Puntos de trazado en un sistema de coordenadas rectangulares
Al igual que los mapas utilizan un sistema de cuadrícula para identificar ubicaciones, se utiliza un sistema de cuadrícula en álgebra para mostrar una relación entre dos variables en un sistema de coordenadas rectangulares . El sistema de coordenadas rectangular también se llama xy -plane o el “plano de coordenadas”.
La recta numérica horizontal se llama eje x . La recta numérica vertical se llama eje . El eje x y el eje y juntos forman el sistema de coordenadas rectangulares. Estos ejes dividen un plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes . Los cuadrantes se identifican con números romanos, que comienzan en la esquina superior derecha y continúan en sentido antihorario. Ver Figura ( PageIndex {1} ).
Figura ( PageIndex {1} ): “Cuadrante” tiene la raíz “quad”, que significa “cuatro”
En el sistema de coordenadas rectangulares , cada punto está representado por un par ordenado . El primer número en el par ordenado es el x -coordinado del punto, y el segundo número es el y -coordinado de el punto.
PARES PEDIDAS
Un par ordenado , (x, y) (x, y), proporciona las coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas rectangular.
Figura ( PageIndex {2} )
El primer número es el x -coordinado.
El segundo número es el y -coordinado.
La frase “par ordenado” significa que el orden es importante. ¿Cuál es el par ordenado del punto donde se cruzan los ejes? En ese punto, ambas coordenadas son cero, por lo que su par ordenado es ((0,0) ). El punto ((0,0) ) tiene un nombre especial. Se llama el origen .
EL ORIGEN
El punto ((0,0) ) se denomina origen . Es el punto donde se cruzan los ejes x y y .
Utilizamos las coordenadas para ubicar un punto en el plano xy . Tracemos el punto ((1,3) ) como ejemplo. Primero, ubique 1 en el eje x y dibuje ligeramente una línea vertical a través de x = 1x = 1. Luego, ubique 3 en el eje y y dibuje una línea horizontal a través de y = 3y = 3. Ahora, encuentre el punto donde estas dos líneas se encuentran, ese es el punto con coordenadas ((1,3) ).
Figura ( PageIndex {3} )
Observe que la línea vertical a través de (x = 1 ) y la línea horizontal a través de (y = 3 ) no son parte del gráfico. Solo los usamos para ayudarnos a localizar el punto ((1,3) ).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Trace cada punto en el sistema de coordenadas rectangular e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto:
(−5,4)
(−3, −4)
(2, −3)
(−2,3)
((3, frac {5} {2}) )
Respuesta
El primer número del par de coordenadas es el x -coordinado, y el segundo número es el y -coordinado.
Dado que x = −5, el punto está a la izquierda del eje y . Además, como y = 4, el punto está por encima del eje x . El punto (−5,4) está en el Cuadrante II.
Dado que x = −3, el punto está a la izquierda del eje y . Además, como y = −4, el punto está por debajo del eje x . El punto (−3, −4) está en el cuadrante III.
Dado que x = 2, el punto está a la derecha del eje y . Como y = −3, el punto está debajo del eje x . El punto (2, −3) está en el cuadrante IV.
Dado que x = −2, el punto está a la izquierda del eje y . Como y = 3, el punto está por encima del eje x . El punto (−2,3) está en el Cuadrante II.
Dado que x = 3, el punto está a la derecha del eje y . Como (y = frac {5} {2} ), el punto está por encima del eje x . (Puede ser útil escribir ( frac {5} {2} ) como un número mixto o decimal.) El punto ((3, frac {5} {2}) ) está en el Cuadrante I.
Figura ( PageIndex {4} )
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Trace cada punto en un sistema de coordenadas rectangular e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto:
(−2,1)
(−3, −1)
(4, −4)
(−4,4)
((- 4, frac {3} {2}) )
Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Trace cada punto en un sistema de coordenadas rectangular e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto:
(−4,1)
(−2,3)
(2, −5)
(−2,5)
((- 3, frac {5} {2}) )
Respuesta
¿Cómo afectan los signos a la ubicación de los puntos? Es posible que haya notado algunos patrones al graficar los puntos en el ejemplo anterior.
