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las matematicas

4.2: Factorizando polinomios

                 

 

habilidades para desarrollar

 
         
  • Determine el máximo factor común (MCD) de los monomios.
  •      
  • Factoriza el GCF de un polinomio.
  •      
  • Factoriza un polinomio de cuatro términos por agrupación.
  •      
  • Factorizar binomios especiales.
  •  
 
 
     
 

Determinación del MCD de monomios

 

El proceso de escribir un número o expresión como producto se llama factoring 5 . Si escribimos el monomio (8x ^ {7} = 2x ^ {5} ⋅4x ^ {2} ), decimos que el producto (2x ^ {5} ⋅4x ^ {2} ) es un [ 19459016] factorización 6 de (8x ^ {7} ) y que (2x ^ {5} ) y (4x ^ {2} ) son factores 7 . Por lo general, hay muchas formas de factorizar un monomio. Algunas factorizaciones de (8x ^ {7} ) siguen:

 

( left. Begin {alineado} 8 x ^ {7} & = 2 x ^ {5} cdot 4 x ^ {2} \ 8 x ^ {7} & = 8 x ^ {6 } cdot x \ 8 x ^ {7} & = 2 x cdot 2 x ^ {2} cdot 2 x ^ {4} end {alineado} right } quad color {Cerulean} {Factorizaciones : of :} 8 x ^ {7} )

 

Dados dos o más monomios, será útil encontrar el máximo factor monomial común (MCD) 8 de cada uno. El MCD de los monomios es el producto de los factores variables comunes y el MCD de los coeficientes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Encuentre el MCD de (25x ^ {7} y ​​^ {2} z ) y (15x ^ {3} y ^ {4} z ^ {2} ).

 

Solución

 

Comience por encontrar el MCD de los coeficientes. En este caso, (25 = 5⋅5 ) y (15 = 3⋅5 ). Debe quedar claro que

 

( operatorname {GCF} (25,15) = 5 )

 

Luego determina los factores variables comunes con los exponentes más pequeños.

 

(25 x ^ {7} color {Cerulean} {y ^ {2} z} quad color {black} { text {y}} quad 15 color {Cerulean} {x ^ { 3}} color {negro} {y ^ {4}} z ^ {2} )

 

Los factores variables comunes son (x ^ {3}, y ^ {2} ) y (z ). Por lo tanto, dados los dos monomios,

 

( mathrm {GCF} = 5 x ^ {3} y ^ {2} z )

 

Respuesta :

 

(5x ^ {3} y ^ {2} z )

 
 

Vale la pena señalar que el MCD divide ambas expresiones de manera uniforme.

 

( frac {25 x ^ {7} y ​​^ {2} z} { color {Cerulean} {5 x ^ {3} y ^ {2} z}} color {black} {=} 5 x ^ {4} quad text {y} quad frac {15 x ^ {3} y ^ {4} z ^ {2}} { color {Cerulean} {5 x ^ {3} y ^ {2} z}} color {negro} {=} 3 y ^ {2} z )

 

Además, podemos escribir lo siguiente:

 

(25 x ^ {7} y ​​^ {2} z = color {Cerulean} {5 x ^ {3} y ^ {2} z} color {black} { cdot} 5 x ^ { 4} quad text {y} quad 15 x ^ {3} y ^ {4} z ^ {2} = color {Cerulean} {5 x ^ {3} y ^ {2} z} color { negro} { cdot} 3 y ^ {2} z )

 

Los factores (5x ^ {4} ) y (3y ^ {2} z ) no comparten factores monomiales comunes distintos de (1 ); son relativamente primos 9 .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Determine el MCD de las siguientes tres expresiones: (12a ^ {5} b ^ {2} (a + b) ^ {5}, 60a ^ {4} b ^ {3} c (a + b) ^ {3} ) y (24a ^ {2} b ^ {7} c ^ {3} (a + b) ^ {2} ).

 

Solución

 

Comience por encontrar el MCD de los coeficientes. Para hacer esto, determine la factorización prima de cada uno y luego multiplique los factores comunes con los exponentes más pequeños.

 

( begin {array} {l} {12 = 2 ^ {2} cdot 3} \ {60 = 2 ^ {2} cdot 3 cdot 5} \ {24 = 2 ^ { 3} cdot 3} end {array} )

 

Por lo tanto, el MCD de los coeficientes de los tres monomios es

 

( operatorname {GCF} (12,60,24) = 2 ^ {2} cdot 3 = 12 )

 

A continuación, determine los factores comunes de las variables.

 

(12a ^ {5} color {Cerulean} {b ^ {2}} color {black} {(} a + b) ^ {5} ) y (60a ^ {4} b ^ {3} c (a + b) ^ {3} ) y (24 color {Cerulean} {a ^ {2}} color {black} {b ^ {7}} c ^ {3} color {Cerulean} {(a + b) ^ {2}} )

 

Los factores variables en común son (a ^ {2}, b ^ {2} ) y ((a + b) ^ {2} ). Por lo tanto,

 

( mathrm {GCF} = 12 cdot a ^ {2} cdot b ^ {2} cdot (a + b) ^ {2} )

 

Tenga en cuenta que la variable (c ) no es común a las tres expresiones y, por lo tanto, no está incluida en el MCD.

 

Respuesta

 

(12a ^ {2} b ^ {2} (a + b) ^ {2} )

 
 

Descomponiendo el MCD

 

La aplicación de la propiedad distributiva es la clave para multiplicar polinomios. Por ejemplo,

 

( begin {alineado} color {Cerulean} {6 xy ^ {2}} color {black} {(} 2 xy + 1) & = color {Cerulean} {6 xy ^ {2} } color {black} { cdot} 2 xy + color {Cerulean} {6 xy ^ {2}} color {black} { cdot} 1 quad color {Cerulean} {Multiplicando} \ & = 12 x ^ {2} y ^ {3} + 6 xy ^ {2} end {alineado} )

 

El proceso de factorizar un polinomio implica aplicar la propiedad distributiva a la inversa para escribir cada polinomio como un producto de factores polinomiales.

