4.12: Resolver ecuaciones con fracciones (Parte 1)

4.12: Resolver ecuaciones con fracciones (Parte 1)

Determine si una fracción es una solución de una ecuación

 

Como vimos en Resolver ecuaciones con las propiedades de resta y suma de la igualdad y Resolver ecuaciones usando enteros; La propiedad de división de la igualdad , una solución de una ecuación es un valor que hace una declaración verdadera cuando se sustituye por la variable en la ecuación. En esas secciones, encontramos soluciones de números enteros y enteros para ecuaciones. Ahora que hemos trabajado con fracciones, estamos listos para encontrar soluciones de fracciones a las ecuaciones.

 

Los pasos que tomamos para determinar si un número es una solución a una ecuación son los mismos si la solución es un número entero, un entero o una fracción.

 
 

CÓMO: DETERMINAR SI UN NÚMERO ES UNA SOLUCIÓN A UNA ECUACIÓN

 

Paso 1. Sustituye el número por la variable en la ecuación.

 

Paso 2. Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.

 

Paso 3. Determine si la ecuación resultante es verdadera. Si es cierto, el número es una solución. Si no es cierto, el número no es una solución.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): buscar solución

 

Determine si cada uno de los siguientes es una solución de (x – dfrac {3} {10} = dfrac {1} {2} ).

 
         
  1. (x = 1 )
  2.      
  3. (x = dfrac {4} {5} )
  4.      
  5. (x = – dfrac {4} {5} )
  6.  
 

Solución

 
         
  1.  
                                                                                                                                                              
Sustituye ( textcolor {red} {1} ) por x. ( textcolor {rojo} {1} – dfrac {3} {10} stackrel {?} {=} Dfrac {1} {2} )
Cambiar a fracciones con una pantalla LCD de 10. ( textcolor {rojo} { dfrac {10} {10}} – dfrac {3} {10} stackrel {?} {=} Dfrac {5} {10} )
Restar. ( dfrac {7} {10} stackrel {?} {=} Dfrac {5} {10} )
 

Dado que (x = 1 ) no da como resultado una ecuación verdadera, (1 ) no es una solución a la ecuación.

 
         
  1.  
                                                                                                                                                              
Sustituye ( textcolor {red} { dfrac {4} {5}} ) para x. ( textcolor {rojo} { dfrac {4} {5}} – dfrac {3} {10} stackrel {?} {=} Dfrac {1} {2} )
( textcolor {rojo} { dfrac {8} {10}} – dfrac {3} {10} stackrel {?} {=} Dfrac {5} {10} )
Restar. ( dfrac {5} {10} = dfrac {5} {10} ; checkmark )
 

Dado que (x = dfrac {4} {5} ) da como resultado una ecuación verdadera, ( dfrac {4} {5} ) es una solución a la ecuación (x – dfrac {3 } {10} = dfrac {1} {2} ).

 
         
  1.  
                                                                                                                                          
Sustituye ( textcolor {red} {- dfrac {4} {5}} ) para x. ( textcolor {rojo} {- dfrac {4} {5}} – dfrac {3} {10} stackrel {?} {=} Dfrac {1} {2} ) [19459026 ]          
( textcolor {rojo} {- dfrac {8} {10}} – dfrac {3} {10} stackrel {?} {=} Dfrac {5} {10} ) [19459026 ]          
Restar. ( dfrac {11} {10} neq dfrac {5} {10} )
 

Dado que (x = – dfrac {4} {5} ) no da como resultado una ecuación verdadera, (- dfrac {4} {5} ) no es una solución a la ecuación.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Determine si cada número es una solución de la ecuación dada. (x – dfrac {2} {3} = dfrac {1} {6} )

 
         
  1. (x = 1 )
  2.      
  3. (x = dfrac {5} {6} )
  4.      
  5. (x = – dfrac {5} {6} )
  6.  
 
     
Responda a
     
     

no

     
     
Respuesta b
     
     

     
     
Respuesta c
     
     

no

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Determine si cada número es una solución de la ecuación dada. (y – dfrac {1} {4} = dfrac {3} {8} )

 
         
  1. (y = 1 )
  2.      
  3. (y = – dfrac {5} {8} )
  4.      
  5. (y = dfrac {5} {8} )
  6.  
 
