4.4: Resolver ecuaciones polinomiales por factorización

4.4: Resolver ecuaciones polinomiales por factorización

Revisión de estrategias generales de factoring

 

Hemos aprendido varias técnicas para factorizar polinomios con hasta cuatro términos. El desafío es identificar el tipo de polinomio y luego decidir qué método aplicar. Lo siguiente describe una guía general para factorizar polinomios.

 
 

pautas generales para factorizar polinomios

 

Paso 1: Verifique los factores comunes. Si los términos tienen factores comunes, entonces factorice el máximo común divisor (MCD).

 

Paso 2: Determine el número de términos en el polinomio.

 
         
  1. Factoriza polinomios de cuatro términos por agrupación.
  2.      
  3. Factorizar trinomios (3 términos) usando «prueba y error» o el método AC.
  4.      
  5. Factorice binomios (2 términos) utilizando los siguientes productos especiales:      
               
    • Diferencia de cuadrados : (a ^ {2} −b ^ {2} = (a + b) (a − b) )
    •          
    • Suma de cuadrados : (a ^ {2} + b ^ {2} ) sin fórmula general
    •          
    • Diferencia de cubos : (a ^ {3} −b ^ {3} = (a − b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2}) ) [ 19459012]          
    • Suma de cubos : (a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} −ab + b ^ {2}) ) [ 19459012]      
         
  6.  
 

Paso 3: Busca factores que puedan factorizarse aún más.

 

Paso 4: Verifica multiplicando.

 
 

Si un binomio es tanto una diferencia de cuadrados como una diferencia de cubos, entonces primero factorízalo como diferencia de cuadrados. Esto dará como resultado una factorización más completa. Además, no todos los polinomios con coeficientes enteros factorizan. Cuando este es el caso, decimos que el polinomio es primo.

 

Si una expresión tiene un MCD, factorice esto primero. Hacerlo a menudo se pasa por alto y generalmente resulta en factores con los que es más fácil trabajar. Además, busque los factores resultantes para factorizar más; Muchos problemas de factorización requieren más de un paso. Un polinomio se factoriza completamente cuando ninguno de los factores se puede factorizar más.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Factor (54 x ^ {4} – 36 x ^ {3} – 24 x ^ {2} + 16 x ).

 

Solución

 

Este polinomio de cuatro términos tiene un MCD de (2x ). Factoriza esto primero.

 

(54 x ^ {4} – 36 x ^ {3} – 24 x ^ {2} + 16 x = 2 x left (27 x ^ {3} – 18 x ^ {2} – 12 x + 8 derecha) )

 

Ahora factoriza el polinomio resultante de cuatro términos agrupando y busca los factores resultantes para factorizar más.

 
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Figura 4.4.1
 

Respuesta

 

(2 x (3 x – 2) ^ {2} (3 x + 2) ). El cheque se deja al lector.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Factor: (x ^ {4} – 3 x ^ {2} – 4 ).

 

Solución

 

Este trinomio no tiene un MCD.

 

( begin {alineado} x ^ {4} – 3 x ^ {2} – 4 & = left (x ^ {2} quad right) left (x ^ {2} quad derecha) \ & = left (x ^ {2} + 1 right) left (x ^ {2} – 4 right) quad color {Cerulean} {Diferencia : de : cuadrados} \ & = left (x ^ {2} + 1 right) (x + 2) (x – 2) end {alineado} )

 

El factor ( left (x ^ {2} + 1 right) ) es primo y el trinomio está completamente factorizado.

 

Respuesta :

 

( left (x ^ {2} + 1 right) (x + 2) (x – 2) )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Factor: (x ^ {6} + 6 x ^ {3} – 16 ).

 

Solución

 

Comienza factorizando (x ^ {6} = x ^ {3} cdot x ^ {3} ) y busca los factores de (16 ) que se suman a (6 ).

 

( begin {alineado} x ^ {6} + 6 x ^ {3} – 16 & = left (x ^ {3} quad right) left (x ^ {3} quad derecha) \ & = left (x ^ {3} – 2 right) left (x ^ {3} + 8 right) quad color {Cerulean} {sum : of : cubes} \ & = left (x ^ {3} – 2 right) (x + 2) left (x ^ {2} – 2 x + 4 right) end {alineado} )

 

El factor ( left (x ^ {3} – 2 right) ) ya no puede factorizarse utilizando enteros y la factorización se completa.

