4.3: Modelado con funciones lineales

4.3: Modelado con funciones lineales

Emily es una estudiante universitaria que planea pasar un verano en Seattle. Ella ha ahorrado $ 3,500 para su viaje y anticipa gastar $ 400 cada semana en alquiler, comida y actividades. ¿Cómo podemos escribir un modelo lineal para representar su situación? ¿Cuál sería la intersección con el eje x y qué puede aprender de ella? Para responder a estas y otras preguntas relacionadas, podemos crear un modelo usando una función lineal. Modelos como este pueden ser extremadamente útiles para analizar relaciones y hacer predicciones basadas en esas relaciones. En esta sección, exploraremos ejemplos de modelos de función lineal .

Identificación de pasos para modelar y resolver problemas

 

Cuando modela escenarios con funciones lineales y resuelve problemas que involucran cantidades con una tasa de cambio constante , típicamente seguimos las mismas estrategias de problemas que usaríamos para cualquier tipo de función. Repasemos brevemente:

 

Identifique cantidades cambiantes y luego defina variables descriptivas para representar esas cantidades. Cuando sea apropiado, dibuje una imagen o defina un sistema de coordenadas.
Lea atentamente el problema para identificar información importante. Busque información que proporcione valores para las variables o valores para partes del modelo funcional, como la pendiente y el valor inicial.
Lea atentamente el problema para determinar qué estamos tratando de encontrar, identificar, resolver o interpretar.
Identifique una vía de solución desde la información proporcionada hasta lo que estamos tratando de encontrar. A menudo, esto implicará verificar y rastrear unidades, construir una tabla o incluso encontrar una fórmula para la función que se usa para modelar el problema.
Cuando sea necesario, escriba una fórmula para la función.
Resuelve o evalúa la función usando la fórmula.
Reflexione sobre si su respuesta es razonable para la situación dada y si tiene sentido matemáticamente.
Transmite claramente tu resultado usando las unidades apropiadas y responde en oraciones completas cuando sea necesario.

 

Construcción de modelos lineales

 

Ahora echemos un vistazo al estudiante en Seattle. En su situación, hay dos cantidades cambiantes: tiempo y dinero. La cantidad de dinero que le queda mientras está de vacaciones depende de cuánto tiempo se quede. Podemos usar esta información para definir nuestras variables, incluidas las unidades.

 
         
  • Salida: (M ), dinero restante, en dólares
  •      
  • Entrada: (t ), tiempo, en semanas
  •  
 

Entonces, la cantidad de dinero restante depende del número de semanas: (M (t) )

 

También podemos identificar el valor inicial y la tasa de cambio.

 
         
  • Valor inicial: ahorró $ 3,500, por lo que $ 3,500 es el valor inicial para M.
  •      
  • Tasa de cambio: Ella anticipa gastar $ 400 cada semana, por lo tanto, $ 400 por semana es la tasa de cambio o pendiente.
  •  
 

Observe que la unidad de dólares por semana coincide con la unidad de nuestra variable de salida dividida por nuestra variable de entrada. Además, debido a que la pendiente es negativa, la función lineal está disminuyendo. Esto debería tener sentido porque ella está gastando dinero cada semana.

 

La tasa de cambio es constante , por lo que podemos comenzar con el modelo lineal (M (t) = mt + b ). Luego podemos sustituir la intersección y la pendiente proporcionadas.

 
 
Figura ( PageIndex {2} )
 
 

Para encontrar la intersección con el eje x, establecemos la salida en cero y resolvemos la entrada.

 

[ begin {align *} 0 & = – 400t + 3500 \ t & = dfrac {3500} {400} \ & = 8.75 end {align *} ]

 

La intersección con el eje x es de 8.75 semanas. Como esto representa el valor de entrada cuando la salida será cero, podríamos decir que a Emily no le quedará dinero después de 8.75 semanas.