 

( begin {array} {cc} { color {Cerulean} {a} color {black} {(} b + c) = color {Cerulean} {a} color {black} {b } + color {Cerulean} {a} color {black} {c}} & { color {Cerulean} {Multiplicando}} \ { color {Cerulean} {a} color {black} {b} + color {Cerulean} {a} color {black} {c} = color {Cerulean} {a} color {black} {(} b + c)} & { color {Cerulean} {Factoring}} end {array} )

 

Considere factorizar el resultado del ejemplo de apertura:

 

( begin {alineado} 12 x ^ {2} y ^ {3} + 6 xy ^ {2} & = color {Cerulean} {6 xy ^ {2}} color {black} { cdot} 2 xy + color {Cerulean} {6 xy ^ {2}} color {black} { cdot} 1 quad color {Cerulean} {Factoring} \ & = color {Cerulean} {6 xy ^ {2}} color {black} {(} quad? Quad) \ & = color {Cerulean} {6 xy ^ {2}} color {black} {(} 2 xy + 1) final {alineado} )

 

Vemos que la propiedad distributiva nos permite escribir el polinomio (12x ^ {2} y ^ {3} + 6xy ^ {2} ) como producto de los dos factores (6xy ^ {2} ) y ((2xy + 1) ). Tenga en cuenta que en este caso, (6x ^ {2} y ) es el MCD de los términos del polinomio.

 

( operatorname {GCF} left (12 x ^ {2} y ^ {3}, 6 x y ^ {2} right) = 6 x y ^ {2} )

 

Factorizar el máximo común divisor (MCD) 10 de un polinomio implica reescribirlo como un producto donde un factor es el MCD de todos sus condiciones.

 

( left. Begin {array} {c} {8 x ^ {3} + 4 x ^ {2} – 16 x = color {Cerulean} {4 x} color {black} { izquierda (2 x ^ {2} + x – 4 derecha)}} \ {9 ab ^ {2} – 18 a ^ {2} b – 3 ab = color {Cerulean} {3 ab} color { negro} {(} 3 b – 6 a – 1)} end {array} right } quad color {Cerulean} {Factoring : out : the : GCF} )

 

Para factorizar el MCD de un polinomio, primero determinamos el MCD de todos sus términos. Luego podemos dividir cada término del polinomio por este factor como un medio para determinar el factor restante después de aplicar la propiedad distributiva a la inversa.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Factoriza el MCD: (18x ^ {7} −30x ^ {5} + 6x ^ {3} ).

 

Solución

 

En este caso, el (MCD (18, 30, 6) = 6 ), y el factor variable común con el exponente más pequeño es (x ^ {3} ). El MCD del polinomio es (6x ^ {3} ).

 

(18 x ^ {7} – 30 x ^ {5} + 6 x ^ {3} = color {Cerulean} {6 x ^ {3}} color {black} {(} quad? quad) )

 

El factor faltante se puede encontrar dividiendo cada término de la expresión original por el MCD.

 

( frac {18 x ^ {7}} { color {Cerulean} {6 x ^ {3}}} color {black} {=} 3 x ^ {4} quad frac {- 30 x ^ {5}} { color {Cerulean} {6 x ^ {3}}} color {black} {=} – 5 x ^ {2} quad frac {+ 6 x ^ {3}} { color {Cerulean} {6 x ^ {3}}} color {black} {=} + 1 )

 

Aplica la propiedad distributiva (a la inversa) usando los términos encontrados en el paso anterior.

 

(18 x ^ {7} – 30 x ^ {5} + 6 x ^ {3} = color {Cerulean} {6 x ^ {3}} color {black} { left (3 x ^ {4} – 5 x ^ {2} + 1 derecha)} )

 

Si el MCD es el mismo que uno de los términos, entonces, después de factorizar el MCD, quedará un término constante (1 ). La importancia de recordar el término constante se vuelve clara cuando se realiza la verificación utilizando la propiedad distributiva.

 

( begin {alineado} color {Cerulean} {6 x ^ {3}} color {black} { left (3 x ^ {4} – 5 x ^ {2} + 1 right) } & = color {Cerulean} {6 x ^ {3}} color {black} { cdot} 3 x ^ {4} – color {Cerulean} {6 x ^ {3}} color {black} { cdot} 5 x ^ {2} + color {Cerulean} {6 x ^ {3}} color {black} { cdot} 1 \ & = 18 x ^ {7} – 30 x ^ {5 } + 6 x ^ {3} quad color {Cerulean} {✓} end {alineado} )

 

Respuesta

 

(6 x ^ {3} left (3 x ^ {4} – 5 x ^ {2} + 1 right) )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Factoriza el MCD: (27x ^ {5} y ^ {5} z + 54x ^ {5} yz − 63x ^ {3} y ^ {4} ).

 

Solución

 

El MCD de los términos es (9x ^ {3} y ). El último término no tiene un factor variable de (z ) y, por lo tanto, (z ) no puede ser parte del máximo factor común. Si dividimos cada término por (9x ^ {3} y ), obtenemos

 

( frac {27 x ^ {5} y ^ {5} z} { color {Cerulean} {9 x ^ {3} y}} color {black} {=} 3 x ^ {2 } y ^ {4} z quad frac {54 x ^ {5} yz} { color {Cerulean} {9 x ^ {3} y}} color {black} {=} 6 x ^ {2} z quad frac {- 63 x ^ {3} y ^ {4}} { color {Cerulean} {9 x ^ {3} y}} color {black} {=} – 7 y ^ {3} )

 

y puede escribir

 

( begin {alineado} 27 x ^ {5} y ^ {5} z + 54 x ^ {5} yz – 63 x ^ {3} y ^ {4} & = color {Cerulean} { 9 x ^ {3} y} color {negro} {(} quad? Quad) \ & = 9 x ^ {3} y left (3 x ^ {2} y ^ {4} z + 6 x ^ {2} z – 7 y ^ {3} right) end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(9 x ^ {3} y left (3 x ^ {2} y ^ {4} z + 6 x ^ {2} z – 7 y ^ {3} right) )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Factoriza el MCD: (12 x ^ {3} y ^ {4} – 6 x ^ {2} y ^ {3} – 3 x y ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(3 x y ^ {2} izquierda (4 x ^ {2} y ^ {2} – 2 x y – 1 derecha) )

     

     
 
 
 

Por supuesto, no todos los polinomios con coeficientes enteros pueden factorizarse como un producto de polinomios con coeficientes enteros distintos de (1 ) y en sí mismos. Si este es el caso, entonces decimos que es un primer polinomio 11 . Por ejemplo, un factor lineal como (10x − 9 ) es primo. Sin embargo, se puede factorizar de la siguiente manera:

 

(10 ​​x – 9 = x left (10 – frac {9} {x} right) quad text {o} quad 10 x – 9 = 5 left (2 x – frac {9} {5} right) )

 

Si se factoriza un x , el factor resultante no es un polinomio. Si se excluye cualquier constante, el factor polinomial resultante no tendrá coeficientes enteros. Además, algunos factores lineales no son primos. Por ejemplo,

 

(5x − 10 = 5 (x − 2) )

 

En general, cualquier factor lineal de la forma (ax + b ), donde (a ) y (b ) son enteros relativamente primos, es primo.