 

Respuesta :

 

( left (x ^ {3} – 2 right) (x + 2) left (x ^ {2} + 2 x + 4 right) )

 
 

Resolver ecuaciones polinómicas por factorización

 

En esta sección, revisaremos una técnica que se puede usar para resolver ciertas ecuaciones polinómicas. Comenzamos con la propiedad de producto cero 20 :

 

(a⋅b = 0 ) si y solo si (a = 0 ) o (b = 0 )

 

La propiedad del producto cero es verdadera para cualquier número de factores que componen una ecuación. En otras palabras, si algún producto es igual a cero, entonces al menos uno de los factores variables debe ser igual a cero. Si una expresión es igual a cero y puede factorizarse en factores lineales, entonces podremos establecer cada factor igual a cero y resolver para cada ecuación.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resuelve: (2 x (x – 4) (5 x + 3) = 0 ).

 

Solución

 

Establezca cada factor variable igual a cero y resuelva.

 

( begin {alineado} 2 x & = 0 \ frac {2 x} { color {Cerulean} {2}} & = frac {0} { color {Cerulean} {2}} \ x & = 0 end {alineado} ) o ( begin {alineado} x – 4 & = 0 \ x & = 4 end {alineado} ) o ( begin {alineado} 5 x + 3 & = 0 \ frac {5 x} { color {Cerulean} {5}} & = frac {- 3} { color {Cerulean} {5}} \ x & = – frac { 3} {5} end {alineado} )

 

Para verificar que estas son soluciones, podemos sustituirlas nuevamente en la ecuación original para ver si obtenemos un enunciado verdadero. Tenga en cuenta que cada solución produce un factor cero. Esto se deja al lector.

 

Respuesta :

 

Las soluciones son (0, 4 ) y ( frac {−3} {5} ).

 
 

Por supuesto, la mayoría de las ecuaciones no se darán en forma factorizada.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve: (4 x ^ {3} – x ^ {2} – 100 x + 25 = 0 ).

 

Solución

 

Comienza factorizando completamente el lado izquierdo.

 

( begin {alineado} 4 x ^ {3} – x ^ {2} – 100 x + 25 & = 0 quad color {Cerulean} {Factor : by : grouping.} \ x ^ {2} (4 x – 1) – 25 (4 x – 1) & = 0 \ (4 x – 1) left (x ^ {2} – 25 right) & = 0 quad color { Cerulean} {Factor : como : a : diferencia : de : cuadrados.} \ (4 x – 1) (x + 5) (x – 5) & = 0 end {alineado} ) [ 19459005]  

Establece cada factor igual a cero y resuelve.

 

( begin {array} {r} {4 x – 1 = 0} \ {4 x = 1} \ {x = frac {1} {4}} end {array} ) o ( begin {alineado} x + 5 & = 0 \ x & = – 5 end {alineado} ) o ( begin {alineado} x – 5 & = 0 \ x & = 5 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

Las soluciones son ( frac {1} {4}, −5 ) y (5 ).

 
 

El uso de la propiedad del producto cero después de factorizar una ecuación que es igual a cero es la clave de esta técnica. Sin embargo, la ecuación puede no darse igual a cero, por lo que puede haber algunos pasos preliminares antes de factorizar. Los pasos necesarios para resolver factorizando 21 se describen en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelve: (15 x ^ {2} + 3 x – 8 = 5 x – 7 ).

 

Solución

 

Paso 1: Expresa la ecuación en forma estándar, igual a cero. En este ejemplo, reste (5x ) de y agregue (7 ) a ambos lados.

 

( begin {array} {l} {15 x ^ {2} + 3 x – 8 = 5 x – 7} \ {15 x ^ {2} – 2 x – 1 = 0} end {array} )

 

Paso 2: Factoriza la expresión.

 

((3x − 1) (5x + 1) = 0 )

 

Paso 3: Aplicar la propiedad del producto cero y establecer cada factor variable igual a cero.

 

(3x − 1 = 0 ) o (5x + 1 = 0 )

 

Paso 4: Resuelve las ecuaciones lineales resultantes.

 

( begin {array} {r} {3 x – 1 = 0} \ {3 x = 1} \ {x = frac {1} {3}} end {array} ) o ( begin {alineado} 5 x + 1 & = 0 \ 5 x & = – 1 \ x & = – frac {1} {5} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

Las soluciones son ( frac {1} {3} ) y ( frac {−1} {5} ). El cheque es opcional.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Resuelve: ((3x + 2) (x + 1) = 4 ).

