más precisa de la solución real. Luego, en Sección 4.2 y Sección 4.3 , mostraremos cómo encontrar la solución exacta.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {alineado} -4 x-3 y & = 12 \ x-2 y & = – 2 end {alineado} nonumber ]
- Respuesta
-
((- 2.7, −0.4) )
Casos excepcionales
La mayoría de las veces, dados los gráficos de dos líneas, se intersectarán exactamente en un punto. Pero hay dos excepciones a este escenario general.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: [2x + 3y = 6 \ 2x + 3y = -6 label {system3} ]
Solución
Coloquemos cada ecuación en forma de pendiente-intersección resolviendo cada ecuación para (y ).
Resuelve (2x + 3y = 6 ) para (y ):
[ begin {alineado} 2 x + 3 y & = 6 \ 2 x + 3 y-2 x & = 6-2 x \ 3 y & = 6-2 x \ dfrac {3 y} {3} & = dfrac {6-2 x} {3} \ y & = – dfrac {2} {3} x + 2 end {alineado} nonumber ]
Resuelve (2x + 3y = −6 ) para (y ):
[ begin {alineado} 2 x + 3 y & = – 6 \ 2 x + 3 y-2 x & = – 6-2 x \ 3 y & = – 6-2 x \ dfrac {3 y} {3} & = dfrac {-6-2 x} {3} \ y & = – dfrac {2} {3} x-2 end {alineado} nonumber ] [19459002 ]
Al comparar (y = (- 2/3) x + 2 ) con la forma pendiente-intersección (y = mx + b ) nos dice que la pendiente es (m = −2/3 ) e interceptan es ((0,2) ). Trace la intersección ((0,2) ), luego baje las unidades (2 ) y derecha (3 ) y dibuje la línea (vea la Figura ( PageIndex {8} )).
Al comparar (y = (−2/3) x – 2 ) con la forma pendiente-intersección (y = mx + b ) nos dice que la pendiente es (m = −2/3 ) e interceptan es ((0, −2) ). Trace la intersección ((0, −2) ), luego baje las unidades (2 ) y las unidades derechas (3 ) y dibuje la línea (vea la Figura ( PageIndex {9} )).
Para encontrar la solución de System ref {system3}, dibuje ambas líneas en el mismo sistema de coordenadas (consulte la Figura ( PageIndex {10} )). Observe cómo las líneas parecen ser paralelas (no se cruzan). El hecho de que ambas líneas tengan la misma pendiente (- 2/3 ) confirma nuestra sospecha de que las líneas son paralelas. Sin embargo, tenga en cuenta que las líneas tienen diferentes intercepciones (y ). Por lo tanto, estamos viendo dos líneas paralelas pero distintas (ver Figura ( PageIndex {10} )) que no se cruzan. Por lo tanto, el Sistema ref { system3 } no tiene solución.
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {alineado} x-y & = 3 \ – 2 x + 2 y & = 4 end {alineado} nonumber ]
- Respuesta
-
Sin solución.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: [x-y = 3 \ – 2 x + 2 y = -6 label {system4} ]
Solución
Vamos a resolver ambas ecuaciones para (y ).
Resuelve (x − y = 3 ) para (y ):
[ begin {alineado} xy & = 3 \ xyx & = 3-x \ – y & = – x + 3 \ – 1 (-y) & = – 1 (-x + 3) \ y & = x-3 end {alineado} nonumber ]
Resuelve (- 2x + 2y = −6 ) para (y ):
[ begin {alineado} -2 x + 2 y & = – 6 \ – 2 x + 2 y + 2 x & = – 6 + 2 x \ 2 y & = 2 x-6 \ dfrac {2 y} {2} & = dfrac {2 x-6} {2} \ y & = x-3 end {alineado} nonumber ]
Ambas líneas tienen pendiente (m = 1 ), y ambas tienen la misma (y ) – intercepción ((0, −3) ). Por lo tanto, las dos líneas son idénticas (ver Figura ( PageIndex {11} )). Por lo tanto, System ref {system4} tiene un número infinito de puntos de intersección. Cualquier punto en cualquier línea es una solución del sistema. Ejemplos de puntos de intersección (soluciones que satisfacen ambas ecuaciones) son ((0, −3) ), ((1, −2) ) y ((3,0) ).
