4.13: Resolver ecuaciones con fracciones (Parte 2)

4.13: Resolver ecuaciones con fracciones (Parte 2)

                 

Resolver ecuaciones con un coeficiente de fracción

 

Cuando tenemos una ecuación con un coeficiente de fracción, podemos usar la propiedad de igualdad de multiplicación para hacer que el coeficiente sea igual a (1 ). Por ejemplo, en la ecuación:

 

[ dfrac {3} {4} x = 24 nonumber ]

 

El coeficiente de (x ) es ( dfrac {3} {4} ). Para resolver (x ), necesitamos que su coeficiente sea (1 ). Como el producto de un número y su recíproco es (1 ), nuestra estrategia aquí será aislar (x ) multiplicando por el recíproco de ( dfrac {3} {4} ). Haremos esto en el Ejemplo ( PageIndex {1} ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): resolver

 

Resuelve: ( dfrac {3} {4} x = 24 ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Multiplica ambos lados por el recíproco del coeficiente. ( textcolor {red} { dfrac {4} {3}} cdot dfrac {3} {4} x = textcolor {red} { dfrac {4} {3}} cdot 24 )
Simplifica. (1x = dfrac {4} {3} cdot dfrac {24} {1} )
Multiplica. (x = 32 )
 

Verificación:

                                                                                                                                                              
Sustituye x = 32. ( dfrac {3} {4} cdot 32 stackrel {?} {=} 24 )
Reescribe 32 como una fracción. ( dfrac {3} {4} cdot dfrac {32} {1} stackrel {?} {=} 24 )
Multiplica. La ecuación es verdadera. (24 = 24 ; marca de verificación )
 

Observe que en la ecuación ( dfrac {3} {4} x = 24 ), podríamos haber dividido ambos lados entre ( dfrac {3} {4} ) para obtener (x ) por sí mismo. Dividir es lo mismo que multiplicar por el recíproco, por lo que obtendríamos el mismo resultado. Pero la mayoría de la gente está de acuerdo en que multiplicar por el recíproco es más fácil.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Resuelve: ( dfrac {2} {5} n = 14 ).

 
     
Respuesta
     
     

(35 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Resuelve: ( dfrac {5} {6} y = 15 ).

 
     
Respuesta
     
     

(18 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): resolver

 

Resuelva: (- dfrac {3} {8} w = 72 ).

 

Solución

 

El coeficiente es una fracción negativa. Recuerde que un número y su recíproco tienen el mismo signo, por lo que el recíproco del coeficiente también debe ser negativo.

                                                                                                                                                              
Multiplica ambos lados por el recíproco de (- dfrac {3} {8} ). ( textcolor {red} {- dfrac {8} {3}} left (- dfrac {3} {8} w right) = left ( textcolor {red} {- dfrac {8} {3}} right) 72 )
Simplificar; los recíprocos se multiplican por uno. (1w = – dfrac {8} {3} cdot dfrac {72} {1} )
Multiplica. (w = -192 )
 

Verificación:

                                                                                                              
Sea w = −192. (- dfrac {3} {8} (-192) stackrel {?} {=} 72 )
Multiplica. Se comprueba. (72 = 72 ; marca de verificación )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Resuelva: (- dfrac {4} {7} a = 52 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 91 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Resuelva: (- dfrac {7} {9} w = 84 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 108 )

     
 
 
 

Traducir oraciones a ecuaciones y resolver

 

Ahora hemos cubierto las cuatro propiedades de la igualdad: sustracción, suma, división y multiplicación. Los enumeraremos todos aquí para una fácil referencia.

                                                                                                                     
Tabla ( PageIndex {2} )
Propiedad de igualdad de la resta : Para cualquier número real a, byc, si a = b, entonces a – c = b – c. Propiedad de igualdad de la suma : Para cualquier número real a, byc, si a = b, entonces a + c = b + c.
Propiedad de igualdad de división : Para cualquier número a, byc, donde c ≠ 0 si a = b, entonces ( dfrac {a} {c} = dfrac {b} {C}). Propiedad de igualdad de multiplicación : Para cualquier número real a, byc si a = b, entonces ac = bc.
 

Cuando sumas, restas, multiplicas o divides la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, aún tienes igualdad. En los siguientes ejemplos, traduciremos oraciones en ecuaciones y luego resolveremos las ecuaciones. Puede ser útil revisar la tabla de traducción en Evaluar, simplificar y traducir expresiones .

