En esta sección presentamos una técnica algebraica para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos incógnitas llamada método de sustitución. El método de sustitución es bastante sencillo de usar. Primero, resuelve cualquiera de las ecuaciones para cualquier variable, luego sustituye el resultado en la otra ecuación. El resultado es una ecuación en una sola variable. Resuelva esa ecuación, luego sustituya el resultado en cualquiera de las otras ecuaciones para encontrar la variable desconocida restante.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[2x-5 y = -8 label {Eq4.2.1} ]
[y = 3x-1 label {Eq4.2.2} ]
Solución
La ecuación ref {Eq4.2.2} ya está resuelta para (y ). Sustituya la ecuación ref {Eq4.2.2} en la ecuación ref {Eq4.2.1}. Esto significa que sustituiremos (3x − 1 ) por (y ) en la ecuación ref {Eq4.2.1}.
[ begin {alineado} 2x-5y & = -8 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.1} \ 2x-5 ({ color {Red} 3x-1}) & = -8 quad { color {Rojo} text {Sustituir} 3x-1 text {para} y text {in}} ref {Eq4.2.1} end {alineado} no número ]
Ahora resuelve para (x ).
[ begin {alineado} 2x-15x + 5 & = -8 quad color {Red} text {Distribute} -5 \ -13x + 5 & = -8 quad color {Red} text {Simplificar. } \ -13x & = -13 quad color {Red} text {Restar} 5 text {de ambos lados,} \ x & = 1 quad color {Red} text {Divide ambos lados entre } -13 end {alineado} nonumber ]
Como vimos en Resolviendo sistemas graficando , la solución al sistema es el punto de intersección de las dos líneas representadas por las ecuaciones en el sistema. Esto significa que podemos sustituir la respuesta (x = 1 ) en cualquier ecuación para encontrar el valor correspondiente de (y ). Elegimos sustituir (1 ) por (x ) en la ecuación ref {Eq4.2.2}, luego resolvemos (y ), pero obtendrá exactamente el mismo resultado si sustituye (1 ) para (x ) en la ecuación ref {Eq4.2.1}.
[ begin {alineado} y & = 3x-1 quad { color {Rojo} text {Ecuación}} ref {Eq4.2.2} \ y & = 3 (1) -1 quad color {Rojo} text {Sustituir} 1 text {para} x \ y & = 2 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, ((x, y) = (1, 2) ) es la solución del sistema.
Verifique: Para mostrar que la solución ((x, y) = (1, 2) ) es una solución del sistema, necesitamos mostrar que ((x, y) = (1, 2) ) satisface ambas ecuaciones ref {Eq4.2.1} y ref {Eq4.2.2}.
Sustituye ((x, y) = (1, 2) ) en la ecuación ref {Eq4.2.1}:
[ begin {alineado} 2 x-5 y & = – 8 \ 2 (1) -5 (2) & = – 8 \ 2-10 & = – 8 \ – 8 & = – 8 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, (1,2) satisface la ecuación ref {Eq4.2.1}.
Sustituye ((x, y) = (1, 2) ) en la ecuación ref {Eq4.2.2}:
[ begin {array} {l} {y = 3 x-1} \ {2 = 3 (1) -1} \ {2 = 3-1} \ {2 = 2} end {array} nonumber ]
Por lo tanto, (1,2) satisface la ecuación ref {Eq4.2.2}.
Debido a que ((x, y) = (1, 2) ) satisface ambas ecuaciones, es una solución del sistema.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {alineado} 9 x + 2 y & = – 19 \ y & = 13 + 3 x end {alineado} nonumber ]
- Respuesta
-
((- 3,4) )
Método de sustitución
El método de sustitución implica estos pasos:
- Resuelve cualquiera de las ecuaciones para cualquier variable.
- Sustituye el resultado del paso uno en la otra ecuación. Resuelve la ecuación resultante.
