Resolver aplicaciones de movimiento uniforme
Utilizamos una tabla para organizar la información en problemas de movimiento uniforme cuando los presentamos anteriormente. Seguiremos usando la tabla aquí. La ecuación básica era (D = rt ) donde D es la distancia recorrida, r es la velocidad y t es el tiempo.
Nuestro primer ejemplo de una aplicación de movimiento uniforme será para una situación similar a algunas que ya hemos visto, pero ahora podemos usar dos variables y dos ecuaciones.
Ejemplo ( PageIndex {22} )
Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:
Joni dejó St. Louis en la interestatal, conduciendo hacia el oeste hacia Denver a una velocidad de 65 millas por hora. Media hora después, Kelly salió de St. Louis en la misma ruta que Joni, conduciendo 78 millas por hora. ¿Cuánto tiempo le tomará a Kelly alcanzar a Joni?
- Respuesta
-
Un diagrama es útil para ayudarnos a visualizar la situación.
Identifique y nombre lo que estamos buscando. Un gráfico nos ayudará a organizar los datos. Conocemos las tasas tanto de Joni como de Kelly, por lo que las ingresamos en la tabla. Estamos buscando el período de tiempo que Kelly, k , y Joni, j , conducirán cada uno.
Dado que (D = r · t ) podemos completar la columna Distancia.
Traduzca en un sistema de ecuaciones.
Para hacer el sistema de ecuaciones, debemos reconocer que Kelly y Joni conducirán la misma distancia. Entonces,
( hspace {85mm} 65j = 78k nonumber )
Además, dado que Kelly se fue más tarde, su tiempo será ( frac {1} {2} ) hora menos que el tiempo de Joni. Entonces,
( hspace {105mm} k = j- frac {1} {2} nonumber )
( begin {array} {ll} { text {Ahora tenemos el sistema.}} & { Left { begin {array} {l} k = j− frac {1} {2 } \ 65j = 78k end {array} right.} \ { textbf {Resolver} text {el sistema de ecuaciones por sustitución.}} & {} \ {} & {} \ { text {Sustituir} k = j − 12 text {en la segunda ecuación,}} & {} \ { text {luego resolver} j.} & {} \ {} & {65j = 78k} \ { } & {65j = 78 (j− frac {1} {2})} \ {} & {65j = 78j − 39} \ {} & {- 13j = −39} \ {} & {j = 3} \ { begin {array} {l} { text {Para encontrar el tiempo de Kelly, sustituye} j = 3 text {en la primera}} \ { text {ecuación, luego resuelve} k. } end {array}} & {k = j− frac {1} {2}} \ {} & {k = 3− frac {1} {2}} \ {} & {k = frac {5} {2} text {or} k = 2 frac {1} {2}} \ { textbf {Verificar} text {la respuesta en el problema.}} & {} \ { begin {array} {lllll} { text {Joni}} & {3 text {hours}} & {(65 text {mph})} & = & {195 text {miles}} \ { text {Kelly}} y {2 frac {1} {2} text {horas}} y {(78 text {mph})} & = & {195 text {millas}} end {array}} & {} \ { text {Sí, habrán recorrido la misma distancia}} & {} \ { text { cuando se encuentran.}} y {} \ { textbf {Respuesta} text {la pregunta.}} & {} \ {} y { text {Kelly alcanzará a Joni en}} \ {} & {2 frac {1} {2} text {horas. Para entonces, Joni}} \ {} y { text {han viajado} 3 text {horas.}} \ end {array} )
Ejemplo ( PageIndex {23} )
Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:
Mitchell salió de Detroit por la carretera interestatal en dirección sur hacia Orlando a una velocidad de 60 millas por hora. Clark salió de Detroit 1 hora más tarde viajando a una velocidad de 75 millas por hora, siguiendo la misma ruta que Mitchell. ¿Cuánto tiempo tardará Clark en atrapar a Mitchell?
- Respuesta
-
Clark tardará 4 horas en atrapar a Mitchell.
Ejemplo ( PageIndex {24} )
Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:
Charlie salió de la casa de su madre viajando a una velocidad promedio de 36 millas por hora. Su hermana Sally se fue 15 minutos (( frac {1} {4} text {hora}) ) luego viajó por la misma ruta a una velocidad promedio de 42 millas por hora. ¿Cuánto tiempo antes de que Sally alcance a Charlie?
- Respuesta
-
Le tomará a Sally (112 ) horas alcanzar a Charlie.
Muchas aplicaciones en el mundo real del movimiento uniforme surgen debido a los efectos de las corrientes (de agua o aire) en la velocidad real de un vehículo. Los vuelos de avión a campo traviesa en los Estados Unidos generalmente toman más tiempo hacia el oeste que hacia el este debido a las corrientes de viento predominantes.