Solución alternativa:
Un enfoque mucho más fácil es notar que si dividimos ambos lados de la segunda ecuación (- 2x + 2y = −6 ) por (- 2 ), obtenemos:
[ begin {alineado} -2x + 2y & = -6 quad { color {Red} text {Segunda ecuación en el sistema}} ref {system4}. \ dfrac {-2 x + 2 y} {- 2} & = dfrac {-6} {- 2} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} -2 \ dfrac { -2 x} {- 2} + dfrac {2 y} {- 2} & = dfrac {-6} {- 2} quad color {Rojo} text {Distribuir} -2 \ xy & = 3 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la segunda ecuación en System ref {system4} es idéntica a la primera. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones. Cualquier punto en cualquier línea es una solución.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {alineado} -6 x + 3 y & = – 12 \ 2 x-y & = 4 end {alineado} nonumber ]
- Respuesta
-
Hay un infinito número de soluciones. Las líneas son idénticas, por lo que cualquier punto en cualquier línea es una solución.
Los ejemplos ( PageIndex {1} ), ( PageIndex {2} ), ( PageIndex {3} ) y ( PageIndex {4} ) nos llevan a la siguiente conclusión .
Número de soluciones de un sistema lineal
Cuando se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas, solo hay tres posibilidades:
- Hay exactamente una solución.
- No hay soluciones.
- Hay un número infinito de soluciones.
Solución de sistemas con la calculadora gráfica
Ya hemos tenido experiencia en graficar ecuaciones con la calculadora gráfica. También hemos usado el botón TRACE para estimar puntos de intersección. Sin embargo, la calculadora gráfica tiene una herramienta mucho más sofisticada para encontrar puntos de intersección. En el siguiente ejemplo, utilizaremos la calculadora gráfica para encontrar la solución del Sistema ref {system1} del Ejemplo ( PageIndex {1} ).
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Usa la calculadora gráfica para resolver el siguiente sistema de ecuaciones: [3x + 2y = 12 \ y = x + 1 label {system5} ]
Solución
Para ingresar una ecuación en el menú Y = , la ecuación primero debe resolverse para (y ). Por lo tanto, primero debemos resolver (3x + 2y = 12 ) para (y ).
[ begin {alineado} 3x + 2y & = 12 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ 2y & = 12-3x quad color {Red} text {Restar} 3x text {de ambos lados de la ecuación. } \ dfrac {2y} {2} & = dfrac {12-3 x} {2} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} 2 \ y & = dfrac {12} {2} – dfrac {3 x} {2} quad color {Red} text {A la izquierda, simplifica. A la derecha,} \ y & = 6- dfrac {3} {2} x quad color {Red} text {Simplify. } end {alineado} ]
Ahora podemos sustituir ambas ecuaciones del Sistema ref {system5} en el menú Y = (ver Figura ( PageIndex {12} )).
Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM para producir los gráficos que se muestran en la Figura ( PageIndex {13} ).
La pregunta ahora se convierte en “¿Cómo calculamos las coordenadas del punto de intersección?” Observe la caja de su calculadora justo encima del botón TRACE en la fila superior de botones, donde verá la palabra CAlC, pintada en el mismo color que la tecla 2ND . Presione la tecla 2ND , luego el botón TRACE, que abrirá el menú CALCULATE que se muestra en la Figura ( PageIndex {14} ).
Nota
Hacer que la calculadora pregunte “Primera curva”, “Segunda curva”, cuando solo hay dos curvas en la pantalla puede parecer molesto. Sin embargo, imagine la situación cuando hay tres o más curvas en la pantalla. Entonces estas preguntas tienen sentido. Puede cambiar su selección de “Primera curva” o “Segunda curva” utilizando las teclas de flecha arriba y abajo para mover el cursor a una curva diferente .
Seleccione 5: intersección . El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ). La calculadora ha colocado el cursor en la curva (y = 6− (3/2) x ) (vea la esquina superior izquierda de su pantalla de visualización), y en la esquina inferior izquierda la calculadora le pregunta si desea usar la curva seleccionada como la “Primera curva”. Responda “sí” presionando el botón ENTER .
La calculadora responde como se muestra en la Figura ( PageIndex {16} ). El cursor salta a la curva (y = x + 1 ) (vea la esquina superior izquierda de su ventana de visualización), y en la esquina inferior izquierda la calculadora le pregunta si desea usar la curva seleccionada como la “Segunda curva . ” Responda “sí” presionando la tecla ENTER nuevamente.
La calculadora responde como se muestra en la Figura ( PageIndex {17} ), pidiéndole que “adivine”. En este caso, deje el cursor donde está y presione la tecla ENTER nuevamente para indicar a la calculadora que está adivinando la posición actual del cursor.