- Sustituya el resultado del paso dos en cualquiera de las ecuaciones del sistema original o en la ecuación resultante del paso uno (lo que parezca más fácil), luego resuelva para encontrar la variable desconocida restante.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[5x-2y = 12 label {Eq4.2.3} ]
[4x + y = 6 label {Eq4.2.4} ]
Solución
El primer paso es resolver cualquier ecuación para cualquier variable. Esto significa que podemos resolver la primera ecuación para (x ) o (y ), pero también significa que primero podríamos resolver la segunda ecuación para (x ) o (y ). De estas cuatro opciones posibles, resolver la segunda ecuación ref {Eq4.2.4} para (y ) parece la forma más fácil de comenzar.
[ begin {alineado} 4x + y & = 6 quad { color {Rojo} text {Ecuación}} ref {Eq4.2.4} \ y & = 6-4x quad color { Rojo} text {Restar} 4x text {de ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Luego, sustituya (6−4x ) por (y ) en la ecuación ref {Eq4.2.3}.
[ begin {alineado} 5x-2y & = 12 quad { color {Rojo} text {Ecuación}} ref {Eq4.2.3} \ 5x-2 (6-4x) & = 12 quad { color {Rojo} text {Sustituir} 6-4 x text {para} y text {in}} ref {Eq4.2.3} \ 5x-12 + 8x & = 12 quad color {Rojo} text {Distribuir} -2 \ 13x-12 & = 12 quad color {Rojo} text {Simplificar. } \ 13x & = 24 quad color {Rojo} text {Agregar} 12 text {a ambos lados. } \ x & = dfrac {24} {13} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} 13 end {alineado} nonumber ]
Finalmente, para encontrar el valor de (y ), sustituya (24/13 ) por (x ) en la ecuación (y = 6−4x ) (también puede sustituir (24 / 13 ) para (x ) en las ecuaciones ref {Eq4.2.3} o ref {Eq4.2.4}).
[ begin {alineado} y & = 6-4x \ y & = 6-4 left ( dfrac {24} {13} right) quad color {Red} text {Substitute} 24/13 text {para} x text {in} y = 6-4x \ y & = dfrac {78} {13} – dfrac {96} {13} quad color {Red} text {Multiplica, luego haz fracciones equivalentes. } \ y & = – dfrac {18} {13} quad color {Red} text {Simplify. } end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, ((x, y) = (24/13, −18 / 13) ) es la solución del sistema.
Verifique: Usemos la calculadora gráfica para verificar la solución. Primero, almacenamos (24/13 ) en (X ) con las siguientes pulsaciones de teclas (vea el resultado en la Figura ( PageIndex {3} )).
Ahora, borre la pantalla de la calculadora presionando el botón BORRAR , luego ingrese el lado izquierdo de la ecuación ref {Eq4.2.3} con las siguientes teclas (vea el resultado en la Figura ( Índice de página {4} )).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {alineado} x-2 y & = 13 \ 4 x-3 y & = 26 end {alineado} nonumber ]
- Respuesta
-
((13/5, -26 / 5) )
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[3x-2y = 6 label {Eq4.2.5} ]
[4x + 5y = 20 label {Eq4.2.6} ]
Solución
Dividir entre (- 2 ) proporciona fracciones más fáciles de tratar que dividir entre (3 ), (4 ) o (5 ), así que comencemos resolviendo la ecuación ( ref {Eq4 .2.5}) para (y ).
[ begin {alineado} 3x-2y & = 6 quad { color {Rojo} text {Ecuación}} ref {Eq4.2.5} \ -2y & = 6-3x quad color {Rojo} text {Restar} 3 x text {de ambos lados. } \ y & = dfrac {6-3 x} {- 2} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} -2 \ y & = -3+ dfrac {3} {2 } x quad color {Rojo} text {Divide ambos} 6 text {y} -3 x text {por} -2 text {usando la propiedad distributiva. } end {alineado} nonumber ]
Sustituye (- 3+ dfrac {3} {2} x ) por (y ) en la ecuación ref {Eq4.2.6}
[ begin {alineado}
4x + 5y & = 20 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.6} \
4x + 5 left (-3+ dfrac {3} {2} x right) & = 20 quad color {Rojo} text {Sustituir} -3+ dfrac {3} {2} x text {para} y
4x-15 + dfrac {15} {2} x & = 20 quad color {Rojo} text {Distribuya el} 5 \
8x-30 + 15x & = 40 quad color {Rojo} text {Borrar fracciones multiplicando} \
23x & = 70 quad color {Rojo} text {Simplificar. Agregue} 30 text {a ambos lados. } \
x & = dfrac {70} {23} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 23
end {alineado} nonumber ]
Para encontrar (y ), sustituya (70/23 ) por (x ) en la ecuación (y = -3 + dfrac {3} {2} x ). También puede sustituir (70/23 ) por (x ) en las ecuaciones ref {Eq4.2.5} o ref {Eq4.2.6} y obtener el mismo resultado.
