4.4: Aplicaciones de sistemas lineales

4.4: Aplicaciones de sistemas lineales

                 

En esta sección creamos y resolvemos aplicaciones que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. A medida que creamos y resolvemos nuestros modelos, seguiremos los Requisitos para soluciones de problemas de Word del Capítulo 2, Sección 5 . Sin embargo, en lugar de configurar una sola ecuación, configuramos un sistema de ecuaciones para cada aplicación.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

En geometría, dos ángulos que suman (90 ^ { circ} ) se denominan ángulos complementarios. Si el segundo de dos ángulos complementarios es (30 ^ { circ} ) mayor que el doble del primer ángulo, encuentre la medida en grados de ambos ángulos.

 

Solución

 

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para soluciones de problemas de Word .

 
         
  1. Configurar un diccionario de variables . Nuestro diccionario variable tomará la forma de un diagrama, nombrando los dos ángulos complementarios ( alpha ) y (β ).
  2.  
 

fig 4.4.a.png

 
         
  1. Configurar un sistema de ecuaciones . El «segundo ángulo es (30 ) grados mayor que el doble del primer ángulo» se convierte en [ beta = 30 + 2 alpha label {Eq4.4.1} ] En segundo lugar, los ángulos son complementarios, lo que significa que la suma de los ángulos son (90 ^ { circ} ). [ alpha + beta = 90 label {Eq4.4.2} ] Por lo tanto, tenemos un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas ( alpha ) y (β ).
  2.      
  3. Resuelve el sistema . Como la ecuación ref {Eq4.4.1} ya está resuelta para (β ), utilice el método de sustitución y sustituya (30 + 2α ) por (β ) en la ecuación ref {Eq4.4.2}. [ begin {alineado} alpha + beta & = 90 quad { color {Rojo} text {Ecuación}} ref {Eq4.4.2} \ alpha + (30 + 2 alpha) & = 90 quad color {Rojo} text {Sustituir} 30 + 2 alpha text {para} beta \ 3 alpha + 30 & = 90 quad color {Rojo} text {Combinar términos similares. } \ 3 alpha & = 60 quad color {Rojo} text {Restar} 30 text {de ambos lados. } \ alpha & = 20 quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 3 end {alineado} nonumber ]
  4.      
  5. Responda la pregunta . El primer ángulo es (α = 20 ) grados. El segundo ángulo es: [ begin {alineado} beta & = 30 + 2 alpha quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.4.1} \ beta & = 30+ 2 (20) quad color {Rojo} text {Sustituir} 20 text {para} alpha \ beta & = 70 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
  6.      
  7. Mira hacia atrás . Ciertamente, (70 ^ { circ} ) es (30 ^ { circ} ) mayor que dos veces (20 ^ { circ} ). Además, tenga en cuenta que (20 ^ { circ} +70 ^ { circ} = 90 ^ { circ} ), por lo que los ángulos son complementarios. Tenemos la solución correcta
  8.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Si el segundo de dos ángulos complementarios es (6 ^ { circ} ) más grande que (3 ) veces el primero ángulo, [19459021 ] encuentra la medida en grados de ambos ángulos.

 
     
Respuesta
     
     

(21 ) y (69 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

El perímetro de un rectángulo es (280 ) pies. La longitud del rectángulo es (10 ​​) pies menos del doble del ancho. Encuentra el ancho y el largo del rectángulo.

 

Solución

 

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para soluciones de problemas de Word .

 
         
  1. Configurar un diccionario de variables . Nuestro diccionario variable tomará la forma de un diagrama, nombrando el ancho y la longitud (W ) y (L ), respectivamente.
  2.  
 

fig 4.4.b.png

 
         
  1. Configurar un sistema de ecuaciones . El perímetro se encuentra sumando los cuatro lados del rectángulo. [ Begin {array} {l} {P = L + W + L + W} \ {P = 2 L + 2 W} end {array} nonumber ] Se nos dice que el perímetro es (280 ) pies, por lo que podemos sustituir (280 ) por (P ) en la última ecuación. [280 = 2 L + 2 W nonumber ] Podemos simplificar esta ecuación dividiendo ambos lados por (2 ), dando el siguiente resultado: [L + W = 140 nonumber ] En segundo lugar, se nos dice que la “longitud es (10 ​​) pies menos del doble del ancho «. Esto se traduce en: [L = 2 W-10 nonumber ] Por lo tanto, el sistema que necesitamos resolver es: [L + W = 140 label {Eq4.4.3} ] [L = 2 W-10 label {Eq4.4.4} ]
  2.      
  3. Resuelve el sistema . Como la ecuación ref {Eq4.4.4} ya está resuelta para (L ), utilice el método de sustitución y sustituya (2W −10 ) por (L ) en la ecuación ref {Eq4.4.3}. [ begin {alineado} W + L & = 140 quad { color {Red} text {Ecuación}} ref {Eq4.4.3} \ W + (2 W-10) & = 140 quad color { Rojo} text {Sustituir} 2 W-10 text {para} L \ 3 W-10 & = 140 quad color {Rojo} text {Combinar términos similares. } \ 3 W & = 150 quad color {Rojo} text {Agregar} 10 text {a ambos lados. } \ W & = 50 quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 3 end {alineado} nonumber ]
  4.      
  5. Responda la pregunta . El ancho es (W = 50 ) pies. La longitud es: [ begin {alineado} L & = 2W-10 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.4.4} \ L & = 2 (50) -10 quad color {Rojo} text {Sustituir} 50 text {para} W. \ L & = 90 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ] Por lo tanto, la longitud es (L = 90 ) pies.
  6.      
  7. Mira hacia atrás . Quizás una imagen, etiquetada con nuestras respuestas, podría demostrar mejor que tenemos la solución correcta. Recuerde, encontramos que el ancho era (50 ) pies y el largo era (90 ) pies.
  8.  
 

