las matematicas

4.3: Multiplicar y dividir fracciones (Parte 1)

4.3: Multiplicar y dividir fracciones (Parte 1)

Simplificar fracciones

 

Al trabajar con fracciones equivalentes, viste que hay muchas formas de escribir fracciones que tienen el mismo valor o representan la misma parte del todo. ¿Cómo sabes cuál usar? A menudo, usaremos la fracción que está en forma simplificada .

 

Una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes, distintos de (1 ), en el numerador y el denominador. Si una fracción tiene factores comunes en el numerador y el denominador, podemos reducir la fracción a su forma simplificada eliminando los factores comunes.

 
 

Definición: fracción simplificada

 

Una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes en el numerador y el denominador.

 
 

Por ejemplo,

 
         
  • ( dfrac {2} {3} ) se simplifica porque no hay factores comunes de (2 ) y (3 ).
    •      
  • ( dfrac {10} {15} ) no se simplifica porque (5 ) es un factor común de (10 ​​) y (15 ).
    •  
 

El proceso de simplificación de una fracción a menudo se llama reduciendo la fracción . En la sección anterior, utilizamos la Propiedad de fracciones equivalentes para encontrar fracciones equivalentes. También podemos usar la propiedad de fracciones equivalentes a la inversa para simplificar fracciones. Reescribimos la propiedad para mostrar ambas formas juntas.

 
 

Definición: Propiedad de fracciones equivalentes

 

Si (a, b, c ) son números donde (b ≠ 0, c ≠ 0 ), entonces ( dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} ) y ( dfrac {a cdot c} {b cdot c} = dfrac {a} {b} ).

 
 

Observe que (c ) es un factor común en el numerador y el denominador. Cada vez que tenemos un factor común en el numerador y el denominador, se puede eliminar.

 
 

CÓMO: SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN

 

Paso 1. Reescribe el numerador y el denominador para mostrar los factores comunes. Si es necesario, factorice el numerador y el denominador en números primos.

 

Paso 2. Simplifica, usando la propiedad de fracciones equivalentes, eliminando factores comunes.

 

Paso 3. Multiplica los factores restantes.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): simplificar

 

Simplifique: ( dfrac {10} {15} ).

 

Solución

 

Para simplificar la fracción, buscamos los factores comunes en el numerador y el denominador.

                                                                                                                                                                                                              
Observe que 5 es un factor de 10 y 15. ( dfrac {10} {15} )
Factoriza el numerador y el denominador. ( dfrac {2 cdot textcolor {red} {5}} {3 cdot textcolor {red} {5}} )
Eliminar los factores comunes. ( dfrac {2 cdot cancel { textcolor {red} {5}}} {3 cdot cancel { textcolor {red} {5}}} )
Simplifica. ( dfrac {2} {3} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Simplifica: ( dfrac {8} {12} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {2} {3} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Simplifique: ( dfrac {12} {16} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {3} {4} )

     
 
 
 
 

Para simplificar una fracción negativa, utilizamos el mismo proceso que en el Ejemplo ( PageIndex {1} ). Recuerda mantener el signo negativo.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): simplificar

 

Simplifica: (- dfrac {18} {24} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Notamos que 18 y 24 tienen factores de 6. (- dfrac {18} {24} )
Reescribe el numerador y el denominador mostrando el factor común. (- dfrac {3 cdot textcolor {red} {6}} {4 cdot textcolor {red} {6}} )
Eliminar los factores comunes. (- dfrac {3 cdot cancel { textcolor {red} {6}}} {4 cdot cancel { textcolor {red} {6}}} )
Simplifica. (- dfrac {3} {4} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Simplifique: (- dfrac {21} {28} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {3} {4} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Simplifique: (- dfrac {16} {24} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {2} {3} )

     
 
 
 
 

Después de simplificar una fracción, siempre es importante verificar el resultado para asegurarse de que el numerador y el denominador no tengan más factores en común. Recuerde, la definición de una fracción simplificada: una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes en el numerador y el denominador .