 

Solución

 

Esta ecuación cuadrática parece estar factorizada; por lo tanto, puede ser tentador establecer cada factor igual a (4 ). Sin embargo, esto llevaría a resultados incorrectos. Debemos reescribir la ecuación igual a cero, para poder aplicar la propiedad del producto cero.

 

( begin {array} {r} {(3 x + 2) (x + 1) = 4} \ {3 x ^ {2} + 3 x + 2 x + 2 = 4} \ {3 x ^ {2} + 5 x + 2 = 4} \ {3 x ^ {2} + 5 x – 2 = 0} end {array} )

 

Una vez que está en forma estándar, podemos factorizar y luego establecer cada factor igual a cero.

 

( begin {array} {c} {(3 x – 1) (x + 2) = 0} \ {3 x – 1 = 0 quad text {o} quad x + 2 = 0} \ quad quad {3 x = 1} quad quad quad : : quad x = -2 \ {x = frac {1} {3}} quad quad quad quad quad : end {array} )

 

Respuesta :

 

Las soluciones son ( frac {1} {3} ) y (- 2 ).

 
 

Encontrar raíces de funciones

 

Recuerde que cualquier polinomio con una variable es una función y puede escribirse en la forma,

 

(f (x) = a _ {n} x ^ {n} + a _ {n – 1} x ^ {n – 1} + cdots + a _ {1} x + a _ {0 } )

 

Una raíz 22 de una función es un valor en el dominio que resulta en cero. En otras palabras, las raíces ocurren cuando la función es igual a cero, (f (x) = 0 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Encuentra las raíces: (f (x) = (x + 2) ^ {2} – 4 ).

 

Solución

 

Para encontrar raíces, establecemos la función igual a cero y resolvemos.

 

( begin {alineado} f (x) & = 0 \ (x + 2) ^ {2} – 4 & = 0 \ x ^ {2} + 4 x + 4 – 4 & = 0 \ x ^ {2} + 4 x & = 0 \ x (x + 4) & = 0 end {alineado} )

 

Luego, establece cada factor igual a cero y resuelve.

 

( begin {alineado} x = 0 quad text {o} quad x + 4 = 0 \ x = – 4 end {alineado} )

 

Podemos demostrar que estos (x ) – valores son raíces mediante la evaluación.

 

( begin {alineado} f (0) & = (0 + 2) ^ {2} – 4 \ & = 4 – 4 \ & = 0 color {Cerulean} {✓} end { alineado} ) ( begin {alineado} f (- 4) & = (- 4 + 2) ^ {2} – 4 \ & = (- 2) ^ {2} – 4 \ & = 4 – 4 \ & = 0 color {Cerulean} {✓} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

Las raíces son (0 ) y (- 4 ).

 
 

Si graficamos la función en el ejemplo anterior, veremos que las raíces corresponden a las intersecciones (x ) de la función. Aquí la función (f ) es una parábola básica desplazada (2 ) unidades a la izquierda y (4 ) unidades hacia abajo.

 
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Figura 4.4.2
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Encuentra las raíces: (f (x) = x ^ {4} – 5 x ^ {2} + 4 ).

 

Solución

 

Para encontrar raíces, establecemos la función igual a cero y resolvemos.

 

( begin {alineado} f (x) & = 0 \ x ^ {4} – 5 x ^ {2} + 4 & = 0 \ left (x ^ {2} – 1 right ) left (x ^ {2} – 4 right) & = 0 \ (x + 1) (x – 1) (x + 2) (x – 2) & = 0 end {alineado} ) [ 19459005]  

Luego, establece cada factor igual a cero y resuelve.

 

( begin {alineado} x + 1 & = 0 \ x & = – 1 end {alineado} ) o ( begin {array} {r} {x – 1 = 0} \ {x = 1} end {array} ) o ( begin {alineado} x + 2 & = 0 \ x & = – 2 end {alineado} ) o ( begin {alineado} x – 2 & = 0 \ x & = 2 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

Las raíces son (- 1, 1, −2 ) y (2 ).

 
 

Graficar la función anterior no está dentro del alcance de este curso. Sin embargo, el gráfico se proporciona a continuación:

 
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Figura 4.4.3
 

Observe que el grado del polinomio es (4 ) y obtuvimos cuatro raíces. En general, para cualquier función polinómica con una variable de grado (n ), el teorema fundamental de álgebra 23 garantiza (n ) raíces reales o menos Hemos visto que muchos polinomios no tienen en cuenta. Esto no implica que las funciones que involucran a estos polinomios no factorizables no tengan raíces reales. De hecho, muchas funciones polinómicas que no tienen factor tienen soluciones reales. Aprenderemos cómo encontrar este tipo de raíces a medida que continuamos en nuestro estudio de álgebra.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Encuentra las raíces: (f (x) = – x ^ {2} + 10 x – 25 ).