 

Al modelar cualquier escenario de la vida real con funciones, generalmente hay un dominio limitado sobre el cual ese modelo será válido, casi ninguna tendencia continúa indefinidamente. Aquí el dominio se refiere a la cantidad de semanas. En este caso, no tiene sentido hablar de valores de entrada inferiores a cero. Un valor de entrada negativo podría referirse a varias semanas antes de que ella ahorrara $ 3,500, pero el escenario discutido plantea la pregunta una vez que ahorró $ 3,500 porque es cuando comienza su viaje y los gastos posteriores. También es probable que este modelo no sea válido después de la intersección con el eje x, a menos que Emily use una tarjeta de crédito y se endeude. El dominio representa el conjunto de valores de entrada, por lo que el dominio razonable para esta función es (0 { leq} t { leq} 8.75 ).

 

En el ejemplo anterior, nos dieron una descripción escrita de la situación. Seguimos los pasos de modelar un problema para analizar la información. Sin embargo, la información proporcionada puede no ser siempre la misma. A veces se nos puede proporcionar una intercepción. Otras veces se nos puede proporcionar un valor de salida. Debemos tener cuidado al analizar la información que se nos brinda y usarla de manera apropiada para construir un modelo lineal.

 

Uso de una intersección dada para construir un modelo

 

Algunos problemas del mundo real proporcionan la intersección en y, que es el valor constante o inicial. Una vez que se conoce la intersección con el eje y, se puede calcular la intersección con el eje x. Supongamos, por ejemplo, que Hannah planea pagar un préstamo sin intereses de sus padres. El saldo de su préstamo es de $ 1,000. Ella planea pagar $ 250 por mes hasta que su saldo sea de $ 0. La intersección en y es el monto inicial de su deuda, o $ 1,000. La tasa de cambio, o pendiente, es – $ 250 por mes. Entonces podemos usar la forma pendiente-intersección y la información dada para desarrollar un modelo lineal.

 

[ begin {align *} f (x) & = mx + b \ & = – 250x + 1000 end {align *} ]

 

Ahora podemos establecer la función igual a 0 y resolver (x ) para encontrar la intersección con el eje x.

 

[ begin {align *} 0 & = – 250 + 1000 \ 1000 & = 250x \ 4 & = x \ x & = 4 end {align *} ]

 

La intersección con el eje x es la cantidad de meses que le toma alcanzar un saldo de $ 0. La intersección x es de 4 meses, por lo que Hannah tardará cuatro meses en pagar su préstamo.

 

Uso de una entrada y salida dada para construir un modelo

 

Muchas aplicaciones del mundo real no son tan directas como las que acabamos de considerar. En su lugar, requieren que identifiquemos algún aspecto de una función lineal. En su lugar, a veces podríamos pedirnos que evalúen el modelo lineal en una entrada dada o establezcamos la ecuación del modelo lineal igual a una salida especificada.

 

Dado un problema verbal que incluye dos pares de valores de entrada y salida, use la función lineal para resolver un problema.

 
         
  1. Identifique los valores de entrada y salida.
  2.      
  3. Convierta los datos a dos pares de coordenadas.
  4.      
  5. Encuentra la pendiente.
  6.      
  7. Escribe el modelo lineal.
  8.      
  9. Use el modelo para hacer una predicción evaluando la función en un valor x dado.
  10.      
  11. Use el modelo para identificar un valor de x que resulte en un valor de y dado.
  12.      
  13. Responda la pregunta planteada.
  14.  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Uso de un modelo lineal para investigar la población de una ciudad

 

La población de una ciudad ha estado creciendo linealmente. En 2004 la población era de 6.200. Para 2009, la población había crecido a 8.100. Suponga que esta tendencia continúa.