 

Factoring por agrupación

 

En esta sección, describimos una técnica para factorizar polinomios con cuatro términos. Primero, revise un ejemplo preliminar donde los términos tienen un factor binomial común.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Factor: (7x (3x − 2) – (3x − 2) ).

 

Solución

 

Comience reescribiendo el segundo término (- (3x − 2) ) como (- 1 (3x − 2) ). A continuación, considere ((3x − 2) ) como un factor binomial común y descomprímalo de la siguiente manera:

 

( begin {alineado} 7 x (3 x – 2) – (3 x – 2) & = 7 x color {Cerulean} {(3 x – 2)} color {black} {-} 1 color {Cerulean} {(3 x – 2)} \ & = color {Cerulean} {(3 x – 2)} color {black} {(} quad? Quad) \ & = ( 3 x – 2) (7 x – 1) end {alineado} )

 

Respuesta :

 

((3x − 2) (7x − 1) )

 
 

Factoring agrupando 12 es una técnica que nos permite factorizar polinomios con cuatro términos en un producto de binomios. Esto implica un paso intermedio donde se factorizará un factor binomial común. Por ejemplo, deseamos factorizar

 

(3x ^ {3} −12x ^ {2} + 2x − 8 )

 

Comience agrupando los dos primeros términos y los dos últimos. Luego factoriza el MCD de cada grupo:

 
479e48452dc0066e5802335d0472e3dc.png
Figura 4.2.1
 

En esta forma, el polinomio es un binomio con un factor binomial común, ((x − 4) ).

 

( begin {array} {c} {= (x – 4) ( quad? Quad)} \ {= (x – 4) left ( color {Cerulean} {3 x ^ { 2} + 2} right)} end {array} )

 

Por lo tanto,

 

(3 x ^ {3} – 12 x ^ {2} + 2 x – 8 = (x – 4) left (3 x ^ {2} + 2 right) )

 

Podemos verificar multiplicando.

 

( begin {alineado} (x – 4) left (3 x ^ {2} + 2 right) & = 3 x ^ {3} + 2 x – 12 x ^ {2} – 8 & = 3 x ^ {3} – 12 x ^ {2} + 2 x – 8 end {alineado} : : color {Cerulean} {✓} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Factoriza agrupando (24a ^ {4} −18a ^ {3} −20a + 15 ).

 

Solución

 

El MCD del primer grupo es (6a ^ {3} ). Tenemos que elegir (5 ) o (- 5 ) para factorizar fuera del segundo grupo.

 
57e297e95cc01943bcf70f45ca5522d7.png
Figura 4.2.2
 

La factorización (+ 5 ) no da como resultado un factor binomial común. Si elegimos factorizar (- 5 ), obtenemos un factor binomial común y podemos proceder. Tenga en cuenta que al factorizar un número negativo, cambiamos los signos de los términos factorizados.

 
b47a9f5d08f1e9fab7e607a388bf93ec.png
Figura 4.2.3
 

Respuesta

 

((4a − 3) (6a ^ {3} −5) ). Verificar multiplicando; esto se deja al lector como ejercicio.

 
 

Algunas veces primero debemos reorganizar los términos para obtener un factor común.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Factor (ab -2a ^ {2} b + a ^ {3} -2b ^ {2} ).

 

Solución

 

Simplemente factorizar el MCD del primer grupo y el último grupo no produce un factor binomial común.

 
d2a13fa4d912e74207ae2723fd26f861.png
Figura 4.2.4
 

Debemos reorganizar los términos, buscando una agrupación que produzca un factor común. En este ejemplo, tenemos una agrupación viable si cambiamos los términos (a ^ {3} ) y (ab ).

 
b09a58cd1aafd7d6e78e0dfe1fa97466.png
Figura 4.2.5
 

Respuesta

 

((a – 2 b) left (a ^ {2} + b right) )

 
 

No todos los polinomios factorizables de cuatro términos se pueden factorizar con esta técnica. Por ejemplo,

 

(3x ^ {3} + 5x ^ {2} −x + 2 )

 

Este polinomio de cuatro términos no puede agruparse de ninguna manera para producir un factor binomial común. A pesar de esto, el polinomio no es primo y puede escribirse como un producto de polinomios. Se puede factorizar de la siguiente manera:

 

(3x ^ {3} + 5x ^ {2} −x + 2 = (x + 2) (3x ^ {2} −x + 1) )

 

Factorizar tales polinomios es algo que aprenderemos a medida que avancemos en nuestro estudio del álgebra. Por ahora, limitaremos nuestro intento de factorizar polinomios de cuatro términos para usar el factor mediante la técnica de agrupación.

 

Factoring binomios especiales

 

Un binomio es un polinomio con dos términos. Comenzamos con el binomio especial llamado diferencia de cuadrados 13 :

 

(a ^ {2} −b ^ {2} = (a + b) (a − b) )

 

Para verificar la fórmula anterior, multiplique.

 

( begin {alineado} (a + b) (a – b) & = a ^ {2} – ab + ba – b ^ {2} \ & = a ^ {2} color {rojo { } {- ab + ab} color {negro} {-} b ^ {2} \ & = a ^ {2} – b ^ {2} end {alineado} )

 

Utilizamos esta fórmula para factorizar ciertos binomios especiales.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Factor (x ^ {2} -9y ^ {2} ).

 

Solución

 

Identifica el binomio como la diferencia de cuadrados y determina los factores cuadrados de cada término.

 
15cbd89c4be3f683b378d13eabe7bbf3.png
Figura 4.2.6
 

Aquí podemos escribir

 

(x ^ {2} – 9 y ^ {2} = ( color {Cerulean} {x} color {black} {)} ^ {2} – ( color {Cerulean} {3 y} color {black} {)} ^ {2} )

 

Sustituir en la fórmula de diferencia de cuadrados donde (a = x ) y (b = 3y ).