 

Solución

 

Para encontrar raíces, establecemos la función igual a cero y resolvemos.

 

( begin {alineado} f (x) & = 0 \ – x ^ {2} + 10 x – 25 & = 0 \ – left (x ^ {2} – 10 x + 25 derecha) & = 0 \ – (x – 5) (x – 5) & = 0 end {alineado} )

 

Luego, establece cada factor variable igual a cero y resuelve.

 

( begin {alineado} x – 5 & = 0 quad quad text {o} & x – 5 = 0 \ & = 5 quad & x = 5 end {alineado} ) [19459005 ]  

Una solución que se repite dos veces se llama doble raíz 24 . En este caso, solo hay una solución.

 

Respuesta :

 

La raíz es (5 ).

 
 

El ejemplo anterior muestra que una función de grado (2 ) puede tener una raíz. Del paso de factorización, vemos que la función se puede escribir

 

(f (x) = – (x – 5) ^ {2} )

 

En esta forma, podemos ver una reflexión sobre el eje (x ) y un desplazamiento hacia la derecha (5 ) unidades. El vértice es la intersección (x ), que ilustra el hecho de que solo hay una raíz.

 
252fe9f0928cc6d78892b3f06550a0b5.png
Figura 4.4.4
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Suponiendo condiciones de carretera seca y tiempos de reacción promedio, la distancia de parada segura en pies viene dada por (d (x) = frac {1} {20} x ^ {2} + x ), donde (x ) representa la velocidad del automóvil en millas por hora. Determine la velocidad segura del automóvil si espera detenerse en (40 ) pies.

 

Solución

 

Se nos pide que encontremos la velocidad (x ) donde está la distancia de parada segura (d (x) = 40 ) pies.

 

( begin {array} {c} {d (x) = 40} \ { frac {1} {20} x ^ {2} + x = 40} end {array} ) [ 19459005]  

Para resolver (x ), reescribe la ecuación resultante en forma estándar. En este caso, primero multiplicaremos ambos lados por (20 ) para borrar la fracción.

 

( begin {alineado} color {Cerulean} {20} color {black} { left ( frac {1} {20} x ^ {2} + x right)} & = color {Cerulean} {20} color {black} {(} 40) \ x ^ {2} + 20 x & = 800 \ x ^ {2} + 20 x – 800 & = 0 end {alineado} )

 

Siguiente factor y luego establecer cada factor igual a cero.

 

( begin {alineado} x ^ {2} + 20 x – 800 & = 0 \ (x + 40) (x – 20) & = 0 \ x + 40 & = 0 quad o quad : x-20 = 0 \ x & = – 40 quad quad quad quad x = 20 end {alineado} )

 

La respuesta negativa no tiene sentido en el contexto de este problema. Considere (x = 20 ) millas por hora como la única solución.

 

Respuesta :

 

(20 ) millas por hora

 
 

Encontrar ecuaciones con soluciones dadas

 

Podemos usar la propiedad del producto cero para encontrar ecuaciones, dadas las soluciones. Para hacer esto, los pasos para resolver por factorización se realizan a la inversa.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Encuentre una ecuación cuadrática con coeficientes enteros, dadas las soluciones ( frac {−3} {2} ) y ( frac {1} {3} ).

 

Solución

 

Dadas las soluciones, podemos determinar dos factores lineales. Para evitar coeficientes fraccionarios, primero limpiamos las fracciones multiplicando ambos lados por el denominador.

 

( begin {alineado} x & = – frac {3} {2} \ 2 x & = – 3 \ 2 x + 3 & = 0 end {alineado} ) o ( comenzar {alineado} x & = frac {1} {3} \ 3 x & = 1 \ 3 x – 1 & = 0 end {alineado} )

 

El producto de estos factores lineales es igual a cero cuando (x = frac {−3} {2} ) o (x = frac {1} {3} ).

 

((2x + 3) (3x − 1) = 0 )

 

Multiplica los binomios y presenta la ecuación en forma estándar.

