4.2: Graficar ecuaciones lineales en dos variables

4.2: Graficar ecuaciones lineales en dos variables

Reconocer la relación entre las soluciones de una ecuación y su gráfico

 

En la sección anterior, encontramos varias soluciones a la ecuación (3x + 2y = 6 ). Se enumeran en la Tabla ( PageIndex {1} ). Entonces, los pares ordenados (0,3), (2,0) y ((1, frac {3} {2}) ) son algunas soluciones a la ecuación (3x + 2y = 6 ). Podemos trazar estas soluciones en el sistema de coordenadas rectangular como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Tabla ( PageIndex {1} )
3x + 2y = 6
x y (x, y)
0 3 (0,3)
2 0 (2,0)
1 ( frac {3} {2} ) ((1, frac {3} {2}) )
 
The figure shows four points on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the four points at (0, 3), (1, three halves), (2, 0), and (4, negative 3). The four points appear to line up along a straight line.  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 

¿Ves cómo los puntos se alinean perfectamente? Conectamos los puntos con una línea para obtener la gráfica de la ecuación 3x + 2y = 6. Ver Figura ( PageIndex {2} ). Observe las flechas en los extremos de cada lado de la línea. Estas flechas indican que la línea continúa.

 
The figure shows a straight line drawn through four points on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the four points at (0, 3), (1, three halves), (2, 0), and (4, negative 3). A straight line with a negative slope goes through all four points. The line has arrows on both ends pointing to the edge of the figure. The line is labeled with the equation 3x plus 2y equals 6.  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 

Cada punto en la línea es una solución de la ecuación. Además, cada solución de esta ecuación es un punto en esta línea. Los puntos no en la línea no son soluciones.

 

Observe que el punto cuyas coordenadas son (−2,6) está en la línea que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ). Si sustituye x = −2 e y = 6 en la ecuación, encontrará que es una solución a la ecuación.

 
The figure shows a straight line and two points and on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the two points and are labeled by the coordinates “(negative 2, 6)” and “(4, 1)”. The straight line goes through the point (negative 2, 6) but does not go through the point (4, 1).  
Figura ( PageIndex {3} )
 
 

The figure shows a series of equations to check if the ordered pair (negative 2, 6) is a solution to the equation 3x plus 2y equals 6. The first line states “Test (negative 2, 6)”. The negative 2 is colored blue and the 6 is colored red. The second line states the two- variable equation 3x plus 2y equals 6. The third line shows the ordered pair substituted into the two- variable equation resulting in 3(negative 2) plus 2(6) equals 6 where the negative 2 is colored blue to show it is the first component in the ordered pair and the 6 is red to show it is the second component in the ordered pair. The fourth line is the simplified equation negative 6 plus 12 equals 6. The fifth line is the further simplified equation 6equals6. A check mark is written next to the last equation to indicate it is a true statement and show that (negative 2, 6) is a solution to the equation 3x plus 2y equals 6.

 

Entonces el punto (−2,6) es una solución a la ecuación (3x + 2y = 6 ). (La frase «el punto cuyas coordenadas son (−2,6)» a menudo se acorta a «el punto (−2,6)».)

 
The figure shows a series of equations to check if the ordered pair (4, 1) is a solution to the equation 3x plus 2y equals 6. The first line states “What about (4, 1)?”. The 4 is colored blue and the 1 is colored red. The second line states the two- variable equation 3x plus 2y equals 6. The third line shows the ordered pair substituted into the two- variable equation resulting in 3(4) plus 2(1) equals 6 where the 4 is colored blue to show it is the first component in the ordered pair and the 1 is red to show it is the second component in the ordered pair. The fourth line is the simplified equation 12 plus 2 equals 6. A question mark is placed above the equals sign to indicate that it is not known if the equation is true or false. The fifth line is the further simplified statement 14 not equal to 6. A “not equals” sign is written between the two numbers and looks like an equals sign with a forward slash through it.  
Figura ( PageIndex {3} ). Este es un ejemplo del dicho: «Una imagen vale más que mil palabras». La línea muestra todas las soluciones a la ecuación. Cada punto en la línea es una solución de la ecuación. Y, cada solución de esta ecuación está en esta línea. Esta línea se llama el gráfico de la ecuación (3x + 2y = 6 ).
 
