Cuando ambas ecuaciones de un sistema están en forma estándar (Ax + By = C ), entonces un proceso llamado eliminación suele ser el mejor procedimiento para encontrar la solución del sistema. La eliminación se basa en dos ideas simples, la primera de las cuales debería ser familiar.
- Multiplicar ambos lados de una ecuación por un número distinto de cero no cambia sus soluciones. Por lo tanto, la ecuación [x + 3 y = 7 label {Eq4.3.1} ] tendrá las mismas soluciones (es la misma línea) que la ecuación obtenida multiplicando la ecuación ref {Eq4.3.1} por (2 ): [2 x + 6 y = 14 ]
- Agregar dos ecuaciones verdaderas produce otra ecuación verdadera. Por ejemplo, considere lo que sucede cuando agrega (4 = 4 ) a (5 = 5 ). [ Begin {alineado} 4 & = 4 \ 5 & = 5 \ hline 9 & = 9 end {alineado} nonumber ]
Aún más importante, considere lo que sucede cuando agrega dos ecuaciones que tienen ((2,1) ) como solución. El resultado es una tercera ecuación cuya gráfica también pasa a través de la solución.
[ begin {array} {rlrl} {x + y} & {=} & {3} \ {xy} & {=} & {1} \ hline 2 x ; ; ; ; ; & {=} & {4} \ {x} ; ; ; ; ; & {=} & {2} end {array} nonumber ]
hecho
Agregar un múltiplo de una ecuación a una segunda ecuación produce una ecuación que pasa a través de la misma solución que las dos primeras ecuaciones.
Una cosa más importante para notar es el hecho de que cuando agregamos las ecuaciones [ begin {alineado} x + y & = 3 \ xy & = 1 \ hline 2 x ; ; ; ; ; & = 4 end {alineado} nonumber ]
se eliminó la variable (y ). Aquí es donde el método de eliminación recibe su nombre. La estrategia es agregar de alguna manera las ecuaciones de un sistema con la intención de eliminar una de las variables desconocidas. Sin embargo, a veces necesita hacer un poco más que simplemente agregar las ecuaciones. Veamos un ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[x + 2y = -5 label {Eq4.3.3} ]
[2x-y = -5 label {Eq4.3.4} ]
Solución
Nuestro enfoque estará en eliminar la variable (x ). Tenga en cuenta que si multiplicamos la ecuación ref {Eq4.3.3} por (- 2 ), luego agreguemos el resultado a la ecuación ref {Eq4.3.4}, los términos (x ) serán eliminados.
[ begin {alineado} -2 x-4 y & = 10 quad { color {Rojo} text {Ecuación de multiplicación}} ref {Eq4.3.3} color {Rojo} text {por } -2 \ 2 xy & = – 5 quad { color {Red} text {Multiplicar ecuación}} ref {Eq4.3.4} \ hline-5 y & = 5 quad color {Red} text {Agregue las ecuaciones.} end {alineado} nonumber ]
Divide ambos lados de (- 5y = 5 ) por (- 5 ) para obtener (y = −1 ). Para encontrar el valor correspondiente de (x ), sustituya (- 1 ) por (y ) en la ecuación ref {Eq4.3.3} (o la ecuación ref {Eq4.3.4}) y resuelva ( X).
[ begin {alineado} x + 2y & = -5 quad { color {Rojo} text {Ecuación}} ref {Eq4.3.3} \ x + 2 (-1) & = – 5 quad color {Rojo} text {Sustituir} -1 text {para} y \ x & = -3 quad color {Rojo} text {Resolver para} x. end {alineado} nonumber ]
Verificar: Para verificar, necesitamos mostrar que el punto ((x, y) = (−3,1) ) satisface ambas ecuaciones.
Sustituye ((x, y) = (−3, −1) ) en la ecuación ref {Eq4.3.3}.
[ begin {alineado} x + 2 y & = – 5 \ – 3 + 2 (-1) & = – 5 \ – 5 & = – 5 end {alineado} nonumber ] [ 19459002]
Sustituye ((x, y) = (−3, −1) ) en la ecuación ref {Eq4.3.4}.