 

( begin {array} {c} {a ^ {2} – b ^ {2} = (a + b) (a – b)} \ { quad quad quad quad color {Cerulean} { downarrow quad downarrow quad : downarrow quad downarrow}} \ {x ^ {2} – 9 y ^ {2} = (x + 3 y) (x – 3 y) } end {array} )

 

Multiplica para verificar:

 

( begin {alineado} (x + 3 y) (x – 3 y) & = x ^ {2} – 3 xy + 3 yx – 9 y ^ {2} \ & = x ^ {2 } – 3 xy + 3 xy – 9 y ^ {2} \ & = x ^ {2} – 9 y ^ {2} : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) [ 19459003]  

Respuesta

 

((x + 3 y) (x – 3 y) )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Factor: (x ^ {2} – (2 x – 1) ^ {2} ).

 

Solución

 

Primero, identifica esta expresión como una diferencia de cuadrados.

 

(x ^ {2} – (2 x – 1) ^ {2} = ( color {Cerulean} {x} color {black} {)} ^ {2} – ( color {Cerulean} {2 x – 1} color {negro} {)} ^ {2} )

 

Usa (a = x ) y (b = 2x − 1 ) en la fórmula para una diferencia de cuadrados y luego simplifica.

 

(a ^ {2} – b ^ {2} = (a + b) (a – b) )

 

( begin {alineado} x ^ {2} – (2 x – 1) ^ {2} & = [x + (2 x – 1)] [x – (2 x – 1)] \ & = (x + 2 x – 1) (x – 2 x + 1) \ & = (3 x – 1) (- x + 1) end {alineado} )

 

Respuesta

 

((3x − 1) (- x + 1) )

 
 

Dado cualquier número real (b ), un polinomio de la forma (x ^ {2} + b ^ {2} ) es primo. Además, la suma de cuadrados 14 (a ^ {2} + b ^ {2} ) no tiene un factor general equivalente. Se debe tener cuidado de no confundir esto con un trinomio cuadrado perfecto.

 

( begin {alineado} (a + b) ^ {2} & = (a + b) (a + b) \ & = a ^ {2} + ab + ba + b ^ {2} \ & = a ^ {2} + 2 ab + b ^ {2} end {alineado} )

 

Por lo tanto,

 

((a + b) ^ {2} ≠ a ^ {2} + b ^ {2} )

 

Por ejemplo, la suma de cuadrados binomiales (x ^ {2} +9 ) es primo. Otros dos binomios especiales de interés son la suma 15 y diferencia de cubos 16 [19459020 ]:

 

( begin {alineado} a ^ {3} + b ^ {3} & = (a + b) left (a ^ {2} – ab + b ^ {2} right) \ a ^ {3} – b ^ {3} & = (a – b) left (a ^ {2} + ab + b ^ {2} right) end {alineado} )

 

Podemos verificar estas fórmulas multiplicando.

 

( begin {alineado} (a + b) left (a ^ {2} – ab + b ^ {2} right) & = a ^ {3} – a ^ {2} b + ab ^ {2} + a ^ {2} b – ab ^ {2} + b ^ {3} \ & = a ^ {3} + b ^ {3} end {alineado} : : color { Cerulean} {✓} )

 

( begin {alineado} (a – b) left (a ^ {2} + ab + b ^ {2} right) & = a ^ {3} + a ^ {2} b + ab ^ {2} – a ^ {2} b – ab ^ {2} – b ^ {3} \ & = a ^ {3} – b ^ {3} end {alineado} : : color { Cerulean} {✓} )

 

El proceso para factorizar sumas y diferencias de cubos es muy similar al de las diferencias de cuadrados. Primero identificamos (a ) y (b ) y luego lo sustituimos en la fórmula apropiada. Las fórmulas separadas para la suma y diferencia de cubos nos permiten elegir siempre (a ) y (b ) para que sean positivas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Factor (x ^ {3} -8y ^ {3} ).

 

Solución

 

Primero, identifique este binomio como una diferencia de cubos.

 
8ad239686f2d5c99d10ce4b53472d5d2.png
Figura 4.2.7
 

Luego, identifica lo que se está cubicando.

 

(x ^ {3} – 8 y ^ {3} = ( color {Cerulean} {x} color {black} {)} ^ {3} – ( color {Cerulean} {2 y} color {black} {)} ^ {3} )

 

En este caso, (a = x ) y (b = 2y ). Sustituir en la fórmula de diferencia de cubos.

 

( begin {alineado} a ^ {3} + b ^ {3} = (a : : – b : 🙂 left (a ^ {2} : : + a : cdot : b : : : + b ^ {2} right) : : : : \ color {Cerulean} { downarrow quad : : : downarrow quad : : downarrow : : : quad : : downarrow quad downarrow quad : : : : : downarrow quad : : :} \ x ^ {3} – 8 y ^ {3} = (x – 2 y) left ((x) ^ {2} + x cdot 2 y + (2 y) ^ {2} right) \ = (x – 2 y) left (x ^ {2} + 2 xy + 4 y ^ {2} right) end {alineado} )

 

Podemos verificar esta factorización multiplicando.

 

( begin {alineado} (x – 2 y) left (x ^ {2} + 2 xy + 4 y ^ {2} right) & = x ^ {3} + 2 x ^ {2 } y + 4 xy ^ {2} – 2 x ^ {2} y – 4 xy ^ {2} – 8 y ^ {3} \ & = x ^ {3} color {rojo} {+ 2 x ^ {2} y} color {OliveGreen} {+ 4 xy ^ {2}} color {red} {- 2 x ^ {2} y} color {OliveGreen} {- 4 xy ^ {2}} color {negro} {- 8 y ^ {3}} \ & = x ^ {3} – 8 y ^ {3} end {alineado} : : color {Cerulean} {✓} )

 

Respuesta

 

((x – 2 y) left (x ^ {2} + 2 x y + 4 y ^ {2} right) )

 
 

Puede darse el caso de que los términos del binomio tengan un factor común. Si es así, será difícil identificarlo como un binomio especial hasta que primero descartemos el MCD.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Factor: (81 x ^ {4} y + 3 x y ^ {4} ).

 

Solución

 

Los términos no son cuadrados perfectos o cubos perfectos. Sin embargo, tenga en cuenta que tienen un factor común. Primero, factorice el MCD, (3xy ).

 

(81 x ^ {4} y + 3 x y ^ {4} = 3 x y left (27 x ^ {3} + y ^ {3} right) )

 

El factor binomial resultante es una suma de cubos con (a = 3x ) y (b = y ).