 
         
  1. Predecir la población en 2013.
  2.      
  3. Identifique el año en que la población alcanzará los 15,000.
  4.  
 

Solución

 

Las dos cantidades cambiantes son el tamaño de la población y el tiempo. Si bien podríamos usar el valor del año real como la cantidad de entrada, hacerlo tiende a generar ecuaciones muy engorrosas porque la intersección en y correspondería al año 0, ¡hace más de 2000 años!

 

Para hacer la computación un poco más agradable, definiremos nuestra entrada como el número de años desde 2004:

 
         
  • Entrada: (t ), años desde 2004
  •      
  • Salida: (P (t) ), la población de la ciudad
  •  
 

Para predecir la población en 2013 ( (t = 9 )), primero necesitaríamos una ecuación para la población. Del mismo modo, para determinar cuándo la población alcanzaría los 15,000, tendríamos que resolver la entrada que proporcionaría una salida de 15,000. Para escribir una ecuación, necesitamos el valor inicial y la tasa de cambio, o pendiente.

 

Para determinar la tasa de cambio, usaremos el cambio en la salida por cambio en la entrada.

 

[m = dfrac { text {cambio en salida}} { text {cambio en entrada}} ]

 

El problema nos da dos pares de entrada-salida. Convirtiéndolos para que coincidan con nuestras variables definidas, el año 2004 correspondería a (t = 0 ), dando el punto ((0,6200) ). Observe que a través de nuestra inteligente elección de definición de variable, nos hemos «dado» a nosotros mismos la intersección y de la función. El año 2009 correspondería a (t = 5 ), dando el punto ((5,8100) ).

 

Los dos pares de coordenadas son ((0,6200) ) y ((5,8100) ). Recuerde que encontramos ejemplos en los que se nos proporcionaron dos puntos anteriormente en el capítulo. Podemos usar estos valores para calcular la pendiente.

 

[ begin {align *} m & = dfrac {8100-6200} {5-0} \ & = dfrac {1900} {5} \ & = 380 text {personas por año} end {align *} ]

 

Ya conocemos la intersección y de la línea, por lo que podemos escribir de inmediato la ecuación:

 

[P (t) = 380t + 6200 ]

 

Para predecir la población en 2013, evaluamos nuestra función en (t = 9 ).

 

[ begin {align *} P (9) & = 380 (9) +6,200 \ & = 9,620 end {align *} ]

 

Si la tendencia continúa, nuestro modelo predice una población de 9.620 en 2013.

 

Para saber cuándo la población alcanzará los 15,000, podemos establecer (P (t) = 15000 ) y resolver (t ).

 

[ begin {align *} 15000 & = 380t + 6200 \ 8800 & = 380t \ t & { approx} 23.158 end {align *} ]

 

Nuestro modelo predice que la población alcanzará los 15,000 en poco más de 23 años después de 2004, o alrededor del año 2027.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1A} )

 

Una empresa vende donas. Incurren en un costo fijo de $ 25,000 por alquiler, seguro y otros gastos. Cuesta $ 0.25 producir cada dona.

 
         
  1. Escriba un modelo lineal para representar el costo C de la compañía en función de (x ), el número de donas producidas.
  2.      
  3. Encuentra e interpreta la intersección en y.
  4.  
 

Solución

 

a. (C (x) = 0.25x + 25,000 ) b. La intersección en y es ((0,25,000) ). Si la compañía no produce una sola dona, aún incurren en un costo de $ 25,000.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1B} )

 

La población de una ciudad ha estado creciendo linealmente. En 2008, la población era de 28.200. Para 2012, la población era de 36.800. Suponga que esta tendencia continúa.