fig 4.4.c.png

 

Tenga en cuenta que el perímetro es (P = 90 + 50 + 90 + 50 = 280 ) pies. En segundo lugar, tenga en cuenta que la longitud (90 ) pies es (10 ​​) pies menos del doble del ancho. Entonces tenemos la solución correcta.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

El perímetro de un rectángulo es (368 ) metros. La longitud del rectángulo es (34 ) metros más del doble del ancho. Encuentra el ancho y el largo del rectángulo.

 
     
Respuesta
     
     

longitud (= 134 ), ancho (= 50 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Pascal tiene ( $ 3.25 ) en cambio en su bolsillo, todo en monedas de diez centavos y cuartos. Tiene (22 ) monedas en total. ¿Cuántas monedas de diez centavos tiene?

 

Solución

 

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para soluciones de problemas de Word .

 
         
  1. Configurar un diccionario de variables . Deje que (D ) represente el número de dimes y deje que (Q ) represente el número de trimestres.
  2.      
  3. Configurar un sistema de ecuaciones . Usar una tabla para resumir información es una buena estrategia. En la primera columna, enumeramos el tipo de moneda. La segunda columna da el número de cada tipo de moneda, y la tercera columna contiene el valor (en centavos) del número de monedas en el bolsillo de Pascal.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
    Número de monedas Valor (en centavos)
    Dimes (D ) (10D )
    Cuartos (Q ) (25Q )
    Totales (22 ) (325 )
         
    Tenga en cuenta que (D ) veces, valoradas en (10 ​​) centavos cada una, valen (10D ) centavos. Del mismo modo, los cuartos (Q ), valorados en (25 ) centavos cada uno, valen (25Q ) centavos. Observe también cómo cambiamos ( $ 3.25 ) a (325 ) centavos. La segunda columna de la tabla nos da nuestra primera ecuación. [D + Q = 22 label {Eq4.4.5} ] La tercera columna de la tabla nos da nuestra segunda ecuación. [10 D + 25 Q = 325 etiqueta {Eq4.4.6} ]
  4.      
  5. Resuelve el sistema . Como las ecuaciones ref {Eq4.4.5} y ref {Eq4.4.6} están en forma estándar (Ax + By = C ), usaremos el método de eliminación para encontrar una solución. Como la pregunta nos pide que encontremos el número de monedas de diez centavos en el bolsillo de Pascal, nos enfocaremos en eliminar los términos (Q ) y mantener los términos (D ). [ Begin {alineado} -25 D -25 Q & = – 550 quad { color {Red} text {Ecuación de multiplicación}} ref {Eq4.4.5} color {Red} text {by} -25 \ 10 D + 25 Q & = 325 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.4.6} \ hline-15 D quad qquad & = – 225 quad color {Red} text {Agregue las ecuaciones .} end {alineado} nonumber ] Dividir ambos lados de la última ecuación entre (- 15 ) nos da (D = 15 ).
  6.      
  7. Responda la pregunta . La solución anterior nos dice que Pascal tiene (15 ) monedas de diez centavos en su bolsillo.
  8.      
  9. Mira hacia atrás . Nuevamente, resumir los resultados en una tabla podría ayudarnos a ver si tenemos la solución correcta. Primero, porque se nos dice que Pascal tiene (22 ) monedas en total, y descubrimos que tenía (15 ) monedas de diez centavos, esto significa que debe tener (7 ) monedas.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
    Número de monedas Valor (en centavos)
    Dimes (15 ) (150 )
    Cuartos (7 ) (175 )
    Totales (22 ) (325 )
         
    Quince monedas de diez centavos valen (150 ) centavos, y (7 ) cuartos valen (175 ) centavos. Eso es un total de (22 ) monedas y (325 ) centavos, o ( $ 3.25 ). Así tenemos la solución correcta.
  10.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Eloise tiene ( $ 7.10 ) en cambio en su bolsillo, todo en monedas de cinco centavos. ella tiene (46 ) monedas en total. ¿Cuántos cuartos tiene ella?

