4.3: Gráfico con intersecciones

4.3: Gráfico con intersecciones

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Identifica las intersecciones x e y en un gráfico
  •      
  • Encuentra las intersecciones x e y de una ecuación de una línea
  •      
  • Graficar una línea usando las intersecciones
  •  
 
 
 

Nota

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Resuelve: (3 cdot 0 + 4y = −2 ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 2.2.13 .
  2.  
 
 

Identifica el x – y y – Intercepta en un gráfico

 

Cada ecuación lineal puede representarse mediante una línea única que muestra todas las soluciones de la ecuación. Hemos visto que al graficar una línea al trazar puntos, puede usar cualquiera de las tres soluciones para graficar. Esto significa que dos personas que grafican la línea pueden usar diferentes conjuntos de tres puntos.

 

A primera vista, sus dos líneas podrían no parecer iguales, ya que tendrían diferentes puntos etiquetados. Pero si todo el trabajo se realizó correctamente, las líneas deberían ser exactamente las mismas. Una forma de reconocer que en realidad son la misma línea es observar dónde cruza la línea el eje x y el eje y . Estos puntos se denominan las intersecciones de la línea.

 
 
 

INTERCEPTOS DE UNA LÍNEA

 

Los puntos donde una línea cruza el eje x y el eje y se denominan las intersecciones de una línea .

 
 

Veamos los gráficos de las líneas en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
 
Four figures, each showing a different straight line on the x y- coordinate plane. The x- axis of the planes runs from negative 7 to 7. The y- axis of the planes runs from negative 7 to 7. Figure a shows a straight line crossing the x- axis at the point (3, 0) and crossing the y- axis at the point (0, 6). The graph is labeled with the equation 2x plus y equals 6. Figure b shows a straight line crossing the x- axis at the point (4, 0) and crossing the y- axis at the point (0, negative 3). The graph is labeled with the equation 3x minus 4y equals 12. Figure c shows a straight line crossing the x- axis at the point (5, 0) and crossing the y- axis at the point (0, negative 5). The graph is labeled with the equation x minus y equals 5. Figure d shows a straight line crossing the x- axis and y- axis at the point (0, 0). The graph is labeled with the equation y equals negative 2x.  
Figura ( PageIndex {1} ): Ejemplos de gráficos que cruzan el eje x negativo.
 
 

Primero, observe dónde cada una de estas líneas cruza el eje negativo x. Ver Figura ( PageIndex {1} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
Tabla ( PageIndex {1} )
Figura La línea cruza el eje x en: Par ordenado de este punto
Figura (a) 3 (3,0)
Figura (b) 4 (4,0)
Figura (c) 5 (5,0)
Figura (d) 0 (0,0)
 

¿Ves un patrón?

 

Para cada fila, la y – coordenada del punto donde la línea cruza el eje x – es cero. El punto donde la línea cruza el eje x tiene la forma (a, 0) y se llama x – intersección de una línea . La x – la intersección ocurre cuando y es cero. Ahora, veamos los puntos donde estas líneas cruzan el eje y . Consulte la Tabla ( PageIndex {2} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
Tabla ( PageIndex {2} )
Figura La línea cruza el eje x en: Par ordenado de este punto
Figura (a) 6 (0,6)
Figura (b) −3 (0, −3)
Figura (c) −5 (0,5)
Figura (d) 0 (0,0)
 

¿Cuál es el patrón aquí?

 

En cada fila, la x – coordenada del punto donde la línea cruza el eje y – es cero. El punto donde la línea cruza el eje y tiene la forma (0, b) y se llama intersección en y de la línea. La y – la intersección ocurre cuando x es cero.

 
 
 

X – INTERCEPT Y Y- INTERCEPT DE UNA LÍNEA

 

La intersección x es el punto (a, 0) donde la línea cruza el eje x .

 

La intersección y es el punto (0, b) donde la línea cruza el eje y .

 
No Alt Text  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Encuentre las intersecciones x y y en cada gráfico.