 
         
  1. Predecir la población en 2014.
  2.      
  3. Identifique el año en que la población llegará a 54,000.
  4.  
 

Solución

 

a. 41,100 b. 2020

 
 

Usando un diagrama para modelar un problema

 

Es útil para muchas aplicaciones del mundo real dibujar una imagen para tener una idea de cómo las variables que representan la entrada y la salida pueden usarse para responder una pregunta. Para dibujar la imagen, primero considere qué está pidiendo el problema. Luego, determine la entrada y la salida. El diagrama debe relacionar las variables. A menudo, se dibujan formas geométricas o figuras. Las distancias a menudo se rastrean. Si se dibuja un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras relaciona los lados. Si se dibuja un rectángulo, el ancho y la altura del etiquetado son útiles.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Uso de un diagrama para modelar la distancia recorrida

 

Anna y Emanuel comienzan en la misma intersección. Anna camina hacia el este a 4 millas por hora, mientras que Emanuel camina hacia el sur a 3 millas por hora. Se están comunicando con una radio bidireccional que tiene un alcance de 2 millas. ¿Cuánto tiempo después de comenzar a caminar caerán del contacto por radio?

 

Solución

 

En esencia, podemos responder parcialmente a esta pregunta diciendo que se caerán del contacto por radio cuando están a 2 millas de distancia, lo que nos lleva a hacer una nueva pregunta:

 

«¿Cuánto tiempo les llevará estar a 2 millas de distancia?»

 

En este problema, nuestras cantidades cambiantes son el tiempo y la posición, pero en última instancia, necesitamos saber cuánto tiempo les tomará estar a 2 millas de distancia. Podemos ver que el tiempo será nuestra variable de entrada, por lo que definiremos nuestras variables de entrada y salida.

 
         
  • Entrada: (t ), tiempo en horas.
  •      
  • Salida: (A (t) ), distancia en millas, y (E (t) ), distancia en millas
  •  
 

Debido a que no es obvio cómo definir nuestra variable de salida, comenzaremos dibujando una imagen como la Figura ( PageIndex {3} ).

 
 
Figura ( PageIndex {3} )
 
 
         
  • Valor inicial: Ambos comienzan en la misma intersección, por lo que cuando (t = 0 ), la distancia recorrida por cada persona también debe ser 0. Por lo tanto, el valor inicial para cada uno es 0.
  •      
  • Tasa de cambio: Anna camina 4 millas por hora y Emanuel camina 3 millas por hora, que son ambas tasas de cambio. La pendiente para (A ) es 4 y la pendiente para (E ) es 3.
  •  
 

Usando esos valores, podemos escribir fórmulas para la distancia que cada persona ha caminado.

 

[A (t) = 4t ]

 

[E (t) = 3t ]

 

Para este problema, las distancias desde el punto de partida son importantes. Para anotar estos, podemos definir un sistema de coordenadas, identificando el «punto de partida» en la intersección donde ambos comenzaron. Luego podemos usar la variable, (A ), que presentamos anteriormente, para representar la posición de Anna y definirla como una medida desde el punto de partida en dirección este. Del mismo modo, puede usar la variable (E ) para representar la posición de Emanuel, medida desde el punto de partida en dirección sur. Tenga en cuenta que al definir el sistema de coordenadas, especificamos tanto el punto de inicio de la medición como la dirección de la medición.

 

Entonces podemos definir una tercera variable, (D ), para que sea la medida de la distancia entre Anna y Emanuel. Mostrar las variables en el diagrama a menudo es útil, como podemos ver en la Figura ( PageIndex {4} ).

 

Recuerde que necesitamos saber cuánto tiempo tarda (D ), la distancia entre ellos, para igualar 2 millas. Observe que para cualquier entrada dada (t ), las salidas (A (t) ), (E (t) ) y (D (t) ) representan distancias.

 
We can use the Pythagorean Theorem because we have drawn a right angle.  
Figura ( PageIndex {4} ): Podemos usar el Teorema de Pitágoras porque hemos dibujado un ángulo recto.
 