 
     
Respuesta
     
     

(24 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Rosa hereda ( $ 10,000 ) y decide invertir el dinero en dos cuentas, una parte en un certificado de depósito que paga (4 % ) intereses por año y el resto en un fondo mutuo que paga (5 % ) por año. Al final del primer año, las inversiones de Rosa ganan un total de ( $ 420 ) en intereses. Encuentra la cantidad invertida en cada cuenta.

 

Solución

 

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para soluciones de problemas de Word .

 
         
  1. Configurar un diccionario de variables . Supongamos que (C ) representa el monto invertido en el certificado de depósito y (M ) representa el monto invertido en el fondo mutuo.
  2.      
  3. Configurar un sistema de ecuaciones . Nuevamente usaremos una tabla para resumir la información.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
    Tasa Cantidad invertida Interés
    Certificado de depósito (4 % ) (C ) (0,04C )
    Fondo mutuo (5 % ) (M ) (0,05 M )
    Totales (10,000 ) (420 )
        En (4 % ), el interés ganado en una inversión de (C ) dólares se encuentra tomando (4 % ) de (C ) (es decir, (0.04C )). Del mismo modo, el interés ganado en el fondo mutuo es (0.05M ). La tercera columna de la tabla nos da nuestra primera ecuación. La inversión total es ( $ 10,000 ). [C + M = 10000 nonumber ] La cuarta columna de la tabla nos da nuestra segunda ecuación. El interés total ganado es la suma del interés ganado en cada cuenta. [0.04 C + 0.05 M = 420 nonumber ] Borremos los decimales de la última ecuación multiplicando ambos lados de la ecuación por (100 ). [4 C + 5 M = 42000 nonumber ] Por lo tanto, el sistema que necesitamos resolver es: [C + M = 10000 label {Eq4.4.7} ] [4 C + 5 M = 42000 label {Eq4.4.8} ]
  4.      
  5. Resuelve el sistema . Debido a que las ecuaciones ref {Eq4.4.7} y ref {Eq4.4.8} están en forma estándar (Ax + By = C ), utilizaremos el método de eliminación para encontrar una solución. Nos enfocaremos en eliminar los términos (C ). [ Begin {alineado} -4C-4M & = – 40000 quad { color {Rojo} text {Ecuación de multiplicación}} ref {Eq4. 4.7} color {Rojo} text {por} -4 \ 4C + 5M & = ; ; ; 42000 quad { color {Rojo} text {Ecuación}} ref {Eq4.4.8} hline-15 M & = ; quad2000 quad color {Red} text {Agregue las ecuaciones.} end {alineado} nonumber ] Por lo tanto, el monto invertido en el fondo mutuo en (M = $ 2, 000 ).
  6.      
  7. Responda la pregunta . La pregunta nos pide que encontremos la cantidad invertida en cada cuenta. Entonces, sustituya (M = 2000 ) en la ecuación ref {Eq4.4.7} y resuelva (C ). [ Begin {alineado} C + M & = 10000 quad { color {Red} texto {Ecuación}} ref {Eq4.4.7} \ C + 2000 & = 10000 quad color {Rojo} text {Sustituya 2000 por M} \ C & = ; ; 8000 quad color { Rojo} text {Restar 2000 de ambos lados.} End {alineado} nonumber ] Por lo tanto (C = $ 8, 000 ) se invirtió en el certificado de depósito.
  8.      
  9. Mira hacia atrás . Primero, tenga en cuenta que las inversiones en el certificado de depósito y el fondo mutuo, ( $ 8,000 ) y ( $ 2,000 ) respectivamente, totalizan ( $ 10,000 ). Calculemos el interés de cada inversión: (4 % ) de ( $ 8,000 ) es ( $ 320 ) y (5 % ) de ( $ 2,000 ) es ( $ 100 )                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
    Tasa Cantidad invertida Interés
    Certificado de depósito (4 % ) (8,000 ) (320 )
    Fondo mutuo (5 % ) (2,000 ) (100 )
    Totales (10,000 ) (420 )
        Tenga en cuenta que el interés total es ( $ 420 ), como se requiere en la declaración del problema. Por lo tanto, nuestra solución es correcta.
  10.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Eileen hereda ( $ 40,000 ) y decide invertir el dinero en dos cuentas, parte en un certi fi cado de depósito que paga (3 % ) intereses por año, y el resto en un fondo mutuo que paga (6 % ) por año. Al final del primer año , sus inversiones generan un total de ( $ 2,010 ) en intereses. Encuentra la cantidad invertida en cada cuenta.

