4.10: Sumar y restar números mixtos (Parte 1)

Habilidades para desarrollar

Suma modelo de números mixtos con un denominador común
Agregue números mixtos con un denominador común
Resta modelo de números mixtos
Restar números mixtos con un denominador común
Sumar y restar números mixtos con diferentes denominadores

prepárate!

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

Dibuje la figura al modelo ( dfrac {7} {3} ). Si perdió este problema, revise Ejemplo 4.1.6 .
Cambie ( dfrac {11} {4} ) a un número mixto. Si omitió este problema, revise Ejemplo 4.1.9 .
Cambie (3 dfrac {1} {2} ) a una fracción impropia. Si perdió este problema, revise Ejemplo 4.1.11 .

Adición modelo de números mixtos con un denominador común

Hasta ahora, hemos agregado y restado fracciones propias e impropias, pero no números mixtos. Comencemos por pensar en la suma de números mixtos usando dinero.

Si Ron tiene (1 ) dólar y (1 ) trimestre, tiene (1 dfrac {1} {4} ) dólares. Si Don tiene (2 ) dólares y (1 ) trimestre, tiene (2 dfrac {1} {4} ) dólares. ¿Qué pasa si Ron y Don ponen su dinero juntos? Tendrían (3 ) dólares y (2 ) trimestres. Suman los dólares y agregan los cuartos. Esto hace (3 dfrac {2} {4} ) dólares. Como dos trimestres son medio dólar, tendrían (3 ) y medio dólares, o (3 dfrac {1} {2} ) dólares.

[ begin {split} & 1 dfrac {1} {4} \ + & 2 dfrac {1} {4} \ hline \ & 3 dfrac {2} {4} = 3 dfrac {1} {2} end {split} nonumber ]

Cuando sumabas los dólares y luego agregabas los trimestres, agregabas los números enteros y luego las fracciones.

[1 dfrac {1} {4} + 2 dfrac {1} {4} nonumber ]

Podemos usar círculos de fracciones para modelar este mismo ejemplo:

Comience con (1 dfrac {1} {4} ).	una pieza entera y una ( dfrac {1} {4} )	(1 dfrac {1} {4} )
Agregue (2 dfrac {1} {4} ) más.	dos totalidades y una ( dfrac {1} {4} ) piezas	( begin {split} + & 2 dfrac {1} {4} \ & hline end {split} )
La suma es:	tres totalidades y dos ( dfrac {1} {4} ) ‘s	(3 dfrac {2} {4} = 3 dfrac {1} {2} )

Ejemplo ( PageIndex {1} ): modelo

Modela (2 dfrac {1} {3} + 1 dfrac {2} {3} ) y da la suma.

Solución

Usaremos círculos de fracciones, círculos enteros para los números enteros y piezas ( dfrac {1} {3} ) para las fracciones.

dos totalidades y una ( dfrac {1} {3} )		(2 dfrac {1} {3} )
más un entero y dos ( dfrac {1} {3} ) s		( begin {split} + & 1 dfrac {2} {3} \ & hline end {split} )
suma es tres totalidades y tres ( dfrac {1} {3} ) s		(3 dfrac {3} {3} = 4 )

Esto es lo mismo que (4 ) totalidades. Entonces, (2 dfrac {1} {3} + 1 dfrac {2} {3} = 4 ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Use un modelo para agregar lo siguiente. Haz un dibujo para ilustrar tu modelo. (1 dfrac {2} {5} + 3 dfrac {3} {5} )

Respuesta

(5 )

$Ex 4.6.1.png$

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Use un modelo para agregar lo siguiente. Haz un dibujo para ilustrar tu modelo. (2 dfrac {1} {6} + 2 dfrac {5} {6} )

Respuesta

(5 )

$Ex 4.6.2.png$

Ejemplo ( PageIndex {2} ): modelo

Modele (1 dfrac {3} {5} + 2 dfrac {3} {5} ) y dé la suma como un número mixto.