 

( begin {alineado} 81 x ^ {4} y + 3 xy ^ {4} & = 3 xy left (27 x ^ {3} + y ^ {3} right) \ & = 3 xy (3 x + y) left (9 x ^ {2} – 3 xy + y ^ {2} right) end {alineado} )

 

Respuesta

 

(3 x y (3 x + y) left (9 x ^ {2} – 3 x y + y ^ {2} right) )

 
 

Cuando el grado del binomio especial es mayor que dos, es posible que necesitemos aplicar las fórmulas varias veces para obtener una factorización completa. Un polinomio es factorizado completamente 17 cuando es primo o está escrito como un producto de polinomios primos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Factoriza completamente (x ^ {4} – 81 y ^ {4} ).

 

Solución

 

Primero, identifica lo que se está elevando al cuadrado.

 

(x ^ {4} – 81 y ^ {4} = (: 🙂 ^ {2} – (: 🙂 ^ {2} )

 

Para hacer esto, recuerda la regla de potencia para exponentes, ((x ^ {m}) ^ {n} = x ^ {mn} ). Cuando los exponentes se elevan a una potencia, multiplíquelos. Con esto en mente, encontramos

 

(x ^ {4} – 81 y ^ {4} = left ( color {Cerulean} {x ^ {2}} right) ^ {2} – left ( color {Cerulean} { 9 y ^ {2}} right) ^ {2} )

 

Por lo tanto, (a = x ^ {2} ) y (b = 9y ^ {2} ). Sustituir en la fórmula la diferencia de cuadrados.

 

(x ^ {4} – 81 y ^ {4} = left (x ^ {2} + 9 y ^ {2} right) left (x ^ {2} – 9 y ^ {2 } right) )

 

En este punto, observe que el factor ((x ^ {2} −9y ^ {2}) ) es en sí mismo una diferencia de dos cuadrados y, por lo tanto, puede factorizarse más usando (a = x ^ {2 } ) y (b = 3y ). El factor ((x ^ {2} + 9y ^ {2}) ) es primo y no puede factorizarse usando números reales.

 

( begin {alineado} x ^ {4} – 81 y ^ {4} & = left (x ^ {2} + 9 y ^ {2} right) left (x ^ {2} – 9 y ^ {2} right) \ & = left (x ^ {2} + 9 y ^ {2} right) (x + 3 y) (x – 3 y) end {alineado} )

 

Respuesta

 

( left (x ^ {2} + 9 y ^ {2} right) (x + 3 y) (x – 3 y) )

 
 

Al factorizar, siempre busca los factores resultantes para factorizar más.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Factoriza completamente (64 x ^ {6} – y ^ {6} ).

 

Solución

 

Este binomio es tanto una diferencia de cuadrados como una diferencia de cubos.

 

( begin {array} {l} {64 x ^ {6} – y ^ {6} = left ( color {Cerulean} {4 x ^ {2}} right) ^ {3} – left ( color {Cerulean} {y ^ {2}} right) ^ {3} quad color {Cerulean} {Diferencia : de : cubos}} \ {64 x ^ {6} – y ^ {6} = left ( color {Cerulean} {8 x ^ {3}} right) ^ {2} – left ( color {Cerulean} {y ^ {3}} right) ^ { 2} quad color {Cerulean} {Diferencia : de : cuadrados}} end {array} )

 

Cuando se confronta con un binomio que es una diferencia tanto de cuadrados como de cubos, como es esto, haga una regla factorizar usando la diferencia de cuadrados primero. Por lo tanto, (a = 8x ^ {3} ) y (b = y ^ {3} ). Sustituir en la fórmula de diferencia de cuadrados.

 

(64 x ^ {6} – y ^ {6} = left (8 x ^ {3} + y ^ {3} right) left (8 x ^ {3} – y ^ {3 } right) )

 

Los dos factores binomiales resultantes son la suma y la diferencia de cubos. Cada uno puede factorizarse más. Por lo tanto, tenemos

 
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Figura 4.2.8
 

Los factores trinomiales son primos y la expresión está completamente factorizada.

 

Respuesta

 

((2 x + y) left (4 x ^ {2} – 2 xy + y ^ {2} right) (2 x – y) left (4 x ^ {2} + 2 xy + y ^ {2} right) )

 
 

Como ejercicio, primero factoriza el ejemplo anterior como una diferencia de cubos y luego compara los resultados. ¿Por qué crees que hacemos una regla factorizar usando la diferencia de cuadrados primero?

 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Factor: (a ^ {6} b ^ {6} – 1 )

 
     
Respuesta
     
     

((ab + 1) left (a ^ {2} b ^ {2} – ab + 1 right) (ab – 1) left (a ^ {2} b ^ {2} + ab + 1 derecha) )

     

     
 
 
 

Puntos clave

 
         
  • El MCD de dos o más monomios es el producto del MCD de los coeficientes y los factores variables comunes con la potencia más pequeña.
  •      
  • Si los términos de un polinomio tienen un factor común máximo, descomprima ese MCD utilizando la propiedad distributiva. Divida cada término del polinomio por el MCD para determinar los términos del factor restante.
  •      
  • Algunos polinomios de cuatro términos pueden factorizarse agrupando los dos primeros términos y los dos últimos. Factoriza el MCD de cada grupo y luego factoriza el factor binomial común.
  •      
  • Al factorizar agrupando, a veces tienes que reorganizar los términos para encontrar un factor binomial común. Después de factorizar el MCD, los factores binomiales restantes deben ser los mismos para que la técnica funcione.
  •      
  • Al factorizar binomios especiales, el primer paso es identificarlo como una suma o diferencia. Una vez que identificamos el binomio, determinamos los valores de (a ) y (b ) y luego los sustituimos en la fórmula apropiada.
  •      
  • Si un binomio es a la vez una diferencia de cuadrados y cubos, primero factorízalo como una diferencia de cuadrados.
  •  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Determine el MCD de las expresiones dadas.