Para el punto en la Figura ( PageIndex {4} ) en el Cuadrante IV, ¿qué notas acerca de los signos de las coordenadas? ¿Qué pasa con los signos de las coordenadas de los puntos en el tercer cuadrante? El segundo cuadrante? El primer cuadrante?
¿Puedes decir con solo mirar las coordenadas en qué cuadrante se encuentra el punto (−2,5)? ¿En qué cuadrante se encuentra (2, −5)?
CUADRANTES
Podemos resumir los patrones de signos de los cuadrantes de esta manera.
[ begin {array} {ccc} { text {Quadrant I}} & { text {Quadrant II}} & { text {Quadrant III}} & { text {Quadrant IV}} \ {(x, y)} & {(x, y)} & {(x, y)} & {(x, y)} \ {(+, +)} & {(-, +)} & { (-, -)} & {(+, -)} end {array} ]
Figura ( PageIndex {5} )
¿Qué sucede si una coordenada es cero como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} )? ¿Dónde está ubicado el punto (0,4)? ¿Dónde está ubicado el punto (−2,0)?
Figura ( PageIndex {6} )
El punto (0,4) está en el eje y y el punto (−2,0) está en el eje x .
PUNTOS SOBRE LOS EJES
Los puntos con un y -coordinado igual a 0 están en el eje x , y tienen coordenadas (a, 0).
Los puntos con un x -coordinado igual a 0 están en el eje y , y tienen coordenadas (0, b).
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Trace cada punto:
(0,5)
(4,0)
(−3,0)
(0,0)
(0, −1)
Respuesta
Dado que x = 0, el punto cuyas coordenadas son (0,5) está en el eje y .
Dado que y = 0, el punto cuyas coordenadas son (4,0) está en el eje x .
Dado que y = 0, el punto cuyas coordenadas son (−3,0) está en el eje x .
Dado que x = 0 e y = 0, el punto cuyas coordenadas son (0,0) es el origen.
Dado que x = 0, el punto cuyas coordenadas son (0, −1) está en el eje y .
Figura ( PageIndex {7} )
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Trace cada punto:
(4,0)
(−2,0)
(0,0)
(0,2)
(0, −3).
Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Trace cada punto:
(−5,0)
(3,0)
(0,0)
(0, −1)
(0,4).
Respuesta
En álgebra, poder identificar las coordenadas de un punto que se muestra en un gráfico es tan importante como poder trazar puntos. Para identificar la coordenada x de un punto en un gráfico, lea el número en el eje x directamente arriba o debajo del punto. Para identificar la coordenada y de un punto, lea el número en el eje y directamente a la izquierda o derecha del punto. Recuerde, cuando escriba el par ordenado use el orden correcto, (x, y).
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Nombra el par ordenado de cada punto que se muestra en el sistema de coordenadas rectangulares.
Figura ( PageIndex {8} )
Respuesta
El punto A está por encima de −3 en el eje x , por lo que la x -coordinada del punto es −3.
El punto está a la izquierda de 3 en el eje y , por lo que el y -coordinado del punto es 3.
Las coordenadas del punto son (−3,3).
El punto B está por debajo de -1 en el eje x , por lo que la x -coordinada del punto es −1.
El punto está a la izquierda de −3 en el eje y , por lo que el y -coordinado del punto es −3.
Las coordenadas del punto son (−1, −3).
El punto C está por encima de 2 en el eje x , por lo que el x -coordinado del punto es 2.
El punto está a la derecha de 4 en el eje y , por lo que el y -coordinado del punto es 4.
Las coordenadas del punto son (2,4).
El punto D está por debajo de 4 en el eje x , por lo que el x -coordinado del punto es 4.
El punto está a la derecha de −4 en el eje y , por lo que la y -coordinada del punto es −4.
Las coordenadas del punto son (4, −4).
El punto E está en el eje y en y = −2. Las coordenadas del punto E son (0, −2).
El punto F está en el eje x en x = 3. Las coordenadas del punto F son (3,0).
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Nombra el par ordenado de cada punto que se muestra en el sistema de coordenadas rectangulares.
Verificar soluciones a una ecuación en dos variables
Hasta ahora, todas las ecuaciones que ha resuelto eran ecuaciones con solo una variable. En casi todos los casos, cuando resolvió la ecuación, obtuvo exactamente una solución. El proceso de resolver una ecuación terminó con una declaración como x = 4. (Luego, verificó la solución sustituyendo nuevamente en la ecuación.)
