4.2: Valor absoluto

4.2: Valor absoluto

                 

Ahora que tenemos los fundamentos de las funciones definidas por partes, estamos listos para introducir la función de valor absoluto. Primero, establezcamos un recordatorio trivial de lo que significa tomar el valor absoluto de un número real.

 

En cierto sentido, el valor absoluto de un número es una medida de su magnitud, sin (sin) su signo. Por lo tanto,

 

[| 7 | = 7 qquad text {y} qquad | -7 | = 7 ]

 

Aquí está la definición formal del valor absoluto de un número real.

 
 

Definición: Valor absoluto

 

Para encontrar el valor absoluto de cualquier número real, primero ubique el número en la línea real.

 

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El valor absoluto del número se define como su distancia desde el origen.

 
 

Por ejemplo, para encontrar el valor absoluto de 7, ubique 7 en la línea real y luego encuentre su distancia desde el origen.

 

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Para encontrar el valor absoluto de −7, ubique −7 en la línea real y luego encuentre su distancia desde el origen.

 

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A algunos les gusta decir que tomar el valor absoluto «produce un número que siempre es positivo». Sin embargo, esto ignora una excepción importante, es decir,

 

[| 0 | = 0 ]

 

Por lo tanto, la afirmación correcta es «el valor absoluto de cualquier número real es positivo o cero», es decir, el valor absoluto de un número real es «no negativo». 2 En lugar de usar la frase «no negativo , «Los matemáticos prefieren la palabra» no negativo «. Cuando tomamos el valor absoluto de un número, el resultado siempre es no negativo; es decir, el resultado es positivo o cero. En símbolos,

 

[| x | geq 0 text {para todos los números reales} x ]

 

Esto tiene mucho sentido a la luz de la definición 2. La distancia siempre es no negativa.

 

Sin embargo, la discusión anterior no tiene la profundidad suficiente para manejar problemas más sofisticados que involucran un valor absoluto.

 

Una definición por partes del valor absoluto

 

Debido a que el valor absoluto está íntimamente relacionado con la distancia, los matemáticos y científicos lo encuentran una herramienta invaluable para la medición y el análisis de errores. Sin embargo, necesitaremos una definición formulada del valor absoluto si queremos usar esta herramienta de manera significativa. Necesitamos desarrollar una definición por partes de la función de valor absoluto, una que definirá el valor absoluto para cualquier número real arbitrario x.

 

Comenzamos con algunas observaciones. Recuerde, el valor absoluto de un número siempre es no negativo (positivo o cero).

 
         
  1. Si un número es negativo, negar ese número lo hará positivo. El | – 5 | = – (- 5) = 5, y de manera similar, | – 12 | = – (- 12) = 12. Por lo tanto, si x <0 (si x es negativo), entonces | x | = −x.
  2.      
  3. Si x = 0, entonces | x | = 0.
  4.      
  5. Si un número es positivo, tomar el valor absoluto de ese número no cambiará nada.
  6.  
 

[| 5 | = 5, text {y similarmente,} | 12 | = 12 ]

 

Por lo tanto, si (x> 0 ) (si (x ) es positivo), entonces (| x | = x ).

 

Podemos resumir estos tres casos con una definición por partes.

 

[| x | = left { begin {array} {ll} {- x,} & { text {if} x <0} \ {0,} & { text {if} x = 0} \ {x,} & { text {if} x> 0} end {array} right. ]

 

Es la primera línea en nuestra definición por partes (4) que generalmente deja a los estudiantes rascándose la cabeza. Podrían decir «Pensé que el valor absoluto hace que un número sea positivo (o cero), pero tienes (| x | = −x ); es decir, tienes el valor absoluto de x igual a una x negativa «. Por más que lo intentaran, esto parece contradictorio. ¿Te parece así?

 

Sin embargo, no hay contradicción. Si x <0, es decir, si x es un número negativo, −x es un número positivo, y nuestra noción intuitiva de valor absoluto no es diferente a la de nuestra definición por partes (4). Por ejemplo, si x = −8, entonces −x = 8, y aunque decimos "x negativo", en este caso −x es un número positivo.