 
         
  1. (9 x ^ {5}, 27 x ^ {2}, 15 x ^ {7} )
  2.      
  3. (20 y ^ {4}, 12 y ^ {7}, 16 y ^ {3} )
  4.      
  5. (50 x ^ {2} y ^ {3}, 35 x y ^ {3}, 10 x ^ {3} y ^ {2} )
  6.      
  7. (12 x ^ {7} y ​​^ {2}, 36 x ^ {4} y ^ {2}, 18 x ^ {3} y )
  8.      
  9. (15 a ^ {7} b ^ {2} c ^ {5}, 75 a ^ {7} b ^ {3} c, 45 ab ^ {4} c ^ {3} ) [19459006 ]      
  10. (12 a ^ {6} b ^ {3} c ^ {2}, 48 a b c ^ {3}, 125 a ^ {2} b ^ {3} c )
  11.      
  12. (60 x ^ {2} (2 x – 1) ^ {3}, 42 x (2 x – 1) ^ {3}, 6 x ^ {3} (2 x – 1) ) [ 19459006]      
  13. (14 y ^ {5} (y – 8) ^ {2}, 28 y ^ {2} (y – 8), 35 y (y – 8) ^ {3} )
  14.      
  15. (10 ​​a ^ {2} b ^ {3} (a + b) ^ {5}, 48 a ^ {5} b ^ {2} (a + b) ^ {2}, 26 ab ^ {5} (a + b) ^ {3} )
  16.      
  17. (45 ab ^ {7} (a – b) ^ {7}, 36 a ^ {2} b ^ {2} (a – b) ^ {3}, 63 a ^ {4} b ^ {3} (a – b) ^ {2} )
  18.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (3x ^ {2} )

     

3. (5xy ^ {2} )

     

5. (15ab ^ {2} c )

     

7. (6x (2x-1) )

     

9. (2 a b ^ {2} (a + b) ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Determine el factor faltante.

 
         
  1. (18 x ^ {4} – 6 x ^ {3} + 2 x ^ {2} = 2 x ^ {2} (: 😕 : 🙂 )
  2.      
  3. (6 x ^ {5} – 9 x ^ {3} – 3 x = 3 x (: 😕 : 🙂 )
  4.      
  5. (- 10 y ^ {6} + 6 y ^ {4} – 4 y ^ {2} = – 2 y ^ {2} (: 😕 : 🙂 )
  6.      
  7. (- 27 y ^ {9} – 9 y ^ {6} + 3 y ^ {3} = – 3 y ^ {3} (: 😕 : 🙂 )
  8.      
  9. (12 x ^ {3} y ^ {2} – 8 x ^ {2} y ^ {3} + 8 x y = 4 x y (: 😕 : 🙂 )
  10.      
  11. (10 ​​x ^ {4} y ^ {3} – 50 x ^ {3} y ^ {2} + 15 x ^ {2} y ^ {2} = 5 xy (: 😕 : 🙂 )
  12.      
  13. (14 a ^ {4} b ^ {5} – 21 a ^ {3} b ^ {4} – 7 a ^ {2} b ^ {3} = 7 a ^ {2} b ^ { 3} (: 😕 : 🙂 )
  14.      
  15. (15 a ^ {5} b ^ {4} + 9 a ^ {4} b ^ {2} – 3 a ^ {2} b = 3 a ^ {2} b (: 😕 : 🙂 )
  16.      
  17. (x ^ { 3 n } + x ^ { 2 n } + x ^ { n } = x ^ { n } ( ::?:: ))
  18.      
  19. (y ^ { 4 n } + y ^ { 3 n } – y ^ { 2 n } = y ^ { 2 n } ( ::?:: ))
  20.  
 
     
Answer
     
     

1. (left( 9 x ^ { 2 } – 3 x + 1 right))

     

3. (left( 5 y ^ { 4 } – 3 y ^ { 2 } + 2 right))

     

5. (left( 3 x ^ { 2 } y – 2 x y ^ { 2 } + 2 right))

     

7. (left( 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } – 3 a b – 1 right))

     

9. (left( x ^ { 2 n } + x ^ { n } + 1 right))

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Factor out the GCF.

 
         
  1. (12 x ^ { 4 } – 16 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 })
  2.      
  3. (15 x ^ { 5 } – 10 x ^ { 4 } – 5 x ^ { 3 })
  4.      
  5. (20 y ^ { 8 } + 28 y ^ { 6 } + 40 y ^ { 3 })
  6.      
  7. (18 y ^ { 7 } – 24 y ^ { 5 } – 30 y ^ { 3 })
  8.      
  9. (2 a ^ { 4 } b ^ { 3 } – 6 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 8 a ^ { 2 } b)
  10.      
  11. (28 a ^ { 3 } b ^ { 3 } – 21 a ^ { 2 } b ^ { 4 } – 14 a b ^ { 5 })
  12.      
  13. (2 x ^ { 3 } y ^ { 5 } – 4 x ^ { 4 } y ^ { 4 } + x ^ { 2 } y ^ { 3 })
  14.      
  15. (3 x ^ { 5 } y – 2 x ^ { 4 } y ^ { 2 } + x ^ { 3 } y ^ { 3 })
  16.      
  17. (5 x ^ { 2 } ( 2 x + 3 ) – 3 ( 2 x + 3 ))
  18.      
  19. (y ^ { 2 } ( y – 1 ) + 9 ( y – 1 ))
  20.      
  21. (9 x ^ { 2 } ( 3 x – 1 ) + ( 3 x – 1 ))
  22.      
  23. (7 y ^ { 2 } ( 5 y + 2 ) – ( 5 y + 2 ))
  24.      
  25. (x ^ { 5 n } – x ^ { 3 n } + x ^ { n })
  26.      
  27. (y ^ { 6 n } – y ^ { 3 n } – y ^ { 2 n })
  28.  
 
     
Answer
     
     

1. (4 x ^ { 2 } left( 3 x ^ { 2 } – 4 x + 1 right))

     

3. (4 y ^ { 3 } left( 5 y ^ { 5 } + 7 y ^ { 3 } + 10 right))

     

5. (2 a ^ { 2 } b left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } – 3 a b + 4 right))

     

7. (x ^ { 2 } y ^ { 3 } left( 2 x y ^ { 2 } – 4 x ^ { 2 } y + 1 right))

     

9. (( 2 x + 3 ) left( 5 x ^ { 2 } – 3 right))

     

11. (( 3 x – 1 ) left( 9 x ^ { 2 } + 1 right))

     

13. (x ^ { n } left( x ^ { 4 n } – x ^ { 2 n } + 1 right))

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Factor by grouping.