Solución

Utilizaremos círculos de fracciones, círculos enteros para los números enteros y piezas ( dfrac {1} {5} ) para las fracciones.

un entero y tres ( dfrac {1} {5} ) s		(1 dfrac {3} {5} )
más dos totalidades y tres ( dfrac {1} {5} ) s		( begin {split} + & 2 dfrac {3} {5} \ & hline end {split} )
suma es tres totalidades y seis ( dfrac {1} {5} ) s		(3 dfrac {6} {5} = 4 dfrac {1} {5} )

Sumando los círculos completos y las quintas piezas, obtuvimos una suma de (3 dfrac {6} {5} ). Podemos ver que ( dfrac {6} {5} ) es equivalente a (1 dfrac {1} {5} ), por lo que agregamos eso a (3 ) para obtener (4 dfrac {1} {5} ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Modela y da la suma como un número mixto. Haz un dibujo para ilustrar tu modelo. (2 dfrac {5} {6} + 1 dfrac {5} {6} )

Respuesta

(4 dfrac {2} {3} )

$Ex 4.6.3.png$

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Modela y da la suma como un número mixto. Haz un dibujo para ilustrar tu modelo. (1 dfrac {5} {8} + 1 dfrac {7} {8} )

Respuesta

(3 dfrac {1} {2} )

$Ex 4.6.4.png$

Agregar números mixtos

El modelado con círculos de fracción ayuda a ilustrar el proceso para agregar números mixtos: agregamos los números enteros y las fracciones, y luego simplificamos el resultado, si es posible.

CÓMO: AGREGAR NÚMEROS MIXTOS CON UN DENOMINADOR COMÚN

Paso 1. Suma los números enteros.

Paso 2. Añade las fracciones.

Paso 3. Simplifica, si es posible.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): agregar

Agregue: (3 dfrac {4} {9} + 2 dfrac {2} {9} ).

Solución

Suma los números enteros.	( begin {split} & textcolor {red} {3} dfrac {4} {9} \ + & textcolor {red} {2} dfrac {2} {9} \ hline \ & textcolor {red} {5} end {split} )
Agrega las fracciones.	( begin {split} & 3 textcolor {red} { dfrac {4} {9}} \ + & 2 textcolor {red} { dfrac {2} {9}} \ hline \ & 5 textcolor {red} { dfrac {6} {9}} end {split} )
Simplifica la fracción.	( begin {split} & 3 dfrac {4} {9} \ + & 2 dfrac {2} {9} \ hline \ & textcolor {red} {5 dfrac { 6} {9}} = 5 dfrac {2} {3} end {split} )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Encuentra la suma: (4 dfrac {4} {7} + 1 dfrac {2} {7} ).

Respuesta: (5 dfrac {6} {7} )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentra la suma: (2 dfrac {3} {11} + 5 dfrac {6} {11} ).

Respuesta: (7 dfrac {9} {11} )

En el ejemplo ( PageIndex {3} ), la suma de las fracciones era una fracción propia. Ahora trabajaremos en un ejemplo donde la suma es una fracción impropia.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): agregar

Encuentra la suma: (9 dfrac {5} {9} + 5 dfrac {7} {9} ).

Solución

Suma los números enteros y luego las fracciones.	( begin {split} & 9 dfrac {5} {9} \ + & 5 dfrac {7} {9} \ hline \ & 14 dfrac {12} {9} end {split} )
Reescribe ( dfrac {12} {9} ) como una fracción impropia.	(14 + 1 dfrac {3} {9} )
Agregar.	(15 dfrac {3} {9} )
Simplifica.	(15 dfrac {1} {3} )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Encuentra la suma: (8 dfrac {7} {8} + 7 dfrac {5} {8} ).

Respuesta: (16 dfrac {1} {2} )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Encuentra la suma: (6 dfrac {7} {9} + 8 dfrac {5} {9} ).

Respuesta: (15 dfrac {1} {3} )

Un método alternativo para agregar números mixtos es convertir los números mixtos en fracciones impropias y luego agregar las fracciones impropias. Este método generalmente se escribe horizontalmente.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): agregar

Agregue convirtiendo los números mixtos en fracciones impropias: (3 dfrac {7} {8} + 4 dfrac {3} {8} ).

