4.3: Ecuaciones de valor absoluto

4.3: Ecuaciones de valor absoluto

[| x | = left { begin {array} {ll} {- x,} & { text {if} x <0} \ {x,} & { text {if} x geq 0} end {array} right. ]

y vimos que la gráfica de la función de valor absoluto definida por f (x) = | x | tiene la «forma de V» que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ).

Es importante tener en cuenta que la ecuación de la rama izquierda de la «V» es y = −x. Los puntos típicos en esta rama son (−1, 1), (−2, 2), (−3, 3), etc. Es igualmente importante tener en cuenta que la rama derecha de la «V» tiene la ecuación y = X. Los puntos típicos en esta rama son (1, 1), (2, 2), (3, 3), etc.

Resolviendo | x | = a

 

Ahora discutiremos las soluciones de la ecuación

 

[| x | = a ]

 

Hay tres casos distintos para discutir, cada uno de los cuales depende del valor y el signo del número a.

 

Si a <0, entonces la gráfica de y = a es una línea horizontal que se encuentra estrictamente debajo del eje x, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (a). En este caso, la ecuación | x | = a no tiene soluciones porque las gráficas de y = a y y = | x | no se crucen

 

Si a = 0, entonces la gráfica de y = 0 es una línea horizontal que coincide con el eje x, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (b). En este caso, la ecuación | x | = 0 tiene la solución única x = 0, porque la línea horizontal y = 0 interseca la gráfica de y = | x | exactamente en un punto, en x = 0.

 

Si a> 0, entonces la gráfica de y = a es una línea horizontal que se encuentra estrictamente por encima del eje x, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (c). En este caso, la ecuación | x | = a tiene dos soluciones, porque las gráficas de y = a y y = | x | tener dos puntos de intersección.

 

Recuerde que la rama izquierda de y = | x | tiene la ecuación y = −x, y los puntos en esta rama tienen la forma (−1, 1), (−2, 2), etc. Porque el punto donde la gráfica de y = a se cruza con la rama izquierda de y = | x | tiene coordenada y y = a, la coordenada x de este punto de intersección es x = −a. Esta es una solución de | x | = a.

 

Recuerde que la rama derecha de y = | x | tiene la ecuación y = x, y los puntos en esta rama tienen la forma (1, 1), (2, 2), etc. Porque el punto donde la gráfica de y = a se cruza con la rama derecha de y = | x | tiene coordenada y y = a, la coordenada x de este punto de intersección es x = a. Esta es la segunda solución de | x | = a.

 
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Figura ( PageIndex {2} ). La solución de | x | = a tiene tres casos.
 
 

Esta discusión conduce al siguiente resultado clave.

 
 

Propiedad 2

 

La solución de | x | = a depende del valor y signo de a.

 

La ecuación | x | = a no tiene soluciones.

 

La ecuación | x | = 0 tiene una solución, x = 0.

 

La ecuación | x | = a tiene dos soluciones, x = −a o x = a.

 
 

Veamos algunos ejemplos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resolver | x | = −3 para x.

 

Solución

 

La gráfica del lado izquierdo de | x | = −3 es la «V» de la Figura ( PageIndex {2} ) (a). La gráfica del lado derecho de | x | = −3 es una línea horizontal tres unidades debajo del eje x. Esto tiene la forma del boceto en la Figura ( PageIndex {2} ) (a). Los gráficos no se cruzan. Por lo tanto, la ecuación | x | = −3 no tiene soluciones.

 

Un enfoque alternativo es considerar el hecho de que el valor absoluto de x nunca puede ser igual a −3. El valor absoluto de un número siempre es no negativo (cero o positivo). Por lo tanto, la ecuación | x | = −3 no tiene soluciones.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resolver | x | = 0 para x

 

Solución

 

Este es el caso que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (b). La gráfica del lado izquierdo de | x | = 0 intersecta la gráfica del lado derecho de | x | = 0 en x = 0. Por lo tanto, la única solución de | x | = 0 es x = 0.