 

Usando el teorema de Pitágoras, obtenemos:

 

[ begin {align *} d (t) ^ 2 & = A (t) ^ 2 + E (t) ^ 2 \ & = (4t) ^ 2 + (3t) ^ 2 \ & = 16t ^ 2 + 9t ^ 2 \ & = 25t ^ 2 \ D (t) & = pm sqrt {25t ^ 2} & text {Resuelva $ D (t) $ usando la raíz cuadrada} \ & = pm 5 | t | end {align *} ]

 

En este escenario estamos considerando solo valores positivos de (t ), por lo que nuestra distancia (D (t) ) siempre será positiva. Podemos simplificar esta respuesta a (D (t) = 5t ). Esto significa que la distancia entre Anna y Emanuel también es una función lineal. Debido a que D es una función lineal, ahora podemos responder a la pregunta de cuándo la distancia entre ellos alcanzará 2 millas. Configuraremos la salida (D (t) = 2 ) y resolveremos (t ).

 

[ begin {align *} D (t) & = 2 \ 5t & = 2 \ t & = dfrac {2} {5} = 0.4 end {align *} ]

 

Se caerán del contacto por radio en 0,4 horas o 24 minutos.

 
 

¿Debo dibujar diagramas cuando se me da información basada en una forma geométrica?

 

Sí. Dibuje la figura y etiquete las cantidades y las incógnitas en el bosquejo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso de un diagrama para modelar la distancia entre ciudades

 

Hay una carretera recta que conduce desde la ciudad de Westborough a Agritown, 30 millas al este y 10 millas al norte. A mitad de camino por esta carretera, se une con una segunda carretera, perpendicular a la primera, que conduce a la ciudad de Eastborough. Si la ciudad de Eastborough se encuentra a 20 millas directamente al este de la ciudad de Westborough, ¿a qué distancia está el cruce de la carretera con Westborough?

 

Solución

 

Podría ayudar aquí hacer un dibujo de la situación. Ver Figura ( PageIndex {5} ). Entonces sería útil introducir un sistema de coordenadas. Si bien podríamos ubicar el origen en cualquier lugar, colocarlo en Westborough parece conveniente. Esto coloca a Agritown en las coordenadas ((30, 10) ) y Eastborough en ((20,0) ).

 
 
Figura ( PageIndex {5} )
 
 

Usando este punto junto con el origen, podemos encontrar la pendiente de la línea de Westborough a Agritown:

 

[m = dfrac {10-0} {30-0} = dfrac {1} {3} ]

 

La ecuación de la carretera de Westborough a Agritown sería

 

[W (x) = dfrac {1} {3} x ]

 

A partir de esto, podemos determinar que el camino perpendicular a Eastborough tendrá pendiente (m = –3 ). Debido a que la ciudad de Eastborough está en el punto ((20, 0) ), podemos encontrar la ecuación:

 

[ begin {align *} E (x) & = – 3x + b \ 0 & = – 3 (20) + b & text {Sustituya en $ (20, 0) $} \ b & = 60 \ E (x) & = – 3x + 60 end {align *} ]

 

Ahora podemos encontrar las coordenadas de la unión de las carreteras al encontrar la intersección de estas líneas. Poniéndolos iguales,

 

[ begin {align *} dfrac {1} {3} x & = – 3x + 60 \ dfrac {10} {3} x & = 60 \ 10x & = 180 \ x & = 18 & texto {Sustituyendo esto nuevamente en $ W (x) $} \ y & = W (18) \ & = dfrac {1} {3} (18) \ & = 6 end {align *} ] [ 19459003]  

Las carreteras se cruzan en el punto ((18,6) ). Usando la fórmula de la distancia, ahora podemos encontrar la distancia desde Westborough hasta el cruce.

 

[ begin {align *} text {distance} & = sqrt {(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2} \ & = sqrt {(18-0) ^ 2+ (6-0) ^ 2} \ & aprox 18.743 text {millas} end {align *} ]

 

Análisis

 

Un buen uso de los modelos lineales es aprovechar el hecho de que las gráficas de estas funciones son líneas. Esto significa que las aplicaciones del mundo real que discuten mapas necesitan funciones lineales para modelar las distancias entre puntos de referencia.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Hay una carretera recta que conduce desde la ciudad de Timpson a Ashburn, 60 millas al este y 12 millas al norte. A mitad de camino, cruza con un segundo camino, perpendicular al primero, que conduce a la ciudad de Garrison. Si el pueblo de Garrison está ubicado a 22 millas directamente al este del pueblo de Timpson, ¿a qué distancia está el cruce de la carretera con Timpson?

