4.5: Multiplicar y dividir números mixtos y fracciones complejas (Parte 1)

4.5: Multiplicar y dividir números mixtos y fracciones complejas (Parte 1)

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Multiplica y divide números mixtos
  •      
  • Traduce frases a expresiones con fracciones
  •      
  • Simplificar fracciones complejas
  •      
  • Simplifica expresiones escritas con una barra de fracción
  •  
 
 
 
 

prepárate!

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Divida y reduzca, si es posible: ((4 + 5) ÷ (10 – 7) ). Si perdió este problema, revise Ejemplo 3.2.8 .
  2.      
  3. Multiplica y escribe la respuesta en forma simplificada: ( dfrac {1} {8} cdot dfrac {2} {3} ). Si perdió este problema, revise Ejemplo 4.2.7 .
  4.      
  5. Convierta (2 dfrac {3} {5} ) en una fracción impropia. Si perdió este problema, revise Ejemplo 4.1.11 .
  6.  
 
 

Multiplica y divide números mixtos

 

En la sección anterior, aprendiste a multiplicar y dividir fracciones. Todos los ejemplos allí usaron fracciones propias o impropias. ¿Qué sucede cuando se le pide que multiplique o divida números mixtos? Recuerda que podemos convertir un número mixto en una fracción impropia. Y aprendiste a hacer eso en Visualizar fracciones .

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): multiplica

 

Multiplicar: (3 dfrac {1} {3} cdot dfrac {5} {8} )

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Convierta (3 dfrac {1} {3} ) a una fracción impropia. ( dfrac {10} {3} cdot dfrac {5} {8} )
Multiplica. ( dfrac {10 cdot 5} {3 cdot 8} )
Busca factores comunes. ( dfrac { cancel {2} cdot 5 cdot 5} {3 cdot cancel {2} cdot 4} )
Eliminar los factores comunes. ( dfrac {5 cdot 5} {3 cdot 4} )
Simplificar. ( dfrac {25} {12} )
 

Observe que dejamos la respuesta como una fracción impropia, ( dfrac {25} {12} ), y no la convertimos en un número mixto. En álgebra, es preferible escribir respuestas como fracciones impropias en lugar de números mixtos. Esto evita cualquier posible confusión entre (2 dfrac {1} {12} ) y (2 cdot dfrac {1} {12} ).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Multiplica y escribe tu respuesta en forma simplificada: (5 dfrac {2} {3} cdot dfrac {6} {17} ).

 
     
Respuesta
     
     

(2 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Multiplica y escribe tu respuesta en forma simplificada: ( dfrac {3} {7} cdot 5 dfrac {1} {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {9} {4} )

     
 
 
 
 
 

CÓMO: MULTIPLICAR O DIVIDIR NÚMEROS MIXTOS

 

Paso 1. Convertir los números mixtos a fracciones impropias.

 

Paso 2. Sigue las reglas para la multiplicación o división de fracciones.

 

Paso 3. Simplifica si es posible.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Multiplica y escribe tu respuesta en forma simplificada: (2 dfrac {4} {5} left (- 1 dfrac {7} {8} right) ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Convertir números mixtos en fracciones impropias. ( dfrac {14} {5} left (-1 dfrac {7} {8} right) )
Multiplica. (- dfrac {14 cdot 15} {5 cdot 8} )
Busca factores comunes. (- dfrac { cancel {2} cdot 7 cdot cancel {5} cdot 3} { cancel {5} cdot cancel {2} cdot 4} )
Eliminar los factores comunes. (- dfrac {7 cdot 3} {4} )
Simplificar. (- dfrac {21} {4} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Multiplica y escribe tu respuesta en forma simplificada. (5 dfrac {5} {7} left (- 2 dfrac {5} {8} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 15 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Multiplica y escribe tu respuesta en forma simplificada. (- 3 dfrac {2} {5} cdot 4 dfrac {1} {6} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {85} {6} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): dividir

 

Divide y escribe tu respuesta en forma simplificada: (3 dfrac {4} {7} ÷ 5 ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Convertir números mixtos en fracciones impropias. ( dfrac {25} {7} div dfrac {5} {1} )
Multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda. ( dfrac {25} {7} cdot dfrac {1} {5} )
Multiplica. ( dfrac {25 cdot 1} {7 cdot 5} )
Busca factores comunes. ( dfrac { cancel {5} cdot 5 cdot 1} {7 cdot cancel {5}} )
Eliminar los factores comunes. ( dfrac {5 cdot 1} {7} )
Simplificar. ( dfrac {5} {7} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Divide y escribe tu respuesta en forma simplificada: (4 dfrac {3} {8} ÷ 7 ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5} {8} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Divide y escribe tu respuesta en forma simplificada: (2 dfrac {5} {8} ÷ 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {7} {8} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): dividir

 

Divide: (2 dfrac {1} {2} div 1 dfrac {1} {4} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Convertir números mixtos en fracciones impropias. ( dfrac {5} {2} div dfrac {5} {4} )
Multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda. ( dfrac {5} {2} cdot dfrac {4} {5} )
Multiplica. ( dfrac {5 cdot 4} {2 cdot 5} )
Busca factores comunes. ( dfrac { cancel {5} cdot cancel {2} cdot 2} { cancel {2} cdot 1 cdot cancel {5}} )
Eliminar los factores comunes. ( dfrac {2} {1} )
Simplificar. (2 )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Divide y escribe tu respuesta en forma simplificada: (2 dfrac {2} {3} div 1 dfrac {1} {3} ).

