Identificación de restricciones y simplificación de funciones racionales
Funciones racionales 25 tienen la forma
(r (x) = frac {p (x)} {q (x)} ),
donde (p (x) ) y (q (x) ) son polinomios y (q (x) ≠ 0 ). El dominio de una función racional 26 consta de todos los números reales (x ) excepto aquellos en los que el denominador (q (x) = 0 ) . Restricciones 27 son los números reales para los que la expresión no está definida. A menudo expresamos el dominio de una función racional en términos de sus restricciones. Por ejemplo, considere la función
(f (x) = frac {x ^ {2} – 4 x + 3} {x ^ {2} – 5 x + 6} )
que se puede escribir en forma factorizada
(f (x) = frac {(x – 1) (x – 3)} {(x – 2) (x – 3)} )
Debido a que las expresiones racionales no están definidas cuando el denominador es (0 ), deseamos encontrar los valores para (x ) que lo hagan (0 ). Para hacer esto, aplique la propiedad de producto cero. Establezca cada factor en el denominador igual a (0 ) y resuelva.
( begin {array} {c} {(x – 2) : (x – 3) = 0} \ {x – 2 = 0 quad text {o} quad x – 3 = 0} \ {x = 3} quad quad quad quad {x = 3} end {array} )
Por lo tanto, la función original se define para cualquier número real excepto (2 ) y (3 ). Podemos expresar su dominio utilizando la notación de la siguiente manera:
( begin {array} {ll} { color {Cerulean} {Set-builder : notation}} & { color {Cerulean} {Interval : notation}} \ {x | x neq 2,3 } y {(- infty, 2) cup (2,3) cup (3, infty)} end {array} )
Las restricciones al dominio de una función racional están determinadas por el denominador. Una vez que se determinan las restricciones, podemos cancelar factores y obtener una función equivalente de la siguiente manera:
Es importante tener en cuenta que (1 ) es no una restricción al dominio porque la expresión se define como (0 ) cuando el numerador es (0 ). De hecho, (x = 1 ) es una raíz. Esta función se muestra a continuación:
Observe que hay una asíntota vertical en la restricción (x = 2 ) y el gráfico se deja sin definir en la restricción (x = 3 ) como lo indica el punto o agujero abierto en el gráfico. Graficar funciones racionales en general está más allá del alcance de este libro de texto. Sin embargo, es útil en este punto saber que las restricciones son una parte importante de la gráfica de funciones racionales.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Indique las restricciones y simplifique: (g (x) = frac {24 x ^ {7}} {6 x ^ {5}} )
Solución
En este ejemplo, la función no está definida donde (x ) es (0 ).
(g (0) = frac {24 (0) ^ {7}} {6 (0) ^ {5}} = frac {0} {0} quad color {Cerulean} {undefined } )
Por lo tanto, el dominio consta de todos los números reales (x ), donde (x ≠ 0 ). Con esta comprensión, podemos simplificar reduciendo la expresión racional a los términos más bajos. Cancelar factores comunes.
(g (x) = frac { stackrel {4 : : : : x ^ {2}} { cancel {24} : : : cancel {x ^ {7 }}}} { cancel {6} : : : : : cancel {x ^ {8}}} = 4 x ^ {2} )
Respuesta
(g (x) = 4 x ^ {2} ), donde (x ≠ 0 )
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Indique las restricciones y simplifique: (f (x) = frac {2 x ^ {2} + 5 x – 3} {4 x ^ {2} – 1} ).
Solución
Primero, factoriza el numerador y el denominador.