 

Cuando simplificamos una fracción impropia, no hay necesidad de cambiarla a un número mixto.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Simplifique: (- dfrac {56} {32} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
(- dfrac {56} {32} )
Reescribe el numerador y el denominador, mostrando los factores comunes, 8. (- dfrac {7 cdot textcolor {red} {8}} {4 cdot textcolor {red} {8}} )
Eliminar los factores comunes. (- dfrac {7 cdot cancel { textcolor {red} {8}}} {4 cdot cancel { textcolor {red} {8}}} )
Simplifica. (- dfrac {7} {4} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplifique: (- dfrac {54} {42} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {9} {7} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Simplifique: (- dfrac {81} {45} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {9} {5} )

     
 
 
 
 
 

CÓMO: SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN

 

Paso 1. Reescribe el numerador y el denominador para mostrar los factores comunes. Si es necesario, factorice el numerador y el denominador en números primos.

 

Paso 2. Simplifica, usando la propiedad de fracciones equivalentes, eliminando factores comunes.

 

Paso 3. Multiplica los factores restantes.

 
 

A veces puede no ser fácil encontrar factores comunes del numerador y el denominador. Una buena idea, entonces, es factorizar el numerador y el denominador en números primos. (Es posible que desee utilizar el método del árbol de factores para identificar los factores primos). Luego, divida los factores comunes utilizando la Propiedad de fracciones equivalentes.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): simplificar

 

Simplifique: ( dfrac {210} {385} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( dfrac {210} {385} )
Usa árboles de factores para factorizar el numerador y el denominador.
Reescribe el numerador y el denominador como el producto de los primos. ( dfrac {210} {385} = dfrac {2 cdot 3 cdot 5 cdot 7} {5 cdot 7 cdot 11} )
Eliminar los factores comunes. ( dfrac {2 cdot 3 cdot cancel { textcolor {blue} {5}} cdot cancel { textcolor {red} {7}}} { cancel { textcolor {blue} {5}} cdot cancel { textcolor {red} {7}} cdot 11} )
Simplifica. ( dfrac {2 cdot 3} {11} )
Multiplica los factores restantes. ( dfrac {6} {11} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Simplifique: ( dfrac {69} {120} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {23} {40} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Simplifique: ( dfrac {120} {192} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5} {8} )

     
 
 
 

También podemos simplificar fracciones que contienen variables. Si una variable es un factor común en el numerador y el denominador, la eliminamos tal como lo hacemos con un factor entero.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): simplificar

 

Simplifica: ( dfrac {5xy} {15x} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
( dfrac {5xy} {15x} )
Reescribe el numerador y el denominador mostrando factores comunes. ( dfrac {5 cdot x cdot y} {3 cdot 5 cdot x} )
Eliminar los factores comunes. ( dfrac { cancel {5} cdot cancel {x} cdot y} {3 cdot cancel {5} cdot cancel {x}} )
Simplifica. ( dfrac {y} {3} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Simplifica: ( dfrac {7x} {7y} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x} {y} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Simplifique: ( dfrac {9a} {9b} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {a} {b} )

     
 
 
 

Multiplicar fracciones

 

Un modelo puede ayudarte a comprender la multiplicación de fracciones. Usaremos mosaicos de fracciones para modelar ( dfrac {1} {2} cdot dfrac {3} {4} ). Para multiplicar ( dfrac {1} {2} ) y ( dfrac {3} {4} ), piense en ( dfrac {1} {2} ) de ( dfrac {3} { 4} ).

 

Comienza con fichas de fracciones por tres cuartos. Para encontrar la mitad de tres cuartos, necesitamos dividirlos en dos grupos iguales. Como no podemos dividir las tres fichas ( dfrac {1} {4} ) en partes iguales, las cambiamos por fichas más pequeñas.

 

A rectangle is divided vertically into three equal pieces. Each piece is labeled as one fourth. There is a an arrow pointing to an identical rectangle divided vertically into six equal pieces. Each piece is labeled as one eighth. There are braces showing that three of these rectangles represent three eighths.