 
 
 

GRÁFICO DE UNA ECUACIÓN LINEAL

 
El gráfico de una ecuación lineal Ax + By = C es una línea.
 
 
         
  • Cada punto en la línea es una solución de la ecuación.
  •      
  • Cada solución de esta ecuación es un punto en esta línea.
  •  
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Se muestra la gráfica de y = 2x − 3.

 

The figure shows a straight line on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The straight line has a positive slope and goes through the y-axis at the (0, negative 3). The line is labeled with the equation y equals 2x negative 3.

 

Para cada par ordenado, decida:

 
         
  1. ¿Es el par ordenado una solución a la ecuación?
  2.      
  3. ¿Es el punto en la línea?
  4.  
 

A (0, −3) B (3,3) C (2, −3) D (−1, −5)

 
     
Respuesta
     
     

Sustituya los valores x – y y – en la ecuación para verificar si el par ordenado es una solución a la ecuación.

     
     
1.
The figure shows a series of equations to check if the ordered pairs (0, negative 3), (3, 3), (2, negative 3), and (negative 1, negative 5) are a solutions to the equation y equals 2x negative 3. The first line states the ordered pairs with the labels A: (0, negative 3), B: (3, 3), C: (2, negative 3), and D: (negative 1, negative 5). The first components are colored blue and the second components are colored red. The second line states the two- variable equation y equals 2x minus 3. The third line shows the four ordered pairs substituted into the two- variable equation resulting in four equations. The first equation is negative 3 equals 2(0) minus 3 where the 0 is colored clue and the negative 3 on the left side of the equation is colored red. The second equation is 3 equals 2(3) minus 3 where the 3 in parentheses is colored clue and the 3 on the left side of the equation is colored red. The third equation is negative 3 equals 2(2) minus 3 where the 2 in parentheses is colored clue and the negative 3 on the left side of the equation is colored red. The fourth equation is negative 5 equals 2(negative 1) minus 3 where the negative 1 is colored clue and the negative 5 is colored red. Question marks are placed above all the equal signs to indicate that it is not known if the equations are true or false. The fourth line shows the simplified versions of the four equations. The first is negative 3 equals negative 3 with a check mark indicating (0, negative 3) is a solution. The second is 3 equals 3 with a check mark indicating (3, 3) is a solution. The third is negative 3 not equals 1 indicating (2, negative 3) is not a solution. The fourth is negative 5 equals negative 5 with a check mark indicating (negative 1, negative 5) is a solution.
     
2. Trace los puntos A (0,3), B (3,3), C (2, −3) y D (−1, −5).
     
The figure shows a straight line and four points and on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the two points and are labeled by the coordinates (negative 1, negative 5), (0, negative 3), (2, negative 3), and (3, 3). The straight line, labeled with the equation y equals 2x negative 3 goes through the three points (negative 1, negative 5), (0, negative 3), and (3, 3) but does not go through the point (2, negative 3).
     
     

Los puntos que son soluciones para y = 2x − 3 están en la línea, pero el punto que no es una solución no está en la línea.

     

Los puntos (0,3), (3,3) y (−1, −5) están en la línea y = 2x − 3, y el punto (2, −3) no está en la línea.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Usa la gráfica de y = 3x − 1 para decidir si cada par ordenado es:

 
         
  • una solución a la ecuación.
  •      
  • en la línea.
  •  
 
         
  1. (0, −1)
  2.      
  3. (2,5)
  4.  
 

The figure shows a straight line on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The straight line goes through the point (negative 2, negative 7) and for every 3 units it goes up, it goes one unit to the right. The line is labeled with the equation y equals 3x minus 1.