 
Three figures, each showing a different straight line on the x y- coordinate plane. The x- axis of the planes runs from negative 7 to 7. The y- axis of the planes runs from negative 7 to 7. Figure a shows a straight line going through the points (negative 6, 5), (negative 4, 4), (negative 2, 3), (0, 2), (2, 1), (4, 0), and (6, negative 1). Figure b shows a straight line going through the points (0, negative 6), (1, negative 3), (2, 0), (3, 3), and (4, 6). Figure c shows a straight line going through the points (negative 6, 1), (negative 5, 0), (negative 4, negative 1), (negative 3, negative 2), (negative 2, negative 3), (negative 1, negative 4), (0, negative 5), and (1, negative 6).  
Figura ( PageIndex {3} )
 
 
     
Respuesta
     
     

(a) El gráfico cruza el eje x en el punto (4,0). La x – la intersección es (4,0).
El gráfico cruza el eje y en el punto (0,2). La y – intersección es (0,2).

(b) El gráfico cruza el eje x en el punto (2,0). La intersección x es (2,0)
La gráfica cruza el eje y en el punto (0, −6). La intersección y es (0, −6).

(c) El gráfico cruza el eje x en el punto (−5,0). La x – intersección es (−5,0).
La gráfica cruza el eje y en el punto (0, −5). La y – intersección es (0, −5).

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Encuentra las x – y y – intersecciones en el gráfico.

 

A figure showing a straight line on the x y- coordinate plane. The x- axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y- axis of the planes runs from negative 10 to 10. The straight line goes through the points (negative 8, negative 10), (negative 6, negative 8), (negative 4, negative 6), (negative 2, negative 4), (0, negative 2), (2, 0), (4, 2), (6, 4), (8, 6), and (10, 8).

 
     
Respuesta
     
     

x – intercepción: (2,0); y – intercepción: (0, −2)

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentra las x – y y – intersecciones en el gráfico.

 

The figure shows a straight line on the x y- coordinate plane. The x- axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y- axis of the planes runs from negative 10 to 10. The straight line goes through the points (negative 9, 8), (negative 6, 6), (negative 3, 4), (0, 2), (3, 0), (6, negative 2), and (9, negative 4).

 
     
Respuesta
     
     

x – intercepción: (3,0), y – intercepción: (0,2)

     
 
 
 
 
 

Encuentre el x – y y – Intercepta de una ecuación de una línea

 

Reconociendo que x – intercepción ocurre cuando y es cero y que y – intercepción ocurre cuando x es cero, nos da un método para encontrar las intersecciones de una línea a partir de su ecuación. Para encontrar la x – intercepción, deje y = 0 y resuelva para x . Para encontrar y – intercepte , deje x = 0 y resuelva para y .

 
 
 

ENCUENTRE EL X – Y Y – INTERCEPTOS DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

 
 

Usa la ecuación de la recta. Para encontrar:

 
         
  • la x – intercepción de la línea, deje y = 0 y resuelva para x.
  •      
  • el y – intercepción de la línea, sea x = 0 y resuelva para y.
  •  
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Encuentra las intersecciones de 2x + y = 6.

 
     
Respuesta
     
     

Dejaremos que y = 0 para encontrar la intersección x , y dejaremos que x = 0 para encontrar la intersección y . Completaremos la tabla, que nos recuerda lo que necesitamos encontrar.

     
     
The figure shows a table with four rows and two columns. The first row is a title row and it labels the table with the equation 2 x plus y equals 6. The second row is a header row and it labels each column. The first column header is “x” and the second is "y". The third row is labeled “x- intercept” and has the first column blank and a 0 in the second column. The fourth row is labeled “y- intercept” and has a 0 in the first column with the second column blank.
     
     

Para encontrar la x – intercepción, deje y = 0.

          
     
Las intersecciones son los puntos (3,0) y (0,6) como se muestra en la Tabla ( PageIndex {4} ).                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
Tabla ( PageIndex {4} )
2x + y = 6
x y
3 0
0 6
     
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Encuentra las intersecciones de 3x + y = 12.

