Factoring trinomios cuyo coeficiente principal es uno
(Factorizando trinomios de la forma (x ^ {2} + bx + c ))
Algunos trinomios de la forma (x ^ {2} + bx + c ) pueden factorizarse como un producto de binomios. Si un trinomio de este tipo es un factor, entonces tenemos:
( begin {alineado} x ^ {2} + bx + c & = (x + m) (x + n) \ & = x ^ {2} + nx + mx + mn \ & = x ^ {2} + (n + m) x + mn end {alineado} )
Esto nos da
(b = n + m ) y (c = mn )
En resumen, si el coeficiente principal de un trinomio factorizable es (1 ), entonces los factores del último término deben sumarse al coeficiente del término medio. Esta observación es la clave para factorizar trinomios utilizando la técnica conocida como método de prueba y error (o adivinar y verificar) 18 .
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Factor (x ^ {2} + 12x + 20 ).
Solución
Comenzamos escribiendo dos conjuntos de paréntesis en blanco. Si un trinomio de estos factores de forma, se factorizará en dos factores binomiales lineales.
(x ^ {2} + 12 x + 20 = ( quad) ( quad) )
Escribe los factores del primer término en el primer espacio de cada conjunto de paréntesis. En este caso, factor (x ^ {2} = x⋅x ).
(x ^ {2} + 12 x + 20 = (x quad) (x quad) )
Determine los factores del último término cuya suma es igual al coeficiente del término medio. Para hacer esto, enumere todas las factorizaciones de (20 ) y busque factores cuya suma sea igual a (12 ).
En este caso, elija (- 3 ) y (- 4 ) porque ((- 3) (- 4) = + 12 ) y (- 3 + (- 4) = – 7 ).
( begin {alineado} x ^ {2} y ^ {2} – 7 xy + 12 & = (xy quad color {Cerulean} {?} Color {black} {)} (xy quad color {Cerulean} {?} color {black} {)} \ & = (xy – 3) (xy – 4) end {alineado} )
Verificar
( begin {alineado} (xy – 3) (xy – 4) & = x ^ {2} y ^ {2} – 4 xy – 3 xy + 12 \ & = x ^ {2} y ^ {2} – 7 xy + 12 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
Respuesta
((x y – 3) (x y – 4) )
Si el último término del trinomio es negativo, entonces uno de sus factores debe ser negativo.
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Factor: (x ^ {2} – 4 x y – 12 y ^ {2} ).
Solución
Comienza factorizando el primer término (x ^ {2} = x cdot x ).
(x ^ {2} – 4 xy – 12 y ^ {2} = left ( begin {array} {ll} {x} & { color {Cerulean} {?}} End {array } right) left ( begin {array} {ll} {x} & { color {Cerulean} {?}} end {array} right) )
Los factores de (12 ) se enumeran a continuación. En este ejemplo, estamos buscando factores cuya suma sea (- 4 ).
Por lo tanto, el coeficiente del último término puede factorizarse como (- 12 = 2 (−6) ), donde (2 + (- 6) = – 4 ). Dado que el último término tiene un factor variable de (y ^ {2} ), use (- 12y ^ {2} = 2y (−6y) ) y factorice el trinomio de la siguiente manera:
( begin {alineado} x ^ {2} – 4 xy – 12 y ^ {2} & = (x quad color {Cerulean} {?} Color {black} {)} (x quad color {Cerulean} {?} color {black} {)} \ & = (x + 2 y) (x – 6 y) end {alineado} )
Multiplica para verificar.
( begin {alineado} (x + 2 y) (x – 6 y) & = x ^ {2} – 6 xy + 2 yx – 12 y ^ {2} \ & = x ^ {2 } – 6 xy + 2 xy – 12 y ^ {2} \ & = x ^ {2} – 4 xy – 12 y ^ {2} : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
Respuesta
((x + 2 y) (x – 6 y) )
A menudo nuestra primera suposición no producirá una factorización correcta. Este proceso puede requerir pruebas repetidas. Por esta razón, la verificación es muy importante y no es opcional.