 
     
Respuesta
     
     
             
  1. sí, sí
  2.          
  3. sí, sí
  4.      
     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Usa la gráfica de y = 3x − 1 para decidir si cada par ordenado es:

 
         
  • una solución a la ecuación
  •      
  • en la línea
  •  
 
         
  1. (3, −1)
  2.      
  3. (−1, −4)
  4.  
 

The figure shows a straight line on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The straight line goes through the point (negative 2, negative 7) and for every 3 units it goes up, it goes one unit to the right. The line is labeled with the equation y equals 3x minus 1.

 
     
Respuesta
     
     
             
  1. no, no
  2.          
  3. sí, sí
  4.      
     
 
 
 

Graficar una ecuación lineal por puntos de trazado

 

Hay varios métodos que pueden usarse para graficar una ecuación lineal. El método que utilizamos para representar gráficamente 3x + 2y = 6 se llama puntos de trazado, o el Método de trazado de puntos.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ): Cómo graficar una ecuación trazando puntos

 

Representa gráficamente la ecuación y = 2x + 1 trazando puntos.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows the three step procedure for graphing a line from the equation using the example equation y equals 2x minus 1. The first step is to “Find three points whose coordinates are solutions to the equation. Organize the solutions in a table”. The remark is made that “You can choose any values for x or y. In this case, since y is isolated on the left side of the equation, it is easier to choose values for x”. The work for the first step of the example is shown through a series of equations aligned vertically. From the top down, the equations are y equals 2x plus 1, x equals 0 (where the 0 is blue), y equals 2x plus 1, y equals 2(0) plus 1 (where the 0 is blue), y equals 0 plus 1, y equals 1, x equals 1 (where the 1 is blue), y equals 2x plus 1, y equals 2(1) plus 1 (where the 1 is blue), y equals 2 plus 1, y equals 3, x equals negative 2 (where the negative 2 is blue), y equals 2x plus 1, y equals 2(negative 2) plus 1 (where the negative 2 is blue), y equals negative 4 plus 1, y equals negative 3. The work is then organized in a table. The table has 5 rows and 3 columns. The first row is a title row with the equation y equals 2x plus 1. The second row is a header row and it labels each column. The first column header is “x”, the second is “y” and the third is “(x, y)”. Under the first column are the numbers 0, 1, and negative 2. Under the second column are the numbers 1, 3, and negative 3. Under the third column are the ordered pairs (0, 1), (1, 3), and (negative 2, negative 3). The second step is to “Plot the points in a rectangular coordinate system. Check that the points line up. If they do not, carefully check your work!” For the example the points are (0, 1), (1, 3), and (negative 2, negative 3). A graph shows the three points on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the three points at (0, 1), (1, 3), and (negative 2, negative 3). The question “Do the points line up?” is stated and followed with the answer “Yes, the points line up.” The third step of the procedure is “Draw the line through the three points. Extend the line to fill the grid and put arrows on both ends of the line.” A graph shows a straight line drawn through three points on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the three points at (0, 1), (1, 3), and (negative 2, negative 3). A straight line goes through all three points. The line has arrows on both ends pointing to the edge of the figure. The line is labeled with the equation y equals 2x plus 1. The statement “This line is the graph of y equals 2x plus 1” is included next to the graph.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Representa gráficamente la ecuación trazando puntos: y = 2x − 3.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight line on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The straight line goes through the points (negative 2, negative 7), (negative 1, negative 5), (0, negative 3), (1, negative 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5), and (5, 7). There are arrows at the ends of the line pointing to the outside of the figure.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Representa gráficamente la ecuación trazando puntos: y = −2x + 4.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight line on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The straight line goes through the points (negative 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, negative 2), (4, negative 4), and (5, negative 6). There are arrows at the ends of the line pointing to the outside of the figure.

     
 
 
 

Los pasos a seguir al graficar una ecuación lineal al trazar puntos se resumen a continuación.