 

Figura ( PageIndex {1} )

 

Vemos que ( dfrac {6} {8} ) es equivalente a ( dfrac {3} {4} ). Tomar la mitad de los seis mosaicos ( dfrac {1} {8} ) nos da tres mosaicos ( dfrac {1} {8} ), que es ( dfrac {3} {8} ). Por lo tanto,

 

[ dfrac {1} {2} cdot dfrac {3} {4} = dfrac {3} {8} nonumber ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): modelar una fracción

 

Use un diagrama para modelar ( dfrac {1} {2} cdot dfrac {3} {4} ).

 

Solución

 

Primera sombra en ( dfrac {3} {4} ) del rectángulo.

 

A rectangle is shown, divided vertically into four equal pieces. Three of the pieces are shaded.

 

Tomaremos ( dfrac {1} {2} ) de este ( dfrac {3} {4} ), por lo que sombreamos fuertemente ( dfrac {1} {2} ) de La región sombreada.

 

A rectangle is shown, divided vertically into four equal pieces. Three of the pieces are shaded. The rectangle is divided by a horizontal line, creating eight equal pieces. Three of the eight pieces are darkly shaded.

 

Observe que 3 de las 8 piezas están muy sombreadas. Esto significa que ( dfrac {3} {8} ) del rectángulo está muy sombreado. Por lo tanto, ( dfrac {1} {2} ) de ( dfrac {3} {4} ) es ( dfrac {3} {4} ), o ( dfrac {1} { 2} cdot dfrac {3} {4} = dfrac {3} {8} ).

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Use un diagrama para modelar: ( dfrac {1} {2} cdot dfrac {3} {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

A rectangle is shown, divided vertically into five equal pieces. Three of the pieces are shaded. The rectangle is divided by a horizontal line, creating ten equal pieces. Three of the ten pieces are darkly shaded.

     

( dfrac {3} {10} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Use un diagrama para modelar: ( dfrac {1} {2} cdot dfrac {5} {6} ).

 
     
Respuesta
     
     

A rectangle is shown, divided vertically into six equal pieces. Five of the pieces are shaded. The rectangle is divided by a horizontal line, creating twelve equal places. Five of the twelve pieces are darkly shaded.

     

( dfrac {5} {12} )

     
 
 
 
 

Mira el resultado que obtuvimos del modelo en el Ejemplo ( PageIndex {6} ). Encontramos que ( dfrac {1} {2} cdot dfrac {3} {4} = dfrac {3} {8} ). ¿Te das cuenta de que podríamos haber obtenido la misma respuesta multiplicando los numeradores y multiplicando los denominadores?

                                                                                                                                                              
( dfrac {1} {2} cdot dfrac {3} {4} )
Multiplica los numeradores y los denominadores. ( dfrac {1} {2} cdot dfrac {3} {4} )
Simplifica. ( dfrac {3} {8} )
 

Esto lleva a la definición de multiplicación de fracciones. Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores y multiplicamos los denominadores. Luego escribimos la fracción en forma simplificada.

 
 
 

Definición: Multiplicación de fracciones

 

Si (a, b, c, ) y (d ) son números donde (b ≠ 0 ) y (d ≠ 0 ), entonces

 

[ dfrac {a} {b} cdot dfrac {c} {d} = dfrac {ac} {bd} ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): multiplica

 

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada: ( dfrac {3} {4} cdot dfrac {1} {5} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
( dfrac {3} {4} cdot dfrac {1} {5} )
Multiplica los numeradores y los denominadores. ( dfrac {3 cdot 1} {4 cdot 5} )
Simplifica. ( dfrac {3} {20} )
 

No hay factores comunes, por lo que la fracción se simplifica.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada: ( dfrac {1} {3} cdot dfrac {2} {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {2} {15} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada: ( dfrac {3} {5} cdot dfrac {7} {8} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {21} {40} )

     
 
 
 

Al multiplicar fracciones, las propiedades de los números positivos y negativos aún se aplican. Es una buena idea determinar el signo del producto como primer paso. En el Ejemplo ( PageIndex {8} ) multiplicaremos dos negativos, por lo que el producto será positivo.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): multiplicar

 

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada: (- dfrac {5} {8} left (- dfrac {2} {3} right) ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
(- dfrac {5} {8} left (- dfrac {2} {3} right) )
Los signos son los mismos, por lo que el producto es positivo. Multiplica los numeradores, multiplica los denominadores. ( dfrac {5 cdot 2} {8 cdot 3} )
Simplifica. ( dfrac {10} {24} )
Busque factores comunes en el numerador y el denominador. Reescribe mostrando factores comunes. ( dfrac {5 cdot cancel { textcolor {red} {2}}} {12 cdot cancel { textcolor {red} {2}}} )
Eliminar los factores comunes. ( dfrac {5} {12} )
 

Otra forma de encontrar este producto implica eliminar factores comunes antes.