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): resolver

 

Traducir y resolver: (n ) dividido por (6 ) es (- 24 ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Traducir.
Multiplica ambos lados por 6. ( textcolor {red} {6} cdot dfrac {n} {6} = textcolor {red} {6} (-24) )
Simplifica. (n = -144 )
Verificación: ¿Es −144 dividido entre 6 igual a −24?
Traducir. ( dfrac {-144} {6} stackrel {?} {=} -24 )
Simplifica. Se comprueba. (- 24 = -24 ; marca de verificación )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Traducir y resolver: (n ) dividido por (7 ) es igual a (- 21 ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {n} {7} = -21 ); (n = -147 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Traducir y resolver: (n ) dividido por (8 ) es igual a (- 56 ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {n} {8} = -56 ); (n = -448 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ): resolver

 

Traducir y resolver: el cociente de (q ) y (- 5 ) es (70 ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Traducir.
Multiplica ambos lados por −5. ( textcolor {red} {- 5} left ( dfrac {q} {- 5} right) = textcolor {red} {- 5} (70) )
Simplifica. (q = -350 )
Verificación: ¿Es el cociente de −350 y −5 igual a 70?
Traducir. ( dfrac {-350} {- 5} stackrel {?} {=} 70 )
Simplifica. Se comprueba. (70 = 70 ; marca de verificación )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Traducir y resolver: el cociente de (q ) y (- 8 ) es (72 ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {q} {- 8} = 72 ); (q = -576 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Traducir y resolver: el cociente de (p ) y (- 9 ) es (81 ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {p} {- 9} = 81 ); (p = -729 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ): resolver

 

Traducir y resolver: dos tercios de (f ) es (18 ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Traducir.
Multiplica ambos lados por ( dfrac {3} {2} ). ( textcolor {rojo} { dfrac {3} {2}} cdot dfrac {2} {3} f = textcolor {rojo} { dfrac {3} {2}} cdot 18 )
Simplifica. (f = 27 )
Verificación: ¿Dos tercios de 27 equivalen a 18?
Traducir. ( dfrac {2} {3} (27) stackrel {?} {=} 18 )
Simplifica. Se comprueba. (18 = 18 ; marca de verificación )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Traducir y resolver: dos quintos de (f ) es (16 ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {2} {5} f = 16 ); (f = 40 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Traducir y resolver: tres cuartos de (f ) es (21 ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {3} {4} f = 21 ); (f = 28 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ): resolver

 

Traducir y resolver: el cociente de (m ) y ( dfrac {5} {6} ) es ( dfrac {3} {4} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Traducir. ( dfrac {m} { dfrac {5} {6}} = dfrac {3} {4} )
Multiplica ambos lados por (frac {5} {6} ) para aislar m. ( dfrac {5} {6} left ( dfrac {m} { dfrac {5} {6}} right) = dfrac {5} {6} left ( dfrac {3 } {4} right) )
Simplifica. (m = dfrac {5 cdot 3} {6 cdot 4} )
Eliminar factores comunes y multiplicar. (m = dfrac {5} {8} )
 

Verificación:

                                                                                                                                                                                                              
¿Es el cociente de ( dfrac {5} {8} ) y ( dfrac {5} {6} ) igual a ( dfrac {3} {4} )? ( dfrac { dfrac {5} {8}} { dfrac {5} {6}} stackrel {?} {=} Dfrac {3} {4} )
Reescribir como división. ( dfrac {5} {8} div dfrac {5} {6} stackrel {?} {=} Dfrac {3} {4} )
Multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda. ( dfrac {5} {8} cdot dfrac {6} {5} stackrel {?} {=} Dfrac {3} {4} )
Simplifica. ( dfrac {3} {4} = dfrac {3} {4} ; marca de verificación )
 

Nuestra solución verifica.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Traducir y resolver. El cociente de (n ) y ( dfrac {2} {3} ) es ( dfrac {5} {12} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {n} { dfrac {2} {3}} = dfrac {5} {12} ); (n = dfrac {5} {18} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Traducir y resolver. El cociente de (c ) y ( dfrac {3} {8} ) es ( dfrac {4} {9} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {c} { dfrac {3} {8}} = dfrac {4} {9} ); (c = dfrac {1} {6} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ): resolver

 

Traducir y resolver: la suma de tres octavos y (x ) es tres y media.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Traducir.
Usa la propiedad de igualdad de resta para restar ( dfrac {3} {8} ) de ambos lados. ( dfrac {3} {8} + x – dfrac {3} {8} = 3 dfrac {1} {2} – dfrac {3} {8} )
Combina términos similares en el lado izquierdo. (x = 3 dfrac {1} {2} – dfrac {3} {8} )
Convertir número mixto a fracción impropia. (x = 3 dfrac {1} {2} – dfrac {3} {8} )
Convertir a fracciones equivalentes con LCD de 8. (x = dfrac {7} {2} – dfrac {3} {8} )
Restar. (x = dfrac {25} {8} )
Escribe como un número mixto. (x = 3 dfrac {1} {8} )
 

Escribimos la respuesta como un número mixto porque el problema original usaba un número mixto. Verificación: ¿La suma de tres octavos y (3 dfrac {1} {8} ) es igual a tres y media?