Ejemplo ( PageIndex {4} ):
Factor (a ^ {2} + 10 a – 24 ).
Solución
El primer término de este trinomio, (a ^ {2} ), se factoriza como (a⋅a ).
(a ^ {2} + 10 a – 24 = left ( begin {array} {ll} {a} & {?} End {array} right) left ( begin {array} {ll} {a} y {?} end {array} right) )
Considere los factores de (24 ):
( begin {alineado} 24 & = 1 cdot 24 \ & = color {OliveGreen} {2 cdot 12} \ & = 3 cdot 8 \ & = color {rojo} { 4 cdot 6} end {alineado} )
Supongamos que elegimos los factores (4 ) y (6 ) porque (4 + 6 = 10 ), el coeficiente del término medio. Luego tenemos la siguiente factorización incorrecta:
(a ^ {2} + 10 a – 24 stackrel { color {red} {?}} { Color {black} {=}} (a + 4) (a + 6) : : color {rojo} {Incorrecto : Factorización} )
Cuando multiplicamos para verificar, encontramos el error.
( begin {alineado} (a + 4) (a + 6) & = a ^ {2} + 6 a + 4 a + 24 \ & = a ^ {2} + 10 a color { rojo} {+ 24} : : color {rojo} {✗} end {alineado} )
En este caso, el término medio es correcto pero el último término no lo es. Dado que el último término en la expresión original es negativo, debemos elegir factores que sean opuestos en el signo. Por lo tanto, debemos intentarlo de nuevo. Esta vez elegimos los factores (- 2 ) y (12 ) porque (- 2 + 12 = 10 ).
(a ^ {2} + 10 a – 24 = (a – 2) (a + 12) )
Ahora la comprobación muestra que esta factorización es correcta.
( begin {alineado} (a – 2) (a + 12) & = a ^ {2} + 12 a – 2 a – 24 \ & = a ^ {2} + 10 a color { Verde oliva} {- 24} : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
Respuesta
((a – 2) (a + 12) )
Si elegimos los factores sabiamente, podemos reducir muchas de las conjeturas en este proceso. Sin embargo, si una suposición no es correcta, no se desanime; solo prueba un conjunto diferente de factores. Tenga en cuenta que algunos polinomios son primos. Por ejemplo, considere el trinomio (x ^ {2} + 3x + 20 ) y los factores de (20 ):
No hay factores de (20 ) cuya suma sea (3 ). Por lo tanto, el trinomio original no puede factorizarse como un producto de dos binomios con coeficientes enteros. El trinomio es primo.
Factoring trinomios de grado superior
Podemos utilizar la técnica de prueba y error para factorizar trinomios de mayor grado.
Ejemplo ( PageIndex {5} ):
Factor (x ^ {4} + 6 x ^ {2} + 5 ).
Solución
Comience factorizando el primer término (x ^ {4} = x ^ {2} cdot x ^ {2} ).
(x ^ {4} + 6 x ^ {2} + 5 = left (x ^ {2} quad color {Cerulean} {?} Right) left (x ^ {2} quad color {Cerulean} {?} right) )
Dado que (5 ) es primo y el coeficiente del término medio es positivo, elija (+ 1 ) y (+ 5 ) como los factores del último término.
( begin {alineado} x ^ {4} + 6 x ^ {2} + 5 & = left (x ^ {2} quad color {Cerulean} {?} Right) left ( x ^ {2} quad color {Cerulean} {?} right) \ & = left (x ^ {2} + 1 right) left (x ^ {2} + 5 right) end {alineado} )
Observe que la parte variable del término medio es (x ^ {2} ) y la factorización se desprotege.
( begin {alineado} left (x ^ {2} + 1 right) left (x ^ {2} + 5 right) & = x ^ {4} + 5 x ^ {2} + x ^ {2} + 5 \ & = x ^ {4} + 6 x ^ {2} + 5 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
Respuesta
( left (x ^ {2} + 1 right) left (x ^ {2} + 5 right) )
Ejemplo ( PageIndex {6} ):
Factor: (x ^ {2 n} + 4 x ^ {n} – 21 ) donde (n ) es un entero positivo.