Aquí hay un ejemplo de una ecuación en una variable y su única solución.
[ begin {alineado} 3 x + 5 & = 17 \ 3 x & = 12 \ x & = 4 end {alineado} ]
Pero las ecuaciones pueden tener más de una variable. Las ecuaciones con dos variables pueden tener la forma Ax + By = C. Las ecuaciones de esta forma se denominan ecuaciones lineales en dos variables .
ECUACIÓN LINEAL
Una ecuación de la forma Ax + By = C, donde A y B no son ambos cero, se denomina ecuación lineal en dos variables .
Observe la palabra línea en lineal . Aquí hay un ejemplo de una ecuación lineal en dos variables, x e y.
Figura ( PageIndex {11} )
La ecuación y = −3x + 5 también es una ecuación lineal . Pero no parece tener la forma Ax + By = C. Podemos usar la propiedad de igualdad de la igualdad y reescribirla en forma Ax + By = C.
( begin {array} {llll} {} & {y} & {=} & {- 3x + 5} \ { text {Agregar a ambos lados.}} & {Y + 3x} & {=} & {- 3x + 5 + 3x} \ { text {Simplify.}} & {Y + 3x} & {=} & {5} \ { text {Use la propiedad conmutativa para ponerlo en }} & {3x + y} & {=} & {5} \ {Ax + By = C text {form.}} & {} & {} & {} End {array} )
Al reescribir y = −3x + 5 como 3x + y = 5, podemos ver fácilmente que es una ecuación lineal en dos variables porque tiene la forma Ax + By = C. Cuando una ecuación tiene la forma Ax + By = C, decimos que está en la forma estándar .
FORMA ESTÁNDAR DE ECUACIÓN LINEAL
Una ecuación lineal está en forma estándar cuando se escribe Ax + By = C.
La mayoría de las personas prefieren que A, B y C sean enteros y (A geq 0 ) al escribir una ecuación lineal en forma estándar, aunque no es estrictamente necesario.
Las ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones. Para cada número que se sustituye por x hay un valor y correspondiente. Este par de valores es una solución a la ecuación lineal y está representado por el par ordenado (x, y). Cuando sustituimos estos valores de x e y en la ecuación, el resultado es una declaración verdadera, porque el valor en el lado izquierdo es igual al valor en el lado derecho.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL EN DOS VARIABLES
Un par ordenado (x, y) es una solución de la ecuación lineal Ax + By = C, si la ecuación es una declaración verdadera cuando los valores x y y del par ordenado se sustituyen en la ecuación.
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Determine qué pares ordenados son soluciones para la ecuación x + 4y = 8.
(a) (0,2)
(b) (2, −4)
(c) (−4,3)
Respuesta
Sustituya los valores x y y de cada par ordenado en la ecuación y determine si el resultado es una declaración verdadera.
Ejercicio ( PageIndex {11} )
¿Cuál de los siguientes pares ordenados son soluciones para 2x + 3y = 6?
(3,0)
(2,0)
(6, −2)
Respuesta
1, 3
Ejercicio ( PageIndex {12} )
¿Cuál de los siguientes pares ordenados son soluciones para la ecuación 4x − y = 8?
(0,8)
(2,0)
(1, −4)
Respuesta
2, 3
Ejercicio ( PageIndex {13} )
¿Cuál de los siguientes pares ordenados son soluciones para la ecuación y = 5x − 1?
(a) (0, −1)
(b) (1,4)
(c) (−2, −7)
Respuesta
Sustituya los x – y y -valor de cada par ordenado en la ecuación y determine si da como resultado una declaración verdadera.
Ejercicio ( PageIndex {14} )
¿Cuál de los siguientes pares ordenados son soluciones para la ecuación y = 4x − 3?
(0,3)
(1,1)
(−1, −1)
Respuesta
2
Ejercicio ( PageIndex {15} )
¿Cuál de los siguientes pares ordenados son soluciones para la ecuación y = −2x + 6?