                                                                                                              
Agregar. (3 dfrac {4} {8} stackrel {?} {=} 3 dfrac {1} {2} )
Simplifica. (3 dfrac {1} {2} = 3 dfrac {1} {2} )
 

La solución verifica.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Traducir y resolver: la suma de cinco octavos y (x ) es un cuarto.

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5} {8} + x = dfrac {1} {4} ); (x = – dfrac {3} {8} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Traducir y resolver: la diferencia de uno y tres cuartos y (x ) es cinco sextos.

 
     
Respuesta
     
     

(1 dfrac {3} {4} – x = dfrac {5} {6} ); (x = dfrac {11} {12} )

     
 
 
 

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La práctica hace la perfección

 

Determine si una fracción es una solución de una ecuación

 

En los siguientes ejercicios, determine si cada número es una solución de la ecuación dada.

 
         
  1. x – ( dfrac {2} {5} ) = ( dfrac {1} {10} ):      
               
    1. x = 1
    2.          
    3. x = ( dfrac {1} {2} )
    4.          
    5. x = (- dfrac {1} {2} )
    6.      
         
  2.      
  3. y – ( dfrac {1} {2} ) = ( dfrac {5} {12} ):      
               
    1. y = 1
    2.          
    3. y = ( dfrac {3} {4} )
    4.          
    5. y = (- dfrac {3} {4} )
    6.      
         
  4.      
  5. h + ( dfrac {3} {4} ) = ( dfrac {2} {5} ):      
               
    1. h = 1
    2.          
    3. h = ( dfrac {7} {20} )
    4.          
    5. h = (- dfrac {7} {20} )
    6.      
         
  6.      
  7. k + ( dfrac {2} {5} ) = ( dfrac {5} {6} ):      
               
    1. k = 1
    2.          
    3. k = ( dfrac {13} {30} )
    4.          
    5. k = (- dfrac {13} {30} )
    6.      
         
  8.  
 

Resolver ecuaciones con fracciones utilizando las propiedades de igualdad de suma, resta y división

 

En los siguientes ejercicios, resuelve.

 
         
  1. y + ( dfrac {1} {3} ) = ( dfrac {4} {3} )
  2.      
  3. m + ( dfrac {3} {8} ) = ( dfrac {7} {8} )
  4.      
  5. f + ( dfrac {9} {10} ) = ( dfrac {2} {5} )
  6.      
  7. h + ( dfrac {5} {6} ) = ( dfrac {1} {6} )
  8.      
  9. a – ( dfrac {5} {8} ) = (- dfrac {7} {8} )
  10.      
  11. c – ( dfrac {1} {4} ) = (- dfrac {5} {4} )
  12.      
  13. x – ( left (- dfrac {3} {20} right) ) = (- dfrac {11} {20} )
  14.      
  15. z – ( left (- dfrac {5} {12} right) ) = (- dfrac {7} {12} )
  16.      
  17. n – ( dfrac {1} {6} ) = ( dfrac {3} {4} )
  18.      
  19. p – ( dfrac {3} {10} ) = ( dfrac {5} {8} )
  20.      
  21. s + ( left (- dfrac {1} {2} right) ) = (- dfrac {8} {9} )
  22.      
  23. k + ( left (- dfrac {1} {3} right) ) = (- dfrac {4} {5} )
  24.      
  25. 5j = 17
  26.      
  27. 7k = 18
  28.      
  29. −4w = 26
  30.      
  31. −9v = 33
  32.  
 

Resolver ecuaciones con fracciones usando la propiedad de multiplicación de la igualdad

 

En los siguientes ejercicios, resuelve.