 
     
Respuesta
     
     

( $ 13,000 ) en el certificado de depósito, ( $ 27,000 ) en el fondo mutuo.

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

El maní se vende al por menor a ( $ 0.50 ) por libra y el anacardo cuesta ( $ 1.25 ) por libra. Si usted fuera dueño de una tienda, ¿cuántas libras de maní y anacardos debe mezclar para hacer (50 ) libras de una mezcla de maní y anacardo que cuesta ( $ 0.95 ) por libra?

 

Solución

 

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para soluciones de problemas de Word .

 
         
  1. Configurar un diccionario de variables . Deje que (P ) sea el número de libras de maní utilizado y deje que (C ) sea el número de libras de anacardos utilizados.
  2.      
  3. Configurar un sistema de ecuaciones . Nuevamente usaremos una tabla para resumir la información.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
    Costo por libra Cantidad (libras) Costo
    Cacahuetes ( $ 0,50 ) (P ) (0,50P )
    Anacardos ( $ 1.25 ) (C ) (1.25C )
    Totales ( $ 0,95 ) (50 ) (0,95 (50) = 47,50 )
        A ( $ 0.50 ) por libra, (P ) libras de maní cuestan (0.50P ). A ( $ 1.25 ) por libra, (C ) libras de anacardos cuestan (1.25C ). Finalmente, a ( $ 0.95 ) por libra, (50 ) libras de una mezcla de maní y anacardos costarán (0.95 (50) ), o ( $ 47.50 ). La tercera columna de la tabla nos da nuestra primera ecuación. El número total de libras de mezcla viene dado por la siguiente ecuación: [P + C = 50 nonumber ] La cuarta columna de la tabla nos da nuestra segunda ecuación. El costo total es la suma de los costos de la compra de maní y anacardos. [0.50 P + 1.25 C = 47.50 nonumber ] Vamos a borrar los decimales de la última ecuación multiplicando ambos lados de la ecuación por (100 ) . [50 P + 125 C = 4750 nonumber ] Por lo tanto, el sistema que necesitamos resolver es: [P + C = 50 label {Eq4.4.9} ] [50 P + 125 C = 4750 etiqueta {Eq4.4.10} ]
  4.      
  5. Resuelve el sistema . Debido a que las ecuaciones ref {Eq4.4.9} y ref {Eq4.4.10} están en forma estándar (Ax + By = C ), usaremos el método de eliminación para encontrar una solución. Nos centraremos en eliminar los términos (P ). [ Begin {alineado} -50P-50C & = – 2500 quad { color {Red} text {Multiply ecation}} ref {Eq4. 4.9} color {Rojo} text {por} -50 \ 50P + 125C & = ; ; ; 4750 quad { color {Rojo} text {Ecuación}} ref {Eq4.4.10} hline 75C & = quad2250 quad color {Red} text {Agregue las ecuaciones.} end {alineado} nonumber ] Divida ambos lados entre (75 ) para obtener (C = 30 ) libras de anacardos están en la mezcla.
  6.      
  7. Responda la pregunta . La pregunta pide ambas cantidades, maní y anacardos. Sustituya (C = 30 ) en la ecuación ref {Eq4.4.9} para determinar (P ). [ Begin {alineado} P + C & = 50 quad { color {Red} text {Ecuación }} ref {Eq4.4.9} \ C + 30 & = 50 quad color {Red} text {Sustituye 30 por C} \ P & = 20 quad color {Red} text {Resta 30 desde ambos lados.} end {alineado} nonumber ] Por lo tanto, hay (P = 20 ) libras de maní en la mezcla.
  8.      
  9. Mira hacia atrás . Primero, tenga en cuenta que la cantidad de cacahuetes y anacardos en la mezcla es (20 ) y (30 ) libras respectivamente, por lo que la mezcla total pesa (50 ) libras según sea necesario. Calculemos los costos: para los cacahuetes, (0.50 (20) ) o ( $ 10 ), para los anacardos, (1.25 (30) = 37.50 ).                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
    Costo por libra Cantidad (libras) Costo
    Cacahuetes ( $ 0,50 ) (20 ) ( $ 10.00 )
    Anacardos ( $ 1.25 ) (30 ) ( $ 37.50 )
    Totales ( $ 0,95 ) (50 ) ( $ 47.50 )
        Tenga en cuenta que el costo total es ( $ 47.50 ), como se requiere en la declaración del problema. Por lo tanto, nuestra solución es correcta.
  10.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Una tienda vende maní por ( $ 4.00 ) por libra y nueces por ( $ 7.00 ) por libra. ¿Cuántas libras de maní y cuántas libras de nueces debes mezclar para hacer una (25 ) – lb de mezcla que cuesta ( $ 5.80 ) por libra?

 
     
Respuesta
     
     

(10 ​​) libras de maní, (15 ) libras de nueces

     
 
 
                                  
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