Objetivos de aprendizaje
Al final de esta sección, podrá:
- Identifica las intersecciones x e y en un gráfico
- Encuentra las intersecciones x e y de una ecuación de una línea
- Graficar una línea usando las intersecciones
Nota
Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.
- Resuelve: (3 cdot 0 + 4y = −2 ).
Si se perdió este problema, revise Ejercicio 2.2.13 .
Identifica el x – y y – Intercepta en un gráfico
Cada ecuación lineal puede representarse mediante una línea única que muestra todas las soluciones de la ecuación. Hemos visto que al graficar una línea al trazar puntos, puede usar cualquiera de las tres soluciones para graficar. Esto significa que dos personas que grafican la línea pueden usar diferentes conjuntos de tres puntos.
A primera vista, sus dos líneas podrían no parecer iguales, ya que tendrían diferentes puntos etiquetados. Pero si todo el trabajo se realizó correctamente, las líneas deberían ser exactamente las mismas. Una forma de reconocer que en realidad son la misma línea es observar dónde cruza la línea el eje x y el eje y . Estos puntos se denominan las intersecciones de la línea.
INTERCEPTOS DE UNA LÍNEA
Los puntos donde una línea cruza el eje x y el eje y se denominan las intersecciones de una línea .
Veamos los gráficos de las líneas en la Figura ( PageIndex {1} ).
Primero, observe dónde cada una de estas líneas cruza el eje negativo x. Ver Figura ( PageIndex {1} ).
| Figura | La línea cruza el eje x en: | Par ordenado de este punto |
|---|---|---|
| Figura (a) | 3 | (3,0) |
| Figura (b) | 4 | (4,0) |
| Figura (c) | 5 | (5,0) |
| Figura (d) | 0 | (0,0) |
¿Ves un patrón?
Para cada fila, la y – coordenada del punto donde la línea cruza el eje x – es cero. El punto donde la línea cruza el eje x tiene la forma (a, 0) y se llama x – intersección de una línea . La x – la intersección ocurre cuando y es cero. Ahora, veamos los puntos donde estas líneas cruzan el eje y . Consulte la Tabla ( PageIndex {2} ).
| Figura | La línea cruza el eje x en: | Par ordenado de este punto |
|---|---|---|
| Figura (a) | 6 | (0,6) |
| Figura (b) | −3 | (0, −3) |
| Figura (c) | −5 | (0,5) |
| Figura (d) | 0 | (0,0) |
¿Cuál es el patrón aquí?
En cada fila, la x – coordenada del punto donde la línea cruza el eje y – es cero. El punto donde la línea cruza el eje y tiene la forma (0, b) y se llama intersección en y de la línea. La y – la intersección ocurre cuando x es cero.
X – INTERCEPT Y Y- INTERCEPT DE UNA LÍNEA
La intersección x es el punto (a, 0) donde la línea cruza el eje x .
La intersección y es el punto (0, b) donde la línea cruza el eje y .
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Encuentre las intersecciones x y y en cada gráfico.
- Respuesta
-
(a) El gráfico cruza el eje x en el punto (4,0). La x – la intersección es (4,0).
El gráfico cruza el eje y en el punto (0,2). La y – intersección es (0,2).(b) El gráfico cruza el eje x en el punto (2,0). La intersección x es (2,0)
La gráfica cruza el eje y en el punto (0, −6). La intersección y es (0, −6).(c) El gráfico cruza el eje x en el punto (−5,0). La x – intersección es (−5,0).
La gráfica cruza el eje y en el punto (0, −5). La y – intersección es (0, −5).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Encuentra las x – y y – intersecciones en el gráfico.
- Respuesta
-
x – intercepción: (2,0); y – intercepción: (0, −2)
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Encuentra las x – y y – intersecciones en el gráfico.
- Respuesta
-
x – intercepción: (3,0), y – intercepción: (0,2)
Encuentre el x – y y – Intercepta de una ecuación de una línea
Reconociendo que x – intercepción ocurre cuando y es cero y que y – intercepción ocurre cuando x es cero, nos da un método para encontrar las intersecciones de una línea a partir de su ecuación. Para encontrar la x – intercepción, deje y = 0 y resuelva para x . Para encontrar y – intercepte , deje x = 0 y resuelva para y .
ENCUENTRE EL X – Y Y – INTERCEPTOS DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA
Usa la ecuación de la recta. Para encontrar:
- la x – intercepción de la línea, deje y = 0 y resuelva para x.
- el y – intercepción de la línea, sea x = 0 y resuelva para y.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Encuentra las intersecciones de 2x + y = 6.
- Respuesta
-
Dejaremos que y = 0 para encontrar la intersección x , y dejaremos que x = 0 para encontrar la intersección y . Completaremos la tabla, que nos recuerda lo que necesitamos encontrar.
-
-
Para encontrar la x – intercepción, deje y = 0.
- Las intersecciones son los puntos (3,0) y (0,6) como se muestra en la Tabla ( PageIndex {4} ).
Tabla ( PageIndex {4} ) 2x + y = 6 x y 3 0 0 6
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Encuentra las intersecciones de 3x + y = 12.
- Respuesta
-
x – intercepción: (4,0), y – intercepción: (0,12)
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Encuentra las intersecciones de x + 4y = 8.