 

Si esto todavía te tiene confundido, considera el simple hecho de que x y −x deben tener «signos opuestos». Si uno es positivo, el otro es negativo y viceversa. En consecuencia,

 
         
  • si x es positivo, entonces −x es negativo, pero
  •      
  • si x es negativo, entonces −x es positivo.
  •  
 

Resumamos lo que hemos aprendido hasta ahora.

 
 

Resumiendo la definición en una recta numérica

 

Nos gusta usar una recta numérica para ayudar a resumir la definición del valor absoluto de x.

 

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Algunas observaciones están en orden para este resumen en la recta numérica.

 
         
  • Primero dibujamos la línea real y luego marcamos el «valor crítico» para la expresión dentro de las barras de valor absoluto en la línea numérica. El número cero es un valor crítico para la expresión x, porque x cambia de signo a medida que te mueves de un lado de cero al otro.
  •      
  • A la izquierda de cero, x es un número negativo. Indicamos esto con el signo menos debajo de la recta numérica. A la derecha de cero, x es un número positivo, indicado con un signo más debajo de la recta numérica.
  •      
  • Por encima de la recta numérica, simplificamos la expresión | x |. A la izquierda de cero, x es un número negativo (mira debajo de la línea), entonces | x | = −x. Observe cómo se coloca el resultado −x sobre la línea a la izquierda de cero. De manera similar, a la derecha de cero, x es un número positivo (mire debajo de la línea), entonces | x | = x. Observe cómo se coloca el resultado x sobre la línea a la derecha de cero.
  •  
 

En la definición por partes de | x | en (4), tenga en cuenta que tenemos tres piezas distintas, una para cada caso discutido anteriormente. Sin embargo, porque | 0 | = 0, podemos incluir este caso con la pieza | x | = x, si ajustamos la condición para incluir cero.

 
 

Definición

 

[| x | = left { begin {array} {ll} {- x,} & { text {if} x <0} \ {x,} & { text {if} x geq 0} end {array} right. ]

 
 

Tenga en cuenta que esta definición por partes coincide con nuestra discusión hasta la fecha.

 
         
  1. En la primera línea de la ecuación (6), si x es un número negativo (es decir, si (x <0 )), entonces el valor absoluto debe cambiar x a un número positivo negando. Es decir, | x | = −x.
  2.      
  3. En la segunda línea de la ecuación (6), si x es positivo o cero (es decir, si (x geq 0 )), entonces no hay nada que hacer excepto eliminar las barras de valor absoluto. Es decir, | x | = x.
  4.  
 

Porque | 0 | = −0, también podríamos incluir el caso de cero a la izquierda, definiendo el valor absoluto con

 

[| x | = left { begin {array} {ll} {- x,} & { text {if} x leq 0} \ {x,} & { text {if } x> 0} end {array} right. ]

 

Sin embargo, en este texto siempre incluiremos el valor crítico a la derecha, como se muestra en la Definición 5.

 

Construyendo definiciones por partes

 

Veamos si podemos determinar definiciones por partes para otras expresiones que impliquen un valor absoluto.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Determine una definición por partes para | x – 2 |.

 

Solución

 

Primero, establezca la expresión dentro de las barras de valor absoluto igual a cero y resuelva para x.

 

[ begin {alineado} x-2 & = 0 \ x & = 2 end {alineado} ]

 

Tenga en cuenta que x – 2 = 0 en x = 2. Este es el «valor crítico» para esta expresión. Dibuje una línea real y marque este valor crítico de x en la línea. Coloque la expresión x – 2 debajo de la línea en su extremo izquierdo.

 

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Luego, determine el signo de x – 2 para los valores de x en cada lado de 2. Esto se hace fácilmente «probando» un punto en cada lado de 2 en la expresión x – 2.

 
         
  • Tome x = 1, que se encuentra a la izquierda del valor crítico 2 en nuestra recta numérica. Sustituya este valor de x en la expresión x – 2, obteniendo
  •  
 

[x-2 = 1-2 = -1 ]

 

que es negativo. De hecho, independientemente del valor de x que elija a la izquierda de 2, cuando se inserte en la expresión x – 2, obtendrá un resultado negativo (debe verificar esto para otros valores de x a la izquierda de 2). Indicamos que la expresión x – 2 es negativa para los valores de x a la izquierda de 2 colocando un signo menos (-) debajo de la línea numérica a la izquierda de 2.