 
 
 

GRÁFICO UNA ECUACIÓN LINEAL POR PLANTEADO DE PUNTOS

 
         
  1. Encuentra tres puntos cuyas coordenadas son soluciones a la ecuación. Organízalos en una mesa.
  2.      
  3. Trace los puntos en un sistema de coordenadas rectangular. Verifique que los puntos estén alineados. Si no lo hacen, revise cuidadosamente su trabajo.
  4.      
  5. Dibuja la línea a través de los tres puntos. Extienda la línea para llenar la cuadrícula y ponga flechas en ambos extremos de la línea.
  6.  
 
 
 

Es cierto que solo se necesitan dos puntos para determinar una línea, pero es una buena costumbre usar tres puntos. Si solo traza dos puntos y uno de ellos es incorrecto, aún puede dibujar una línea pero no representará las soluciones a la ecuación. Será la línea equivocada.

 

Si usa tres puntos, y uno es incorrecto, los puntos no se alinearán. Esto le dice que algo está mal y que necesita verificar su trabajo. Observe la diferencia entre la parte (a) y la parte (b) en la Figura ( PageIndex {4} ).

 
Figure a shows three points with a straight line going through them. Figure b shows three points that do not lie on the same line.  
Figura ( PageIndex {4} )
 
 

Hagamos otro ejemplo. Esta vez, mostraremos los dos últimos pasos, todos en una cuadrícula.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Representa gráficamente la ecuación y = −3x.

 
     
Respuesta
     
     

Encuentra tres puntos que son soluciones a la ecuación. Aquí, de nuevo, es más fácil elegir valores para x. ¿Ves por qué?

     
     
The figure shows three sets of equations used to determine ordered pairs from the equation y equals negative 3x. The first set has the equations: x equals 0 (where the 0 is blue), y equals negative 3x, y equals negative 3(0) (where the 0 is blue), y equals 0. The second set has the equations: x equals 1 (where the 1 is blue), y equals negative 3x, y equals negative 3(1) (where the 1 is blue), y equals negative 3. The third set has the equations: x equals negative 2 (where the negative 2 is blue), y equals negative 3x, y equals negative 3(negative 2) (where the negative 2 is blue), y equals 6.
     
     

Enumeramos los puntos en la Tabla ( PageIndex {2} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Tabla ( PageIndex {2} )
y = −3x
x y (x, y)
0 0 (0,0)
1 −3 (1, −3)
−2 6 (−2,6)
     

Trace los puntos, verifique que se alineen y dibuje la línea.

     

The figure shows a straight line drawn through three points on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the three points which are labeled by their ordered pairs (negative 2, 6), (0, 0), and (1, negative 3). A straight line goes through all three points. The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure. The line is labeled with the equation y equals negative 3x.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Representa gráficamente la ecuación trazando puntos: y = −4x.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight line drawn on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The straight line goes through the points (negative 2, 8), (0, 0), and (2, negative 8). The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Representa gráficamente la ecuación trazando puntos: y = x.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight line drawn on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The straight line goes through the points (negative 8, negative 8), (negative 6, negative 6), (negative 4, negative 4), (negative 2, negative 2), (0, 0), (2, 2), (4, 4), (6, 6), and (8, 8). The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure.

     
 
 
 

Cuando una ecuación incluye una fracción como el coeficiente de x, aún podemos sustituir cualquier número por x. Pero las matemáticas son más fáciles si hacemos elecciones «buenas» para los valores de x. De esta forma evitaremos respuestas fraccionarias, que son difíciles de graficar con precisión.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Representa gráficamente la ecuación (y = frac {1} {2} x + 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

Encuentra tres puntos que son soluciones a la ecuación. Como esta ecuación tiene la fracción ( frac {1} {2} ) como coeficiente de x, elegiremos los valores de x con cuidado. Usaremos cero como una opción y múltiplos de 2 para las otras opciones. ¿Por qué los múltiplos de 2 son una buena opción para los valores de x?