[ begin {alineado} 2 xy & = – 5 \ 2 (-3) – (- 1) & = – 5 \ – 5 & = – 5 end {alineado} nonumber ] [ 19459002]
Por lo tanto, el punto ((x, y) = (- 3, −1) ) satisface ambas ecuaciones y, por lo tanto, es la solución del sistema.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {alineado} x + 3 y & = 14 \ – 8 x-3 y & = – 28 end {alineado} nonumber ]
- Respuesta
-
((2,4) )
Para mostrar que tiene la opción de qué variable elige eliminar, intentemos el Ejemplo ( PageIndex {1} ) por segunda vez, esta vez eliminando (y ) en lugar de (x ).
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[x + 2y = -5 label {Eq4.3.5} ]
[2x-y = -5 label {Eq4.3.6} ]
Solución
Esta vez nos enfocamos en eliminar la variable (y ). Notamos que si multiplicamos la ecuación ref {Eq4.3.6} por (2 ), luego agregamos el resultado a la ecuación ref {Eq4.3.5}, los términos (y ) serán eliminados.
[ begin {alineado} x + 2y & = – 5 quad { color {Rojo} text {Ecuación}} ref {Eq4.3.5} \ 4 x-2y & = – 10 quad { color {Red} text {Ecuación múltiple}} ref {Eq4.3.6} color {Red} text {by} 2 \ hline 5x ; ; ; ; ; ; ; & = – 15 quad color {Rojo} text {Agregue las ecuaciones.} End {alineado} nonumber ]
Divide ambos lados de (5x = −15 ) por (5 ) para obtener (x = −3 ). Para encontrar el valor correspondiente de (y ), sustituya (- 3 ) por (x ) en la ecuación ref {Eq4.3.5} (o la ecuación ref {Eq4.3.6}) y resuelva ( y ).
[ begin {alineado} x + 2y & = -5 quad { color {Rojo} text {Ecuación}} ref {Eq4.3.5} \ -3 + 2y & = -5 quad color {Rojo} text {Sustituir} -3 text {para} x \ 2y & = -2 quad color {Rojo} text {Agregar} 3 text {a ambos lados. } \ y & = -1 quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 2 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, ((x, y) = (- 3, −1) ), tal como en el Ejemplo ( PageIndex {1} ), es la solución del sistema.
A veces la eliminación requiere un proceso de pensamiento similar al de encontrar un denominador común.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[3x + 4y = 12 label {Eq4.3.7} ]
[2x-5y = 10 label {Eq4.3.8} ]
Solución
Centrémonos en eliminar los términos (x ). Tenga en cuenta que si multiplicamos la ecuación ref {Eq4.3.7} por (2 ), entonces multipliquemos la ecuación ref {Eq4.3.8} por (- 3 ), los términos (x ) se eliminarán cuando agregamos las ecuaciones resultantes.
[ begin {alineado} 6x + 8y & = 24 quad { color {Rojo} text {Ecuación múltiple}} ref {Eq4.3.7} color {Rojo} text {por} 2 -6x + 15y & = -30 quad { color {Red} text {Ecuación múltiple}} ref {Eq4.3.8} color {Red} text {by} 2 \ hline 23y & = – 6 quad color {Rojo} text {Agregue las ecuaciones.} End {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, (y = −6/23 ).
En este punto, podríamos sustituir (y = −6/23 ) en cualquier ecuación, luego resolver el resultado para (x ). Sin embargo, trabajar con (y = −6/23 ) es un poco desalentador, particularmente a la luz de que la eliminación es más fácil. Así que usemos la eliminación nuevamente, esta vez enfocándonos en eliminar (y ). Tenga en cuenta que si multiplicamos la ecuación ref {Eq4.3.7} por (5 ), entonces multiplicamos la ecuación ref {Eq4.3.8} por (4 ), cuando sumamos los resultados, el (y ) – Los términos serán eliminados.
[ begin {alineado} 5x + 20y & = 60 quad { color {Rojo} text {Ecuación múltiple}} ref {Eq4.3.7} color {Rojo} text {por} 5 8x-20y & = 40 quad { color {Red} text {Ecuación múltiple}} ref {Eq4.3.8} color {Red} text {by} 4 \ hline 23x ; ; ; ; ; ; ; ; ; & = 100 quad color {Rojo} text {Agregue las ecuaciones.} End {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, (x = 100/23 ), y el sistema del sistema es ((x, y) = (100/23, −6 / 23) ).
Verificar: Usemos la calculadora gráfica para verificar la solución. Primero, almacene (100/23 ) en (X ), luego (- 6/23 ) en (Y ) (vea la Figura ( PageIndex {5} )). Luego, ingrese los lados izquierdos de las ecuaciones ref {Eq4.3.7} y ref {Eq4.3.8}.