 

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  • A continuación, elija x = 3, que se encuentra a la derecha del valor crítico 2 en la recta numérica. Sustituya este valor de x en la expresión x – 2, obteniendo
  •  
 

[x-2 = 3-2 = 1 ]

 

que es positivo. De hecho, independientemente del valor de x que elija a la derecha de 2, cuando se inserte en la expresión x – 2, obtendrá un resultado positivo (debe verificar esto para otros valores de x a la derecha de 2). Indicamos que la expresión x – 2 es positiva para los valores de x a la derecha de 2 colocando un signo más (+) debajo de la línea numérica a la derecha de 2 (vea la línea numérica arriba).

 

El siguiente paso es eliminar las barras de valor absoluto de la expresión | x − 2 |, dependiendo del signo de x – 2.

 
         
  • A la izquierda de 2, la expresión x – 2 es negativa (observe el signo menos (-) debajo de la recta numérica), entonces | x – 2 | = – (x – 2). Es decir, tenemos que negar x – 2 para que sea positivo. Esto se indica colocando – (x – 2) encima de la línea a la izquierda de 2.
  •  
 

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  • A la derecha de 2, la expresión x – 2 es positiva (observe el signo más (+) debajo de la línea), entonces | x – 2 | = x – 2. Es decir, simplemente eliminamos las barras de valor absoluto porque la cantidad dentro ya es positiva. Esto se indica colocando x – 2 sobre la línea a la derecha de 2 (vea la línea numérica arriba).
  •  
 

Podemos usar este último resumen de línea numérica para construir una definición por partes de la expresión | x – 2 |.

 

[| x-2 | = left { begin {array} {ll} {- (x-2),} & { text {if} x <2,} \ {x-2 ,} & { text {if} x geq 2} end {array} = left { begin {array} {ll} {- x + 2,} & { text {if} x <2} \ {x-2,} & { text {if} x geq 2} end {array} right. right. ]

 

Nuestra línea numérica y definición por partes coinciden: | x – 2 | = – (x – 2) a la izquierda de 2 y | x – 2 | = x – 2 a la derecha de 2. Además, observe cómo hemos incluido el valor crítico de 2 «a la derecha» en nuestra definición por partes.

 
 

Resumamos el método que seguimos para construir la función por partes anterior.

 
 

Construyendo una definición por partes para el valor absoluto

 

Cuando se le presente el valor absoluto de una expresión algebraica, realice los siguientes pasos para eliminar las barras de valor absoluto y construir una definición por partes equivalente.

 
         
  1. Tome la expresión que está dentro de las barras de valor absoluto y establezca esa expresión igual a cero. Luego resuelve para x. Este valor de x se llama «valor crítico». (Nota: la expresión dentro de las barras de valor absoluto podría tener más de un valor crítico. No encontraremos tales problemas en este texto).
  2.      
  3. Coloque su valor crítico en una recta numérica.
  4.      
  5. Coloque la expresión dentro de las barras de valor absoluto debajo de la línea numérica en el extremo izquierdo.
  6.      
  7. Pruebe el signo de la expresión dentro de las barras de valor absoluto insertando un valor de x a cada lado del valor crítico y marcando el resultado con un signo más (+) o menos (-) debajo de la línea numérica.
  8.      
  9. Coloque la expresión original, la que incluye las barras de valor absoluto, sobre la línea numérica en el extremo izquierdo.
  10.      
  11. Use el signo de la expresión dentro de las barras de valor absoluto (indicado por los signos más y menos debajo de la línea numérica) para eliminar las barras de valor absoluto, colocando los resultados sobre la línea numérica a cada lado del valor crítico.
  12.      
  13. Construya una definición por partes que imite los resultados en la recta numérica.
  14.  
 
 

Apliquemos esta técnica a otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Determine una definición por partes para | 3 – 2x |.