 
         
  1. (2 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + 2 x + 3)
  2.      
  3. (5 x ^ { 3 } + 25 x ^ { 2 } + x + 5)
  4.      
  5. (6 x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } + 4 x – 2)
  6.      
  7. (3 x ^ { 3 } – 2 x ^ { 2 } – 15 x + 10)
  8.      
  9. (x ^ { 3 } – x ^ { 2 } – 3 x + 3)
  10.      
  11. (6 x ^ { 3 } – 15 x ^ { 2 } – 2 x + 5)
  12.      
  13. (2 x ^ { 3 } + 7 x ^ { 2 } – 10 x – 35)
  14.      
  15. (3 x ^ { 3 } – x ^ { 2 } + 24 x – 8)
  16.      
  17. (14 y ^ { 4 } + 10 y ^ { 3 } – 7 y – 5)
  18.      
  19. (5 y ^ { 4 } + 2 y ^ { 3 } + 20 y + 8)
  20.      
  21. (x ^ { 4 n } + x ^ { 3 n } + 2 x ^ { n } + 2)
  22.      
  23. (x ^ { 5 n } + x ^ { 3 n } + 3 x ^ { 2 n } + 3)
  24.      
  25. (x ^ { 3 } – x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } – y ^ { 3 })
  26.      
  27. (x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y – 2 x y ^ { 2 } – 2 y ^ { 3 })
  28.      
  29. (3 x ^ { 3 } y ^ { 2 } + 9 x ^ { 2 } y ^ { 3 } – x – 3 y)
  30.      
  31. (2 x ^ { 3 } y ^ { 3 } – x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 2 x – y)
  32.      
  33. (a ^ { 2 } b – 4 a b ^ { 2 } – 3 a + 12 b)
  34.      
  35. (a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 } + 5 a + 15 b)
  36.      
  37. (a ^ { 4 } + a ^ { 2 } b ^ { 3 } + a ^ { 2 } b + b ^ { 4 })
  38.      
  39. (a ^ { 3 } b + 2 a ^ { 2 } + 3 a b ^ { 4 } + 6 b ^ { 3 })
  40.      
  41. (3 a x + 10 b y – 5 a y – 6 b x)
  42.      
  43. (a ^ { 2 } x – 5 b ^ { 2 } y – 5 a ^ { 2 } y + b ^ { 2 } x)
  44.      
  45. (x ^ { 4 } y ^ { 2 } – x ^ { 3 } y ^ { 3 } + x ^ { 2 } y ^ { 4 } – x y ^ { 5 })
  46.      
  47. (2 x ^ { 5 } y ^ { 2 } + 4 x ^ { 4 } y ^ { 2 } + 18 x ^ { 3 } y + 36 x ^ { 2 } y)
  48.      
  49. (a ^ { 5 } b ^ { 2 } + a ^ { 4 } b ^ { 4 } + a ^ { 3 } b ^ { 3 } + a ^ { 2 } b ^ { 5 })
  50.      
  51. (3 a ^ { 6 } b + 3 a ^ { 5 } b ^ { 2 } + 9 a ^ { 4 } b ^ { 2 } + 9 a ^ { 3 } b ^ { 3 })
  52.  
 
     
Answer
     
     

1. (( 2 x + 3 ) left( x ^ { 2 } + 1 right))

     

3. (( 2 x – 1 ) left( 3 x ^ { 2 } + 2 right))

     

5. (( x – 1 ) left( x ^ { 2 } – 3 right))

     

7. (( 2 x + 7 ) left( x ^ { 2 } – 5 right))

     

9. (( 7 y + 5 ) left( 2 y ^ { 3 } – 1 right))

     

11. (left( x ^ { n } + 1 right) left( x ^ { 3 n } + 2 right))

     

13. (( x – y ) left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } right))

     

15. (( x + 3 y ) left( 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } – 1 right))

     

17. (( a – 4 b ) ( a b – 3 ))

     

19. (left( a ^ { 2 } + b right) left( a ^ { 2 } + b ^ { 3 } right))

     

21. (( a – 2 b ) ( 3 x – 5 y ))

     

23. (x y ^ { 2 } ( x – y ) left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } right))

     

25. (a ^ { 2 } b ^ { 2 } left( a ^ { 2 } + b right) left( a + b ^ { 2 } right))

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Factor.

 
         
  1. (x^{2}-64)
  2.      
  3. (x^{2}-100)
  4.      
  5. (9-4y^{2})
  6.      
  7. (25 – y^{2})
  8.      
  9. (x ^ { 2 } – 81 y ^ { 2 })
  10.      
  11. (x ^ { 2 } – 49 y ^ { 2 })
  12.      
  13. (a ^ { 2 } b ^ { 2 } – 4)
  14.      
  15. (1 – 9 a ^ { 2 } b ^ { 2 })
  16.      
  17. (a ^ { 2 } b ^ { 2 } – c ^ { 2 })
  18.      
  19. (4 a ^ { 2 } – b ^ { 2 } c ^ { 2 })
  20.      
  21. (x ^ { 4 } – 64)
  22.      
  23. (36 – y ^ { 4 })
  24.      
  25. (( 2 x + 5 ) ^ { 2 } – x ^ { 2 })
  26.      
  27. (( 3 x – 5 ) ^ { 2 } – x ^ { 2 })
  28.      
  29. (y ^ { 2 } – ( y – 3 ) ^ { 2 })
  30.      
  31. (y ^ { 2 } – ( 2 y + 1 ) ^ { 2 })
  32.      
  33. (( 2 x + 5 ) ^ { 2 } – ( x – 3 ) ^ { 2 })
  34.      
  35. (( 3 x – 1 ) ^ { 2 } – ( 2 x – 3 ) ^ { 2 })
  36.      
  37. (x ^ { 4 } – 16)
  38.      
  39. (81 x ^ { 4 } – 1)
  40.      
  41. (x ^ { 4 } y ^ { 4 } – 1)
  42.      
  43. (x ^ { 4 } – y ^ { 4 })
  44.      
  45. (x ^ { 8 } – y ^ { 8 })
  46.      
  47. (y ^ { 8 } – 1)
  48.      
  49. (x ^ { 2 n } – y ^ { 2 n })
  50.      
  51. (x ^ { 2 n } y ^ { 2 n } – 4)
  52.      
  53. (x ^ { 4 n } – y ^ { 4 n })
  54.      
  55. (x ^ { 4 n } y ^ { 4 n } – 16)
  56.      
  57. (x ^ { 3 } – 27)
  58.      
  59. (8 x ^ { 3 } – 125)
  60.      
  61. (8 y ^ { 3 } + 27)
  62.      
  63. (64 x ^ { 3 } + 343)
  64.      
  65. (x ^ { 3 } – y ^ { 3 })
  66.      
  67. (x ^ { 3 } + y ^ { 3 })
  68.      
  69. (8 a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 1)
  70.      
  71. (27 a ^ { 3 } – 8 b ^ { 3 })
  72.      
  73. (x ^ { 3 } y ^ { 3 } – 125)
  74.      
  75. (216 x ^ { 3 } + y ^ { 3 })
  76.      
  77. (x ^ { 3 } + ( x + 3 ) ^ { 3 })
  78.      
  79. (y ^ { 3 } – ( 2 y – 1 ) ^ { 3 })
  80.      
  81. (( 2 x + 1 ) ^ { 3 } – x ^ { 3 })
  82.      
  83. (( 3 y – 5 ) ^ { 3 } – y ^ { 3 })
  84.      
  85. (x ^ { 3 n } – y ^ { 3 n })
  86.      
  87. (x ^ { 3 n } + y ^ { 3 n })
  88.      
  89. (a ^ { 6 } + 64)
  90.      
  91. (64 a ^ { 6 } – 1)
  92.      
  93. (x ^ { 6 } – y ^ { 6 })
  94.      
  95. (x ^ { 6 } + y ^ { 6 })
  96.      
  97. (x ^ { 6 n } – y ^ { 6 n })
  98.      
  99. (x ^ { 6 n } + y ^ { 6 n })
  100.      
  101. Given (f (x) = 2x − 1), show that ((f + f ) (x) = 2f (x)).
  102.      
  103. Given (f (x) = x^{2} − 3x + 2), show that ((f + f ) (x) = 2f (x)).
  104.      
  105. Given (f (x) = mx + b), show that ((f + f ) (x) = 2f (x)).
  106.      
  107. Given (f (x) = ax^{2} + bx + c), show that ((f + f ) (x) = 2f (x)).
  108.      
  109. Given (f (x) = ax^{2} + bx + c), show that ((f − f ) (x) = 0).
  110.      
  111. Given (f (x) = mx + b), show that ((f − f ) (x) = 0).
  112.  
 