 

( begin {array} {r} {6 x ^ {2} – 2 x + 9 x – 3 = 0} \ {6 x ^ {2} + 7 x – 3 = 0} end {array} )

 

Podemos verificar nuestra ecuación sustituyendo las respuestas dadas para ver si obtenemos una afirmación verdadera. Además, la ecuación que se encuentra arriba no es única, por lo que la verificación se vuelve esencial cuando nuestra ecuación se ve diferente de la de otra persona. Esto se deja como un ejercicio.

 

Respuesta :

 

(6 x ^ {2} + 7 x – 3 = 0 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Encuentra una función polinómica con raíces reales (1, −2 ) y (2 ).

 

Solución

 

Dadas las soluciones a (f (x) = 0 ) podemos encontrar factores lineales.

 

( begin {array} {r} {x = 1} \ {x – 1 = 0} end {array} ) o ( begin {alineado} x & = – 2 \ x + 2 & = 0 end {alineado} ) o ( begin {alineado} x & = 2 \ x – 2 & = 0 end {alineado} )

 

Aplicar la propiedad de producto cero y multiplicar.

 

( begin {alineado} (x – 1) (x + 2) (x – 2) & = 0 \ (x – 1) left (x ^ {2} – 4 right) & = 0 \ x ^ {3} – 4 x – x ^ {2} + 4 & = 0 \ x ^ {3} – x ^ {2} – 4 x + 4 & = 0 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(f (x) = x ^ {3} – x ^ {2} – 4 x + 4 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentre una ecuación polinómica con coeficientes enteros, dadas las soluciones ( frac {1} {2} ) y ( frac {−3} {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

(8 x ^ {2} + 2 x – 3 = 0 )

     

     
 
 
 

Puntos clave

 
         
  • El factoring y la propiedad del producto cero nos permiten resolver ecuaciones.
  •      
  • Para resolver una ecuación polinómica, primero escríbala en forma estándar. Una vez que es igual a cero, factorizarlo y luego establecer cada factor variable igual a cero. Las soluciones a las ecuaciones resultantes son las soluciones al original.
  •      
  • No todas las ecuaciones polinómicas pueden resolverse factorizando. Aprenderemos cómo resolver ecuaciones polinómicas que no se tienen en cuenta más adelante en el curso.
  •      
  • Una función polinómica puede tener como máximo varias raíces reales iguales a su grado. Para encontrar las raíces de una función, póngala igual a cero y resuelva.
  •      
  • Para encontrar una ecuación polinómica con soluciones dadas, realice el proceso de resolución factorizando en reversa.
  •  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Factoriza completamente.

 
         
  1. (50 x ^ {2} – 18 )
  2.      
  3. (12 x ^ {3} – 3 x )
  4.      
  5. (10 ​​x ^ {3} + 65 x ^ {2} – 35 x )
  6.      
  7. (15 x ^ {4} + 7 x ^ {3} – 4 x ^ {2} )
  8.      
  9. (6 a ^ {4} b – 15 a ^ {3} b ^ {2} – 9 a ^ {2} b ^ {3} )
  10.      
  11. (8 a ^ {3} b – 44 a ^ {2} b ^ {2} + 20 a b ^ {3} )
  12.      
  13. (36 x ^ {4} – 72 x ^ {3} – 4 x ^ {2} + 8 x )
  14.      
  15. (20 x ^ {4} + 60 x ^ {3} – 5 x ^ {2} – 15 x )
  16.      
  17. (3 x ^ {5} + 2 x ^ {4} – 12 x ^ {3} – 8 x ^ {2} )
  18.      
  19. (10 ​​x ^ {5} – 4 x ^ {4} – 90 x ^ {3} + 36 x ^ {2} )
  20.      
  21. (x ^ {4} – 23 x ^ {2} – 50 )
  22.      
  23. (2 x ^ {4} – 31 x ^ {2} – 16 )
  24.      
  25. (- 2 x ^ {5} – 6 x ^ {3} + 8 x )
  26.      
  27. (- 36 x ^ {5} + 69 x ^ {3} + 27 x )
  28.      
  29. (54 x ^ {5} – 78 x ^ {3} + 24 x )
  30.      
  31. (4 x ^ {6} – 65 x ^ {4} + 16 x ^ {2} )
  32.      
  33. (x ^ {6} – 7 x ^ {3} – 8 )
  34.      
  35. (x ^ {6} – 25 x ^ {3} – 54 )
  36.      
  37. (3 x ^ {6} + 4 x ^ {3} + 1 )
  38.      
  39. (27 x ^ {6} – 28 x ^ {3} + 1 )
  40.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (2 (5 x + 3) (5 x – 3) )