 

Pensando en esto algebraicamente en lugar de gráficamente, sabemos que 0 = 0, pero no hay otro número con un valor absoluto de cero. Entonces, intuitivamente, la única solución de | x | = 0 es x = 0.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resolver | x | = 4 para x.

 

Solución

 

La gráfica del lado izquierdo de | x | = 4 es la «V» de la Figura ( PageIndex {2} ) (c). El gráfico del lado derecho es una línea horizontal 4 unidades por encima del eje x. Esto tiene la forma del boceto en la Figura ( PageIndex {2} ) (c). Las gráficas se cruzan en (−4, 4) y (4, 4). Por lo tanto, las soluciones de | x | = 4 son x = −4 o x = 4.

 

Alternativamente, | – 4 | = 4 y | 4 | = 4, pero ningún otro número real tiene un valor absoluto igual a 4. Por lo tanto, las únicas soluciones de | x | = 4 son x = −4 o x = 4.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resuelve la ecuación | 3 – 2x | = −8 para x.

 

Solución

 

Si la ecuación fuera | x | = −8, no dudaríamos. La ecuación | x | = −8 no tiene soluciones. Sin embargo, el razonamiento aplicado al caso simple | x | = −8 funciona igual de bien con la ecuación | 3 – 2x | = −8. El lado izquierdo de esta ecuación debe ser no negativo, por lo que su gráfico debe estar arriba o en el eje x. El lado derecho de | 3−2x | = −8 es una línea horizontal 8 unidades debajo del eje x. Los gráficos no pueden cruzarse, por lo que no hay solución.

 

Podemos verificar este argumento con la calculadora gráfica. Cargue los lados izquierdo y derecho de | 3 – 2x | = −8 en Y1 e Y2, respectivamente, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (a). Presione el botón MATH en su calculadora, luego la flecha derecha hacia el menú NUM, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (b). Use 1: abs (para ingresar el valor absoluto que se muestra en Y1 en la Figura ( PageIndex {3} ) (a). En el menú ZOOM, seleccione 6: ZStandard para producir la imagen que se muestra en la Figura ( PageIndex {3 } ) (c).

 

Tenga en cuenta que, como se predijo anteriormente, la gráfica de y = | 3 – 2x | se encuentra en o sobre el eje x y la gráfica de y = −8 se encuentra estrictamente debajo del eje x. Por lo tanto, los gráficos no pueden cruzarse y la ecuación | 3 – 2x | = −8 no tiene soluciones.

 
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Figura ( PageIndex {3} ). Usando la calculadora gráfica para examinar la solución de | 3 – 2x | = −8.
 
 

Alternativamente, podemos proporcionar una solución completamente intuitiva de | 3 – 2x | = −8 argumentando que el lado izquierdo de esta ecuación no es negativo, pero el lado derecho es negativo. Esta es una situación imposible. Por lo tanto, la ecuación no tiene soluciones.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve la ecuación | 3 – 2x | = 0 para x.

 

Solución

 

Hemos argumentado que la única solución de | x | = 0 es x = 0. Razonamiento similar señala que | 3 – 2x | = 0 solo cuando 3 – 2x = 0. Resolvemos esta ecuación independientemente.

 

[ begin {alineado} 3-2 x & = 0 \ – 2 x & = – 3 \ x & = frac {3} {2} end {alineado} ]
Así , la única solución de | 3 – 2x | = 0 es x = 3/2.

 

Vale la pena señalar que la «punta» o «vértice» de la «V» en la Figura ( PageIndex {3} ) (c) se encuentra en x = 3/2. Esta es la única ubicación donde las gráficas de y = | 3 – 2x | y y = 0 se cruzan.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelve la ecuación | 3 – 2x | = 6 para x.

 

Solución

 

En este ejemplo, la gráfica de y = 6 es una línea horizontal que se encuentra 6 unidades por encima del eje x, y la gráfica de y = | 3 – 2x | interseca la gráfica de y = 6 en dos ubicaciones. Puede usar la utilidad de intersección para encontrar los puntos de intersección de los gráficos, como lo hemos hecho en la Figura ( PageIndex {4} ) (b) y (c).