     
     
The figure shows three sets of equations used to determine ordered pairs from the equation y equals (one half)x plus 3. The first set has the equations: x equals 0 (where the 0 is blue), y equals (one half)x plus 3, y equals (one half)(0) plus 3 (where the 0 is blue), y equals 0 plus 3, y equals 3. The second set has the equations: x equals 2 (where the 2 is blue), y equals (one half)x plus 3, y equals (one half)(2) plus 3 (where the 2 is blue), y equals 1 plus 3, y equals 4. The third set has the equations: x equals 4 (where the 4 is blue), y equals (one half)x plus 3, y equals (one half)(4) plus 3 (where the 4 is blue), y equals 2 plus 3, y equals 5.
     
     

Los puntos se muestran en la Tabla ( PageIndex {3} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Tabla ( PageIndex {3} )
y = 12x + 3
x y (x, y)
0 3 (0,3)
2 4 (2,4)
4 5 (4,5)
     
     
     

Trace los puntos, verifique que se alineen y dibuje la línea.

     

The figure shows a straight line drawn through three points on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the three points which are labeled by their ordered pairs (0, 3), (2, 4), and (4, 5). A straight line goes through all three points. The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure. The line is labeled with the equation y equals (one half)x plus 3.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Representa gráficamente la ecuación (y = frac {1} {3} x – 1 ).

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight line drawn on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The straight line goes through the points (negative 9, negative 4), (negative 6, negative 3), (negative 3, negative 2), (0, negative 1), (3, 0), (6, 1), and (9, 2). The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Representa gráficamente la ecuación (y = frac {1} {4} x + 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight line drawn on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The straight line goes through the points (negative 12, negative 1), (negative 8, 0), (negative 4, 1), (0, 2), (4, 3), (8, 4), and (12, 5). The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure.

     
 
 
 

Hasta ahora, todas las ecuaciones que graficamos habían dado y en términos de x. Ahora graficaremos una ecuación con x e y en el mismo lado. Veamos qué sucede en la ecuación 2x ​​+ y = 3. Si y = 0, ¿cuál es el valor de x?

 

The figure shows a set of equations used to determine an ordered pair from the equation 2x plus y equals 3. The first equation is y equals 0 (where the 0 is red). The second equation is the two- variable equation 2x plus y equals 3. The third equation is the onenegative variable equation 2x plus 0 equals 3 (where the 0 is red). The fourth equation is 2x equals 3. The fifth equation is x equals three halves. The last line is the ordered pair (three halves, 0).

 

Este punto tiene una fracción para la x – coordenada y, aunque podríamos graficar este punto, es difícil ser un gráfico preciso de fracciones. Recuerde que en el ejemplo y = 12x + 3, elegimos cuidadosamente los valores para x para no graficar fracciones en absoluto. Si resolvemos la ecuación 2x ​​+ y = 3 para y, será más fácil encontrar tres soluciones para la ecuación.

 

[ begin {alineado} 2 x + y & = 3 \ y & = – 2 x + 3 end {alineado} ]

 

Las soluciones para x = 0, x = 1 yx = −1 se muestran en la Tabla ( PageIndex {4} ). El gráfico se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Tabla ( PageIndex {4} )
2x + y = 3
x y (x, y)
0 3 (0,3)
1 1 (1,1)
−1−1 5 (−1,5)
 
The figure shows a straight line drawn through three points on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the three points which are labeled by their ordered pairs (negative 1, 5), (0, 3), and (1, 1). A straight line goes through all three points. The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure. The line is labeled with the equation 2x plus y equals 3.  
Figura ( PageIndex {5} )
 
 

¿Puedes ubicar el punto (( frac {3} {2}, 0) ) que encontramos al dejar y = 0, en la línea?

 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Representa gráficamente la ecuación 3x + y = −1.

