Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación
Hemos resuelto sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficos y por sustitución. Los gráficos funcionan bien cuando los coeficientes variables son pequeños y la solución tiene valores enteros. La sustitución funciona bien cuando podemos resolver fácilmente una ecuación para una de las variables y no tener demasiadas fracciones en la expresión resultante.
El tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales se llama Método de eliminación. Cuando resolvimos un sistema por sustitución, comenzamos con dos ecuaciones y dos variables y lo redujimos a una ecuación con una variable. Esto es lo que haremos también con el método de eliminación, pero tendremos una forma diferente de llegar allí.
El método de eliminación se basa en la propiedad de igualdad de la adición. La propiedad de igualdad de la suma dice que cuando agrega la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, todavía tiene igualdad. Ampliaremos la propiedad de igualdad de la suma para decir que cuando agrega cantidades iguales a ambos lados de una ecuación, los resultados son iguales.
Para cualquier expresión a, b, c, y d .
[ begin {array} {ll} { text {if}} & {a = b} \ { text {and}} & {c = d} \ { text {then}} & {a + c = b + d.} \ nonumber end {array} ]
Para resolver un sistema de ecuaciones por eliminación, comenzamos con ambas ecuaciones en forma estándar. Luego decidimos qué variable será más fácil de eliminar. ¿Cómo decidimos? Queremos que los coeficientes de una variable sean opuestos, de modo que podamos sumar las ecuaciones y eliminar esa variable.
Observe cómo funciona eso cuando sumamos estas dos ecuaciones:
[ left { begin {array} {l} 3x + y = 5 \ underline {2x − y = 0} end {array} right. nonumber ]
[5x = 5 nonumber ]
Los y se suman a cero y tenemos una ecuación con una variable.
Probemos con otro:
[ left { begin {array} x + 4y = 2 \ 2x + 5y = −2 end {array} right. nonumber ]
Esta vez no vemos una variable que pueda eliminarse inmediatamente si sumamos las ecuaciones.
Pero si multiplicamos la primera ecuación por (- 2 ), haremos los coeficientes de x opuestos. Debemos multiplicar cada término en ambos lados de la ecuación por (- 2 ).
Luego reescribe el sistema de ecuaciones.
Ahora vemos que los coeficientes de los términos x son opuestos, por lo que x se eliminarán cuando agreguemos estas dos ecuaciones.
Una vez que obtenemos una ecuación con solo una variable, la resolvemos. Luego sustituimos ese valor en una de las ecuaciones originales para resolver la variable restante. Y, como siempre, verificamos nuestra respuesta para asegurarnos de que sea una solución para ambas ecuaciones originales.
Ahora veremos cómo usar la eliminación para resolver el mismo sistema de ecuaciones que resolvimos graficando y sustituyendo.
Ejercicio ( PageIndex {26} )
Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} 3x + y = 5 \ 2x − 3y = 7 end {array} right. ) [19459016 ]
- Respuesta
-
((2, −1) )
Ejercicio ( PageIndex {27} )
Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} 4x + y = −5 \ −2x − 2y = −2 end {array} right. ) [19459005 ]
- Respuesta
-
((- 2,3) )
Los pasos se enumeran aquí para una fácil referencia.
RESUELVE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR ELIMINACIÓN.
- Escribe ambas ecuaciones en forma estándar. Si algunos coeficientes son fracciones, bórrelos.
- Haz los coeficientes de una variable opuesta.
- Decide qué variable eliminarás.
- Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
- Agregue las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable.
- Resuelva para la variable restante.
- Sustituye la solución del Paso 4 en una de las ecuaciones originales. Luego resuelve la otra variable.
- Escribe la solución como un par ordenado.
- Comprueba que el par ordenado es una solución a ambas ecuaciones originales.
Ahora haremos un ejemplo en el que necesitamos multiplicar ambas ecuaciones por constantes para hacer los coeficientes de una variable opuesta.
Ejercicio ( PageIndex {28} )
Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} 4x − 3y = 9 \ 7x + 2y = −6 end {array} right. )
- Respuesta
-
En este ejemplo, no podemos multiplicar solo una ecuación por cualquier constante para obtener coeficientes opuestos. Entonces, multiplicaremos estratégicamente ambas ecuaciones por diferentes constantes para obtener los opuestos.