 
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Figura ( PageIndex {4} ). Usando la calculadora gráfica para encontrar dos soluciones de | 3 – 2x | = 6.
 
 

Necesitamos una forma de resumir este enfoque de calculadora gráfica en nuestro trabajo de tarea. Primero, dibuje un facsímil razonable de la ventana de visualización de su calculadora en su tarea. Usa una regla para dibujar todas las líneas. Complete la siguiente lista de verificación.

 
         
  • Rotule cada eje, en este caso con x e y.
  •      
  • Escala cada eje. Para hacer esto, presione el botón VENTANA en su calculadora, luego reporte los valores de xmin, xmax, ymin e ymax en el eje apropiado.
  •      
  • Rotula cada gráfico con su ecuación.
  •      
  • Suelta líneas verticales discontinuas desde los puntos de intersección hasta el eje x. Sombrea y rotula estas soluciones de la ecuación en el eje x.
  •  
 

Siguiendo las pautas en la lista de verificación anterior, obtenemos la imagen en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
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Figura ( PageIndex {5} ). Informar una solución gráfica de | 3 – 2x | = 6.
 
 

Enfoque algebraico . También se puede usar una técnica algebraica para encontrar las dos soluciones de | 3 – 2x | = 6. Tanto como | x | = 6 tiene soluciones x = −6 o x = 6, la ecuación

 

[| 3-2 x | = 6 ]

 

es posible solo si la expresión dentro de los valores absolutos es igual a −6 o 6. Por lo tanto, escriba

 

[3-2 x = -6 qquad text {o} qquad 3-2 x = 6 ]

 

y resuelve estas ecuaciones de forma independiente

 

[ begin {array} {rlrrrl} {3-2 x} & {=} & {- 6} & { text {or}} & {3-2 x} & {=} & {6 } \ {-2 x} & {=} & {- 9} && {-2 x} & {=} & {3} \ {x} & {=} & { frac {9} {2} } && {x} & {=} & {- frac {3} {2}} end {array} ]

 

Debido a que −3/2 = −1.5 y 9/2 = 4.5, estas soluciones exactas coinciden exactamente con las soluciones gráficas en la Figura ( PageIndex {4} ) (b) y (c).

 
 

Resumamos la técnica involucrada en la resolución de este importante caso.

 
 

Nota

 

Resolviendo | expresión | = a, cuando a> 0. Para resolver la ecuación

 

[| text {expresión} | = a, quad text {when} a> 0 ]

 

conjunto

 

[ text {expresión} = – a qquad text {o} qquad text {expresión} = a ]

 

luego resuelve cada una de estas ecuaciones de forma independiente.

 
 

Por ejemplo:

 

• Para resolver | 2x + 7 | = 5, establezca [2x + 7 = −5 qquad o qquad 2x + 7 = 5 ], luego resuelva cada una de estas ecuaciones de forma independiente.

 

• Para resolver | 3 – 5x | = 9, establezca [3 – 5x = −9 qquad o qquad 3 – 5x = 9 ], luego resuelva cada una de estas ecuaciones de forma independiente.

 

• Tenga en cuenta que esta técnica no debe aplicarse a la ecuación | 2x + 11 | = −10, porque el lado derecho de la ecuación no es un número positivo. De hecho, en este caso, ningún valor de x hará que el lado izquierdo de esta ecuación sea igual a −10, por lo que la ecuación no tiene soluciones.

 

A veces tenemos que hacer un poco de álgebra antes de eliminar las barras de valor absoluto.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resuelve la ecuación [| x + 2 | + 3 = 8 ] para x.

 

Solución

 

Primero, resta 3 de ambos lados de la ecuación. [ begin {alineado} | x + 2 | +3 & = 8 \ | x + 2 | + 3-3 & = 8-3 end {alineado} ]

 

Esto se simplifica a [| x + 2 | = 5 ]

 

Ahora, ya sea [x + 2 = -5 qquad text {o} qquad x + 2 = 5 ]

 

cada uno de los cuales se puede resolver por separado.