     
Responda a
     
     

no

     
     
Respuesta b
     
     

no

     
     
Respuesta c
     
     

     
 
 
 
 
 

Suma, resta y división de las propiedades de igualdad

 

Para cualquier número (a ), (b ) y (c ),

                                                                                                                                                                     
Tabla ( PageIndex {1} )
si (a = b ), entonces (a + c = b + c ). Propiedad adicional de igualdad
si (a = b ), entonces (a – c = b – c ). Propiedad de igualdad de la resta
si (a = b ), entonces (a c = b c ), (c ≠ 0 ). Propiedad de igualdad de la división
 

En otras palabras, cuando sumas o restas la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, o divides ambos lados por la misma cantidad, aún tienes igualdad.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): resolver

 

Resuelve: (y + dfrac {9} {16} = dfrac {5} {16} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Reste ( dfrac {9} {16} ) de cada lado para deshacer la adición. (y + dfrac {9} {16} textcolor {red} {- dfrac {9} {16}} = dfrac {5} {16} textcolor {red} {- dfrac { 9} {16}} )
Simplifica a cada lado de la ecuación. (y + 0 = – dfrac {4} {16} )
Simplifica la fracción. (y = – dfrac {1} {4} )
 

Verificación:

                                                                                                                                                    
Sustituye y = (- dfrac {1} {4} ). ( textcolor {rojo} {- dfrac {1} {4}} + dfrac {9} {16} stackrel {?} {=} Dfrac {5} {16} ) [19459026 ]          
Reescribe como fracciones con la pantalla LCD. textcolor {rojo} {- dfrac {4} {16}} + dfrac {9} {16} stackrel {?} {=} Dfrac {5} {16} )
Agregar. ( dfrac {5} {16} stackrel {?} {=} Dfrac {5} {16} ; checkmark )
 

Dado que (y = – dfrac {1} {4} ) hace que (y + dfrac {9} {16} = dfrac {5} {16} ) sea una declaración verdadera, sabemos que He encontrado la solución a esta ecuación.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve: (y + dfrac {11} {12} = dfrac {5} {12} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {1} {2} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve: (y + dfrac {8} {15} = dfrac {4} {15} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {4} {15} )

     
 
 
 

Utilizamos la propiedad de igualdad de resta en el ejemplo ( PageIndex {2} ). Ahora usaremos la propiedad de adición de igualdad.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): resolver

 

Resuelve: a – ( dfrac {5} {9} ) = (- dfrac {8} {9} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Agregue ( dfrac {5} {9} ) de cada lado para deshacer la adición. (a – dfrac {5} {9} textcolor {red} {+ dfrac {5} {9}} = – dfrac {8} {9} textcolor {red} {+ dfrac {5} {9}} )
Simplifica a cada lado de la ecuación. (a + 0 = – dfrac {3} {9} )
Simplifica la fracción. (a = – dfrac {1} {3} )
 

Verificación:

                                                                                                                                          
Sustituye a = (- dfrac {1} {3} ). ( textcolor {rojo} {- dfrac {1} {3}} – dfrac {5} {9} stackrel {?} {=} – dfrac {8} {9} ) [ 19459026]          
Cambio a denominador común. ( textcolor {rojo} {- dfrac {3} {9}} – dfrac {5} {9} stackrel {?} {=} – dfrac {8} {9} ) [ 19459026]          
Restar. (- dfrac {8} {9} = – dfrac {8} {9} ; checkmark )
 

Dado que (a = – dfrac {1} {3} ) hace que la ecuación sea verdadera, sabemos que (a = – dfrac {1} {3} ) es la solución a la ecuación.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve: (a – dfrac {3} {5} = – dfrac {8} {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 1 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelve: (n – dfrac {3} {7} = – dfrac {9} {7} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {6} {7} )

     
 
 
 

Puede que el siguiente ejemplo no parezca tener una fracción, pero veamos qué sucede cuando lo resolvemos.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): resolver

 

Resuelve: (10q = 44 ).

 

Solución

                                                                                                              
Divide ambos lados entre 10 para deshacer la multiplicación. ( dfrac {10q} {10} = dfrac {44} {10} )
Simplificar. (q = dfrac {22} {5} )
 

Verificación:

                                                                                                                                                              
Sustituye (q = dfrac {22} {5} ) en la ecuación original. (10 ​​ left ( dfrac {22} {5} right) stackrel {?} {=} 44 )
Simplificar. ( stackrel {2} { cancel {10}} left ( dfrac {22} { cancel {5}} right) stackrel {?} {=} 44 )
Multiplica. (44 = 44 ; marca de verificación )
 

La solución a la ecuación fue la fracción ( dfrac {22} {5} ). Lo dejamos como una fracción impropia.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resuelve: (12u = −76 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {19} {3} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resuelve: (8m = 92 ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {23} {2} )

     
 
 
 

Resolver ecuaciones con fracciones usando la propiedad de igualdad de multiplicación

 

Considere la ecuación ( dfrac {x} {4} = 3 ). Queremos saber qué número dividido entre (4 ) da (3 ). Entonces, para «deshacer» la división, tendremos que multiplicar por (4 ). La Propiedad de la igualdad de multiplicación nos permitirá hacer esto. Esta propiedad dice que si comenzamos con dos cantidades iguales y multiplicamos ambas por el mismo número, los resultados son iguales.

