Resolviendo | x |  

Las soluciones de [| x |  

En este caso, la gráfica de y = a se encuentra estrictamente debajo del eje x. Como puede ver en la Figura ( PageIndex {1} ) (a), la gráfica de y = | x | nunca se encuentra debajo de la gráfica de y = a. Por lo tanto, la desigualdad | x |  

En este caso, la gráfica de y = 0 coincide con el eje x. Como puede ver en la Figura ( PageIndex {1} ) (b), la gráfica de y = | x | nunca se encuentra estrictamente debajo del eje x. Por lo tanto, la desigualdad | x | <0 no tiene soluciones.

 

En este caso, la gráfica de y = a se encuentra estrictamente por encima del eje x. En la Figura ( PageIndex {1} ) (c), la gráfica de y = | x | e y = una intersección en x = −a yx = a. En la Figura ( PageIndex {1} ) (c), también vemos que la gráfica de y = | x | se encuentra estrictamente debajo de la gráfica de y = a cuando x está entre −a y a; es decir, cuando −a  

En la Figura ( PageIndex {1} ) (c), hemos dejado caer líneas verticales discontinuas desde los puntos de intersección de los dos gráficos hasta el eje x. En el eje x, hemos sombreado la solución de | x |  

 

 

Esta discusión conduce a la siguiente propiedad clave.

 

 

propiedad 1

 

La solución de | x |  

La desigualdad | x |  

La desigualdad | x | <0 no tiene solución.

 

La desigualdad | x |  

 

Veamos algunos ejemplos.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resolver la desigualdad | x | <−5 para x.

 

Solución

 

La gráfica del lado izquierdo de | x | <−5 es la "V" de la Figura ( PageIndex {1} ) (a). La gráfica del lado derecho de | x | <−5 es una línea horizontal ubicada 5 unidades debajo del eje x. Esta es la situación que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (a). La gráfica de y = | x | por lo tanto, nunca está debajo de la gráfica de y = −5. Así, la desigualdad | x | <−5 no tiene solución.

 

Un enfoque alternativo es considerar el hecho de que el valor absoluto de x siempre es no negativo y nunca puede ser menor que −5. Así, la desigualdad | x | <−5 no tiene solución.

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resolver la desigualdad | x | <0 para x.

 

Solución

 

Este es el caso que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (b). La gráfica de y = | x | nunca está estrictamente debajo del eje x. Así, la desigualdad | x | <0 no tiene solución.

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resolver la desigualdad | x | <8 para x.

 

Solución

 

La gráfica del lado izquierdo de | x | <8 es la "V" de la Figura ( PageIndex {1} ) (c). La gráfica del lado derecho de | x | <8 es una línea horizontal ubicada a 8 unidades sobre el eje x. Esta es la situación representada en la Figura ( PageIndex {1} ) (c). Las gráficas se cruzan en (−8, 8) y (8, 8) y la gráfica de y = | x | se encuentra estrictamente debajo de la gráfica de y = 8 para los valores de x entre −8 y 8. Por lo tanto, la solución de | x | <8 es −8  

Ayuda a la intuición si verifica los resultados del último ejemplo. Tenga en cuenta que los números entre −8 y 8, como −7.75, −3 y 6.8 satisfacen la desigualdad,

 

[| -7.75 | <8 qquad text {y} quad | -3 | <8 quad text {y} quad | 6.8 | <8 ]

 

mientras que los valores que no se encuentran entre −8 y 8 no satisfacen la desigualdad. Por ejemplo, ninguno de los números −9.3, 8.2 y 11.7 se encuentra entre −8 y 8, y cada uno de los siguientes es una declaración falsa.

 

[| -9.3 | <8 quad text {y} qquad | 8.2 | <8 qquad text {y} qquad | 11.7 | <8 quad text {(todos son falsos)} ]

 

Si reflexiona sobre estos resultados, ayudarán a consolidar la noción de que la solución de | x | <8 son todos los valores de x satisfactorios −8  

 

 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resolver la desigualdad | 5 – 2x | <−3 para x.

 

Solución

 

Si la desigualdad fuera | x | <−3, no dudaríamos. Esta es la situación representada en la Figura ( PageIndex {1} ) (a) y la desigualdad | x | <−3 no tiene soluciones. El razonamiento aplicado a | x | <−3 funciona igualmente bien para la desigualdad | 5 - 2x | <−3. El lado izquierdo de esta desigualdad no debe ser negativo, por lo que su gráfico debe estar sobre o sobre el eje x. El lado derecho de | 5 - 2x | <−3 es una línea horizontal ubicada 3 unidades debajo del eje x. Por lo tanto, la gráfica de y = | 5 - 2x | nunca puede estar debajo de la gráfica de y = −3 y la desigualdad | 5 - 2x | <−3 no tiene solución.