 

[ begin {array} {rrlrrl} {x + 2} & {=} & {-5} & { text {or}} & {x + 2} & {=} & {5} {x + 2-2} & {=} & {-5-2} && {x + 2-2} & {=} & {5-2} \ {x} & {=} & {-7 } && {x} & {=} & {3} end {array} ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Resuelve la ecuación [3 | x-5 | = 6 ] para x.

 

Solución

 

Primero, divide ambos lados de la ecuación por 3

 

[ begin {alineado} 3 | x-5 | & = 6 \ frac {3 | x-5 |} {3} & = frac {6} {3} end {alineado} ]

 

Esto se simplifica a [| x-5 | = 2 ]

 

Ahora, ya sea [x-5 = -2 qquad text {o} qquad x-5 = 2 ]

 

cada uno de los cuales se puede resolver por separado.

 

[ begin {array} {rllrrl} {x-5} & {=} & {-2} & { text {or}} & {x-5} & {=} & {2} {x-5 + 5} & {=} & {-2 + 5} && {x-5 + 5} & {=} & {2 + 5} \ {x} & {=} & {3} && {x} & {=} & {7} end {array} ]

 
 

Propiedades del valor absoluto

 

Un ejemplo motivará la necesidad de alguna discusión sobre las propiedades del valor absoluto.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Resuelve la ecuación [ left | frac {x} {2} – frac {1} {3} right | = frac {1} {4} ] para x.

 

Solución

 

Es tentador multiplicar ambos lados de esta ecuación por un denominador común de la siguiente manera.

 

[ begin {array} {l} { left | dfrac {x} {2} – dfrac {1} {3} right | = dfrac {1} {4}} \ { 12 left | dfrac {x} {2} – dfrac {1} {3} right | = 12 left ( dfrac {1} {4} right)} end {array} ] [19459001 ]  

Si está permitido mover el 12 dentro de los valores absolutos, entonces podríamos proceder de la siguiente manera.

 

[ begin {alineado} left | 12 left ( frac {x} {2} – frac {1} {3} right) right | & = 3 \ | 6 x-4 | & = 3 end {alineado} ]

 

Suponiendo por el momento que este último movimiento es permisible,

 

[6 x-4 = -3 qquad text {o} qquad 6 x-4 = 3 ]

 

Cada uno de estos se puede resolver por separado, primero sumando 4 a ambos lados de las ecuaciones, luego dividiendo por 6.

 

[ begin {array} {rllrrl} {6 x-4} & {=} & {-3} & { text {or}} & {6 x-4} & {=} & {3 } \ {6 x} & {=} & {1} & & {6 x} & {=} & {7} \ {x} & {=} & {1/6} && {x} & { =} & {7/6} end {array} ]

 

Como hemos utilizado un movimiento algo cuestionable para obtener estas soluciones, sería prudente verificar nuestros resultados. Primero, sustituye x = 1/6 en la ecuación original.

 

[ begin {alineado} left | frac {x} {2} – frac {1} {3} right | & = frac {1} {4} \ izquierda | frac {1/6} {2} – frac {1} {3} derecha | & = frac {1} {4} \ izquierda | frac {1} {12} – frac {1} {3} derecha | & = frac {1} {4} end {alineado} ]

 

Escribe fracciones equivalentes con un denominador común y resta.

 

[ begin {alineado} left | frac {1} {12} – frac {4} {12} right | & = frac {1} {4} \ izquierda | – frac {3} {12} derecha | & = frac {1} {4} \ izquierda | – frac {1} {4} derecha | & = frac {1} {4} end {alineado} ]

 

Claramente, x = 1/6 cheques. Dejaremos la verificación de la segunda solución a nuestros lectores.

