4.4: Comprensión de la pendiente de una línea

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de una línea entre dos puntos

Realizar la actividad de Matemática manipulativa “Pendiente de líneas entre dos puntos” te ayudará a comprender mejor cómo encontrar la pendiente de una línea entre dos puntos.

A veces tendremos que encontrar la pendiente de una línea entre dos puntos cuando no tenemos un gráfico para contar el ascenso y la carrera. Podríamos trazar los puntos en papel cuadriculado, luego contar el ascenso y la carrera, pero como veremos, hay una manera de encontrar la pendiente sin graficar. Antes de llegar a él, necesitamos introducir alguna notación algebraica.

Hemos visto que un par ordenado (x, y) da las coordenadas de un punto. Pero cuando trabajamos con pendientes, usamos dos puntos. ¿Cómo se puede usar el mismo símbolo (x, y) para representar dos puntos diferentes? Los matemáticos usan subíndices para distinguir los puntos.

[ begin {array} {ll} { left (x_ {1}, y_ {1} right)} & { text {read} ^ {‘} x text {sub} 1, y text {sub} 1 ^ {‘}} \ { left (x_ {2}, y_ {2} right)} & { text {read} ^ {‘} x text {sub} 2, y text {sub} 2 ^ {‘}} end {array} ]

El uso de subíndices en matemáticas es muy similar al uso de las iniciales del apellido en la escuela primaria. ¿Quizás recuerdas a Laura C. y Laura M. en tu clase de tercer grado?

Usaremos ( left (x_ {1}, y_ {1} right) ) para identificar el primer punto y ( left (x_ {2}, y_ {2} right) ) para identificar el segundo punto.

Si tuviéramos más de dos puntos, podríamos usar ( left (x_ {3}, y_ {3} right) ), ( left (x_ {4}, y_ {4} right )), y así.

Veamos cómo se relacionan el ascenso y la carrera con las coordenadas de los dos puntos al observar nuevamente la pendiente de la línea entre los puntos (2,3) y (7,6).

The graph shows the x y coordinate plane. The x and y-axes run from 0 to 7. A line passes through the points (2, 3) and (7, 6), which are plotted and labeled. The ordered pair (2, 3) is labeled (x subscript 1, y subscript 1). The ordered pair (7, 6) is labeled (x subscript 2, y subscript 2). An additional point is plotted at (2, 6). The three points form a right triangle, with the line from (2, 3) to (7, 6) forming the hypotenuse and the lines from (2, 3) to (2, 6) and from (2, 6) to (7, 6) forming the legs. The first leg, from (2, 3) to (2, 6) is labeled y subscript 2 minus y subscript 1, 6 minus 3, and 3. The second leg, from (2, 3) to (7, 6), is labeled x subscript 2 minus x subscript 1, y minus 2, and 5. — Figura ( PageIndex {10} )

Como tenemos dos puntos, utilizaremos la notación de subíndice, ( left ( begin {array} {c} {x_ {1}, y_ {1}} \ {2,3} end {array } right) left ( begin {array} {c} {x_ {2}, y_ {2}} \ {7,6} end {array} right) ).

En el gráfico, contamos el aumento de 3 y la racha de 5.

Observe que el aumento de 3 se puede encontrar restando las coordenadas y 6 y 3.

[3 = 6-3 ]

Y la carrera de 5 se puede encontrar restando x -coordenadas 7 y 2.

[5 = 7 – 2 ]

Sabemos (m = frac { text {rise}} { text {run}} ). Entonces (m = frac {3} {5} ).

Reescribimos el ascenso y corremos poniendo las coordenadas (m = frac {6-3} {7-2} )

Pero 6 es y2, la y -coordinada del segundo punto y 3 es y1, la y -coordinada del primer punto.

Entonces podemos reescribir la pendiente usando notación de subíndice. (m = frac {y2-y1} {7-2} )

Además, 7 es x2, la x -coordinada del segundo punto y 2 es x1, la x -coordinada del primer punto.

Entonces, nuevamente, reescribimos la pendiente usando notación de subíndice. (m = frac {y2-y1} {x2-x1} )

Hemos demostrado que (m = frac {y2-y1} {x2-x1} ) es realmente otra versión de (m = frac { text {rise}} { text {run} } ). Podemos usar esta fórmula para encontrar la pendiente de una línea cuando tenemos dos puntos en la línea.

FORMULA DE PENDIENTE

La pendiente de la línea entre dos puntos ( left (x_ {1}, y_ {1} right) ) y ( left (x_ {2}, y_ {2} right) ) es

[m = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]

Esta es la fórmula de la pendiente .