(f (x) = frac {2 x ^ {2} + 5 x – 3} {4 x ^ {2} – 1} = frac {(2 x – 1) (x + 3) } {(2 x + 1) (2 x – 1)} )
Cualquier (x ): el valor que hace que el denominador sea cero es una restricción. Para encontrar las restricciones, primero establezca el denominador igual a cero y luego resuelva
((2 x + 1) (2 x – 1) = 0 )
( begin {array} {rl} {2 x + 1 = 0} & { text {or} quad 2 x – 1 = 0} \ {2 x = – 1} & quad quad quad quad {2 x = 1} \ {x = – frac {1} {2}} & quad quad quad quad : {x = frac {1} {2}} end {array} )
Por lo tanto, (x ≠ ± frac {1} {2} ). Con este entendimiento, podemos cancelar cualquier factor común.
( begin {alineado} f (x) & = frac { cancel {(2 x – 1)} (x + 3)} {(2 x + 1) cancel {(2 x -1 )}} \ & = frac {x + 3} {2 x + 1} end {alineado} )
Respuesta :
(f (x) = frac {x + 3} {2 x + 1} ), donde (x neq pm frac {1} {2} )
Definimos lo contrario de un polinomio (P ) como (- P ). Encontrar el opuesto de un polinomio requiere la aplicación de la propiedad distributiva. Por ejemplo, el opuesto del polinomio ((x − 3) ) se escribe como
( begin {alineado} – (x – 3) & = – 1 cdot (x – 3) \ & = – x + 3 \ & = 3 – x end {alineado} ) [ 19459011]
Esto nos lleva a la propiedad binomial opuesta 28 , (- (a − b) = (b − a) ). Se debe tener cuidado de no confundir esto con el hecho de que ((a + b) = (b + a) ). Este es el caso porque la suma es conmutativa. En general,
( begin {array} {c |} – (ab) = (ba) \ text {or} \ frac {ba} {ab} = – 1 end {array} begin { array} {c} (ab) = (a + b) \ text {or} \ frac {b + a} {a + b} = 1 end {array} )
Además, es importante recordar que
( frac {- a} {b} = – frac {a} {b} = frac {a} {- b} )
En otras palabras, una fracción negativa se muestra colocando el signo negativo en el numerador, en frente de la barra de fracción o en el denominador. En general, se evitan los denominadores negativos.
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Indique las restricciones y simplifique: ( frac {25 – x ^ {2}} {x ^ {2} – 10 x + 25} ).
Solución
Comienza factorizando el numerador y el denominador.
( begin {alineado} frac {25 – x ^ {2}} {x ^ {2} – 10 x + 25} & = frac {(5 – x) (5 + x)} { (x – 5) (x – 5)} \ & = frac { color {Cerulean} {- 1 cdot (x – 5)} color {black} {(} 5 + x)} {(x – 5) (x – 5)} quad quad quad quad color {Cerulean} {Opuesto : binomial : property.} \ & = frac {- 1 cdot cancel {(x – 5 )} (5 + x)} { cancel {(x – 5)} (x – 5)} quad color {Cerulean} {Cancelar.} \ & = – frac {x + 5} {x – 5} end {alineado} )
Respuesta :
(- frac {x + 5} {x – 5} ), donde (x ≠ 5 )
Es importante recordar que solo podemos cancelar los factores de un producto. Un error común es cancelar los términos. Por ejemplo,
( frac { cancel {x ^ {2}} + 7 x – 30} { cancel {x ^ {2}} – 7 x + 12} \ color {rojo} {incorrecto} ) ( begin {array} {c} { frac { cancel {x} + 10} { cancel {x} – 4}} \ { color {red} {incorrecto}} end { array} ) ( frac {2 cancel {x-1}} { cancel {x-1}} \ color {red} {incorrecto}})
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Indique las restricciones y simplifique: ( frac {x – 2 x ^ {2}} {4 x ^ {4} – x ^ {2}} ).
- Respuesta
-
(- frac {1} {x (2 x + 1)} ), donde (x neq 0, pm frac {1} {2} )
En algunos ejemplos, haremos una suposición general de que el denominador es distinto de cero. Cuando hacemos esa suposición, no necesitamos determinar las restricciones.