                                                                                                                                                                                                              
(- dfrac {5} {8} left (- dfrac {2} {3} right) )
Determine el signo del producto. Multiplicar. ( dfrac {5 cdot 2} {8 cdot 3} )
Mostrar factores comunes y luego eliminarlos. ( dfrac {5 cdot cancel { textcolor {red} {2}}} {12 cdot cancel { textcolor {red} {2}}} )
Multiplica los factores restantes. ( dfrac {5} {12} )
 

Obtenemos el mismo resultado.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada: (- dfrac {4} {7} left (- dfrac {5} {8} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5} {14} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada: (- dfrac {7} {12} left (- dfrac {8} {9} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {14} {27} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): multiplica

 

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada: (- dfrac {14} {15} cdot dfrac {20} {21} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(- dfrac {14} {15} cdot dfrac {20} {21} )
Determine el signo del producto; multiplicar. (- dfrac {14} {15} cdot dfrac {20} {21} )
¿Hay factores comunes en el numerador y el denominador? Sabemos que 7 es un factor de 14 y 21, y 5 es un factor de 20 y 15.
Reescribe mostrando factores comunes. (- dfrac {2 cdot cancel { textcolor {red} {7}} cdot 4 cdot cancel { textcolor {red} {5}}} {3 cdot cancel { textcolor {red} {5}} cdot 3 cdot cancel { textcolor {red} {7}}} )
Eliminar los factores comunes. (- dfrac {2 cdot 4} {3 cdot 3} )
Multiplica los factores restantes. (- dfrac {8} {9} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada: (- dfrac {10} {28} cdot dfrac {8} {15} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {4} {21} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada: (- dfrac {9} {20} cdot dfrac {5} {12} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {3} {16} )

     
 
 
 

Al multiplicar una fracción por un número entero, puede ser útil escribir el número entero como fracción. Cualquier número entero, a, se puede escribir como ( dfrac {a} {1} ). Entonces, (3 = dfrac {3} {1} ), por ejemplo.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada:

 
         
  1. ( dfrac {1} {7} cdot 56 )
    2.      
  2. ( dfrac {12} {5} (−20x) )
    3.  
 

Solución

 
         
    2.  
                                                                                                                                                                                                              
( dfrac {1} {7} cdot 56 )
Escribe 56 como una fracción. ( dfrac {1} {7} cdot dfrac {56} {1} )
Determine el signo del producto; multiplicar. ( dfrac {56} {7} )
Simplifica. (8 )
 
         
    2.  
                                                                                                                                                                                                                                                              
( dfrac {12} {5} (-20x) )
Escribe −20x como una fracción. ( dfrac {12} {5} left ( dfrac {-20x} {1} right) )
Determine el signo del producto; multiplicar. (- dfrac {12 cdot 20 cdot x} {5 cdot 1} )
Mostrar factores comunes y luego eliminarlos. (- dfrac {12 cdot textcolor {red} {4 cdot cancel {5} x}} { cancel {5} cdot 1} )
Multiplica los factores restantes; simplificar. (- 48x )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada:

 
         
  1. ( dfrac {1} {8} • 72 )
    2.      
  2. ( dfrac {11} {3} (−9a) )
    3.  
 
     
Responda a
     
     

(9 )

     
     
Respuesta b
     
     

(- 33a )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada:

 
         
  1. ( dfrac {3} {8} • 64 )
    2.      
  2. (16x • dfrac {11} {12} )
    3.  
 
     
Responda a
     
     

(24 )

     
     
Respuesta b
     
     

( dfrac {44x} {3} )

     
 
 
 
 
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antonio1095

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