 
 
 
 

Definición: La propiedad de multiplicación de la igualdad

 

Para cualquier número (a ), (b ) y (c ), si (a = b ), entonces (ac = bc ). Si multiplicas ambos lados de una ecuación por la misma cantidad, aún tienes igualdad.

 
 

Usemos la propiedad de la multiplicación de la igualdad para resolver la ecuación ( dfrac {x} {7} = −9 ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): resolver

 

Resuelve: ( dfrac {x} {7} = −9 ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Usa la propiedad de igualdad de multiplicación para multiplicar ambos lados por 7. Esto aislará la variable. ( textcolor {red} {7} cdot dfrac {x} {7} = textcolor {red} {7} (-9) )
Multiplica. ( dfrac {7x} {7} = -63 )
Simplificar. (x = -63 )
Verificación. Sustituya ( textcolor {red} {- 63} ) por x en la ecuación original. ( dfrac { textcolor {rojo} {- 63}} {7} stackrel {?} {=} -9 )
La ecuación es verdadera. (- 9 = -9; marca de verificación )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resuelve: ( dfrac {f} {5} = −25 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 125 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Resuelve: ( dfrac {h} {9} = −27 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 243 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): resolver

 

Resuelve: ( dfrac {p} {- 8} = −40 ).

 

Solución

 

Aquí, (p ) se divide por (- 8 ). Debemos multiplicar por (- 8 ) para aislar (p ).

                                                                                                                                                              
Multiplica ambos lados por −8. ( textcolor {red} {- 8} left ( dfrac {p} {- 8} right) = textcolor {red} {- 8} (-40) )
Multiplica. ( dfrac {-8p} {- 8} = 320 )
Simplificar. (p = 320 )
 

Verificación:

                                                                                                              
Sustituye p = 320. ( dfrac { textcolor {rojo} {320}} {- 8} stackrel {?} {=} -40 )
La ecuación es verdadera. (- 40 = -40 ; marca de verificación )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Resuelve: ( dfrac {c} {- 7} = −35 ).

 
     
Respuesta
     
     

(245 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Resuelve: ( dfrac {x} {- 11} = −12 ).

 
     
Respuesta
     
     

(132 )

     
 
 
 

Resolver ecuaciones con un coeficiente de (- 1 )

 

Mira la ecuación (- y = 15 ). ¿Parece que y ya está aislado? Pero hay un signo negativo delante de (y ), por lo que no está aislado.

 

Hay tres formas diferentes de aislar la variable en este tipo de ecuación. Mostraremos las tres formas en el Ejemplo ( PageIndex {7} ).

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): resolver

 

Resuelve: (- y = 15 ).

 

Solución

 

Una forma de resolver la ecuación es reescribir (- y ) como (- 1y ), y luego usar la Propiedad de igualdad de división para aislar (y ).

                                                                                                                                                              
Reescribe −y como −1y. (- 1 año = 15 )
Divide ambos lados entre −1. ( dfrac {-1y} { textcolor {red} {- 1}} = dfrac {15} { textcolor {red} {- 1}} )
Simplifica cada lado. (y = -15 )
 

Otra forma de resolver esta ecuación es multiplicar ambos lados de la ecuación por −1.

                                                                                                              
Multiplica ambos lados por −1. ( textcolor {red} {- 1} (-y) = textcolor {red} {- 1} (15) )
Simplifica cada lado. (y = -15 )
 

La tercera forma de resolver la ecuación es leer (- y ) como «lo opuesto a (y )». ¿Qué número tiene (15 ) como su opuesto? Lo contrario de (15 ) es (- 15 ). Entonces (y = −15 ).

 

Para los tres métodos, aislamos (y ) se aisló y resolvió la ecuación.

 

Verificación:

                                                                                                              
Sustituye y = −15. (- ( textcolor {rojo} {15}) stackrel {?} {=} (15) )
Simplificar. La ecuación es verdadera. (15 = 15 ; marca de verificación )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Resuelve: (- y = 48 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 48 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Resuelve: (- c = −23 ).

 
     
Respuesta
     
     

(23 )

     
 
 
 
 
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