 
 

Bueno, hemos comprobado nuestras soluciones y son correctas, por lo que debe ser el caso de que

 

[12 left | frac {x} {2} – frac {1} {3} right | = left | 12 left ( frac {x} {2} – frac {1 } {3} right) right | ]

 

¿Pero por qué? Después de todo, las barras de valor absoluto, aunque actúan como símbolos de agrupación, tienen un significado un poco más restrictivo que los símbolos de agrupación ordinarios, como paréntesis, corchetes y llaves.

 

Establecemos la primera propiedad de valores absolutos.

 
 

Propiedad

 

Si ayb son números reales, entonces

 

[| a b | = | a || b | ]

 
 

Podemos demostrar la validez de esta propiedad simplemente verificando los casos.

 
         
  • Si a y b son números reales positivos, entonces también lo son ab y (| a || b | = a b ). Por otro lado, (| a || b | = a b ). Por lo tanto, (| ab | = | a || b | ).
  •      
  • Si a y b son números reales negativos, entonces ab es positivo y (| ab | = ab ). Por otro lado, (| a || b | = (−a) (- b) = ab ). Por lo tanto, (| ab | = | a || b | ).
  •  
 

Dejaremos la prueba de los dos casos restantes como ejercicios. Podemos usar (| a || b | = | ab | ) para demostrar que

 

[12 left | frac {x} {2} – frac {1} {3} right | = | 12 | left | frac {x} {2} – frac {1} {3} right | = left | 12 left ( frac {x} {2} – frac {1} {3} right) right | ]

 

Esto valida el método de ataque que usamos para resolver la ecuación (12) en el Ejemplo ( PageIndex {9} ).

 
 

Advertencia 14

 

Por otro lado, no está permitido multiplicar por un número negativo y simplemente deslizar el número negativo dentro de las barras de valor absoluto. Por ejemplo,

 

[- 2 | x-3 | = | -2 (x-3) | ]

 

es claramente un error (bueno, funciona para x = 3). Para cualquier x excepto 3, el lado izquierdo de este resultado es un número negativo, pero el lado derecho es un número positivo. Claramente no son iguales.

 
 

De manera similar, se puede demostrar una segunda propiedad útil que implica un valor absoluto.

 
 

Definición

 

Si ayb son números reales, entonces [ left | frac {a} {b} right | = frac {| a |} {| b |} ] proporcionó, por supuesto, que (b neq 0 ).

 
 

Una vez más, esto se puede probar comprobando cuatro casos. Por ejemplo, si a es un número real positivo yb es un número real negativo, entonces a / b es negativo y (| a / b | = −a / b ). Por otro lado, (| a | / | b | = a / (- b) = −a / b ).

 

Dejamos la prueba de los tres casos restantes como ejercicios.

 

Esta propiedad es útil en ciertas situaciones. Por ejemplo, si desea dividir (| 2x – 4 | ) por 2, proceda de la siguiente manera.

 

[ frac {| 2 x-4 |} {2} = frac {| 2 x-4 |} {| 2 |} = left | frac {2 x-4} {2} derecha | = | x-2 | ]

 

Esta técnica es útil en varias situaciones. Por ejemplo, si desea resolver la ecuación (| 2x – 4 | = 6 ), podría dividir ambos lados entre 2 y aplicar la propiedad del cociente de los valores absolutos.

 

Distancia revisada

 

Recuerde que para cualquier número real x, el valor absoluto de x se define como la distancia entre el número real x y el origen en la línea real. En esta sección, empujaremos este concepto de distancia un poco más.

 

Suponga que tiene dos números reales en la línea real. Por ejemplo, en la figura que sigue, hemos localizado 3 y −2 en la línea real.

 

WeChat55ec76cefbbcc98d41a879d689f4f49e.png

 

Puede determinar la distancia entre los dos puntos restando el número de la izquierda del número de la derecha. Es decir, la distancia entre los dos puntos es d = 3 – (−2) = 5 unidades. Si restas en la otra dirección, obtienes el negativo de la distancia, como en −2 – 3 = −5 unidades. Por supuesto, la distancia es una cantidad no negativa, por lo que este resultado negativo no puede representar la distancia entre los dos puntos. En consecuencia, para encontrar la distancia entre dos puntos en la línea real, siempre debe restar el número de la izquierda del número de la derecha.