 

Solución

 

Paso 1 : Primero establece la expresión dentro de las barras de valor absoluto igual a cero y resuelve para x.

 

[ begin {alineado} 3-2 x & = 0 \ x & = 3/2 end {alineado} ]

 

Tenga en cuenta que 3 – 2x = 0 en x = 3/2. Este es el «valor crítico» para esta expresión.

 

Pasos 2 y 3 : Dibuje una línea numérica y marque este valor crítico en la línea. El siguiente paso requiere que coloquemos la expresión dentro de las barras de valor absoluto, es decir, 3 – 2x, debajo de la línea en su extremo izquierdo.

 

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Paso 4 : Luego, determine el signo de 3 – 2x para los valores de x en cada lado de 3/2. Esto se hace fácilmente «probando» un punto a cada lado de 3/2 en la expresión 3 – 2x.

 
         
  • Toma x = 1, que se encuentra a la izquierda de 3/2. Sustituya este valor de x en la expresión 3 – 2x, obteniendo [3-2 x = 3-2 (1) = 1 ] que es positivo. Indique este resultado colocando un signo más (+) debajo de la línea numérica a la izquierda de 3/2.
  •  
 

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  • Luego, elige x = 2, que se encuentra a la derecha de 3/2. Sustituya este valor de x en la expresión 3 – 2x, obteniendo [3-2 x = 3-2 (2) = – 1 ] que es negativo. Indique este resultado colocando un signo negativo (-) debajo de la línea a la derecha de 3/2 (vea la línea numérica arriba).
  •  
 

Pasos 5 y 6 : Coloque la expresión original, a saber | 3 – 2x |, encima de la línea numérica en el extremo izquierdo. El siguiente paso es eliminar las barras de valor absoluto de la expresión | 3 – 2x |.

 
         
  • A la izquierda de 3/2, la expresión 3 – 2x es positiva (observe el signo más (+) debajo de la recta numérica), entonces | 3−2x | = 3−2x. Indique este resultado colocando la expresión 3 – 2x sobre la recta numérica a la izquierda de 3/2.
  •  
 

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  • A la derecha de 3/2, la expresión 3−2x es negativa (observe el signo menos (-) debajo de la línea numérica), entonces | 3−2x | = – (3−2x). Es decir, tenemos que negar 3−2x para que sea positivo. Esto se indica colocando la expresión – (3 – 2x) encima de la línea a la derecha de 3/2 (ver la línea numérica arriba).
  •  
 

Paso 7 : Podemos usar este último resumen de línea numérica para escribir una definición por partes para la expresión | 3 – 2x |.

 

[| 3-2 x | = left { begin {array} {ll} {3-2 x,} & { text {if} x <3/2.} \ {- ( 3-2 x),} & { text {if} x geq 3/2} end {array} = left { begin {array} {ll} {3-2 x,} & { text {if} x <3/2} \ {-3 + 2 x,} & { text {if} x geq 3/2} end {array} right. right. ]

 

Nuevamente, observe cómo hemos incluido el valor crítico de 3/2 «a la derecha».

 
 

Dibujando el gráfico de una función de valor absoluto

 

Ahora que sabemos cómo construir una definición por partes para una expresión que contiene barras de valor absoluto, podemos usar lo que aprendimos en la sección anterior para dibujar el gráfico.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Dibuje la gráfica de la función f (x) = | 3 – 2x |.

 

Solución

 

En el ejemplo ( PageIndex {2} ), construimos la siguiente definición por partes.

 

[f (x) = | 3-2 x | = left { begin {array} {ll} {3-2 x,} & { text {if} x <3/2} {-3 + 2 x,} & { text {if} x geq 3/2} end {array} right. ]

 

Ahora bosquejamos cada pieza de esta función.

 
         
  • Si x <3/2, entonces f (x) = 3 - 2x (ver ecuación (10)). Este es un rayo, que comienza en x = 3/2 y se extiende hacia la izquierda. En x = 3/2,
  •  
 

[f (3/2) = 3-2 (3/2) = 3-3 = 0 ]

 

Por lo tanto, el punto final del rayo se encuentra en (3/2, 0).