La pendiente es:

[ begin {array} {c} {y text {del segundo punto menos} y text {del primer punto}} \ { text {over}} \ {x text { del segundo punto menos} x text {del primer punto. }} end {array} ]

Ejercicio ( PageIndex {25} )

Use la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea entre los puntos (1,2) y (4,5).

Respuesta

( begin {array} {ll} { text {Llamaremos (1,2) punto # 1 y (4,5) punto # 2.}} Y { left ( begin {array } {c} {x_ {1}, y_ {1}} \ {1,2} end {array} right) left ( begin {array} {c} {x_ {2}, y_ {2 }} \ {4,5} end {array} right)} \ { text {Use la fórmula de la pendiente.}} & {M = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} \ { text {Sustituya los valores.}} & {} \ { text {y del segundo punto menos y del primer punto}} & {m = frac {5-2} {x_ {2} -x_ {1}}} \ { text {x del segundo punto menos x del primer punto}} & {m = frac {5-2} {4- 4- 1}} \ { text {Simplifique el numerador y el denominador.}} & {M = frac {3} {3}} \ { text {Simplify.}} & {M = 1} end { matriz} )

Confirmemos esto contando la pendiente en un gráfico usando (m = frac { text {rise}} { text {run}} ).

$The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axes of the plane run from 0 to 7. A line passes through the points (1, 2) and (4, 5), which are plotted. An additional point is plotted at (1, 5). The three points form a right triangle, with the line from (1, 2) to (4, 5) forming the hypotenuse and the lines from (1, 2) to (1, 5) and from (1, 5) to (4, 5) forming the legs. The leg from (1, 2) to (1, 5) is labeled “rise” and the leg from (1, 5) to (4, 5) is labeled “run”.$

No importa a qué punto llame el punto # 1 y cuál llame al punto # 2. La pendiente será la misma. Pruebe el cálculo usted mismo.

Ejercicio ( PageIndex {26} )

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea a través de los puntos: (8,5) y (6,3).

Respuesta: 1

Ejercicio ( PageIndex {27} )

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea a través de los puntos: (1,5) y (5,9).

Respuesta: 1

Ejercicio ( PageIndex {28} )

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea a través de los puntos (−2, −3) y (−7,4).

Respuesta

( begin {array} {ll} { text {Llamaremos (-2, -3) punto # 1 y (-7,4) punto # 2.}} & { Left ( begin {array} {c} {x_ {1}, y_ {1}} \ {-2, -3} end {array} right) left ( begin {array} {c} {x_ {2 }, y_ {2}} \ {-7,4} end {array} right)} \ { text {Use la fórmula de la pendiente.}} & {m = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} \ { text {Sustituya los valores.}} & {} \ { text {y del segundo punto menos y del primer punto}} & {m = frac {4 – (- 3)} {x_ {2} -x_ {1}}} \ { text {x del segundo punto menos x del primer punto}} & {m = frac {4 – (- 3)} {- 7 – (- 2)}} \ { text {Simplifique el numerador y el denominador.}} & {m = frac {7} {- 5}} \ { text {Simplify.}} & {m = – frac {7} {5}} end {array} )

Verifiquemos esta pendiente en el gráfico que se muestra.

[ begin {alineado} m & = frac { text {rise}} { text {run}} \ m & = frac {-7} {5} \ m & = – frac {7} {5} end {alineado} ]

Ejercicio ( PageIndex {29} )

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea a través de los puntos: (−3,4) y (2, −1).

Respuesta: -1

Ejercicio ( PageIndex {30} )

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea a través del par de puntos: (−2,6) y (−3, −4).

Respuesta: 10

Graficar una línea dado un punto y la pendiente

Hasta ahora, en este capítulo, hemos graficado líneas trazando puntos, usando intersecciones y reconociendo líneas horizontales y verticales.

Otro método que podemos usar para graficar líneas se llama método de punto-pendiente . Usaremos este método cuando sepamos un punto y la pendiente de la línea. Comenzaremos trazando el punto y luego usaremos la definición de pendiente para dibujar la gráfica de la línea.

Ejercicio ( PageIndex {31} )

Representa gráficamente la línea que pasa por el punto (1, −1) cuya pendiente es (m = frac {3} {4} ).