 

Sin embargo, si toma el valor absoluto de la diferencia, obtendrá el resultado correcto independientemente de la dirección de la resta.

 

[d = | 3 – (- 2) | = | 5 | = 5 quad text {y} quad d = | -2-3 | = | -5 | = 5 ]

 

Esta discusión lleva a la siguiente idea clave.

 
 

Propiedad 16.

 

Suponga que ayb son dos números en la línea real

 

WeChat41c02a929cec2afeb4a41c60fb4cf47a.png

 

Puede determinar la distancia d entre ayb en la línea real tomando el valor absoluto de su diferencia. Es decir,

 

[d = | a-b | ]

 
 

Por supuesto, puedes restar en la otra dirección, obteniendo (d = | b – a | ). Esto también es correcto.

 

Ahora que se ha introducido esta geometría de distancia, es útil pronunciar el simbolismo | a − b | como «la distancia entre a y b» en lugar de decir «el valor absoluto de a menos b».

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Resuelve la ecuación [| x – 3 | = 8 ] para x.

 

Solución

 

Esta es la situación ideal para aplicar nuestro nuevo concepto de distancia. En lugar de decir «el valor absoluto de x menos 3 es 8», pronunciamos la ecuación (| x – 3 | = 8 ) como «la distancia entre x y 3 es 8».

 

Dibuja una recta numérica y localiza el número 3 en la recta.

 

WeChate3ac26e5c840144a83e81e334ec2bfe5.png

 

Recuerde que «la distancia entre xy 3 es 8». Dicho esto, marque dos puntos en la línea real que estén a 8 unidades de distancia de 3.

 

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Por lo tanto, las soluciones de | x – 3 | = 8 son x = −5 o x = 11

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Resuelve la ecuación [| x + 5 | = 2 ] para x.

 

Solución

 

Reescribe la ecuación como una diferencia. [| x – (−5) | = 2 ] Esto se pronuncia «la distancia entre x y −5 es 2». Localice dos puntos en la recta numérica que estén a 2 unidades de distancia de −5.

 

WeChatf4fca637a667cce38455dfea459eeb31.png

 

Por lo tanto, las soluciones de (| x + 5 | = 2 ) son x = −7 o x = −3.

 
   

Ejercicio

 

Para cada una de las ecuaciones en Ejercicios 1 4 , realice cada una de las siguientes tareas.

 
         
  1. Configure un sistema de coordenadas en una hoja de papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje.
  2.      
  3. Dibuja la gráfica de cada lado de la ecuación sin la ayuda de una calculadora. Rotula cada gráfica con su ecuación.
  4.      
  5. Sombree la solución de la ecuación en el eje x (si corresponde) como se muestra en la Figura 5 (lea «Expectativas») en la narración. Es decir, suelte líneas discontinuas desde los puntos de intersección hasta el eje, luego sombree y etiquete el conjunto de soluciones en el eje x.
  6.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {1} )

 

| x | = −2

 
     
Respuesta
     
     

Sin soluciones.

     

Screen Shot 2019-09-09 at 10.21.17 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {2} )

 

| x | = 0

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {3} )

 

| x | = 3

 
     
Respuesta
     
     

Solución: x = −3 o x = 3.

     

Screen Shot 2019-09-09 at 10.22.18 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {4} )

 

| x | = 2

 
 

Para cada una de las ecuaciones en Ejercicios 5 8 , realice cada una de las siguientes tareas.

 
         
  1.      

    Cargue cada lado de la ecuación en el menú Y = de su calculadora. Ajuste la ventana de visualización para que todos los puntos de intersección de los dos gráficos sean visibles en la ventana de visualización.

         
  2.      
  3.      

    Copie la imagen en su pantalla de visualización en su papel de tarea. Rotule cada eje y escale cada eje con xmin, xmax, ymin e ymax. Rotula cada gráfica con su ecuación.

         
  4.      
  5.      