 

A continuación, elija un valor de x que se encuentre a la izquierda de 3/2. En x = 0,

 

[f (0) = 3-2 (0) = 3-0 = 3 ]

 

Por lo tanto, un segundo punto en el rayo es (0, 3).

 

En la Figura ( PageIndex {1} ) se muestra una tabla que contiene los dos puntos evaluados y un boceto del rayo que lo acompaña. Debido a que f (x) = 3 – 2x solo si x es estrictamente menor que 3/2, el punto en (3/2, 0) no está lleno.

 
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Figura ( PageIndex {1} ). f (x) = 3 – 2x cuando x <3/2.
 
 
         
  • Si x ≥ 3/2, entonces f (x) = −3 + 2x (ver ecuación (10)). Este es un rayo, que comienza en x = 3/2 y se extiende hacia la derecha. En x = 3/2, [f (3/2) = – 3 + 2 (3/2) = – 3 + 3 = 0 ]
  •  
 

Por lo tanto, el punto final del rayo se encuentra en (3/2, 0).

 

A continuación, elija un valor de x que se encuentre a la derecha de 3/2. En x = 3, [f (3) = – 3 + 2 (3) = – 3 + 6 = 3 ]

 

Por lo tanto, un segundo punto en el rayo es (3, 3). En la Figura ( PageIndex {2} ) se muestra una tabla que contiene los dos puntos evaluados y un boceto del rayo que lo acompaña. Debido a que f (x) = −3 + 2x para todos los valores de x que son mayores o iguales a 3/2, el punto en (3/2, 0) se rellena en este gráfico.

 
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Figura ( PageIndex {2} ). f (x) = −3 + 2x cuando (x geq 3/2 ).
 
 
         
  • Para dibujar la gráfica de f (x) = | 3 – 2x |, solo necesitamos combinar las dos piezas de las Figuras ( PageIndex {1} ) y ( PageIndex {2} ). El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).
  •  
 
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Figura ( PageIndex {3} ). La gráfica de f (x) = | 3 – 2x |.
 
 

Observe la «forma de V» del gráfico. Nos referiremos al punto en la punta de la «V» como el vértice de la función de valor absoluto.

 
 

En la Figura ( PageIndex {3} ), la ecuación de la rama izquierda de la «V» es y = 3 – 2x. Un enfoque alternativo para dibujar esta rama es notar que su gráfica está contenida en la gráfica de la línea completa y = 3 – 2x, que tiene pendiente −2 e intersección en y en (0, 3). Por lo tanto, uno podría dibujar la línea completa usando la pendiente y la intersección con el eje y, luego borrar esa parte de la línea que se encuentra a la derecha de x = 3/2. Una estrategia similar funcionaría para la rama derecha de y = | 3 – 2x |.

 

Uso de transformaciones

 

Considere nuevamente la definición básica del valor absoluto de x.

 

[f (x) = | x | = left { begin {array} {ll} {- x,} & { text {if} x <0} \ {x,} & { text {if} x geq 0} end {array} right. ]

 

Algunas observaciones básicas son:

 
         
  • Si x <0, entonces f (x) = −x. Este rayo comienza en el origen y se extiende hacia la izquierda con pendiente −1. Su gráfico se ilustra en la Figura ( PageIndex {4} ) (a).
  •      
  • Si (x geq 0 ), entonces f (x) = x. Este rayo comienza en el origen y se extiende hacia la derecha con pendiente 1. Su gráfico se ilustra en la Figura ( PageIndex {4} ) (b).
  •      
  • Combinamos los gráficos en las Figuras ( PageIndex {4} ) (a) y ( PageIndex {4} ) (b) para producir el gráfico de f (x) = | x | en la Figura ( PageIndex {4} ) (c).
  •  
 
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Figura ( PageIndex {4} ). Combina las ramas izquierda y derecha para producir la gráfica básica de f (x) = | x |.
 