 

Solución

 

21,15 millas

 
 

Construcción de sistemas de modelos lineales

 

Las situaciones del mundo real que incluyen dos o más funciones lineales pueden modelarse con un sistema de ecuaciones lineales . Recuerde, al resolver un sistema de ecuaciones lineales, buscamos puntos que las dos líneas tengan en común. Normalmente, hay tres tipos de respuestas posibles, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).

 
 
Figura ( PageIndex {6} )
 
 

Dada una situación que representa un sistema de ecuaciones lineales, escriba el sistema de ecuaciones e identifique la solución.

 
         
  1. Identifique la entrada y la salida de cada modelo lineal.
  2.      
  3. Identifique la pendiente y la intersección con el eje y de cada modelo lineal.
  4.      
  5. Encuentre la solución estableciendo las dos funciones lineales iguales a otra y resolviendo para (x ), o encuentre el punto de intersección en un gráfico.
  6.  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Construcción de un sistema de modelos lineales para elegir una empresa de alquiler de camiones

 

Jamal elige entre dos empresas de alquiler de camiones. El primero, Keep on Trucking, Inc., cobra una tarifa inicial de $ 20, luego 59 centavos por milla [1]. El segundo, Move It Your Way, cobra una tarifa inicial de $ 16, luego 63 centavos por milla. ¿Cuándo Keep on Trucking, Inc. será la mejor opción para Jamal?

 

Solución

 

Las dos cantidades importantes en este problema son el costo y la cantidad de millas recorridas. Debido a que tenemos dos compañías a considerar, definiremos dos funciones.

 
         
  • Entrada: (d ), distancia recorrida en millas
  •      
  • Salidas: (K (d): ) costo, en dólares, para alquilar de Keep on Trucking
  •  
 

(M (d): ) costo, en dólares, por alquilar de Move It Your Way

 
         
  • Valor inicial: Tarifa inicial: (K (0) = 20 ) y (M (0) = 16 )
  •      
  • Tasa de cambio: (K (d) = dfrac {$ 0.59} { text {mile}} ) y (P (d) = dfrac {$ 0.63} { text {mile}} )
  •  
 

Una función lineal tiene la forma (f (x) = mx + b ). Usando las tasas de cambio y las cargas iniciales, podemos escribir las ecuaciones

 

[K (d) = 0.59d + 20 nonumber ]

 

[M (d) = 0.63d + 16 nonumber ]

 

Usando estas ecuaciones, podemos determinar cuándo Keep on Trucking, Inc., será la mejor opción. Debido a que todo lo que tenemos que tomar es la decisión de los costos, estamos buscando cuándo Move It Your Way costará menos, o cuando (K (d)  

Estos gráficos se bosquejan en la Figura ( PageIndex {7} ), con (K (d) ) en azul.

 
 
Figura ( PageIndex {7} )
 
 

Para encontrar la intersección, establecemos las ecuaciones iguales y resolvemos:

 

[ begin {align *} K (d) & = M (d) \ 0.59d + 20 & = 0.63d + 16 \ 4 & = 0.04d \ 100 & = d \ d & = 100 end {alinear *} ]

 

Esto nos dice que el costo de las dos compañías será el mismo si se manejan 100 millas. Ya sea mirando el gráfico o notando que (K (d) ) está creciendo a un ritmo más lento, podemos concluir que Keep on Trucking, Inc. será el precio más barato cuando se conducen más de 100 millas, es decir (d> 100 ).

 
 
]]>


Deja una respuesta