Echemos un vistazo a un barco que viaja por un río. Dependiendo de la dirección del barco, la corriente del agua lo ralentiza o lo acelera.
Las imágenes a continuación muestran cómo la corriente de un río afecta la velocidad a la que viaja realmente un bote. Llamaremos a la velocidad del bote en aguas tranquilas b y la velocidad de la corriente del río c .
El bote va río abajo, en la misma dirección que la corriente del río. La corriente ayuda a empujar el bote, por lo que la velocidad real del bote es más rápida que su velocidad en aguas tranquilas. La velocidad real a la que se mueve el bote es (b + c ).
Ahora, el bote va río arriba, frente a la corriente del río. La corriente va contra el bote, por lo que la velocidad real del bote es más lenta que su velocidad en aguas tranquilas. La velocidad real del barco es (b − c ).
Pondremos algunos números a esta situación en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {25} )
Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver.
Un crucero por el río navegó 60 millas río abajo durante 4 horas y luego tomó 5 horas navegando río arriba para regresar al muelle. Encuentre la velocidad del barco en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente del río.
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {26} )
Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:
Un crucero en barco por el río Mississippi navegó 120 millas río arriba durante 12 horas y luego tardó 10 horas en regresar al muelle. Encuentre la velocidad del bote en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente del río.
- Respuesta
-
La velocidad del bote es de 11 mph y la velocidad de la corriente es de 1 mph.
Ejemplo ( PageIndex {27} )
Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:
Jason remaba su canoa 24 millas río arriba durante 4 horas. Le llevó 3 horas volver a remar. Encuentre la velocidad de la canoa en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente del río.
- Respuesta
-
La velocidad de la canoa es de 7 mph y la velocidad de la corriente es de 1 mph.
Las corrientes de viento afectan las velocidades de los aviones de la misma manera que las corrientes de agua afectan las velocidades de los barcos. Lo veremos en el siguiente ejemplo. Una corriente de viento en la misma dirección en que vuela el avión se llama viento de cola . Una corriente de viento que sopla contra la dirección del avión se llama viento de frente .
Ejemplo ( PageIndex {28} )
Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:
Un avión privado puede volar 1,095 millas en tres horas con viento de cola, pero solo 987 millas en tres horas con viento de frente. Encuentre la velocidad del jet en aire quieto y la velocidad del viento.
- Respuesta
-
Lea el problema. Este es un problema de movimiento uniforme y una imagen
nos ayudará a visualizar.
Identifique lo que estamos buscando. Estamos buscando la velocidad del jet
en aire quieto y la velocidad del viento.Nombre lo que estamos buscando. Sea j = j = la velocidad del chorro en aire quieto.
w = w = la velocidad del viento.Un gráfico nos ayudará a organizar la información.
El jet hace dos viajes, uno con viento de cola
y otro con viento de frente.
En un viento de cola, el viento ayuda al jet y, por lo tanto,
la velocidad es j + w .
En un viento de frente, el viento ralentiza el jet y
por lo que la velocidad es j – w .
Cada viaje dura 3 horas.
En un viento de cola el avión vuela 1.095 millas.
En un viento de frente, el avión vuela 987 millas.Traduzca en un sistema de ecuaciones.
Dado que la tasa multiplicada por el tiempo es distancia, obtenemos el sistema
de ecuaciones.
Resuelve el sistema de ecuaciones.
Distribuir, luego resolver por eliminación.
Suma y resuelve para j .
Sustituye j = 347 en una de las ecuaciones originales
, luego resuelve para w .
Marque la respuesta en el problema.
Con el viento de cola, la velocidad real del jet
sería
(347 + 18 = 365 ) mph.
En 3 horas el avión viajaría
(365 · 3 = 1,095 ) millas
Al entrar en el viento de frente, la velocidad real del avión
sería
(347−18 = 329 ) mph.
En 3 horas el avión viajaría
(329 · 3 = 987 ) millas.Respuesta la pregunta. La velocidad del jet es de 347 mph y la velocidad
del viento es de 18 mph.
Ejemplo ( PageIndex {29} )
Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:
Un pequeño avión puede volar 1.325 millas en 5 horas con viento de cola, pero solo 1.035 millas en 5 horas con viento de frente. Encuentre la velocidad del jet en aire quieto y la velocidad del viento.
- Respuesta
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La velocidad del jet es de 235 mph y la velocidad del viento es de 30 mph.
Ejemplo ( PageIndex {30} )
Traducir a un sistema de ecuaciones y luego resolver:
Un avión comercial puede volar 1,728 millas en 4 horas con viento de cola, pero solo 1,536 millas en 4 horas con viento de frente. Encuentre la velocidad del jet en aire quieto y la velocidad del viento.
- Respuesta
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La velocidad del jet es de 408 mph y la velocidad del viento es de 24 mph.
Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con sistemas de ecuaciones.