Solución

Convertir a fracciones impropias.	( dfrac {31} {8} + dfrac {35} {8} )
Agrega las fracciones.	( dfrac {31 + 35} {8} )
Simplifica el numerador.	( dfrac {66} {8} )
Reescribe como un número mixto.	(8 dfrac {2} {8} )
Simplifica la fracción.	(8 dfrac {1} {4} )

Dado que el problema se dio en forma de número mixto, escribiremos la suma como un número mixto.

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Encuentre la suma convirtiendo los números mixtos en fracciones impropias: (5 dfrac {5} {9} + 3 dfrac {7} {9} )

Respuesta: (9 dfrac {1} {3} )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Encuentra la suma convirtiendo los números mixtos en fracciones impropias: (3 dfrac {7} {10} + 2 dfrac {9} {10} )

Respuesta: (6 dfrac {3} {5} )

La tabla ( PageIndex {1} ) compara los dos métodos de adición, usando la expresión (3 dfrac {2} {5} + 6 dfrac {4} {5} ) como ejemplo. ¿Qué camino prefieres?

**Tabla ( PageIndex {1} )**
Números mixtos	Fracciones impropias
( begin {split} & 3 dfrac {2} {5} \ + & 6 dfrac {4} {5} \ hline \ & 9 dfrac {6} {5} end {split} )	(3 dfrac {2} {5} + 6 dfrac {4} {5} )
(9 + dfrac {6} {5} )	( dfrac {17} {5} + dfrac {34} {5} )
(9 + 1 dfrac {1} {5} )	( dfrac {51} {5} )
(10 dfrac {1} {5} )	(10 dfrac {1} {5} )

Sustracción modelo de números mixtos

Pensemos nuevamente en las pizzas para modelar la resta de números mixtos con un denominador común. Supongamos que acaba de hornear una pizza entera y quiere darle a su hermano la mitad de la pizza. ¿Qué tienes que hacer con la pizza para darle la mitad? Tienes que cortarlo en al menos dos piezas. Entonces puedes darle la mitad.

Utilizaremos círculos de fracciones (pizzas) para ayudarnos a visualizar el proceso. Comience con un todo.

$A shaded circle is shown. Below it is a 1. There are arrows pointing to a shaded circle divided into 2 equal parts. Below it is 2 over 2. Next to this are two circles, each divided into 2 equal parts. The top circle has the right half shaded and the bottom circle has the left half shaded.$

Figura ( PageIndex {1} )

Algebraicamente, escribirías:

$On the left, it says 1 minus 1 half. There is an arrow pointing to 2 over 2 minus 1 over 2. There is another arrow pointing to 2 over 2 minus 1 over 2 equals 1 over 2.$

Ejemplo ( PageIndex {6} ): restar

Use un modelo para restar: (1 – dfrac {1} {3} ).

Solución

$There is a table with five rows and three columns. The first column is not labeled. The second column is labeled “Model.” The third column is labeled “Math Notation.” In the first column, the first row says, “Rewrite vertically. Start with one whole.” The next row says, “Since one-third has denominator 3, cut the whole into 3 pieces. The 1 whole becomes 3 thirds.” The next row says, “Take away one-third.” The last row says, “There are two-thirds left.” In the “Model” column, there is a picture of a shaded circle. Below that is a picture of a shaded circle divided into 3 equal pieces. Below that is a picture of a circle divided into 3 equal pieces with 2 pieces shaded. In the “Math Notation” column, the first row shows 1 minus 1 third. The next row says 3 thirds minus 1 third. The last row says 3 thirds minus 1 third is 2 thirds.$

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Use un modelo para restar: (1 – dfrac {1} {4} ).

Respuesta: ( dfrac {3} {4} )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Use un modelo para restar: (1 – dfrac {1} {5} ).

Respuesta: ( dfrac {4} {5} )

¿Qué pasa si comenzamos con más de un todo? Vamos a averiguar.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): restar

Use un modelo para restar: (2 – dfrac {3} {4} ).