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lrll} { text {Encuentra tres puntos que sean soluciones a la ecuación.}} & {3 x + y} & {=} & {- 1} \ { text {Primero resuelva la ecuación para} y.} & {Y} & {=} & {- 3 x-1} end {array} )

     

Dejaremos que x sea 0, 1 y -1 para encontrar 3 puntos. Los pares ordenados se muestran en la Tabla ( PageIndex {5} ). Trace los puntos, verifique que se alineen y dibuje la línea. Ver Figura ( PageIndex {6} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Tabla ( PageIndex {5} )
3x + y = −1
x y (x, y)
0 −1 (0, −1)
1 −4 (1, −4)
−1 2 (−1,2)
     
     
     
The figure shows a straight line drawn through three points on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the three points which are labeled by their ordered pairs (negative 1, 2), (0, negative 1), and (1, negative 4). A straight line goes through all three points. The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure. The line is labeled with the equation 3x plus y equals negative 1.      
Figura ( PageIndex {6} )
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Representa gráficamente la ecuación 2x ​​+ y = 2.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight line drawn on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The straight line goes through the points (negative 4, 10), (negative 2, 6), (0, 2), (2, negative 2), (4, negative 6), and (6, negative 10). The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Representa gráficamente la ecuación 4x + y = −3.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight line drawn on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The straight line goes through the points (negative 3, 9), (negative 2, 5), (negative 1, 1), (0, negative 3), (1, negative 7), and (2, negative 10). The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure.

     
 
 
 

Si puede elegir cualquiera de los tres puntos para representar gráficamente una línea, ¿cómo sabrá si su gráfico coincide con el que se muestra en las respuestas del libro? Si los puntos donde las gráficas cruzan el eje x – y y son ​​iguales, ¡las gráficas coinciden!

 

La ecuación en el ejercicio ( PageIndex {13} ) se escribió en forma estándar, con x e y en el mismo lado. Resolvimos esa ecuación para y en solo un paso. Pero para otras ecuaciones en forma estándar no es tan fácil de resolver para y, por lo que las dejaremos en forma estándar. Todavía podemos encontrar un primer punto para trazar dejando x = 0 y resolviendo para y. Podemos trazar un segundo punto dejando y = 0 y luego resolviendo para x. Luego trazaremos un tercer punto usando algún otro valor para x o y.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Representa gráficamente la ecuación (2x − 3y = 6 ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lrll} text {Encuentra tres puntos que sean soluciones para} y 2 x-3 y & = & 6 \ text {ecuación.} & 2 x-3 y & = & 6 \ text {Primero let} x = 0. & 2 (0) -3 y & = & 6 \ text {Resolver para} y. & -3 y & = & 6 \ & y & = & – 2 \\ text {Ahora deje} y = 0. & 2 x-3 (0) & = & 6 \ text {Resuelva para} x. & 2 x & = & 6 \ & x & = & 3 \ \ text { Necesitamos un tercer punto. Recuerde, podemos} & 2 (6) -3 y & = & 6 \ text {elija cualquier valor para x o y. Dejaremos x = 6.} & 12-3 y & = & 6 \ text {Resolver fory.} & – 3 y & = & – 6 \ & y & = & 2 end {array} )

     

Enumeramos los pares ordenados en la Tabla ( PageIndex {6} ). Trace los puntos, verifique que se alineen y dibuje la línea. Ver Figura ( PageIndex {7} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Tabla ( PageIndex {6} )
2x − 3y = 6
x yT (x, y)
0 −2 (0, −2)
3 0 (3,0)
6 2 (6,2)
     
The figure shows a straight line drawn through three points on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the three points which are labeled by their ordered pairs (0, negative 2), (3, 0), and (6, 2). A straight line goes through all three points. The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure. The line is labeled with the equation 2x minus 3y equals 6.      
Figura ( PageIndex {7} )
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Representa gráficamente la ecuación (4x + 2y = 8 ).

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight line drawn on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The straight line goes through the points (negative 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, negative 2), and (4, negative 4). The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Representa gráficamente la ecuación (2x − 4y = 8 ).

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight line drawn on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The straight line goes through the points (negative 6, negative 5), (negative 4, negative 4), (negative 2, negative 3), (0, negative 2), (2, negative 1), (4, 0), and (6, 1). The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure.