 

Debe confirmar el gráfico de f (x) = | x | a la memoria Cosas a tener en cuenta:

 
         
  • La gráfica de f (x) = | x | tiene «forma de V».
  •      
  • El vértice de la gráfica está en el punto (0, 0).
  •      
  • La rama de la izquierda tiene la ecuación y = −x y la pendiente −1.
  •      
  • La rama de la derecha tiene la ecuación y = xy la pendiente 1.
  •      
  • Cada rama de la gráfica de f (x) = | x | forma un ángulo perfecto de 45 ° con el eje x.
  •  
 

Ahora que sabemos cómo dibujar la gráfica de f (x) = | x |, podemos usar las transformaciones que aprendimos en el Capítulo 2 (secciones 5 y 6) para dibujar una serie de gráficas simples que involucren un valor absoluto.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Dibuja la gráfica de f (x) = | x – 3 |.

 

Solución

 

Primero, dibuje la gráfica de y = f (x) = | x |, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (a). Tenga en cuenta que si f (x) = | x |, entonces

 

[y = f (x-3) = | x-3 | ]

 

Para dibujar la gráfica de y = f (x – 3) = | x – 3 |, cambie la gráfica de y = f (x) = | x | tres unidades a la derecha, produciendo el resultado que se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (b).

 
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Figura ( PageIndex {5} ). Para dibujar la gráfica de y = | x – 3 |, cambie la gráfica de y = | x | Tres unidades a la derecha.
 
 

Podemos verificar este resultado usando la calculadora gráfica. Cargue la función f (x) = | x – 3 | en Y1 en el menú Y = en su calculadora gráfica como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (a). Presione el botón MATH, la flecha hacia la derecha hacia el menú NUM, luego seleccione 1: abs ((vea la Figura ( PageIndex {6} ) (b)) para ingresar el valor absoluto en Y1. Presione el botón ZOOM, luego seleccione 6: ZStandard para producir la imagen que se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (c).

 
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Figura ( PageIndex {6} ). Usando la calculadora gráfica para dibujar la gráfica de f (x) = | x – 3 |.
 
 
 

Veamos otro ejemplo simple.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Dibuja la gráfica de f (x) = | x | – 4.

 

Solución

 

Primero, dibuje la gráfica de y = f (x) = | x |, como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ) (a). Tenga en cuenta que si f (x) = | x |, entonces [y = f (x) -4 = | x | -4 ]

 

Para dibujar la gráfica de y = f (x) – 4 = | x | – 4, desplaza la gráfica de y = f (x) = | x | 4 unidades hacia abajo, produciendo el resultado que se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (b).

 
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Figura ( PageIndex {7} ). Para dibujar la gráfica de y = | x | – 4, desplaza la gráfica de y = | x | hacia abajo 4 unidades.
 
 
 

Veamos un ejemplo final.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Dibuje la gráfica de f (x) = – | x | + 5. Indique el dominio y el rango de esta función.

 

Solución

 
         
  • Primero, dibuje la gráfica de y = f (x) = | x |, como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (a).
  •      
  • Luego, dibuja la gráfica de y = −f (x) = – | x |, que es un reflejo de la gráfica de y = f (x) = | x | a través del eje x y se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (b).
  •      
  • Finalmente, queremos esbozar la gráfica de y = −f (x) + 5 = – | x | + 5. Para hacer esto, cambiamos la gráfica de y = −f (x) = – | x | en la Figura ( PageIndex {8} ) (b) hacia arriba 5 unidades para producir el resultado en la Figura ( PageIndex {8} ) (c).
  •  
 

Para encontrar el dominio de f (x) = – | x | + 5, proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje x, como se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ) (a). Por lo tanto, el dominio de f es ((- infty, infty) ). Para encontrar el rango, proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje y, como se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ) (b). Por lo tanto, el rango es ((- infty, 5] ).

 
 
WeChat1ba1933705a816e6e2028e4ee7afd8f4.png  
Figura ( PageIndex {8} ). Para dibujar la gráfica de y = – | x | + 5, primero refleja la gráfica de y = | x | a través del eje x para producir la gráfica de y = – | x |, luego desplazar este resultado 5 unidades hacia arriba para producir la gráfica de y = – | x | + 5.
 