Solución
Comience factorizando el primer término (x ^ {2 n} = x ^ {n} cdot x ^ {n} ).
(x ^ {2 n} + 4 x ^ {n} – 21 = left ( begin {array} {ll} {x ^ {n}} & { color {Cerulean} {?}} end {array} right) left ( begin {array} {ll} {x ^ {n}} & { color {Cerulean} {?}} end {array} right) )
Factoriza (- 21 = 7 (- 3) ) porque (7 + (- 3) = + 4 ) y escribe
( begin {alineado} x ^ {2 n} + 4 x ^ {n} – 21 & = left (x ^ {n} quad color {Cerulean} {?} Right) left (x ^ {n} quad color {Cerulean} {?} right) \ & = left (x ^ {n} + 7 right) left (x ^ {n} – 3 right) final {alineado} )
Respuesta
[ left (x ^ {n} + 7 right) left (x ^ {n} – 3 right) nonumber ]
El cheque se deja al lector.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Factor (x ^ {6} – x ^ {3} – 42 ).
Respuesta
[ left (x ^ {3} + 6 right) left (x ^ {3} – 7 right) nonumber ]
Factoring trinomios cuyo coeficiente principal no es uno
(Factorizando trinomios de la forma (ax ^ {2} + bx + c ))
Factorizar trinomios de la forma (ax ^ {2} + bx + c ) puede ser un desafío porque el término medio se ve afectado por los factores tanto (a ) como (c ). En general,
( begin {alineado} color {Cerulean} {a} color {black} {x} ^ {2} + color {Cerulean} {b} color {black} {x} + color {Cerulean} {c} & = (px + m) (qx + n) \ & = pqx ^ {2} + pnx + qmx + mn \ & = color {Cerulean} {pq} color {black} {x} ^ {2} + color {Cerulean} {(pn + qm)} color {black} {x} + color {Cerulean} {mn} end {alineado} )
Esto nos da,
(a = pq ) y (b = pn + qm ), donde (c = mn )
En resumen, cuando el coeficiente principal de un trinomio es distinto de (1 ), habrá más que considerar al determinar los factores utilizando el método de prueba y error. La clave está en la comprensión de cómo se obtiene el término medio. Multiplique ((5x + 3) (2x + 3) ) y siga cuidadosamente la formación del término medio.
Figura ( PageIndex {2} )
Como hemos visto antes, el producto de los primeros términos de cada binomio es igual al primer término del trinomio. El término medio del trinomio es la suma de los productos de los términos externo e interno de los binomios. El producto de los últimos términos de cada binomio es igual al último término del trinomio. Visualmente, tenemos lo siguiente:
Figura ( PageIndex {3} )
Por esta razón, necesitamos buscar productos de los factores del primer y último término cuya suma es igual al coeficiente del término medio. Por ejemplo, para factorizar (6x ^ {2} + 29x + 35 ), observe los factores de (6 ) y (35 ).
( begin {alineado} 6 & = 1 cdot 635 = 1 cdot 35 \ & = color {OliveGreen} {2 cdot 3} quad color {black} {=} color { Verde oliva} {5 cdot 7} end {alineado} )
La combinación que produce el coeficiente del término medio es (2⋅7 + 3⋅5 = 14 + 15 = 29 ). Asegúrese de que los términos externos tengan coeficientes (2 ) y (7 ), y que los términos internos tengan coeficientes (5 ) y (3 ). Use esta información para factorizar el trinomio.
( begin {alineado} 6 x ^ {2} + 29 x + 35 & = (2 x quad color {Cerulean} {?} Color {black} {)} (3 x quad color {Cerulean} {?} color {black} {)} \ & = (2 x + 5) (3 x + 7) end {alineado} )
Siempre podemos verificar multiplicando; esto se deja al lector.
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Factor (5 x ^ {2} + 16 x y + 3 y ^ {2} ).