[ begin {alineado} y & = -3+ dfrac {3} {2} x \ y & = -3+ dfrac {3} {2} left ( dfrac {70} { 23} right) quad color {Red} text {Substitute} 70/23 text {for} x \ y & = – dfrac {69} {23} + dfrac {105} {23} quad color {Red} text {Multiplicar. Haz fracciones equivalentes. } \ y & = dfrac {36} {23} quad text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, ((x, y) = (70 / 23,36 / 23) ) es la solución del sistema.
Verificar: Para verificar esta solución, usemos la calculadora gráfica para encontrar la solución del sistema. Ya sabemos que (3x – 2y = 6 ) es equivalente a (y = -3 + dfrac {3} {2} x ). También resolvamos la ecuación ref {Eq4.2.6} para (y ).
[ begin {alineado} 4x + 5y & = 20 quad { color {Rojo} text {Ecuación}} ref {Eq4.2.6} \ 5y & = 20-4x quad color { Rojo} text {Restar} 4 x text {de ambos lados. } \ y & = dfrac {20-4 x} {5} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} 5 \ y & = 4- dfrac {4} {5} x quad color {Rojo} text {Divide ambos} 20 text {y} -4 x text {entre} 5 text {usando la propiedad distributiva. } end {alineado} nonumber ]
Ingrese (y = -3 + dfrac {3} {2} x ) y (y = 4- dfrac {4} {5} x ) en Y = = menú de la calculadora gráfica (ver Figura 4.32).
Presione el botón ZOOM y seleccione 6: ZStandard . Presione 2º CALC para abrir el menú CALCULAR , seleccione 5: intersecte , luego presione la tecla ENTER tres veces seguidas para ingresar “ Sí “a las consultas” Primera curva “,” Segunda curva “y” Adivina “. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ).
En la parte inferior de la ventana de visualización en la Figura ( PageIndex {7} ), observe cómo se almacenan las coordenadas del punto de intersección en las variables X y Y [19459006 ] Sin mover el cursor, (las variables X y Y contienen las coordenadas del cursor), salga de la ventana de visualización presionando 2ND QUIT , que se encuentra arriba la tecla MODE . Luego presione el botón CLEAR para borrar la pantalla de la calculadora.
Ahora presione la tecla ( mathrm {X}, mathrm {T}, theta, mathrm {n} ), luego el botón MATH en su calculadora:
Seleccione 1: ►Frac , luego presione la tecla ENTER para producir el equivalente fraccional del contenido decimal de la variable (X ) (vea la Figura ( PageIndex {9} )).
Repita el procedimiento para la variable (Y ). Ingrese:
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {alineado} 3 x-5 y & = 3 \ 5 x-6 y & = 2 end {alineado} nonumber ]
- Respuesta
-
((- 8/7, -9 / 7) )
Casos excepcionales revisados
Es completamente posible que aplique el método de sustitución a un sistema de ecuaciones que tenga un número infinito de soluciones o que no tenga ninguna solución. Veamos qué sucede si haces eso.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[2 x + 3 y = 6 label {Eq4.2.7} ]
[y = – dfrac {2} {3} x + 4 label {Eq4.2.8} ]
Solución
La ecuación ref {Eq4.2.8} ya está resuelta para (y ), así que sustituyamos (- dfrac {2} {3} x + 4 ) por (y ) en la ecuación ref {Eq4.2.7}.