Solución

$There is a table with four rows and three columns. The first column is not labeled. The second column is labeled “Model.” The third column is labeled “Math Notation.” In the first column, the first row says, “Rewrite vertically. Start with two wholes.” The next row says, “Since three-fourths has denominator 4, cut one of the wholes into 4 pieces. You have one whole and 4 fourths.” The next row says, “Take away three-fourths.” The last row says, “There is 1 and 1 fourth left.” In the “Model” column, there is a picture of two shaded circles. Below that is a picture of two shaded circles. One of the circles is divided into 4 equal pieces. Below that is a picture of one full shaded circle and a circle divided into 4 equal pieces with 1 piece shaded. In the “Math Notation” column, the first row shows 2 minus 3 fourths. The next row says 1 and 4 fourths minus 3 fourths. The last row says 1 and 4 fourths minus 3 fourths equals 1 and 1 fourth.$

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Use un modelo para restar: (2 – dfrac {1} {5} ).

Respuesta: ( dfrac {9} {5} )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Use un modelo para restar: (2 – dfrac {1} {3} ).

Respuesta: ( dfrac {5} {3} )

En el siguiente ejemplo, restaremos más de un todo.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): restar

Use un modelo para restar: (2 – 1 dfrac {2} {5} ).

Solución

$There is a table with five rows and three columns. The first column is not labeled. The second column is labeled “Model.” The third column is labeled “Math Notation.” In the first column, the first row says, “Rewrite vertically. Start with two wholes.” The next row says, “Since two-fifths has denominator 5, cut one of the wholes into 5 pieces. You have one whole and 5 fifths.” The next row says, “Take away 1 and two-fifths.” The last row says, “There is 3 fifths left.” In the “Model” column, there is a picture of two shaded circles. Below that is a picture of two shaded circles. One of the circles is divided into 5 equal pieces. Below that is a picture of one full unshaded circle and a circle divided into 5 equal pieces with 3 pieces shaded. In the “Math Notation” column, the first row shows 2 minus 1 and 2 fifths. The next row says 1 and 5 fifths minus 1 and 2 fifths. The last row says 1 and 5 fifths minus 1 and 2 fifths equals 3 fifths.$

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Use un modelo para restar: (2 – 1 dfrac {1} {3} ).

Respuesta: ( dfrac {2} {3} )

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Use un modelo para restar: (2 – 1 dfrac {1} {4} ).

Respuesta: ( dfrac {3} {4} )

¿Qué sucede si comienza con un número mixto y necesita restar una fracción? Piense en esta situación: necesita poner tres cuartos en un parquímetro, pero solo tiene una factura de ( $ 1 ) y un cuarto. ¿Qué podrías hacer? Puede cambiar el billete de un dólar a (4 ) trimestres. El valor de (4 ) cuartos es el mismo que el billete de un dólar, pero los (4 ) cuartos son más útiles para el parquímetro. Ahora, en lugar de tener un billete de ( $ 1 ) y un cuarto, tiene (5 ) cuartos y puede poner (3 ) cuartos en el medidor.

Esto modela lo que sucede cuando restamos una fracción de un número mixto. Restamos tres cuartos de un dólar y un cuarto.

También podemos modelar esto usando círculos de fracciones, como lo hicimos para la suma de números mixtos.

Ejemplo ( PageIndex {9} ): restar

Use un modelo para restar: (1 dfrac {1} {4} – dfrac {3} {4} )

Solución

Reescribe verticalmente. Comience con un todo y un cuarto.		( begin {split} & textcolor {red} {1 dfrac {1} {4}} \ – & dfrac {3} {4} \ hline end {split} )
Dado que las fracciones tienen el denominador 4, corta el todo en 4 partes. Ahora tiene ( dfrac {4} {4} ) y ( dfrac {1} {4} ) que es ( dfrac {5} {4} ).		( begin {split} & textcolor {red} { dfrac {5} {4}} \ – & dfrac {3} {4} \ hline end {split} ) [ 19459028]
Quitar ( dfrac {3} {4} ). Queda ( dfrac {1} {2} ).		( begin {split} & dfrac {5} {4} \ textcolor {red} {- & dfrac} 3} {4}} \ hline \ & dfrac {2} {4} = dfrac {1} {2} end {split} )