Tenga en cuenta que ambos cálculos en la Figura ( PageIndex {6} ) proporcionan los lados correctos de la derecha para las ecuaciones ref {Eq4.3.7} y ref {Eq4.3.8}. Por lo tanto, la solución ((x, y) = (100/23, −6 / 23) ) verifica.
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {alineado} -14 x + 9 y & = 94 \ 7 x + 3 y & = – 62 end {alineado} nonumber ]
- Respuesta
-
((- 8, -2) )
Casos excepcionales
En la sección anterior, vimos que si el método de sustitución conducía a una declaración falsa, entonces tenemos líneas paralelas. Lo mismo puede suceder con el método de eliminación de esta sección.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[x + y = 3 label {Eq4.3.9} ]
[2x + 2y = 6 label {Eq4.3.10} ]
Solución
Centrémonos en eliminar los términos (x ). Tenga en cuenta que si multiplicamos la ecuación ref {Eq4.3.9} por (- 2 ), los términos (x ) se eliminarán cuando agreguemos las ecuaciones resultantes.
[ begin {alineado} -2x-2y & = -6 quad { color {Red} text {Ecuación múltiple}} ref {Eq4.3.9} color {Red} text {by} -2 \ 2x + 2y & = -6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.3.10} \ hline 0 & = -12 quad color {Red} text {Agregue las ecuaciones.} End {alineado} nonumber ]
Debido a nuestra experiencia en resolver este caso excepcional con sustitución, el hecho de que ambas variables hayan desaparecido no debería ser completamente sorprendente. Tenga en cuenta que esta última declaración es falsa, independientemente de los valores de (x ) y (y ). Por lo tanto, el sistema no tiene solución.
De hecho, si encontramos las intersecciones de cada ecuación y las graficamos, entonces podemos ver fácilmente que las líneas de este sistema son paralelas (ver Figura ( PageIndex {7} )). Las líneas paralelas nunca se cruzan, por lo que el sistema no tiene soluciones.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {alineado} 5 x-4 y & = – 16 \ 15 x-12 y & = 49 end {alineado} nonumber ]
- Respuesta
-
sin solución
En la sección anterior, vimos que si el método de sustitución conducía a una declaración verdadera, entonces tenemos las mismas líneas. Lo mismo puede suceder con el método de eliminación de esta sección.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[x-7y = 4 label {Eq4.3.11} ]
[- 3x + 21y = -12 label {Eq4.3.12} ]
Solución
Si no estamos en el piloto automático a altas horas de la noche haciendo nuestra tarea, podríamos reconocer que las ecuaciones ref {Eq4.3.11} y ref {Eq4.3.12} son idénticas. Pero también es concebible que no lo veamos de inmediato y comencemos el método de eliminación. Multiplicamos la primera ecuación por (3 ), luego sumamos. Esto eliminará los términos (x ).
[ begin {alineado} 3x-21y & = 12 quad { color {Rojo} text {Ecuación múltiple}} ref {Eq4.3.11} color {Rojo} text {por} 3 3x + 21y & = -12 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.3.12} \ hline 0 & = 0 quad color {Red} text {Agregue las ecuaciones .} end {alineado} nonumber ]
¡Nuevamente, todas las variables han desaparecido! Sin embargo, esta vez la última declaración es verdadera, independientemente de los valores de (x ) y (y ).
Observe que si multiplicamos la ecuación ref {Eq4.3.11} por (- 3 ), entonces tenemos dos ecuaciones idénticas.
[ begin {alineado} -3x + 21y & = -12 quad { color {Red} text {Multiple ecation}} ref {Eq4.3.11} color {Red} text {by} 3 \ -3x + 21y & = -12 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.3.12} end {alineado} nonumber ]
¡Las ecuaciones son idénticas! Por lo tanto, hay un número infinito de puntos de intersección. De hecho, cualquier punto en cualquier línea es una solución. Los puntos de solución de ejemplo son ((- 3, −1) ), ((0, −4 / 7) ) y ((4,0) ).
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
[ begin {array} {c} {2 x-7 y = 4} \ {8 x-28 y = 16} end {array} nonumber ]
- Respuesta
-
Hay un número infinito de soluciones. Ejemplos de puntos de solución son ((2,0) ), ((9,2) ) y ((- 5, −2) ).