[ begin {alineado} 2x + 3y & = 6 quad { color {Rojo} text {Ecuación}} ref {Eq4.2.7} \ 2x + 3 left (- dfrac {2 } {3} x + 4 right) & = 6 quad color {Red} text {Sustituir} – dfrac {2} {3} x + 4 text {para} y \ 2x-2x + 12 & = 6 quad color {Rojo} text {Distribuya el} 3 \ 12 & = 6 quad color {Rojo} text {Simplifique. } end {alineado} nonumber ]
¡Dios mío! ¿Qué pasó con el (x )? ¿Cómo se supone que debemos resolver (x ) en esta situación? Sin embargo, tenga en cuenta que la declaración resultante, (12 = 6 ), es falsa, no importa lo que usemos para (x ) y (y ). Esto debería darnos una pista de que no hay soluciones. ¿Quizás estamos tratando con líneas paralelas?
Resolvamos la ecuación ref {Eq4.2.7} para (y ), poniendo la ecuación en forma de pendiente-intersección, para ayudar a determinar la situación.
[ begin {alineado} 2x + 3y & = 6 quad { color {Rojo} text {Ecuación}} ref {Eq4.2.7} \ 3y & = -2x + 6 quad color {Rojo} text {Restar} 2 x text {de ambos lados. } \ y & = – dfrac {2} {3} x + 2 quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 3 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, nuestro sistema es equivalente a las siguientes dos ecuaciones.
[ begin {alineado} y & = – dfrac {2} {3} x + 2 \ y & = – dfrac {2} {3} x + 4 end {alineado} nonumber ]
Estas líneas tienen la misma pendiente (- 2/3 ), pero difieren (y ) – interceptan (una tiene (y ) – intercepta ((0,2) ), la otra tiene (y ) – interceptar ((0,4) )). Por lo tanto, estas son dos líneas paralelas distintas y el sistema no tiene solución.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {alineado} x & = dfrac {4} {3} y-7 \ 6 x-8 y & = – 3 end {alineado} nonumber ]
- Respuesta
-
sin solución
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[2x-6y = -8 label {Eq4.2.9} ]
[x = 3y-4 label {Eq4.2.10} ]
Solución
La ecuación ref {Eq4.2.10} ya está resuelta para (x ), así que sustituyamos (3y − 4 ) por (x ) en la ecuación ref {Eq4.2.9}.
[ begin {alineado} 2x-6y & = -8 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.9} \ 2 (3y-4) -6y & = -8 quad color {Rojo} text {Sustituir} 3 y-4 text {para} x \ 6y-8-6y & = -8 quad color {Rojo} text {Distribuya el} 2 -8 & = -8 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
¡Dios mío! ¿Qué pasó con el (x )? ¿Cómo se supone que debemos resolver (x ) en esta situación? Sin embargo, tenga en cuenta que la declaración resultante, (- 8 = −8 ), es una declaración verdadera esta vez. ¿Quizás esto es una indicación de que estamos tratando con la misma línea? Pongamos ambas ecuaciones ref {Eq4.2.9} y ref {Eq4.2.10} en forma de pendiente-intersección para que podamos compararlas.
Resuelva la ecuación ref {Eq4.2.9} para (y ):
[ begin {alineado} 2 x-6 y & = – 8 \ – 6 y & = – 2 x-8 \ y & = dfrac {-2 x-8} {- 6} y & = dfrac {1} {3} x + dfrac {4} {3} end {alineado} nonumber ]
Resuelva la ecuación ref {Eq4.2.10} para (y ):
[ begin {alineado} x & = 3 y-4 \ x + 4 & = 3 y \ dfrac {x + 4} {3} & = y \ y & = dfrac {1 } {3} x + dfrac {4} {3} end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, las líneas tienen la misma pendiente y la misma (y ) – interceptan y son exactamente las mismas líneas. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones. De hecho, cualquier punto en cualquier línea es una solución. Ejemplos de puntos de solución son ((- 4,0) ), ((- 1,1) ) y ((2,2) ).
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {alineado} -28 x + 14 y & = – 126 \ y & = 2 x-9 end {alineado} nonumber ]
- Respuesta
-
Hay un número infinito de soluciones. Ejemplos de puntos de solución son ((0, −9) ), ((5,1) ) y ((- 3, −15) ).
Consejo
Cuando sustituyes una ecuación en otra y la variable desaparece, considera:
- Si la declaración resultante es falsa, entonces tiene dos líneas paralelas distintas y no hay solución.
- Si el enunciado resultante es verdadero, entonces tiene las mismas líneas y hay un número infinito de soluciones.