Solución
Dado que el coeficiente principal y el último término son primos, solo hay una forma de factorizar cada uno.
(5 = 1⋅5 ) y (3 = 1⋅3 )
Comienza escribiendo los factores del primer término, (5x ^ {2} ), de la siguiente manera:
(5 x ^ {2} + 16 xy + 3 y ^ {2} = (x quad color {Cerulean} {?} Color {black} {)} (5 x quad color { Cerulean} {?} Color {black} {)} )
El término medio y el último son positivos; por lo tanto, los factores de (3 ) se eligen como números positivos. En este caso, la única opción es en qué grupo colocar estos factores.
((x + y) (5x + 3y) ) o ((x + 3y) (5x + y) )
Determine qué agrupamiento es correcto multiplicando cada expresión.
( begin {alineado} (x + y) (5 x + 3 y) & = 5 x ^ {2} + 3 xy + 5 xy + 3 y ^ {2} \ & = 5 x ^ {2} + 8 xy + 3 y ^ {2} x : : color {rojo} {✗} \ (x + 3 y) (5 x + y) & = 5 x ^ {2} + xy + 15 xy + 3 y ^ {2} \ & = 5 x ^ {2} + 16 xy + 3 y ^ {2} : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) [ 19459005]
Respuesta
((x + 3 y) (5 x + y) )
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Factor: (18 a ^ {2} b ^ {2} – a b – 4 ).
Solución
Primero, considere los factores de los coeficientes del primer y último término.
( begin {alineado} 18 & = 1 cdot 18 : quad4 = color {OliveGreen} {1 cdot 4} \ & = color {OliveGreen} {2 cdot 9} : : : : : quad color {negro} {=} 2 cdot 2 \ & = 3 cdot 6 end {alineado} )
Estamos buscando productos de factores cuya suma sea igual al coeficiente del término medio, (- 1 ). Después de pensarlo un poco, podemos ver que la suma de (8 ) y (- 9 ) es (- 1 ) y la combinación que da esto es la siguiente:
(2 (4) + 9 (- 1) = 8 – 9 = – 1 )
La factorización comienza en este punto con dos conjuntos de paréntesis en blanco.
(18 a ^ {2} b ^ {2} – a b – 4 = ( quad) ( quad) )
Utilice (2ab ) y (9ab ) como factores de (18a ^ {2} b ^ {2} ).
(18 a ^ {2} b ^ {2} – ab – 4 = (2 ab quad color {Cerulean} {?} Color {black} {)} 🙁 9 ab quad color {Cerulean} {?} color {black} {)} )
Luego use los factores (1 ) y (4 ) en el orden correcto para que los productos internos y externos sean (- 9ab ) y (8ab ) respectivamente.
(18 a ^ {2} b ^ {2} – a b – 4 = (2 a b – 1) (9 a b + 4) )
Respuesta
((2 a b – 1) (9 a b + 4) ). La verificación completa se deja al lector.
Es una buena práctica factorizar primero el MCD, si lo hay. Hacer esto produce un factor trinomial con coeficientes más pequeños. Como hemos visto, los trinomios con coeficientes más pequeños requieren mucho menos esfuerzo para factorizar. Vale la pena identificar este paso que generalmente se pasa por alto.
Ejemplo ( PageIndex {9} ):
Factor (12 y ^ {3} – 26 y ^ {2} – 10 y ).
Solución
Comience factorizando el MCD.
(12 y ^ {3} – 26 y ^ {2} – 10 y = 2 y left (6 y ^ {2} – 13 y – 5 right) )
Después de factorizar (2y ), los coeficientes del trinomio resultante son más pequeños y tienen menos factores. Podemos factorizar el trinomio resultante usando (6 = 2 (3) ) y (5 = (5) (1) ). Observe que estos factores pueden producir (- 13 ) de dos maneras:
( begin {array} {l} {2 (- 5) + 3 (- 1) = – 10 – 3 = – 13} \ {2 ( color {OliveGreen} {1} color { negro} {)} + 3 ( color {OliveGreen} {- 5} color {black} {)} = 2 – 15 = – 13} end {array} )
Debido a que el último término es (- 5 ), la combinación correcta requiere que los factores (1 ) y (5 ) sean signos opuestos. Aquí usamos (2 (1) = 2 ) y (3 (−5) = −15 ) porque la suma es (- 13 ) y el producto de ((1) (- 5) = −5 ).