    Use la utilidad de intersección en el menú CALC para determinar los puntos de intersección. Sombree y etiquete cada solución como se muestra en la Figura 5 (lea «Expectativas») en la narración. Es decir, suelte líneas discontinuas desde los puntos de intersección hasta el eje, luego sombree y etiquete el conjunto de soluciones en el eje x.

         
  6.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {5} )

 

| 3−2x | = 5

 
     
Respuesta
     
     

Soluciones: x = −1 o x = 4.

     

Screen Shot 2019-09-09 at 10.23.07 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {6} )

 

| 2x + 7 | = 4

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {7} )

 

| 4x + 5 | = 7

 
     
Respuesta
     
     

Soluciones: x = −3 o x = 0.5.

     

Screen Shot 2019-09-09 at 10.23.59 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {8} )

 

| 5x − 7 | = 8

 
 

Para cada una de las ecuaciones en Ejercicios 9 14 , proporcione una solución puramente algebraica sin el uso de una calculadora. Organice su trabajo como se muestra en los ejemplos 6, 7 y 8 en la narrativa, pero no use una calculadora.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {9} )

 

| 4x + 3 | = 0

 
     
Respuesta
     
     

(x = – frac {3} {4} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {10} )

 

| 3x − 11 | = −5

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {11} )

 

| 2x + 7 | = 14

 
     
Respuesta
     
     

(x = – frac {21} {2} ) o (x = frac {7} {2} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {12} )

 

| 7−4x | = 8

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {13} )

 

| 3−2x | = −1

 
     
Respuesta
     
     

Sin soluciones.

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {14} )

 

| 4x + 9 | = 0

 
 

Para cada una de las ecuaciones en Ejercicios 15 20 , realice cada una de las siguientes tareas.

 
         
  1. Organiza cada una de las siguientes partes en tu tarea en la misma ubicación. No coloque el trabajo algebraico en una página y el trabajo gráfico en otra.
  2.      
  3. Siga cada una de las instrucciones dadas para Ejercicios 5 8 para encontrar y registrar una solución con su calculadora gráfica.
  4.      
  5. Proporcione una solución puramente algebraica, que muestre todos los pasos de su trabajo. ¿Estas soluciones se comparan favorablemente con las encontradas usando su calculadora gráfica en la parte (ii)? Si no, busca un error en tu trabajo.
  6.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {15} )

 

| x − 8 | = 7

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-09 at 10.26.02 AM.png

     

x = 1 o x = 15

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {16} )

 

| 2x − 15 | = 5

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {17} )

 

| 2x + 11 | = 6

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-09 at 10.26.56 AM.png

     

x = −8,5 o x = −2,5

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {18} )

 

| 5x − 21 | = 7

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {19} )

 

| x − 12 | = 6

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-09 at 10.27.41 AM.png

     

x = 6 o x = 18

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {20} )

 

| x + 11 | = 5

 
 

Use una técnica estrictamente algebraica para resolver cada una de las ecuaciones en Ejercicios 21 28 . No utilice una calculadora.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {21} )

 

| x + 2 | −3 = 4

 
     
Respuesta
     
     

x = −9 o x = 5

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {22} )

 

3 | x + 5 | = 6

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {23} )

 

−2 | 3−2x | = −6

 
     
Respuesta
     
     

x = 0 o x = 3

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {24} )

 

| 4 − x | +5 = 12

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {25} )

 

3 | x + 2 | −5 = | x + 2 | +7

 
     
Respuesta
     
     

x = −8 o x = 4

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {26} )

 

4−3 | 4 − x | = 2 | 4 − x | −1

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {27} )

 

(| frac {x} {3} – frac {1} {4} | = frac {1} {12} )

 
     
Respuesta
     
     

(x = frac {1} {2} ) o x = 1

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {28} )

 

(| frac {x} {4} – frac {1} {2} | = frac {2} {3} )

 
 