(0,6)
(1,4)
(−2, −2)
Respuesta
1, 2
Completar una tabla de soluciones a una ecuación lineal en dos variables
En los ejemplos anteriores, sustituimos los valores x y y de un par ordenado dado para determinar si era o no una solución para una ecuación lineal. Pero, ¿cómo encuentras los pares ordenados si no se dan? Es más fácil de lo que piensas: puedes elegir un valor para xx y luego resolver la ecuación para yy. O, elija un valor para yy y luego resuelva para xx.
Comenzaremos analizando las soluciones a la ecuación y = 5x − 1 que encontramos en el Ejercicio ( PageIndex {13} ). Podemos resumir esta información en una tabla de soluciones, como se muestra en la Tabla ( PageIndex {1} ).
y = 5x − 1
x
y
(x, y)
0
−1
(0, −1)
1
4
(1,4)
Tabla ( PageIndex {1} )
Para encontrar una tercera solución, dejaremos x = 2 y resolveremos y.
Figura ( PageIndex {12} )
El par ordenado (2,9) es una solución para y = 5x − 1. Lo agregaremos a la Tabla ( PageIndex {2} ).
y = 5x − 1
x
y
(x, y)
0
−1
(0, −1)
1
4
(1,4)
2
9
(2,9)
Tabla ( PageIndex {2} )
Podemos encontrar más soluciones a la ecuación sustituyendo cualquier valor de x o cualquier valor de y y resolviendo la ecuación resultante para obtener otro par ordenado que sea una solución. Hay infinitas soluciones de esta ecuación.
Ejercicio ( PageIndex {16} )
Complete Tabla para encontrar tres soluciones a la ecuación y = 4x − 2.
y = 4x − 2
x
y
(x, y)
0
−1
2
Tabla ( PageIndex {3} )
Respuesta
Sustituye x = 0, x = −1 y x = 2 en y = 4x − 2.
Los resultados se resumen en la Tabla ( PageIndex {4} ).
y = 4x − 2
x
y
(x, y)
0
−2
(0, −2)
−1
−6
(−1, −6)
2
6
(2,6)
Tabla ( PageIndex {4} )
Ejercicio ( PageIndex {17} )
Completa la tabla para encontrar tres soluciones a esta ecuación: y = 3x − 1.
y = 3x − 1
x
y
(x, y)
0
−1
2
Tabla ( PageIndex {5} )
Respuesta
y = 3x − 1
x
y
(x, y)
0
-1
(0, -1)
−1
-4
(-1, -4)
2
5
(2, 5)
Tabla ( PageIndex {6} )
Ejercicio ( PageIndex {18} )
Completa la tabla para encontrar tres soluciones a esta ecuación: y = 6x + 1.
y = 6x + 1
x
y
(x, y)
-2
Tabla ( PageIndex {7} )
Respuesta
y = 6x + 1
x
y
(x, y)
0
1
(0,1)
1
7
(1,7)
−2
−11
(−2, −11)
Tabla ( PageIndex {8} )
Ejercicio ( PageIndex {19} )
Complete la Tabla ( PageIndex {9} ) para encontrar tres soluciones a la ecuación 5x − 4y = 20.
5x − 4y = 20
x
y
(x, y)
0
5
Tabla ( PageIndex {9} )
Respuesta
Sustituye el valor dado en la ecuación 5x − 4y = 20 y resuelve la otra variable. Luego, complete los valores en la tabla.
Los resultados se resumen en la Tabla ( PageIndex {10} ).
5x − 4y = 20
x
y
(x, y)
0
−5
(0, −5)
4
0
(4,0)
8
5
(8,5)
Tabla ( PageIndex {10} )
Ejercicio ( PageIndex {20} )
Completa la tabla para encontrar tres soluciones a esta ecuación: 2x − 5y = 20.
2x − 5y = 20
x
y
(x, y)
-5
Tabla ( PageIndex {11} )
Respuesta
2x − 5y = 20
x
y
(x, y)
0
−4
(0, −4)
10
0
(10,0)
−5
−6
(−5, −6)
Tabla ( PageIndex {12} )
Ejercicio ( PageIndex {21} )
Completa la tabla para encontrar tres soluciones a esta ecuación: 3x − 4y = 12.