 

Podemos verificar este resultado con la calculadora gráfica. Cargue los lados izquierdo y derecho de | 5 – 2x | <−3 en Y1 e Y2, respectivamente, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (a). En el menú ZOOM, seleccione 6: ZStandard para producir la imagen que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (b).

 

Como se predijo, la gráfica de y = | 5 – 2x | nunca se encuentra debajo de la gráfica de y = −3, entonces la desigualdad | 5 – 2x | <−3 no tiene solución.

 

   

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resolver la desigualdad | 5 – 2x | <0 para x.

 

Solución

 

Sabemos que el lado izquierdo de la desigualdad | 5 – 2x | <0 tiene la forma de "V" indicada en la Figura ( PageIndex {1} ) (b). El gráfico "toca" el eje x cuando | 5 - 2x | = 0, o cuando

 

[ begin {alineado} 5-2 x & = 0 \ – 2 x & = – 5 \ x & = frac {5} {2} end {alineado} ]

 

Sin embargo, la gráfica de y = | 5 – 2x | nunca cae por debajo del eje x, por lo que la desigualdad | 5 – 2x | <0 no tiene solución.

 

Intuitivamente, debe quedar claro que la desigualdad | 5−2x | <0 no tiene solución. De hecho, el lado izquierdo de esta desigualdad siempre es no negativo y nunca puede ser estrictamente menor que cero.

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resolver la desigualdad | 5 – 2x | <3 para x.

 

Solución

 

En este ejemplo, la gráfica del lado derecho de la desigualdad | 5 – 2x | <3 es una línea horizontal ubicada a 3 unidades sobre el eje x. El gráfico del lado izquierdo de la desigualdad tiene la forma de "V" que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (b) y (c). Puede usar la utilidad de intersección en la calculadora gráfica para encontrar los puntos de intersección de las gráficas de y = | 5 - 2x | ey = 3, como lo hemos hecho en las Figuras ( PageIndex {3} ) (b) y (c). Tenga en cuenta que la calculadora indica dos puntos de intersección, uno en x = 1 y un segundo en x = 4.

 

   

 

La gráfica de y = | 5 – 2x | cae debajo de la gráfica de y = 3 para todos los valores de x entre 1 y 4. Por lo tanto, la solución de la desigualdad | 5 – 2x | <3 es el conjunto de todos los x que satisfacen 1  

Expectativas:

 

Necesitamos una forma de resumir este enfoque de calculadora gráfica en nuestro trabajo de tarea. Primero, dibuje un facsímil razonable de la ventana de visualización de su calculadora en su tarea. Usa una regla para dibujar todas las líneas. Complete la siguiente lista de verificación.

 

     
• Rotule cada eje, en este caso con x e y.
     
• Escala cada eje. Para hacer esto, presione el botón VENTANA en su calculadora, luego reporte los valores de xmin, xmax, ymin e ymax en el eje apropiado.
     
• Rotula cada gráfico con su ecuación.
     
• Suelta líneas verticales discontinuas desde los puntos de intersección hasta el eje x. Sombrea y rotula el conjunto de soluciones de la desigualdad en el eje x.
 

 

Siguiendo las pautas de la lista de verificación anterior, obtenemos la imagen en la Figura ( PageIndex {4} ).

 

   

 

Enfoque algebraico. Exploremos ahora una solución algebraica de la desigualdad | 5 – 2x | <3. Tanto como | x | <3 implica que −3  

[| 5-2 x | <3 ]

 

requiere que

 

[- 3 <5-2 x <3 ]

 

Podemos restar 5 de los tres miembros de esta última desigualdad, luego simplificar.

 

[ begin {alineado} -3-5 y <5-2 x-5 <3-5 \ & -8 <-2 x <-2 end {alineado} ]

 

Divide los tres miembros de esta última desigualdad por −2, invirtiendo los símbolos de desigualdad a medida que avanzas.

 

[4> x> 1 ]

 

Preferimos que nuestras desigualdades se lean de «pequeño a grande», así que escribimos

 

[1  

Este formulario coincide con el orden de la solución sombreada en la recta numérica de la Figura ( PageIndex {4} ), que encontramos utilizando la calculadora gráfica.