Ejemplo ( PageIndex {4} ):
Simplifique: ( frac {x ^ {3} – 2 x ^ {2} y + 4 xy ^ {2} – 8 y ^ {3}} {x ^ {4} – 16 y ^ {4 }} ). (Suponga que todos los denominadores son distintos de cero.)
Solución
Factoriza el numerador agrupando. Factoriza el denominador usando la fórmula para una diferencia de cuadrados.
( begin {alineado} frac {x ^ {3} + 4 xy ^ {2} – 2 x ^ {2} y – 8 y ^ {3}} {x ^ {4} – 16 y ^ {4}} & = frac {x left (x ^ {2} + 4 y ^ {2} right) – 2 y left (x ^ {2} + 4 y ^ {2} right) } { left (x ^ {2} + 4 y ^ {2} right) left (x ^ {2} – 4 y ^ {2} right)} \ & = frac { left (x ^ {2} + 4 y ^ {2} right) (x – 2 y)} { left (x ^ {2} + 4 y ^ {2} right) (x + 2 y) (x – 2 y)} end {alineado} )
A continuación, cancele los factores comunes.
(= frac { stackrel {1} { cancel { left (x ^ {2} + 4 y ^ {2} right)}} stackrel {1} { cancel { left ( x – 2y right)}}} {{ cancel { left (x ^ {2} + 4 y ^ {2} right)}} (x + 2 y) cancel {(x – 2 y)} } \ = frac {1} {x + 2y} )
Nota
Cuando todo el numerador o denominador cancela, siempre queda un factor de (1 ).
Respuesta :
( frac {1} {x + 2 y} )
Ejemplo ( PageIndex {5} ):
Dado (f (x) = x ^ {2} – 2 x + 5 ), simplifica ( frac {f (x) – f (3)} {x – 3} ).
Solución
Comience calculando (f (3) ).
( begin {alineado} f (3) & = (3) ^ {2} – 2 (3) + 5 \ & = 9 – 6 + 5 \ & = 3 + 5 \ & = 8 end {alineado} )
Luego, sustitúyelo por el cociente que se simplificará.
( begin {alineado} frac {f (x) – f (3)} {x – 3} & = frac {x ^ {2} – 2 x + 5 – 8} {x – 3 } \ & = frac {x ^ {2} – 2 x – 3} {x – 3} \ & = frac {(x + 1) (x – 3)} {(x – 3)} & = x + 1 end {alineado} )
Respuesta :
(x + 1 ), donde (x ≠ 3 )
Una cantidad importante en matemáticas de nivel superior es el cociente de diferencia 29 :
( frac {f (x + h) – f (x)} {h} ), donde (h neq 0 )
Esta cantidad representa la pendiente de la línea que conecta dos puntos en el gráfico de una función. La línea que pasa por los dos puntos se llama línea secante 30 .
Calcular el cociente de diferencia para muchas funciones diferentes es una habilidad importante para aprender en álgebra intermedia. Encontraremos esta cantidad a menudo a medida que avancemos en este libro de texto. Al calcular el cociente de diferencia, suponemos que el denominador es distinto de cero.
Ejemplo ( PageIndex {6} ):
Dado (g (x) = – 2 x ^ {2} + 1 ), simplifica ( frac {g (x + h) – g (x)} {h} ).
Solución
( begin {alineado} frac {g (x + h) – g (x)} {h} & = frac { left (- 2 (x + h) ^ {2} + 1 derecha) – izquierda (- 2 x ^ {2} + 1 derecha)} {h} \ & = frac {- 2 izquierda (x ^ {2} + 2 xh + h ^ {2} derecha ) + 1 + 2 x ^ {2} – 1} {h} \ & = { frac {- 2 x ^ {2} – 4 xh – 2 h ^ {2} + 1 + 2 x ^ {2} – 1} {h}} \ & = frac {- 4 xh – 2 h ^ {2}} {h} \ & = – 4 x – 2 h end {alineado} )
Respuesta :
(- 4x-2h )