- Respuesta
-
x – intercepción: (8,0), y – intercepción: (0,2)
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Encuentra las intersecciones de 4x – 3y = 12.
- Respuesta
- Tabla ( PageIndex {5} )
-
Las intersecciones son los puntos (3, 0) y (0, −4) como se muestra en la siguiente tabla.
Tabla ( PageIndex {6} ) 4x − 3y = 12 x y 3 0 0 −4
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Encuentra las intersecciones de 3x – 4y = 12.
- Respuesta
-
x – intercepción: (4,0), y – intercepción: (0, −3)
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Encuentra las intersecciones de 2x – 4y = 8.
- Respuesta
-
x – intercepción: (4,0), y – intercepción: (0, −2)
Graficar una línea usando las intersecciones
Para graficar una ecuación lineal trazando puntos, necesitas encontrar tres puntos cuyas coordenadas sean soluciones a la ecuación. Puede usar x – y y – intercepta como dos de sus tres puntos. Encuentre las intersecciones y luego encuentre un tercer punto para garantizar la precisión. Asegúrese de que los puntos estén alineados, luego dibuje la línea. Este método es a menudo la forma más rápida de graficar una línea.
Ejercicio ( PageIndex {10} ): Cómo graficar una línea usando intersecciones
Gráfico –x + 2y = 6 usando las intersecciones.
- Respuesta
-
Ejercicio ( PageIndex {11} )
Grafica x – 2y = 4 usando las intersecciones.
- Respuesta
-
Ejercicio ( PageIndex {12} )
Gráfico –x + 3y = 6 usando las intersecciones.
- Respuesta
-
Los pasos para graficar una ecuación lineal usando las intersecciones se resumen a continuación.
GRÁFICO UNA ECUACIÓN LINEAL UTILIZANDO LOS INTERCEPTOS.
- Encuentre las x – y y – intersecciones de la línea.
- Sea y = 0 y resuelva para x
- Sea x = 0 y resuelva para y.
- Encuentra una tercera solución a la ecuación.
- Traza los tres puntos y verifica que estén alineados.
- Dibuja la línea.
Ejercicio ( PageIndex {13} )
Grafica 4x – 3y = 12 usando las intersecciones.
- Respuesta
-
Encuentra las intersecciones y un tercer punto.
Enumeramos los puntos en la Tabla ( PageIndex {7} ) y mostramos el gráfico a continuación.
4x − 3y = 12 x y (x, y) 3 0 (3,0) 0 −4 (0, −4) 6 4 (6,4) - Tabla ( PageIndex {7} )
-
Ejercicio ( PageIndex {14} )
Gráfico 5x – 2y = 10 usando las intersecciones.
- Respuesta
-
Ejercicio ( PageIndex {15} )
Grafica 3x – 4y = 12 usando las intersecciones.
- Respuesta
-
Ejercicio ( PageIndex {16} )
Representa gráficamente y = 5x usando las intersecciones.
- Respuesta
-
Esta línea tiene solo una intersección. Es el punto (0,0).
Para garantizar la precisión, necesitamos trazar tres puntos. Dado que x – y y – las intersecciones son el mismo punto, necesitamos dos más puntos para graficar la línea.
Ver Tabla ( PageIndex {8} ).
y = 5x x y (x, y) (0,0) (1,5) −1 −5 (−1, −5) - Tabla ( PageIndex {8} )
-
Trace los tres puntos, verifique que se alineen y dibuje la línea.
Ejercicio ( PageIndex {17} )
Representa gráficamente y = 4x usando las intersecciones.
- Respuesta
-
Ejercicio ( PageIndex {18} )
Grafica y = −x las intersecciones.
- Respuesta
-
Conceptos clave
- Encuentre el x – y y – Intercepciones de la ecuación de una línea
- Usa la ecuación de la línea para encontrar el x – intersección de la línea, deja y = 0 y resuelve para x .
- Usa la ecuación de la línea para encontrar el y – intersección de la línea, deja x = 0 y resuelve para y .
- Graficar una ecuación lineal usando las intersecciones
- Encuentre las x – y y – intersecciones de la línea.
Sea y = 0 y resuelva para x .
Sea x = 0 y resuelva para y . - Encuentra una tercera solución a la ecuación.
- Trace los tres puntos y luego verifique que se alineen.
- Dibuja la línea.
- Encuentre las x – y y – intersecciones de la línea.
- Estrategia para elegir el método más conveniente para graficar una línea:
- Considere la forma de la ecuación.
- Si solo tiene una variable, es una línea vertical u horizontal.
x = a es una línea vertical que pasa por el eje x en a
y = b es una línea horizontal que pasa por el eje y en b. - Si y está aislado en un lado de la ecuación, graficar mediante puntos de trazado.
- Elija cualquiera de los tres valores para x y luego resuelva los valores y correspondientes.
- Si la ecuación es de la forma ax + by = c, encuentre las intersecciones. Encuentre las intersecciones x y y y luego un tercer punto.
Glosario
- intersecciones de una línea
- Los puntos donde una línea cruza el eje x y el eje y se denominan las intersecciones de la línea.
- x – intercepción
- El punto (a, 0) donde la línea cruza el eje x ; el x – la intercepción ocurre cuando y es cero.
- y -intercepción
- El punto (0, b) donde la línea cruza el eje y ; y : la intercepción ocurre cuando x es cero.