 
     
Respuesta
     
     

x – intercepción: (4,0), y – intercepción: (0,12)

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentra las intersecciones de x + 4y = 8.

 
     
Respuesta
     
     

x – intercepción: (8,0), y – intercepción: (0,2)

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Encuentra las intersecciones de 4x – 3y = 12.

 
     
Respuesta
     
          
     
Tabla ( PageIndex {5} )
     
     

Las intersecciones son los puntos (3, 0) y (0, −4) como se muestra en la siguiente tabla.

                                                                                                                                                                                                                                                                                       
Tabla ( PageIndex {6} )
4x − 3y = 12
x y
3 0
0 −4
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Encuentra las intersecciones de 3x – 4y = 12.

 
     
Respuesta
     
     

x – intercepción: (4,0), y – intercepción: (0, −3)

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Encuentra las intersecciones de 2x – 4y = 8.

 
     
Respuesta
     
     

x – intercepción: (4,0), y – intercepción: (0, −2)

     
 
 
 

Graficar una línea usando las intersecciones

 

Para graficar una ecuación lineal trazando puntos, necesitas encontrar tres puntos cuyas coordenadas sean soluciones a la ecuación. Puede usar x – y y – intercepta como dos de sus tres puntos. Encuentre las intersecciones y luego encuentre un tercer punto para garantizar la precisión. Asegúrese de que los puntos estén alineados, luego dibuje la línea. Este método es a menudo la forma más rápida de graficar una línea.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ): Cómo graficar una línea usando intersecciones

 

Gráfico –x + 2y = 6 usando las intersecciones.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a table with the general procedure for graphing a line using the intercepts along with a specific example using the equation negative x plus 2y equals 6. Step 1 of the general procedure is “Find the x and y- intercepts of the line. Let y equals 0 and solve for x. Let x equals 0 and solve for y”. Step 1 for the example is a series of statements and equations: “Find the x- intercept. Let y equals 0”, negative x plus 2y equals 6, negative x plus 2(0) equals 6 (where the 0 is red), negative x equals 6, x equals negative 6, “The x- intercept is (negative 6, 0)”, “Find the y- intercept. Let x equals 0”, negative x plus 2y equals 6, negative 0 plus 2y equals 6 (where the 0 is red), 2y equals 6, y equals 3, and “The y- intercept is (0, 3)”. Step 2 of the general procedure is “Find another solution to the equation.” Step 2 for the example is a series of statements and equations: “We’ll use x equals 2”, “Let x equals 2”, negative x plus 2y equals 6, negative 2 plus 2y equals 6 (where the first 2 is red), 2y equals 8, y equals 4, and “A third point is (2, 4)”. Step 3 of the general procedure is “Plot the three points. Check that the points line up.” Step 3 for the example is a table and a graph. The table has four rows and three columns. The first row is a header row and it labels each column. The first column header is “x”, the second is "y", and the third is “(x,y)”. Under the first column are the numbers negative 6, 0 and 2. Under the second column are the numbers 0, 3, and 4. Under the third column are the ordered pairs (negative 6, 0), (0, 3), and (2, 4). The graph has three points on the x- y coordinate plane. The x- axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y- axis of the planes runs from negative 7 to 7. Three points are marked at (negative 6, 0), (0, 3), and (2, 4). Step 4 of the general procedure is “Draw the line.” For the specific example, there is the statement “See the graph” and a graph of a straight line going through three points on the x y- coordinate plane. The x- axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y- axis of the planes runs from negative 7 to 7. Three points are marked at (negative 6, 0), (0, 3), and (2, 4). The straight line is drawn through the points (negative 6, 0), (negative 4, 1), (negative 2, 2), (0, 3), (2, 4), (4, 5), and (6, 6).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Grafica x – 2y = 4 usando las intersecciones.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight line on the x y- coordinate plane. The x- axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y- axis of the planes runs from negative 12 to 12. The straight line goes through the points (negative 10, negative 7), (negative 8, negative 6), (negative 6, negative 5), (negative 4, negative 4), (negative 2, negative 3), (0, negative 2), (2, negative 1), (4, 0), (6, 1), (8, 2), and (10, 3).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Gráfico –x + 3y = 6 usando las intersecciones.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight line on the x y- coordinate plane. The x- axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y- axis of the planes runs from negative 12 to 12. The straight line goes through the points (negative 12, negative 2), (negative 9, negative 1), (negative 6, 0), (negative 3, 1), (0, 2), (3, 3), (6, 4), (9, 5), and (12, 6).