( begin {alineado} 12 y ^ {3} – 26 y ^ {2} – 10 y & = 2 y left (6 y ^ {2} – 13 y – 5 right) \ & = 2 y (2 y quad color {Cerulean} {?} Color {black} {)} (3 y quad color {Cerulean} {?} Color {black} {)} \ & = 2 y (2 y – 5) (3 y + 1) end {alineado} )
Verificar.
( begin {alineado} 2 y (2 y – 5) (3 y + 1) & = 2 y left (6 y ^ {2} + 2 y – 15 y – 5 right) \ & = 2 y left (6 y ^ {2} – 13 y – 5 right) \ & = 12 y ^ {3} – 26 y ^ {2} – 10 y color {Cerulean} {✓} final {alineado} )
El factor (2y ) es parte de la forma factorizada de la expresión original; asegúrese de incluirlo en la respuesta.
Respuesta
(2 y (2 y – 5) (3 y + 1) )
Es una buena práctica trabajar consistentemente con trinomios donde el coeficiente principal es positivo. Si el coeficiente principal es negativo, factorizarlo junto con cualquier MCD. Tenga en cuenta que a veces el factor será (- 1 ).
Ejemplo ( PageIndex {10} )
Factor: (- 18 x ^ {6} – 69 x ^ {4} + 12 x ^ {2} ).
Solución
En este ejemplo, el MCD es (3x ^ {2} ). Como el coeficiente principal es negativo, comenzamos factorizando (- 3x ^ {2} ).
(- 18 x ^ {6} – 69 x ^ {4} + 12 x ^ {2} = – 3 x ^ {2} left (6 x ^ {4} + 23 x ^ {2} – 4 derecha) )
En este punto, factorice el trinomio restante como de costumbre, recordando escribir (- 3x ^ {2} ) como factor en la respuesta final. Utilice (6 = 1 (6) ) y (- 4 = 4 (−1) ) porque (1 (−1) +6 (4) = 23 ). Por lo tanto,
( begin {alineado} – 18 x ^ {6} – 69 x ^ {4} + 12 x ^ {2} & = – 3 x ^ {2} left (6 x ^ {4} + 23 x ^ {2} – 4 right) \ & = – 3 x ^ {2} left (x ^ {2 quad} right) left (6 x ^ {2} quad right) & = – 3 x ^ {2} left (x ^ {2} + 4 right) left (6 x ^ {2} – 1 right) end {alineado} )
Respuesta
(- 3 x ^ {2} left (x ^ {2} + 4 right) left (6 x ^ {2} – 1 right) ). El cheque se deja al lector.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Factor: (- 12 a ^ {5} b + a ^ {3} b ^ {3} + a b ^ {5} ).
Respuesta
(- a b left (3 a ^ {2} – b ^ {2} right) left (4 a ^ {2} + b ^ {2} right) )
Factoring utilizando el método AC
Una técnica alternativa para factorizar trinomios, llamada método AC 19 , utiliza el método de agrupación para factorizar polinomios de cuatro términos. Si se puede factorizar un trinomio en la forma (ax ^ {2} + bx + c ), entonces el término medio, (bx ), se puede reemplazar con dos términos con coeficientes cuya suma es (b ) y el producto es (ac ). Esta sustitución da como resultado una expresión equivalente con cuatro términos que se pueden factorizar agrupando.
Ejemplo ( PageIndex {11} ):
Factoriza usando el método AC: (18 x ^ {2} – 31 x + 6 ).
Solución
Aquí (a = 18, b = -31 ) y (c = 6 ).
( begin {alineado} a c & = 18 (6) \ & = 108 end {alineado} )
Factor (108 ), y busca factores cuya suma es (- 31 ).