 
WeChat595353df8fad83065a7e84ba8d2a5174.png  
 

Figura ( PageIndex {9} ). Proyectando sobre los ejes para encontrar el dominio y el rango

 
 
   

Ejercicio

 

Para cada una de las funciones en Ejercicios 1 8 , como en los Ejemplos 7 y 8 en la narración, marque el «valor crítico» en una recta numérica, luego marque el signo de la expresión dentro de las barras de valor absoluto debajo de la recta numérica. Por encima de la línea numérica, elimine las barras de valor absoluto de acuerdo con el signo de la expresión que marcó debajo de la línea numérica. Una vez que finalice el resumen de la línea numérica, cree una definición por partes para la función de valor absoluto dada.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {1} )

 

f (x) = | x + 1 |

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.12.13 PM.png

     

[f (x) = left { begin {array} {ll} {- x-1,} & { text {if} x <-1} \ {x + 1,} & { text {if} x ge -1} nonumber end {array} right. ]

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {2} )

 

f (x) = | x − 4 |

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {3} )

 

g (x) = | 4−5x |

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.14.38 PM.png

     

[g (x) = left { begin {array} {ll} {4-5x,} & { text {if} x < frac {4} {5}} \ {- 4 + 5x,} & { text {if} x ge frac {4} {5}} nonumber end {array} right. ]

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {4} )

 

g (x) = | 3−2x |

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {5} )

 

h (x) = | −x − 5 |

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.18.17 PM.png

     

[h (x) = left { begin {array} {ll} {- x-5,} & { text {if} x <-5} \ {x + 5,} & { text {if} x ge -5} nonumber end {array} right. ]

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {6} )

 

h (x) = | −x − 3 |

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {7} )

 

f (x) = x + | x |

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.20.24 PM.png

     

[f (x) = left { begin {array} {ll} {0,} & { text {if} x <0} \ {2x,} & { text {if} x ge 0} nonumber end {array} right. ]

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {8} )

 

(f (x) = frac {| x |} {x} )

 
 

Para cada una de las funciones en Ejercicios 9 16 , realice cada una de las siguientes tareas.

 
         
  1.      

    Cree una definición por partes para la función dada, utilizando la técnica en Ejercicios 1 8 y los Ejemplos 7 y 8 en la narrativa.

         
  2.      
  3.      

    Siguiendo el ejemplo del ejemplo 9 en la narrativa, use su definición por partes para dibujar la gráfica de la función dada en una hoja de papel cuadriculado. Coloque cada ejercicio en su propio sistema de coordenadas.

         
  4.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {9} )

 

f (x) = | x − 1 |

 
     
Respuesta
     
     

[f (x) = left { begin {array} {ll} {- x + 1,} & { text {if} x <1} \ {x-1,} & { text {if} x ge 1} nonumber end {array} right. ]

     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.22.13 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {10} )

 

f (x) = | x + 2 |

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {11} )

 

g (x) = | 2x − 1 |

 
     
Respuesta
     
     

[g (x) = left { begin {array} {ll} {- 2x + 1,} & { text {if} x < frac {1} {2}} \ { 2x-1,} & { text {if} x ge frac {1} {2}} nonumber end {array} right. ]

     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.23.54 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {12} )

 

g (x) = | 5−2x |

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {13} )

 

h (x) = | 1−3x |

 
     
Respuesta
     
     

[h (x) = left { begin {array} {ll} {1-3x,} & { text {if} x < frac {1} {3}} \ {- 1 + 3x,} & { text {if} x ge frac {1} {3}} nonumber end {array} right. ]

     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.25.35 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {14} )

 

h (x) = | 2x + 1 |

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {15} )

 

f (x) = x− | x |

 
     
Respuesta
     
     

[f (x) = left { begin {array} {ll} {2x,} & { text {if} x <0} \ {0,} & { text {if} x ge 0} nonumber end {array} right. ]

     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.26.40 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {16} )

 

f (x) = x + | x − 1 |

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {17} )

 

Use una calculadora gráfica para dibujar los gráficos de y = | x |, y = 2 | x |, y = 3 | x | ey = 4 | x | en la misma ventana de visualización. En sus propias palabras, explique lo que aprendió en este ejercicio.