El resultado de presionar ENTER a la pregunta “Adivinar” en la Figura ( PageIndex {17} ) se muestra en la Figura ( PageIndex {18} ), donde la calculadora ahora proporciona una aproximación de las coordenadas del punto de intersección en el borde inferior de la ventana de visualización. Tenga en cuenta que la calculadora ha colocado el cursor en el punto de intersección en la Figura ( PageIndex {17} ) e informa que las coordenadas aproximadas del punto de intersección son ((2,3) ).
Nota
En secciones posteriores, cuando investigamos la intersección de dos gráficos que tienen más de un punto de intersección, adivinar será más importante. En esos casos futuros, necesitaremos usar las teclas de flecha izquierda y derecha para mover el cursor cerca del punto de intersección que deseamos que encuentre la calculadora .
Informar su solución en su tarea. Al informar su solución en su trabajo de tarea, siga las Pautas de envío de la calculadora de Capítulo 3, Sección 2 . Haga una copia precisa de la imagen que se muestra en su ventana de visualización. Rotula tus ejes (x ) y (y ). Al final de cada eje, ponga el valor apropiado de ( mathrm {Xmin}, mathrm {Xmax}, mathrm {Ymin} ), y ( mathrm {Ymax} ) reportado en su calculadora [19459016 ] VENTANA menú. Usa una regla para dibujar las líneas y rotula cada una con sus ecuaciones. Finalmente, etiquete el punto de intersección con sus coordenadas (consulte la Figura ( PageIndex {19} )). A menos que se indique lo contrario, siempre informe cada dígito que se muestra en su calculadora.
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {alineado} 2 x-5 y & = 9 \ y & = 2 x-5 end {alineado} nonumber ]
- Respuesta
-
((2, -1) )
Algunas veces necesitará ajustar los parámetros en el menú VENTANA para que el punto de intersección sea visible en la ventana de visualización.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Use la calculadora gráfica para encontrar una solución aproximada del siguiente sistema: [y = – dfrac {2} {7} x + 7 \ y = dfrac {3} {5} x-5 label {system6} ]
Solución
Cada ecuación de System ref {system6} ya está resuelta para (y ), por lo que podemos proceder directamente e ingresarlos en el menú Y = , como se muestra en la Figura ( PageIndex {20} ). Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM para producir la imagen que se muestra en la Figura ( PageIndex {21} ).
Obviamente, el punto de intersección está en la pantalla a la derecha, por lo que tendremos que aumentar el valor de ( mathrm {Xmax} ) (set ( mathrm {Xmax} = 20 )) como se muestra en la Figura ( PageIndex {22} ). Una vez que haya realizado ese cambio en ( mathrm {Xmax} ), presione el botón GRAPH para producir la imagen que se muestra en la Figura ( PageIndex {23} ).
Ahora que el punto de intersección es visible en la ventana de visualización, presione 2º CALC y seleccione 5: intersecte en el menú CALCULAR (consulte la Figura ( PageIndex {24} )). Haga tres pulsaciones consecutivas del botón ENTER para responder a “Primera curva”, “Segunda curva” y “Adivina”. La calculadora responde con la imagen en la Figura ( PageIndex {25} ). Por lo tanto, la solución del Sistema ref {system6} es aproximadamente ((x, y) ≈ (13.54837,3.1290323) ).
( color {Red} ¡Advertencia! )
Su calculadora es una máquina aproximada. Es muy probable que sus soluciones difieran ligeramente de la solución presentada en la Figura ( PageIndex {25} ) en los últimos (2-3 ) lugares.
Informar su solución en su tarea:
Al informar su solución en su trabajo de tarea, siga las Pautas de envío de calculadoras de Capítulo 3, Sección 2 . Haga una copia precisa de la imagen que se muestra en su ventana de visualización. Rotula tus ejes (x ) y (y ). Al final de cada eje, ponga el valor apropiado de ( mathrm {Xmin}, mathrm {Xmax}, mathrm {Ymin} ), y ( mathrm {Ymax} ) reportado en su calculadora [19459016 ] VENTANA menú. Usa una regla para dibujar las líneas y rotula cada una con sus ecuaciones. Finalmente, etiquete el punto de intersección con sus coordenadas (consulte la Figura ( PageIndex {26} )). A menos que se indique lo contrario, siempre informe cada dígito que se muestra en su calculadora.
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {alineado} y & = dfrac {3} {2} x + 6 \ y & = – dfrac {6} {7} x-4 end {alineado} nonumber ]
- Respuesta
-
((- 4.2, -0.4) )