     
 
 
 

Los pasos para graficar una ecuación lineal usando las intersecciones se resumen a continuación.

 
 
 

GRÁFICO UNA ECUACIÓN LINEAL UTILIZANDO LOS INTERCEPTOS.

 
 
         
  1. Encuentre las x – y y – intersecciones de la línea.      
               
    • Sea y = 0 y resuelva para x
    •          
    • Sea x = 0 y resuelva para y.
    •      
         
  2.      
  3. Encuentra una tercera solución a la ecuación.
  4.      
  5. Traza los tres puntos y verifica que estén alineados.
  6.      
  7. Dibuja la línea.
  8.  
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Grafica 4x – 3y = 12 usando las intersecciones.

 
     
Respuesta
     
     

Encuentra las intersecciones y un tercer punto.

     The figure shows a series of statements and equations: “Find the x- intercept. Let y equals 0”, 4x minus 3y equals 12, 4x minus 3(0) equals 12 (where the 0 is red), 4x equals 12, x equals 3, “Find the y- intercept. Let x equals 0”, 4x minus 3y equals 12, 4(0) minus 3y equals 12 (where the 0 is red), negative 3y equals 12, y equals negative 4, “third point, let y equals 4”, 4x minus 3y equals 12, 4x minus 3(4) equals 12 (where the second 4 is red), 4x minus 12 equals 12, 4x equals 24, and x equals 6.      

Enumeramos los puntos en la Tabla ( PageIndex {7} ) y mostramos el gráfico a continuación.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
4x − 3y = 12
x y (x, y)
3 0 (3,0)
0 −4 (0, −4)
6 4 (6,4)
     
     
Tabla ( PageIndex {7} )
     
     

The figure shows the graph of a straight line going through three points on the x y- coordinate plane. The x- axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y- axis of the planes runs from negative 7 to 7. Three points are marked at (0, negative 4), (3, 0), and (6, 4). The straight line is drawn through the points (0, negative 4), (3, 0), and (6, 4).

     
 
 
 
 
 
     
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Gráfico 5x – 2y = 10 usando las intersecciones.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows the graph of a straight line on the x y- coordinate plane. The x- axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y- axis of the planes runs from negative 7 to 7. The straight line goes through the points (0, negative 5), (2, 0), and (4, 5).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Grafica 3x – 4y = 12 usando las intersecciones.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows the graph of a straight line on the x y- coordinate plane. The x- axis of the plane runs from negative 7 to 7. The y- axis of the planes runs from negative 7 to 7. The straight line goes through the points (negative 4, negative 6), (0, negative 3), and (4, 0).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Representa gráficamente y = 5x usando las intersecciones.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows two sets of statements and equations to find the intercepts from an equation. The first set of statements and equations is “x- intercept”, “let y equals 0”, y equals 5x, 0 equals 5x (where the 0 is red), 0 equals x, (0, 0). The second set of statements and equations is “y- intercept”, “let x equals 0”, y equals 5x, y equals 5(0) (where the 0 is red), y equals 0, (0, 0).

     

Esta línea tiene solo una intersección. Es el punto (0,0).

     

Para garantizar la precisión, necesitamos trazar tres puntos. Dado que x – y y – las intersecciones son el mismo punto, necesitamos dos más puntos para graficar la línea.