Respuesta: $This table has three columns and four rows. The first row says, “Step 1. Plot the given point. Plot (1, negative 1).” To the right is a graph of the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 1 to 7. The y-axis of the plane runs from negative 3 to 4. The point (0, negative 1) is plotted.$ $The second row says, “Step 2. Use the slope formula m equals rise divided by run to identify the rise and the run.” The rise and run are 3 and 4, so m equals 3 divided by 4.$ $The third row says “Step 3. Starting at the given point, count out the rise and run to mark the second point.” We start at (1, negative 1) and count the rise and run. Up three units and right 4 units. In the graph on the right, an additional two points are plotted: (1, 2), which is 3 units up from (1, negative 1), and (5, 2), which is 3 units up and 4 units right from (1, negative 1).$

Ejercicio ( PageIndex {32} )

Representa gráficamente la línea que pasa por el punto (2, −2) con la pendiente (m = frac {4} {3} ).

Respuesta: $The graph shows the x y coordinate plane. The x and y-axes run from negative 12 to 12. A line passes through the points (negative 4, negative 10) and (2, negative 2).$

Ejercicio ( PageIndex {33} )

Representa gráficamente la línea que pasa por el punto (−2,3) con la pendiente (m = frac {1} {4} ).

Respuesta: $The graph shows the x y coordinate plane. The x and y-axes run from negative 12 to 12. A line passes through the points (negative 2, 3) and (10, 6).$

GRÁFICO UNA LÍNEA DADO UN PUNTO Y LA PENDIENTE.

Trace el punto dado.
Use la fórmula de pendiente (m = frac { text {rise}} { text {rise}} ) para identificar el ascenso y la carrera.
Comenzando en el punto dado, cuente el aumento y corra para marcar el segundo punto.
Conecte los puntos con una línea.

Ejercicio ( PageIndex {34} )

Representa gráficamente la línea con y -intercepción 2 cuya pendiente es (m = – frac {2} {3} ).

Respuesta

Trace el punto dado, la intersección y , (0,2).

$The graph shows the x y coordinate plane. The x and y-axes run from negative 5 to 5. The point (0, 2) is plotted.$

( begin {array} {ll} { text {Identifique el ascenso y la carrera.}} & {M = – frac {2} {3}} \ {} & { frac { text {rise}} { text {run}} = frac {-2} {3}} \ {} & { text {rise} = -2} \ {} & { text {run} = 3} end {array} )

Cuenta el ascenso y la carrera. Marque el segundo punto.

$The graph shows the x y coordinate plane. The x and y-axes run from negative 5 to 5. The points (0, 2), (0, 0), and (3,0) are plotted and labeled. The line from (0, 2) to (0, 0) is labeled “down 2” and the line from (0, 0) to (3, 0) is labeled “right 3”.$

Conecte los dos puntos con una línea.

$The graph shows the x y coordinate plane. The x and y-axes run from negative 5 to 5. A line passes through the plotted points (0, 2) and (3,0).$

Puede verificar su trabajo encontrando un tercer punto. Como la pendiente es (m = – frac {2} {3} ), se puede escribir como (m = frac {2} {- 3} ). Regrese a (0,2) y cuente el aumento, 2, y la carrera, −3.

Ejercicio ( PageIndex {35} )

Representa gráficamente la línea con y -intercepción 4 y pendiente (m = – frac {5} {2} ).

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {36} )

Representa gráficamente la línea con el x -intercepción −3 y la pendiente (m = – frac {3} {4} ).

Respuesta: $The graph shows the x y coordinate plane. The x and y-axes run from negative 12 to 12. A line intercepts the x-axis at (negative 3, 0) and passes through the point (1, negative 3).$

Ejercicio ( PageIndex {37} )

Representa gráficamente la línea que pasa por el punto (−1, −3) cuya pendiente es m = 4.

Respuesta

Trazar el punto dado.

The graph shows the x y coordinate plane. The x and y-axes run from negative 5 to 5. The point (negative 1, negative 3) is plotted and labeled.

( begin {array} {ll} { text {Identifique el ascenso y la carrera.}} & { Text {m = 4}} \ { text {Escriba 4 como una fracción.}} & { frac { text {rise}} { text {run}} = frac {4} {1}} \ {} & { text {rise} = 4 quad text {run} = 3 } end {array} )

Cuenta el ascenso y corre y marca el segundo punto.