 

 

La técnica algebraica de este último ejemplo nos lleva a la siguiente propiedad.

 

 

Propiedad 8

 

Si a> 0, entonces la desigualdad | x |  

 

Esta propiedad proporciona un método simple para resolver desigualdades de la forma | x |  

 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resolver la desigualdad | 4x + 5 | <7 para x.

 

Solución

 

El primer paso es usar la Propiedad 8 para escribir que [| 4 x + 5 | <7 ]

 

es equivalente a la desigualdad

 

[- 7 <4 x + 5 <7 ]

 

A partir de aquí, podemos resolver para x restando primero 5 de los tres miembros, luego dividiendo entre 4.

 

[ begin {array} {l} {- 12 <4 x <2} \ {-3  

Podemos esbozar la solución en una recta numérica.

 

 

Y podemos describir la solución tanto en notación de intervalos como de creación de conjuntos de la siguiente manera.

 

[ left (-3, frac {1} {2} right) = left {x: -3

 

Suponiendo que a> 0, la desigualdad (| x | leq a ) requiere que encontremos dónde el valor absoluto de x es «menor que» a o «igual a» a. Sabemos que | x |  

Este argumento lleva a la siguiente propiedad.

 

 

Propiedad 10

 

Si (a> 0 ), entonces la desigualdad (| x | leq a ) es equivalente a la desigualdad (- a leq x leq a ).

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Resuelve la desigualdad (5 – 3 | x – 4 | geq −4 ) para x.

 

Solución

 

A primera vista, la desigualdad [5-3 | x-4 | geq-4 ] tiene una forma bastante diferente de lo que hemos hecho hasta ahora. Sin embargo, restemos 5 de ambos lados de la desigualdad.

 

[- 3 | x-4 | geq-9 ]

 

Ahora, dividamos ambos lados de esta última desigualdad por −3, invirtiendo el signo de desigualdad.

 

[| x-4 | leq 3 ]

 

¡Ajá! Terreno familiar. Usando la Propiedad 10, esta última desigualdad es equivalente a

 

[- 3 leq x-4 leq 3 ]

 

y cuando agregamos 4 a los tres miembros, tenemos la solución.

 

[1 leq x leq 7 ]

 

Podemos esbozar la solución en una recta numérica

 

 

Y podemos describir la solución con notación de intervalo y generador de conjuntos.

 

[[1,7] = {x: 1 leq x leq 7 } ]

 

 

Resolviendo | x | > a

 

Las soluciones de | x | > a nuevamente depende del valor y signo de a. Para resolver | x | > a gráficamente, debemos determinar dónde está la gráfica de y = | x | se encuentra sobre la gráfica de y = a. Nuevamente, consideramos tres casos.

 

En este caso, la gráfica de y = a se encuentra estrictamente debajo del eje x. Por lo tanto, la gráfica de y = | x | en la Figura ( PageIndex {5} ) (a) siempre se encuentra sobre la gráfica de y = a. Por lo tanto, todos los números reales son soluciones de la desigualdad | x | > a.

 

En este caso, la gráfica de y = 0 coincide con el eje x. Como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (b), la gráfica de y = | x | estará estrictamente por encima de la gráfica de y = 0 para todos los valores de x con una excepción, a saber, x no puede ser igual a cero. Por lo tanto, cada número real excepto x = 0 es una solución de | x | > 0. En la Figura ( PageIndex {5} ) (b), hemos sombreado la solución de | x | > 0, es decir, el conjunto de todos los números reales excepto x = 0.

 

En este caso, la gráfica de y = a se encuentra estrictamente por encima del eje x. En la Figura ( PageIndex {5} ) (c), la gráfica de y = | x | interseca la gráfica de y = a en x = −a y x = a. En la Figura ( PageIndex {5} ) (c), vemos que la gráfica de y = | x | se encuentra estrictamente por encima de la gráfica de y = a si x es menor que −a o mayor que a.

 

En la Figura ( PageIndex {5} ) (c), hemos dejado caer líneas verticales discontinuas desde los puntos de intersección hasta el eje x. En el eje x, hemos sombreado la solución de | x | > a, es decir, el conjunto de todos los números reales x tal que x <−a o x> a.

 

   

 

Esta discusión conduce a la siguiente propiedad.

           

La técnica algebraica de este último ejemplo conduce a la siguiente propiedad.