     
Answer
     
     

1. (( x + 8 ) ( x – 8 ))

     

3. (( 3 + 2 y ) ( 3 – 2 y ))

     

5. (( x + 9 y ) ( x – 9 y ))

     

7. (( a b + 2 ) ( a b – 2 ))

     

9. (( a b + c ) ( a b – c ))

     

11. (left( x ^ { 2 } + 8 right) left( x ^ { 2 } – 8 right))

     

13. (( 3 x + 5 ) ( x + 5 ))

     

15. (3 ( 2 y – 3 ))

     

17. (( 3 x + 2 ) ( x + 8 ))

     

19. (left( x ^ { 2 } + 4 right) ( x + 2 ) ( x – 2 ))

     

21. (left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 1 right) ( x y + 1 ) ( x y – 1 ))

     

23. (left( x ^ { 4 } + y ^ { 4 } right) left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } right) ( x + y ) ( x – y ))

     

25. (left( x ^ { n } + y ^ { n } right) left( x ^ { n } – y ^ { n } right))

     

27. (left( x ^ { 2 n } + y ^ { 2 n } right) left( x ^ { n } + y ^ { n } right) left( x ^ { n } – y ^ { n } right))

     

29. (( x – 3 ) left( x ^ { 2 } + 3 x + 9 right))

     

31. (( 2 y + 3 ) left( 4 y ^ { 2 } – 6 y + 9 right))

     

33. (( x – y ) left( x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } right))

     

35. (( 2 a b + 1 ) left( 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } – 2 a b + 1 right))

     

37. (( x y – 5 ) left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 x y + 25 right))

     

39. (( 2 x + 3 ) left( x ^ { 2 } + 3 x + 9 right))

     

41. (( x + 1 ) left( 7 x ^ { 2 } + 5 x + 1 right))

     

43. (left( x ^ { n } – y ^ { n } right) left( x ^ { 2 n } + x ^ { n } y ^ { n } + y ^ { 2 n } right))

     

45. (left( a ^ { 2 } + 4 right) left( a ^ { 4 } – 4 a ^ { 2 } + 16 right))

     

47. (( x + y ) left( x ^ { 2 } – x y + y ^ { 2 } right) ( x – y ) left( x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } right))

     

49. (begin{array} { l } { left( x ^ { n } + y ^ { n } right) left( x ^ { 2 n } – x ^ { n } y ^ { n } + y ^ { 2 n } right) } { times left( x ^ { n } – y ^ { n } right) left( x ^ { 2 n } + x ^ { n } y ^ { n } + y ^ { 2 n } right) } end{array})

     

51. Answer may vary

     

53. Answer may vary

     

55. Answer may vary

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 
         
  1.      

    What can be said about the degree of a factor of a polynomial? Give an example.

         
  2.      
  3.      

    If a binomial falls into both categories, difference of squares and difference of cubes, which would be best to use for factoring, and why? Create an example that illustrates this situation and factor it using both formulas.

         
  4.      
  5.      

    Write your own examples for each of the three special types of binomial. Factor them and share your results.

         
  6.  
 
     
Answer
     
     

1. Answer may vary

     

3. Answer may vary

     
 
 
 

Footnotes

 

5 The process of writing a number or expression as a product.

 

6 Any combination of factors, multiplied together, resulting in the product.

 

7 Any of the numbers or expressions that form a product.

 

8 The product of the common variable factors and the GCF of the coefficients.

 

9 Expressions that share no common factors other than (1).

 

10 The process of rewriting a polynomial as a product using the GCF of all of its terms.

 

11 A polynomial with integer coefficients that cannot be factored as a product of polynomials with integer coefficients other than (1) and itself.

 

12 A technique for factoring polynomials with four terms.

 

13 (a ^ { 2 } – b ^ { 2 } = ( a + b ) ( a – b )), where (a) and (b) represent algebraic expressions.

 

14 (a^{2} + b^{2}), where (a) and (b) represent algebraic expressions. This does not have a general factored equivalent.

 

15 (a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} – ab + b^{2})) where (a) and (b) represent algebraic expressions.

 

16 (a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})) where (a) and (b) represent algebraic expressions.

 

17 A polynomial that is prime or written as a product of prime polynomials.

 
                                  
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