 
     
Respuesta
     
     

Multiplicar por un factor de a> 1, como en y = a | x |, estira la gráfica de y = | x | verticalmente por un factor de a. Cuanto mayor sea el valor de a, más se estira verticalmente.

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {18} )

 

Use una calculadora gráfica para dibujar las gráficas de y = | x |, y = (1/2) | x |, y = (1/3) | x | ey = (1/4) | x El | en la misma ventana de visualización. En sus propias palabras, explique lo que aprendió en este ejercicio.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {19} )

 

Use una calculadora gráfica para dibujar las gráficas de y = | x |, y = | x − 2 |, y = | x − 4 |, y y = | x − 6 | en la misma ventana de visualización. En sus propias palabras, explique lo que aprendió en este ejercicio.

 
     
Respuesta
     
     

Restando un valor positivo de a, como en y = | x − a |, desplaza la gráfica a unidades a la derecha.

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {20} )

 

Use una calculadora gráfica para dibujar las gráficas de y = | x |, y = | x + 2 |, y = | x + 4 |, y y = | x + 6 | en la misma ventana de visualización. En sus propias palabras, explique lo que aprendió en este ejercicio.

 
 

En Ejercicios 21 36 , realice cada una de las siguientes tareas. No dude en verificar su trabajo con su calculadora gráfica, pero debería poder hacer todo el trabajo a mano.

 
         
  1.      

    Configure un sistema de coordenadas en una hoja de papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje. Cree una gráfica precisa de la función y = | x | en su sistema de coordenadas y etiquete este gráfico con su ecuación.

         
  2.      
  3.      

    Use la técnica de los ejemplos 12,13 y 14 en la narración para ayudar a seleccionar las transformaciones geométricas apropiadas para transformar la ecuación y = | x | en la forma de la función dada en el ejercicio. En el mismo sistema de coordenadas, use un lápiz o bolígrafo de diferente color para dibujar el gráfico de la función resultante de su transformación aplicada. Rotula el gráfico resultante con su ecuación.

         
  4.      
  5.      

    Use la notación de intervalo para describir el dominio y el rango de la función dada.

         
  6.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {21} )

 

f (x) = | −x |

 
     
Respuesta
     
     

Las gráficas de y = | x | y y = | −x | coincidir. El dominio es ((- infty, infty) ) y el rango es ([0, infty) ).

     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.30.12 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {22} )

 

f (x) = – | x |

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {23} )

 

(f (x) = frac {1} {2} | x | )

 
     
Respuesta
     
     

El dominio es ((- infty, infty) ) y el rango es ([0, infty) ).

     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.33.19 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {24} )

 

f (x) = −2 | x |

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {25} )

 

f (x) = | x + 4 |

 
     
Respuesta
     
     

El dominio es ((- infty, infty) ) y el rango es ([0, infty) ).

     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.34.19 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {26} )

 

f (x) = | x − 2 |

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {27} )

 

f (x) = | x | +2

 
     
Respuesta
     
     

El dominio es ((- infty, infty) ) y el rango es ([2, infty) ).

     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.35.07 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {28} )

 

f (x) = | x | −3

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{29})

 

f(x) = |x+3|+2

 
     
Answer
     
     

The domain is ((−infty, infty)) and the range is ([2, infty)).

     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.36.48 PM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{30})

 

f(x) = |x−3|−4

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{31})

 

f(x) = −|x−2|

 
     
Answer
     
     

The domain is ((−infty, infty)) and the range is ((−infty, 0]).

     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.37.32 PM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{32})

 

f(x) = −|x|−2

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{33})

 

f(x) = −|x|+4

 
     
Answer
     
     

The domain is ((−infty, infty)) and the range is ((−infty, 4]).

     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.38.48 PM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{34})

 

f(x) = −|x+4| ​​​​​​

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{35})

 

f(x) = −|x−1|+5

 
     
Answer
     
     

The domain is ((−infty, infty)) and the range is ((−infty, 5]).

     

Screen Shot 2019-09-09 at 3.39.57 PM.png

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{36})

 

f(x) = −|x+5|+2

 
                   
                                  
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