3x − 4y = 12
x
y
(x, y)
-4
Tabla ( PageIndex {13} )
Respuesta
3x − 4y = 12
x
y
(x, y)
0
−3
(0, −3)
4
0
(4,0)
−4
−6
(−4, −6)
Tabla ( PageIndex {14} )
Encuentre soluciones para una ecuación lineal
Para encontrar una solución a una ecuación lineal, realmente puedes elegir cualquier número que quieras sustituir en la ecuación para x o y. Pero dado que necesitará usar ese número para resolver la otra variable, es una buena idea elegir un número con el que sea fácil trabajar.
Cuando la ecuación está en la forma y , con la y sola en un lado de la ecuación, generalmente es más fácil elegir valores de x y luego resolver para y .
Ejercicio ( PageIndex {22} )
Encuentra tres soluciones a la ecuación y = −3x + 2.
Respuesta
Podemos sustituir cualquier valor que queramos para x o cualquier valor para y. Como la ecuación está en la forma y , será más fácil sustituir en valores de x. Elijamos x = 0, x = 1 yx = −1.
Tabla ( PageIndex {15} )
Entonces, (0,2), (1, −1) y (−1,5) son todas soluciones para y = −3x + 2. Los mostramos en la Tabla ( PageIndex {16} ).
y = −3x + 2
x
y
(x, y)
0
2
(0,2)
1
−1
(1, −1)
−1
5
(−1,5)
Tabla ( PageIndex {16} )
Ejercicio ( PageIndex {23} )
Encuentra tres soluciones a esta ecuación: y = −2x + 3.
Respuesta
Las respuestas variarán.
Ejercicio ( PageIndex {24} )
Encuentra tres soluciones a esta ecuación: y = −4x + 1.
Respuesta
Las respuestas variarán.
Hemos visto cómo usar cero como un valor de x hace que encontrar el valor de y sea fácil. Cuando una ecuación está en forma estándar, con x e y en el mismo lado de la ecuación, generalmente es más fácil encontrar primero una solución cuando x = 0 encuentra una segunda solución cuando y = 0, y luego encuentra una tercera solución .
Ejercicio ( PageIndex {25} )
Encuentra tres soluciones a la ecuación 3x + 2y = 6.
Respuesta
We can substitute any value we want for x or any value for y. Since the equation is in standard form, let’s pick first x=0, then y=0, and then find a third point.
Table (PageIndex{17})
So (0,3), (2,0), and ((1,frac{3}{2})) are all solutions to the equation 3x+2y=6. We can list these three solutions in Table (PageIndex{18}) .
3x+2y=63x+2y=6
x
y
(x,y)
0
3
(0,3)
2
0
(2,0)
1
(frac{3}{2})
((1, frac{3}{2}))
Table (PageIndex{18})
Exercise (PageIndex{26})
Find three solutions to the equation 2x+3y=6.
Answer
Answers will vary.
Exercise (PageIndex{27})
Find three solutions to the equation 4x+2y=8.
Answer
Answers will vary.
Key Concepts
Sign Patterns of the Quadrants (begin{array}{ll}{text { Quadrant I }} & {text { Quadrant II }} & {text { Quadrant III }} & {text { Quadrant IV }} \ {(x, y)} & {(x, y)} & {(x, y)} & {(x, y)} \ {(+,+)} & {(-,+)} & {(-,-)} & {(+,-)}end{array})
Points on the Axes
On the x -axis, y=0. Points with a y -coordinate equal to 0 are on the x -axis, and have coordinates (a,0).
On the y -axis, x=0. Points with an x -coordinate equal to 0 are on the y -axis, and have coordinates (0,b).
Solution of a Linear Equation
An ordered pair (x,y) is a solution of the linear equation Ax+By=C, if the equation is a true statement when the x – and y – values of the ordered pair are substituted into the equation.
Glossary
linear equation
A linear equation is of the form Ax+By=C, where A and B are not both zero, is called a linear equation in two variables.
ordered pair
An ordered pair (x,y) gives the coordinates of a point in a rectangular coordinate system.
origin
The point (0,0)(0,0) is called the origin. It is the point where the x -axis and y -axis intersect.
quadrant
The x -axis and the y -axis divide a plane into four regions, called quadrants.
rectangular coordinate system
A grid system is used in algebra to show a relationship between two variables; also called the xy -plane or the ‘coordinate plane’.