     

3. (5 x (x + 7) (2 x – 1) )

     

5. (3 a ^ {2} b (2 a + b) (a – 3 b) )

     

7. (4 x (x – 2) (3 x + 1) (3 x – 1) )

     

9. (x ^ {2} (3 x + 2) (x + 2) (x – 2) )

     

11. ( left (x ^ {2} + 2 right) (x + 5) (x – 5) )

     

13. (- 2 x izquierda (x ^ {2} + 4 derecha) (x – 1) (x + 1) )

     

15. (6 x (x + 1) (x – 1) (3 x + 2) (3 x – 2) )

     

17. ((x + 1) left (x ^ {2} – x + 1 right) (x – 2) left (x ^ {2} + 2 x + 4 right) )

     

19. ( left (3 x ^ {3} + 1 right) (x + 1) left (x ^ {2} – x + 1 right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resolver.

 
         
  1. ((6 x – 5) (x + 7) = 0 )
  2.      
  3. ((x + 9) (3 x – 8) = 0 )
  4.      
  5. (5 x (2 x – 5) (3 x + 1) = 0 )
  6.      
  7. (4 x (5 x – 1) (2 x + 3) = 0 )
  8.      
  9. ((x – 1) (2 x + 1) (3 x – 5) = 0 )
  10.      
  11. ((x + 6) (5 x – 2) (2 x + 9) = 0 )
  12.      
  13. ((x + 4) (x – 2) = 16 )
  14.      
  15. ((x + 1) (x – 7) = 9 )
  16.      
  17. ((6 x + 1) (x + 1) = 6 )
  18.      
  19. ((2 x – 1) (x – 4) = 39 )
  20.      
  21. (x ^ {2} – 15 x + 50 = 0 )
  22.      
  23. (x ^ {2} + 10 x – 24 = 0 )
  24.      
  25. (3 x ^ {2} + 2 x – 5 = 0 )
  26.      
  27. (2 x ^ {2} + 9 x + 7 = 0 )
  28.      
  29. ( frac {1} {10} x ^ {2} – frac {7} {15} x – frac {1} {6} = 0 )
  30.      
  31. ( frac {1} {4} – frac {4} {9} x ^ {2} = 0 )
  32.      
  33. (6 x ^ {2} – 5 x – 2 = 30 x + 4 )
  34.      
  35. (6 x ^ {2} – 9 x + 15 = 20 x – 13 )
  36.      
  37. (5 x ^ {2} – 23 x + 12 = 4 (5 x – 3) )
  38.      
  39. (4 x ^ {2} + 5 x – 5 = 15 (3 – 2 x) )
  40.      
  41. ((x + 6) (x – 10) = 4 (x – 18) )
  42.      
  43. ((x + 4) (x – 6) = 2 (x + 4) )
  44.      
  45. (4 x ^ {3} – 14 x ^ {2} – 30 x = 0 )
  46.      
  47. (9 x ^ {3} + 48 x ^ {2} – 36 x = 0 )
  48.      
  49. ( frac {1} {3} x ^ {3} – frac {3} {4} x = 0 )
  50.      
  51. ( frac {1} {2} x ^ {3} – frac {1} {50} x = 0 )
  52.      
  53. (- 10 x ^ {3} – 28 x ^ {2} + 48 x = 0 )
  54.      
  55. (- 2 x ^ {3} + 15 x ^ {2} + 50 x = 0 )
  56.      
  57. (2 x ^ {3} – x ^ {2} – 72 x + 36 = 0 )
  58.      
  59. (4 x ^ {3} – 32 x ^ {2} – 9 x + 72 = 0 )
  60.      
  61. (45 x ^ {3} – 9 x ^ {2} – 5 x + 1 = 0 )
  62.      
  63. (x ^ {3} – 3 x ^ {2} – x + 3 = 0 )
  64.      
  65. (x ^ {4} – 5 x ^ {2} + 4 = 0 )
  66.      
  67. (4 x ^ {4} – 37 x ^ {2} + 9 = 0 )
  68.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (- 7, frac {5} {6} )

     

3. (0, frac {5} {2}, – frac {1} {3} )

     

5. (- frac {1} {2}, 1, frac {5} {3} )

     

7. (- 6,4 )

     

9. (- frac {5} {3}, frac {1} {2} )

     

11. (5,10 )

     

13. (- frac {5} {3}, 1 )

     

15. (- frac {1} {3}, 5 )

     

17. (- frac {1} {6}, 6 )

     

19. ( frac {3} {5}, 8 )

     

21. (2,6 )

     

23. (0, – frac {3} {2}, 5 )

     

25. (0, pm frac {3} {2} )

     

27. (- 4,0, frac {6} {5} )

     

29. ( pm 6, frac {1} {2} )

     

31. ( pm frac {1} {3}, frac {1} {5} )

     

33. ( pm 1, pm 2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentra las raíces de las funciones dadas.