   

Esta propiedad proporciona una técnica algebraica simple para resolver desigualdades de la forma | x | > a, cuando a> 0. Concentrémonos en esta técnica en los ejemplos que siguen.

   

Nuevamente, deje a> 0. Como lo hicimos con (| x | leq a ), podemos tomar la unión de las soluciones de | x | = ay | x | > a para encontrar la solución de (| x | geq a ). Esto lleva a la siguiente propiedad.

     

Ejercicio

 

Para cada una de las desigualdades en Ejercicios 1 – 10 , realice cada una de las siguientes tareas.

 

     
1.      

   Configure un sistema de coordenadas en una hoja de papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje.

        
     
2.      

   Dibuja la gráfica de cada lado de la desigualdad sin la ayuda de una calculadora. Rotula cada gráfica con su ecuación.

        
     
3.      

   Sombree la solución de la desigualdad en el eje x (si existe) de la manera que se muestra en las Figuras 4 y 8 en la narración. Es decir, suelte líneas discontinuas desde los puntos de intersección hasta el eje, luego sombree y etiquete el conjunto de soluciones en el eje x. Use el generador de conjuntos y la notación de intervalos (cuando sea posible) para describir su conjunto de soluciones.

        
 

                     

Para cada una de las desigualdades en Ejercicios 11 – 22 , realice cada una de las siguientes tareas.

 

     
1. Cargue cada lado de la desigualdad en el menú Y = de su calculadora. Ajuste la ventana de visualización para que todos los puntos de intersección de los dos gráficos sean visibles en la ventana de visualización.
     
2. Copie la imagen en su pantalla de visualización en su papel de tarea. Rotule cada eje y escale cada eje con xmin, xmax, ymin e ymax. Rotula cada gráfica con su ecuación.
     
3. Use la utilidad de intersección en el menú CALC para determinar los puntos de intersección. Sombree la solución de la desigualdad en el eje x (si corresponde) de la manera que se muestra en las Figuras 4 y 8 de la narración. Es decir, suelte líneas discontinuas desde los puntos de intersección hasta el eje, luego sombree y etiquete el conjunto de soluciones en el eje x . Utilice el generador de conjuntos y la notación de intervalos (cuando corresponda) para describir su conjunto de soluciones.
 

                         

Para cada una de las desigualdades en Ejercicios 23 – 32 , proporcione una solución puramente algebraica sin el uso de una calculadora. Muestre todo su trabajo que conduce a la solución, sombree su conjunto de soluciones en una línea numérica, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalo (si es posible) para describir su conjunto de soluciones.

                     

Para cada una de las desigualdades en Ejercicios 33 – 38 , realice cada una de las siguientes tareas.

 

     
1.      

   Organiza cada una de las siguientes partes en tu tarea en la misma ubicación. No coloque el trabajo algebraico en una página y el trabajo gráfico en otra.

        
     
2.      

   Siga cada una de las instrucciones dadas para Ejercicios 11 – 22 para encontrar y registrar una solución con su calculadora gráfica.

        
     
3.      

   Proporcione una solución puramente algebraica, que muestre todos los pasos de su trabajo. Dibuje su solución en una recta numérica, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalo para describir su conjunto de soluciones. ¿Estas soluciones se comparan favorablemente con las encontradas usando su calculadora gráfica en la parte (2)? Si no, busca un error en tu trabajo.

        
 

             

Use a strictly algebraic technique to solve each of the equations in  Exercises 39 – 46 . Do not use a calculator. Shade the solution set on a number line and describe the solution set using both set-builder and interval notation.

                 

Use the technique of distance on the number line demonstrated in Examples 21 and 22 to solve each of the inequalities in  Exercises 47 – 50 . Provide number line sketches as in Example 17 in the narrative. Describe the solution set using both set-builder and interval notation.

         

Use the instructions provided in  Exercises 11 – 22  to solve the inequalities in  Exercises 51 – 52 . Describe the solution set using both set-builder and interval notation.

     

In  Exercises 53 – 54 , perform each of the following tasks.

 

     
1.      

   Set up a coordinate system on graph paper. Label and scale each axis.

        
     
2.      

   Without the use of a calculator,sketch the graphs of the left- and right-hand sides of the given inequality. Rotula cada gráfica con su ecuación.

        
     
3.      

   Shade the solution of the inequality on the x-axis (if any) in the manner shown in Figures 4 and 8 in the narrative. That is, drop dashed lines from the points of intersection to the axis, then shade and label the solution set on the x-axis (you will have to approximate). Describe the solution set using both set-builder and interval notation.