 
         
  1. ( dfrac {f} {4} ) = −20
  2.      
  3. ( dfrac {b} {3} ) = −9
  4.      
  5. ( dfrac {y} {7} ) = −21
  6.      
  7. ( dfrac {x} {8} ) = −32
  8.      
  9. ( dfrac {p} {- 5} ) = −40
  10.      
  11. ( dfrac {q} {- 4} ) = −40
  12.      
  13. ( dfrac {r} {- 12} ) = −6
  14.      
  15. ( dfrac {s} {- 15} ) = −3
  16.      
  17. −x = 23
  18.      
  19. −y = 42
  20.      
  21. −h = (- dfrac {5} {12} )
  22.      
  23. −k = (- dfrac {17} {20} )
  24.      
  25. ( dfrac {4} {5} ) n = 20
  26.      
  27. ( dfrac {3} {10} ) p = 30
  28.      
  29. ( dfrac {3} {8} ) q = −48
  30.      
  31. ( dfrac {5} {2} ) m = −40
  32.      
  33. (- dfrac {2} {9} ) a = 16
  34.      
  35. (- dfrac {3} {7} ) b = 9
  36.      
  37. (- dfrac {6} {11} ) u = −24
  38.      
  39. (- dfrac {5} {12} ) v = −15
  40.  
 

Práctica mixta

 

En los siguientes ejercicios, resuelve.

 
         
  1. 3x = 0
  2.      
  3. 8 años = 0
  4.      
  5. 4f = ( dfrac {4} {5} )
  6.      
  7. 7 g = ( dfrac {7} {9} )
  8.      
  9. p + ( dfrac {2} {3} ) = ( dfrac {1} {12} )
  10.      
  11. q + ( dfrac {5} {6} ) = ( dfrac {1} {12} )
  12.      
  13. ( dfrac {7} {8} ) m = ( dfrac {1} {10} )
  14.      
  15. ( dfrac {1} {4} ) n = ( dfrac {7} {10} )
  16.      
  17. (- dfrac {2} {5} ) = x + ( dfrac {3} {4} )
  18.      
  19. (- dfrac {2} {3} ) = y + ( dfrac {3} {8} )
  20.      
  21. ( dfrac {11} {20} ) = −f
  22.      
  23. ( dfrac {8} {15} ) = −d
  24.  
 

Traducir oraciones a ecuaciones y resolver

 

En los siguientes ejercicios, traduce a una ecuación algebraica y resuelve.

 
         
  1. n dividido entre ocho es −16.
  2.      
  3. n dividido entre seis es −24.
  4.      
  5. m dividido por −9 es −7.
  6.      
  7. m dividido por −7 es −8.
  8.      
  9. El cociente de f y −3 es −18.
  10.      
  11. El cociente de f y −4 es −20.
  12.      
  13. El cociente de gy doce es 8.
  14.      
  15. El cociente de gy nueve es 14.
  16.      
  17. Tres cuartos de q es 12.
  18.      
  19. Dos quintos de q son 20.
  20.      
  21. Siete décimas de p es −63.
  22.      
  23. Cuatro novenos de p es −28.
  24.      
  25. m dividido por 4 es igual a negativo 6.
  26.      
  27. El cociente de h y 2 es 43.
  28.      
  29. Tres cuartos de z es lo mismo que 15.
  30.      
  31. El cociente de a y ( dfrac {2} {3} ) es ( dfrac {3} {4} ).
  32.      
  33. La suma de cinco sextos yx es ( dfrac {1} {2} ).
  34.      
  35. La suma de tres cuartos yx es ( dfrac {1} {8} ).
  36.      
  37. La diferencia de y y un cuarto es (- dfrac {1} {8} ).
  38.      
  39. La diferencia de y y un tercio es (- dfrac {1} {6} ).
  40.  
 

Matemáticas cotidianas

 
         
  1. Compras Teresa compró un par de zapatos a la venta por $ 48. El precio de venta fue ( dfrac {2} {3} ) del precio normal. Encuentre el precio regular de los zapatos resolviendo la ecuación ( dfrac {2} {3} ) p = 48
  2.      
  3. Casa de juegos La mesa en la casa de juegos de un niño es ( dfrac {3} {5} ) de una mesa para adultos. La mesa de juegos tiene 18 pulgadas de alto. Halla la altura de una tabla de tamaño adulto resolviendo la ecuación ( dfrac {3} {5} ) h = 18.
  4.  
 

Ejercicios de escritura

 
         
  1. El ejemplo 4.100 describe tres métodos para resolver la ecuación −y = 15. ¿Qué método prefiere? ¿Por qué?
  2.      
  3. Richard piensa que la solución a la ecuación ( dfrac {3} {4} ) x = 24 es 16. Explique por qué Richard está equivocado.
  4.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

 

(b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?

 
                                  
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