Use la técnica de distancia en la recta numérica demostrada en los Ejemplos 16 y 17 para resolver cada una de las ecuaciones en Ejercicios 29 32 . Proporcione bocetos de líneas numéricas en su tarea como se muestra en los Ejemplos 16 y 17 de la narración.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {29} )

 

| x − 5 | = 8

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-09 at 10.29.56 AM.png

     

x = −3 o x = 13

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {30} )

 

| x − 2 | = 4

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {31} )

 

| x + 4 | = 3

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-09 at 10.40.44 AM.png

     

x = −7 o x = −1

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {32} )

 

| x + 2 | = 11

 
 

Use las instrucciones proporcionadas en Ejercicios 5 8 para resolver las ecuaciones en Ejercicios 33 34 .

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {33} )

 

(| x + 2 | = frac {1} {3} x + 5 )

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-09 at 10.41.15 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {34} )

 

(| x − 3 | = 5− frac {1} {2} x )

 
 

En Ejercicios 35 36 , realice cada una de las siguientes tareas.

 
         
  1.      

    Configure un sistema de coordenadas en papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje.

         
  2.      
  3.      

    Sin el uso de una calculadora, dibuje las gráficas de los lados izquierdo y derecho de la ecuación dada. Rotula cada gráfica con su ecuación.

         
  4.      
  5.      

    Suelta líneas verticales discontinuas desde cada punto de intersección hasta el eje x. Sombree y etiquete cada solución en el eje x (tendrá que aproximar).

         
  6.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {35} )

 

(| x − 2 | = frac {1} {3} x + 2 )

 
     
Respuesta
     
     

Screen Shot 2019-09-09 at 10.41.59 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {36} )

 

(| x + 4 | = frac {1} {3} x + 4 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {37} )

 

Dado que a <0 yb> 0, pruebe que | ab | = | A || b |.

 
     
Respuesta
     
     

Si a es un número real negativo yb es un número real positivo, entonces ab es negativo, entonces | ab | = −ab. Por otro lado, un negativo también significa que | a | = −a, yb positivo significa que | b | = B, de modo que | a || b | = −a (b) = −ab. Comparando estos resultados, vemos que | ab | y | a || b | son iguales a la misma cosa, por lo que deben ser iguales entre sí.

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {38} )

 

Dado que a> 0 yb <0, demuestre que | ab | = | A || b |.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {39} )

 

En la narración, demostramos que si a> 0 yb <0, entonces (| frac {a} {b} | = frac {| a |} {| b |} ). Prueba los tres casos restantes.

 
     
Respuesta
     
     

Caso I. (a, b> 0) Si a y b son números reales positivos, entonces ( frac {a} {b} ) es positivo y entonces (| frac {a} {b} | = frac { a} {b} ). Por otro lado, un positivo también significa que | a | = A, yb positivo significa que | b | = B, de modo que ( frac {| a |} {| b |} = frac {a} {b} ). Comparando estos dos resultados, vemos que (| frac {a} {b} | ) y ( frac {| a |} {| b |} ) son iguales a la misma cosa, por lo que deben ser iguales a otro.

     

Caso II. (a, b <0) Si a y b son números reales negativos, entonces ( frac {a} {b} ) es positivo y entonces (| frac {a} {b} | = frac { a} {b} ). Por otro lado, un negativo también significa que | a | = −a, yb negativo significa que | b | = −b, de modo que ( frac {| a |} {| b |} = frac {−a} {(- b)} = frac {a} {b} ). Comparing these two results, we see that (|frac{a}{b}|) and (frac{|a|}{|b|}) equal the same thing, and so they must be equal to one another.

     

Case III. (a < 0, b > 0) If a is a negative real number and b is a positive real number, then (frac{a}{b}) is negative and so (|frac{a}{b}| =−(frac{a}{b})). On the other hand, a negative also means that |a| = −a, and b positive means that |b| = b, so that (frac{|a|}{|b|} = −frac{a}{b} = −(frac{a}{b})). Comparing these two results, we see that (|frac{a}{b}|) and (frac{|a|}{|b|}) equal the same thing, and so they must be equal to one another.

     
 
 
     
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