$This figure shows how to graph the line passing through the point (negative 1, negative 3) whose slope is 4. The first step is to identify the rise and run. The rise is 4 and the run is 1. 4 divided by 1 is 4, so the slope is 4. Next we count the rise and run and mark the second point. To the right is a graph of the x y-coordinate plane. The x and y-axes run from negative 5 to 5. We start at the plotted point (negative 1, negative 3) and count the rise, 4. We reach the point negative 1, 1, which we plot. We then count the run from this point, which is 1. We reach the point (0, 1), which is plotted. The last step is to connect the two points with a line. We draw a line which passes through the points (negative 1, negative 3) and (0, 1).$

Conecte los dos puntos con una línea.

$The graph shows the x y coordinate plane. The x and y-axes run from negative 5 to 5. A line passes through the plotted points (-1, -3) and (1,0).$

Puede verificar su trabajo encontrando un tercer punto. Como la pendiente es m = 4, se puede escribir como (m = frac {-4} {- 1} ). Regrese a (−1, −3) y cuente el aumento, −4, y la carrera, −1.

Ejercicio ( PageIndex {38} )

Representa gráficamente la línea con el punto (−2,1) y la pendiente m = 3.

Respuesta

Ejercicio ( PageIndex {39} )

Representa gráficamente la línea con el punto (4, −2) y la pendiente m = −2.

Respuesta: $The graph shows the x y coordinate plane. The x and y-axes run from negative 7 to 7. A line passes through the points (4, negative 2) and (5, negative 4).$

Resolver aplicaciones de pendiente

Al comienzo de esta sección, dijimos que hay muchas aplicaciones de pendiente en el mundo real. Veamos algunos ahora.

Ejercicio ( PageIndex {40} )

La “inclinación” del techo de un edificio es la pendiente del techo. Conocer el campo es importante en climas donde hay fuertes nevadas. Si el techo es demasiado plano, el peso de la nieve puede hacer que se colapse. ¿Cuál es la pendiente del techo que se muestra?

This figure shows a house with a sloped roof. The roof on one half of the building is labeled "pitch of the roof". There is a line segment with arrows at each end measuring the vertical length of the roof and is labeled "rise equals 9 feet". There is a line segment with arrows at each end measuring the horizontal length of the root and is labeled "run equals 18 feet".

Respuesta: ( begin {array} {ll} { text {Use la fórmula de la pendiente.}} & {M = frac { text {rise}} { text {rise}}} \ { text {Sustituya los valores de aumento y ejecución.}} & {M = frac {9} {18}} \ { text {Simplify.}} & {M = frac {1} {2}} \ { text {La pendiente del techo es} frac {1} {2}.} & {} \ {} & { text {El techo se eleva 1 pie por cada 2 pies de}} \ {} & { text {horizontal run.}} end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {41} )

Utilice el ejercicio ( PageIndex {40} ), sustituyendo el aumento = 14 y la ejecución = 24.

Respuesta: ( frac {7} {12} )

Ejercicio ( PageIndex {42} )

Utilice el ejercicio ( PageIndex {40} ), sustituyendo rise = 15 y run = 36.

Respuesta: ( frac {5} {12} )

Ejercicio ( PageIndex {43} )

¿Alguna vez has pensado en las tuberías de alcantarillado que van de tu casa a la calle? Deben inclinarse hacia abajo ( frac {1} {4} ) pulgadas por pie para drenar adecuadamente. ¿Cuál es la pendiente requerida?

This figure is a right triangle. One leg is negative one quarter inch and the other leg is one foot.

Respuesta

( begin {array} {ll} { text {Use la fórmula de la pendiente.}} & {M = frac { text {rise}} { text {run}}} \ {} & {m = frac {- frac {1} {4} mathrm {inch}} {1 text {foot}}} \ {} & {m = frac {- frac {1} {4} text {inch}} {12 text {inches}}} \ { text {Simplify.}} & {m = – frac {1} {48}} \ {} & { text {La pendiente de la tubería es} – frac {1} {48}} end {array} )

La tubería cae 1 pulgada por cada 48 pulgadas de recorrido horizontal.

Ejercicio ( PageIndex {44} )

Encuentre la pendiente de una tubería que se inclina hacia abajo ( frac {1} {3} ) pulgada por pie.

Respuesta: (- frac {1} {36} )

Ejercicio ( PageIndex {45} )

Encuentre la pendiente de una tubería que se inclina hacia abajo ( frac {3} {4} ) pulgada por yarda.

Respuesta: (- frac {1} {48} )

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con la comprensión de la pendiente de una línea.

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4.4: Comprensión de la pendiente de una línea

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de una línea entre dos puntos

Graficar una línea dado un punto y la pendiente

Resolver aplicaciones de pendiente

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