 
         
  1. (f (x) = x ^ {2} + 10 x – 24 )
  2.      
  3. (f (x) = x ^ {2} – 14 x + 48 )
  4.      
  5. (f (x) = – 2 x ^ {2} + 7 x + 4 )
  6.      
  7. (f (x) = – 3 x ^ {2} + 14 x + 5 )
  8.      
  9. (f (x) = 16 x ^ {2} – 40 x + 25 )
  10.      
  11. (f (x) = 9 x ^ {2} – 12 x + 4 )
  12.      
  13. (g (x) = 8 x ^ {2} + 3 x )
  14.      
  15. (g (x) = 5 x ^ {2} – 30 x )
  16.      
  17. (p (x) = 64 x ^ {2} – 1 )
  18.      
  19. (q (x) = 4 x ^ {2} – 121 )
  20.      
  21. (f (x) = frac {1} {5} x ^ {3} – 1 x ^ {2} – frac {1} {20} x + frac {1} {4} )
  22.      
  23. (f (x) = frac {1} {3} x ^ {3} + frac {1} {2} x ^ {2} – frac {4} {3} x – 2 )
  24.      
  25. (g (x) = x ^ {4} – 13 x ^ {2} + 36 )
  26.      
  27. (g (x) = 4 x ^ {4} – 13 x ^ {2} + 9 )
  28.      
  29. (f (x) = (x + 5) ^ {2} – 1 )
  30.      
  31. (g (x) = – (x + 5) ^ {2} + 9 )
  32.      
  33. (f (x) = – (3 x – 5) ^ {2} )
  34.      
  35. (g (x) = – (x + 2) ^ {2} + 4 )
  36.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (2, – 12 )

     

3. (- frac {1} {2}, 4 )

     

5. ( frac {5} {4} )

     

7. (- frac {3} {8}, 0 )

     

9. ( pm frac {1} {8} )

     

11. ( pm frac {1} {2}, 5 )

     

13. ( pm 2, pm 3 )

     

15. (- 6, – 4 )

     

17. ( frac {5} {3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Dada la gráfica de una función, determina las raíces reales.

 

1.

 
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Figura 4.4.5
 

2.

 
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Figura 4.4.6
 

3.

 
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Figura 4.4.7
 

4.

 
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Figura 4.4.8
 

5. Los lados de un cuadrado miden (x – 2 ) unidades. Si el área es (36 ) unidades cuadradas, entonces encuentre (x ).

 

6. Los lados de un triángulo rectángulo tienen longitudes que son enteros pares consecutivos. Encuentra las longitudes de cada lado. (Sugerencia: aplique el teorema de Pitágoras)

 

7. La ganancia en dólares generada al producir y vender n bicicletas por semana viene dada por la fórmula (P (n) = – 5 n ^ {2} + 400 n – 6000 ). ¿Cuántas bicicletas se deben producir y vender para alcanzar el punto de equilibrio?

 

8. La altura en pies de un objeto caído desde la parte superior de un (64 ) – pie de construcción viene dada por (h (t) = – 16 t ^ {2} + 64 ) donde ( t ) representa el tiempo en segundos después de que se descarta. ¿Cuánto tiempo llevará golpear el suelo?

 

9. Se puede hacer una caja cortando las esquinas y doblando los bordes de una hoja cuadrada de cartón. Se da una plantilla para una caja de cartón de 2 pulgadas de altura.

 
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Figura 4.4.9
 

¿Cuál es la longitud de cada lado de la lámina de cartón si el volumen de la caja debe ser (98 ) pulgadas cúbicas?

 

10. La altura de un triángulo es (4 ) centímetros menos del doble de la longitud de su base. Si el área total del triángulo es (48 ) centímetros cuadrados, entonces encuentre las longitudes de la base y la altura.