     The figure shows two sets of statements and equations to find two points from an equation. The first set of statements and equations is “Let x equals 1”, y equals 5x, y equals 5(1) (where the 1 is red), y equals 5. The second set of statements and equations is “Let x equals negative 1”, y equals 5x, y equals 5(negative 1) (where the negative 1 is red), y equals negative 5.      

Ver Tabla ( PageIndex {8} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
y = 5x
x y (x, y)
(0,0)
(1,5)
−1 −5 (−1, −5)
     
     
Tabla ( PageIndex {8} )
     
     

Trace los tres puntos, verifique que se alineen y dibuje la línea.

     

The figure shows the graph of a straight line going through three points on the x y- coordinate plane. The x- axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y- axis of the planes runs from negative 10 to 10. Three points are marked and labeled with their coordinates at (negative 1, negative 5), (0, 0), and (1, 5). The straight line is drawn through the points (negative 1, negative 5), (0, 0), and (1, 5).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Representa gráficamente y = 4x usando las intersecciones.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight line on the x y- coordinate plane. The x- axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y- axis of the planes runs from negative 12 to 12. The straight line goes through the points (negative 4, negative 12), (negative 3, negative 9), (negative 2, negative 6), (negative 1, negative 3), (0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9), and (4, 12).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Grafica y = −x las intersecciones.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a straight line on the x y- coordinate plane. The x- axis of the plane runs from negative 12 to 12. The y- axis of the planes runs from negative 12 to 12. The straight line goes through the points (negative 10, 10), (negative 9, 9), (negative 8, 8), (negative 7, 7), (negative 6, 6), (negative 5, 5), (negative 4, 4), (negative 3, 3), (negative 2, 2), (negative 1, 1), (0, 0), (1, negative 1), (2, negative 2), (3, negative 3), (4, negative 4), (5, negative 5), (6, negative 6), (7, negative 7), (8, negative 8), (9, negative 9), and (10, negative 10).

     
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Encuentre el x – y y – Intercepciones de la ecuación de una línea      
               
    • Usa la ecuación de la línea para encontrar el x – intersección de la línea, deja y = 0 y resuelve para x .
    •          
    • Usa la ecuación de la línea para encontrar el y – intersección de la línea, deja x = 0 y resuelve para y .
    •      
         
  •      
  • Graficar una ecuación lineal usando las intersecciones      
               
    1. Encuentre las x – y y – intersecciones de la línea.
      Sea y = 0 y resuelva para x .
      Sea x = 0 y resuelva para y .
    2.          
    3. Encuentra una tercera solución a la ecuación.
    4.          
    5. Trace los tres puntos y luego verifique que se alineen.
    6.          
    7. Dibuja la línea.
    8.      
         
  •      
  • Estrategia para elegir el método más conveniente para graficar una línea:      
               
    • Considere la forma de la ecuación.
    •          
    • Si solo tiene una variable, es una línea vertical u horizontal.
      x = a es una línea vertical que pasa por el eje x en a
      y = b es una línea horizontal que pasa por el eje y en b.
    •          
    • Si y está aislado en un lado de la ecuación, graficar mediante puntos de trazado.
    •          
    • Elija cualquiera de los tres valores para x y luego resuelva los valores y correspondientes.
    •          
    • Si la ecuación es de la forma ax + by = c, encuentre las intersecciones. Encuentre las intersecciones x y y y luego un tercer punto.
    •      
         
  •  
 

 
 
 
 

Glosario

 
     
intersecciones de una línea
     
Los puntos donde una línea cruza el eje x y el eje y se denominan las intersecciones de la línea.
 
 
     
x – intercepción
     
El punto (a, 0) donde la línea cruza el eje x ; el x – la intercepción ocurre cuando y es cero.
 
 
     
y -intercepción
     
El punto (0, b) donde la línea cruza el eje y ; y : la intercepción ocurre cuando x es cero.
 
 
                                  
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