     
 
 
 

Graficar líneas verticales y horizontales

 

¿Podemos graficar una ecuación con una sola variable? ¿Solo x y no y, o solo y sin una x? ¿Cómo haremos una tabla de valores para obtener los puntos para trazar?

 

Consideremos la ecuación x = −3. Esta ecuación tiene solo una variable, x. La ecuación dice que x es siempre igual a −3, por lo que su valor no depende de y. No importa qué es y, el valor de x es siempre −3.

 

Entonces, para hacer una tabla de valores, escriba −3 para todos los valores de x. Luego elija cualquier valor para y. Dado que x no depende de y, puede elegir los números que desee. Pero para ajustar los puntos en nuestro gráfico de coordenadas, usaremos 1, 2 y 3 para las coordenadas y . Ver Tabla ( PageIndex {7} )

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
Tabla ( PageIndex {7} )
x = −3
x y (x, y)
−3 1 (−3,1)
−3 2 (−3,2)
−3 3 (−3,3)
 

 

Trace los puntos de la Tabla ( PageIndex {7} ) y conéctelos con una línea recta. Observe en la Figura ( PageIndex {8} ) que hemos graficado una línea vertical .

 
The figure shows a vertical straight line drawn through three points on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the three points which are labeled by their ordered pairs (negative 3, 1), (negative 3, 2), and (negative 3, 3). A vertical straight line goes through all three points. The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure. The line is labeled with the equation x equals negative 3.  
Figura ( PageIndex {8} )
 
 
 
 

LÍNEA VERTICAL

 

Una línea vertical es el gráfico de una ecuación de la forma x = a.

 
 

La línea pasa a través del eje x en (a, 0).

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Representa gráficamente la ecuación x = 2.

 
     
Respuesta
     
     

La ecuación tiene una sola variable, x, yx siempre es igual a 2. Creamos la Tabla ( PageIndex {8} ) donde x es siempre 2 y luego colocamos cualquier valor para y. El gráfico es una línea vertical que pasa por el eje x en 2. Vea la Figura ( PageIndex {9} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Tabla ( PageIndex {8} )
x = 2
x y (x, y)
2 1 (2,1)
2 2 (2,2)
2 3 (2,3)
     
     
     
The figure shows a straight vertical line drawn through three points on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the three points which are labeled by their ordered pairs (2, 1), (2, 2), and (2, 3). A vertical straight line goes through all three points. The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure. The line is labeled with the equation x equals 2.      
Figura ( PageIndex {9} )
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Representa gráficamente la ecuación x = 5.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight vertical line drawn on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The straight line goes through the points (5, 1), (5, 2), (5, 3), and all other points with first coordinate 5. The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Representa gráficamente la ecuación x = −2.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight vertical line drawn on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The straight line goes through the points (negative 2, 1), (negative 2, 2), (negative 2, 3), and all other points with first coordinate negative 2. The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure.

     
 
 
 
 

¿Qué pasa si la ecuación tiene y pero no x? Grafiquemos la ecuación y = 4. Esta vez, el valor y es una constante, por lo que en esta ecuación, y no depende de xx. Complete 4 para todas las y en la Tabla ( PageIndex {9} ) y luego elija cualquier valor para x. Utilizaremos 0, 2 y 4 para las coordenadas x .

                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Tabla ( PageIndex {9} )
y = 4
x y (x, y)
0 4 (0,4)
2 4 (2,4)
4 4 (4,4)
 

El gráfico es una línea horizontal que pasa por el eje y en 4. Ver Figura ( PageIndex {10} ).

 
The figure shows a straight horizontal line drawn through three points on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the three points which are labeled by their ordered pairs (0, 4), (2, 4), and (4, 4). A straight horizontal line goes through all three points. The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure. The line is labeled with the equation y equals 4.  
Figura ( PageIndex {10} )
 
 
 
 

LÍNEA HORIZONTAL

 
A línea horizontal es la gráfica de una ecuación de la forma y = b.
 
 

La línea pasa a través del eje y en (0, b).

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Representa gráficamente la ecuación y = −1.