Ejercicio ( PageIndex {29} )
Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} 3x − 4y = −9 \ 5x + 3y = 14 end {array} right. )
- Respuesta
-
((1,3) )
Ejercicio ( PageIndex {30} )
Resuelve cada sistema por eliminación: ( left { begin {array} {l} 7x + 8y = 4 \ 3x − 5y = 27 end {array} right. )
- Respuesta
-
((4, −3) )
Cuando el sistema de ecuaciones contiene fracciones, primero limpiaremos las fracciones multiplicando cada ecuación por la pantalla LCD de todas las fracciones en la ecuación.
Ejercicio ( PageIndex {31} )
Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} x + frac {1} {2} y = 6 \ frac {3} {2} x + frac {2 } {3} y = frac {17} {2} end {array} right. )
- Respuesta
-
En este ejemplo, ambas ecuaciones tienen fracciones. Nuestro primer paso será multiplicar cada ecuación por la pantalla LCD de todas las fracciones en la ecuación para borrar las fracciones.
Ejercicio ( PageIndex {32} )
Resuelve cada sistema por eliminación: ( left { begin {array} {l} frac {1} {3} x− frac {1} {2} y = 1 \ frac {3 } {4} x − y = frac {5} {2} end {array} right. )
- Respuesta
-
((6,2) )
Ejercicio ( PageIndex {33} )
Resuelva cada sistema por eliminación: ( left { begin {array} {l} x + frac {3} {5} y = – frac {1} {5} \ – frac {1 } {2} x− frac {2} {3} y = frac {5} {6} end {array} right. )
- Respuesta
-
((1, −2) )
Cuando resolvimos el sistema graficando, vimos que no todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen un solo par ordenado como solución. Cuando las dos ecuaciones eran realmente la misma línea, había infinitas soluciones. Llamamos a eso un sistema consistente. Cuando las dos ecuaciones describieron líneas paralelas, no había solución. Llamamos a eso un sistema inconsistente.
Lo mismo ocurre con la sustitución o eliminación. Si la ecuación al final de la sustitución o eliminación es una declaración verdadera, tenemos un sistema consistente pero dependiente y el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones. Si la ecuación al final de la sustitución o eliminación es una afirmación falsa, tenemos un sistema inconsistente y el sistema de ecuaciones no tiene solución.
Ejercicio ( PageIndex {34} )
Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \ y = 3− frac {3} {4} x end {array} right . )
- Respuesta
-
( begin {array} {ll} {} & { left { begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \ y = 3− frac {3} {4} x end {array} right.} \ {} & {} \ { text {Escriba la segunda ecuación en forma estándar.}} & { left { begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \ frac {3} {4} x + y = 3 end {array} right.} \ {} & {} \ { text {Borrar las fracciones multiplicando el} \ text {segundo ecuación por 4.}} & { left { begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \ 4 ( frac {3} {4} x + y) = 4 (3) end {array } right.} \ {} & {} \ { text {Simplify.}} & { left { begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \ 3x + 4y = 12 end {array} right.} \ {} & {} \ { text {Para eliminar una variable, multiplicamos la} \ text {segunda ecuación por − 1. Simplifica y suma.}} & { begin {array} {l} { left { begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \ underline {-3x-4y = -12} end {array} right.} \ { hspace {16mm} 0 = 0} end {array}} \ end {array} )
Esta es una declaración verdadera. Las ecuaciones son consistentes pero dependientes. Sus gráficos serían la misma línea. El sistema tiene infinitas soluciones.
Después de borrar las fracciones en la segunda ecuación, ¿notaste que las dos ecuaciones eran iguales? Eso significa que tenemos líneas coincidentes.
Ejercicio ( PageIndex {35} )
Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} 5x − 3y = 1 \ 5y = −5 + frac {5} {3} x end {array} derecha. )
- Respuesta
-
infinitas soluciones
Ejercicio ( PageIndex {36} )
Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} x + 2y = 6 \ y = – frac {1} {2} x + 3 end {array} derecha. )
- Respuesta
-
infinitas soluciones