 

11. Se debe colocar un borde uniforme alrededor de una imagen de (8 × 10 ) pulgadas.

 
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Figura 4.4.10
 

Si el área total incluyendo el borde debe ser (168 ) pulgadas cuadradas, entonces ¿qué ancho debe tener el borde?

 

12. El área de un marco de imagen que incluye un borde ancho de (3 ) pulgadas es (120 ) pulgadas cuadradas.

 
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Figura 4.4.11
 

Si el ancho del área interna es (2 ) pulgadas menos que su longitud, entonces encuentre las dimensiones del área interna.

 

13. Suponiendo condiciones de carretera seca y tiempos de reacción promedio, la distancia de parada segura en pies viene dada por (d (x) = frac {1} {20} x ^ {2} + x ) donde ( x ) representa la velocidad del automóvil en millas por hora. Determine la velocidad segura del automóvil si espera detenerse en (75 ) pies.

 

14. Una empresa manufacturera ha determinado que el ingreso diario en miles de dólares viene dado por la fórmula (R (n) = 12 n – 0.6 n ^ {2} ) donde (n ) representa el número de paletas de producto vendido ((0 ≤ n <20) ). Determine la cantidad de paletas vendidas en un día si los ingresos fueron (45 ) mil dólares.

 
     
Respuesta
     
     

1. (- 3, – 1,0,2 )

     

3. (- 2,3 )

     

5. (8 ) unidades

     

7. (20 ) o (60 ) bicicletas

     

9. (11 ) en

     

11. (2 ) pulgadas

     

13. (30 ) millas por hora

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Encuentra una ecuación polinómica con las soluciones dadas.

 
         
  1. (- 3,5 )
  2.      
  3. (- 1,8 )
  4.      
  5. (2, frac {1} {3} )
  6.      
  7. (- frac {3} {4}, 5 )
  8.      
  9. (0, -4 )
  10.      
  11. (0,7 )
  12.      
  13. ( pm 7 )
  14.      
  15. ( pm 2 )
  16.      
  17. (- 3,1,3 )
  18.      
  19. (- 5, – 1,1 )
  20.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (x ^ {2} – 2 x – 15 = 0 )

     

3. (3 x ^ {2} – 7 x + 2 = 0 )

     

5. (x ^ {2} + 4 x = 0 )

     

7. (x ^ {2} – 49 = 0 )

     

9. (x ^ {3} – x ^ {2} – 9 x + 9 = 0 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Encuentra una función con las raíces dadas.

 
         
  1. ( frac {1} {2}, frac {2} {3} )
  2.      
  3. ( frac {2} {5}, – frac {1} {3} )
  4.      
  5. ( pm frac {3} {4} )
  6.      
  7. ( pm frac {5} {2} )
  8.      
  9. (5 ) doble raíz
  10.      
  11. (- 3 ) doble raíz
  12.      
  13. (- 1,0,3 )
  14.      
  15. (- 5,0,2 )
  16.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (f (x) = 6 x ^ {2} – 7 x + 2 )

     

3. (f (x) = 16 x ^ {2} – 9 )

     

5. (f (x) = x ^ {2} – 10 x + 25 )

     

7. (f (x) = x ^ {3} – 2 x ^ {2} – 3 x )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Recuerde que si (| X | = p ), entonces (X = -p ) o (X = p ). Use esto para resolver las siguientes ecuaciones de valor absoluto.

 
         
  1. ( left | x ^ {2} – 8 right | = 8 )
  2.      
  3. ( left | 2 x ^ {2} – 9 right | = 9 )
  4.      
  5. ( left | x ^ {2} – 2 x – 1 right | = 2 )
  6.      
  7. (left| x ^ { 2 } – 8 x + 14 right| = 2)
  8.      
  9. (left| 2 x ^ { 2 } – 4 x – 7 right| = 9)
  10.      
  11. (left| x ^ { 2 } – 3 x – 9 right| = 9)
  12.  
 
     
Answer
     
     

1. (pm 4,0)

     

3. (pm 1,3)

     

5. (- 2,1,4)

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{11})

 
         
  1. Explain to a beginning algebra student the difference between an equation and an expression.
  2.      
  3. What is the difference between a root and an (x)-intercept? Explique.
  4.      
  5. Create a function with three real roots of your choosing. Graph it with a graphing utility and verify your results. Share your function on the discussion board.
  6.      
  7. Research and discuss the fundamental theorem of algebra.
  8.  
 
     
Answer
     
     

1. Answer may vary

     

3. Answer may vary

     
 
 
 
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