 
     
Respuesta
     
     

La ecuación y = −1y = −1 solo tiene una variable, y. El valor de y es constante. Todos los pares ordenados en la Tabla ( PageIndex {10} ) tienen el mismo y -coordinado. El gráfico es una línea horizontal que pasa por el eje y en −1−1, como se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Tabla ( PageIndex {10} )
y = −1
x y (x, y)
Ta − 1 (0, −1)
−1 (3, −1)
−3 −1 (−3, −1)
     
     
The figure shows a straight horizontal line drawn through three points on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. Dots mark off the three points which are labeled by their ordered pairs (negative 3, negative 1), (0, negative 1), and (3, negative 1). A straight horizontal line goes through all three points. The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure. The line is labeled with the equation y equals negative 1.
     
Figura ( PageIndex {11} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Representa gráficamente la ecuación y = −4.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight horizontal line drawn on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The straight line goes through the points (negative 4, negative 4), (0, negative 4), (4, negative 4), and all other points with second coordinate negative 4. The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Representa gráficamente la ecuación y = 3.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight horizontal line drawn on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The straight line goes through the points (negative 4, 3), (0, 3), (4, 3), and all other points with second coordinate 3. The line has arrows on both ends pointing to the outside of the figure.

     
 
 
 

Las ecuaciones para líneas verticales y horizontales se parecen mucho a ecuaciones como y = 4x. ¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones y = 4x e y = 4?

 

La ecuación y = 4x tiene tanto x como y. El valor de y depende del valor de x. Los cambios de coordenadas y de acuerdo con el valor de x. La ecuación y = 4 tiene solo una variable. El valor de y es constante. La y -coordinada es siempre 4. No depende del valor de x. Consulte la Tabla ( PageIndex {11} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Tabla ( PageIndex {11} )
y = 4x y = 4
x y (x, y) x y (x, y)
0 0 (0,0) 0 4 (0,4)
1 4 (1,4) 1 4 (1,4)
2 8 (2,8) 2 4 (2,4)
 
The figure shows a two straight lines drawn on the same x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. One line is a straight horizontal line labeled with the equation y equals 4. The other line is a slanted line labeled with the equation y equals 4x.  
Figura ( PageIndex {12} )
 
 

Observe, en la Figura ( PageIndex {12} ), la ecuación y = 4x da una línea inclinada, mientras que y = 4 da una línea horizontal.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Representa gráficamente y = −3x e y = −3 en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

 
     
Respuesta
     
     

Observe que la primera ecuación tiene la variable x, mientras que la segunda no. Consulte la Tabla ( PageIndex {12} ). Los dos gráficos se muestran en la Figura ( PageIndex {13} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
Tabla ( PageIndex {12} )
y = −3x y = −3
x y (x, y) x y (x, y)
(0,0) −3 (0, −3)
−3 (1, −3) −3 (1, −3)
−6 (2, −6) −3 (2, −3)
     
     
The figure shows a two straight lines drawn on the same x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 7 to 7. One line is a straight horizontal line labeled with the equation y equals negative 3. The other line is a slanted line labeled with the equation y equals negative 3x.
     
Figura ( PageIndex {13} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Representa gráficamente y = −4x e y = −4 en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a two straight lines drawn on the same x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y-axis of the plane runs from negative 12 to 12. One line is a straight horizontal line going through the points (negative 4, negative 4), (0, negative 4), (4, negative 4), and all other points with second coordinate negative 4. The other line is a slanted line going through the points (negative 2, 8), (negative 1, 4), (0, 0), (1, negative 4), and (2, negative 8).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Representa gráficamente y = 3 e y = 3x en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a two straight lines drawn on the same x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y-axis of the plane runs from negative 12 to 12. One line is a straight horizontal line going through the points (negative 4, 3) (0, 3), (4, 3), and all other points with second coordinate 3. The other line is a slanted line going through the points (negative 2, negative 6), (negative 1, negative 3), (0, 0), (1, 3), and (2, 6).

     
 
 
 
]]>

,

Deja una respuesta