 
     
Respuesta
     
     

(2 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Divide y escribe tu respuesta en forma simplificada: (3 dfrac {3} {4} div 1 dfrac {1} {2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5} {2} )

     
 
 
 

Traducir frases a expresiones con fracciones

 

Las palabras cociente y relación se usan a menudo para describir fracciones. En Restar números enteros , definimos el cociente como resultado de la división. El cociente de (a ) y (b ) es el resultado que obtiene al dividir (a ) por (b ) o ( dfrac {a} {b} ). Practiquemos traducir algunas frases en expresiones algebraicas usando estos términos.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): traducir

 

Traduce la frase a una expresión algebraica: «el cociente de (3x ) y (8 )».

 

Solución

 

La palabra clave es cociente ; nos dice que la operación es división. Busque las palabras de y y para encontrar los números a dividir.

 

El cociente de (3x ) y (8 ).

 

Esto nos dice que necesitamos dividir (3x ) por (8 ). ( dfrac {3x} {8} )

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Traduce la frase a una expresión algebraica: el cociente de (9s ) y (14 ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {9s} {14} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Traduce la frase a una expresión algebraica: el cociente de (5y ) y (6 ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5 años} {6} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Traduce la frase a una expresión algebraica: el cociente de la diferencia de (m ) y (n ), y (p ).

 

Solución

 

Estamos buscando el cociente de la diferencia de (m ) y (n ), y (p ). Esto significa que queremos dividir la diferencia de (m ) y (n ) por (p ).

 

[ dfrac {m – n} {p} nonumber ]

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Traduce la frase a una expresión algebraica: el cociente de la diferencia de (a ) y (b ), y (cd ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {a-b} {cd} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Traduce la frase a una expresión algebraica: el cociente de la suma de (p ) y (q ), y (r ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {p + q} {r} )

     
 
 
 

Simplificar fracciones complejas

 

Nuestro trabajo con fracciones hasta ahora ha incluido fracciones propias, fracciones impropias y números mixtos. Otro tipo de fracción se llama fracción compleja , que es una fracción en la que el numerador o el denominador contiene una fracción. Algunos ejemplos de fracciones complejas son:

 

[ dfrac { dfrac {6} {7}} {3} quad dfrac { dfrac {3} {4}} { dfrac {5} {8}} quad dfrac { dfrac {x} {2}} { dfrac {5} {6}} nonumber ]

 

Para simplificar una fracción compleja, recuerde que la barra de fracción significa división. Entonces, la fracción compleja ( dfrac { dfrac {3} {4}} { dfrac {5} {8}} ) puede escribirse como ( dfrac {3} {4} div dfrac {5 } {8} ).

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): simplificar

 

Simplifique: ( dfrac { dfrac {3} {4}} { dfrac {5} {8}} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Reescribir como división. ( dfrac {3} {4} div dfrac {5} {8} )
Multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda. ( dfrac {3} {4} cdot dfrac {8} {5} )
Multiplica. ( dfrac {3 cdot 8} {4 cdot 5} )
Busca factores comunes. ( dfrac {3 cdot cancel {4} cdot 2} { cancel {4} cdot 5} )
Eliminar factores comunes y simplificar. ( dfrac {6} {5} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Simplifique: ( dfrac { dfrac {2} {3}} { dfrac {5} {6}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {4} {5} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Simplifique: ( dfrac { dfrac {3} {7}} { dfrac {6} {11}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {11} {14} )

     
 
 
 
 
 

CÓMO: SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN COMPLEJA

 

Paso 1. Reescribe la fracción compleja como un problema de división.

 

Paso 2. Sigue las reglas para dividir fracciones.

 

Paso 3. Simplifica si es posible.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): simplificar

 

Simplifique: ( dfrac {- dfrac {6} {7}} {3} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Reescribir como división. (- dfrac {6} {7} div 3 )
Multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda. (- dfrac {6} {7} cdot dfrac {1} {3} )
Multiplicar; El producto será negativo. (- dfrac {6 cdot 1} {7 cdot 3} )
Busca factores comunes. (- dfrac { cancel {3} cdot 2 cdot 1} {7 cdot cancel {3}} )
Eliminar factores comunes y simplificar. (- dfrac {2} {7} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Simplifique: ( dfrac {- dfrac {8} {7}} {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {2} {7} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Simplifique: (- dfrac {3} { dfrac {9} {10}} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {10} {3} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): simplificar

 

Simplifique: ( dfrac { dfrac {x} {2}} { dfrac {xy} {6}} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Reescribir como división. ( dfrac {x} {2} div dfrac {xy} {6} )
Multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda. ( dfrac {x} {2} cdot dfrac {6} {xy} )
Multiplica. ( dfrac {x cdot 6} {2 cdot xy} )
Busca factores comunes. ( dfrac { cancel {x} cdot 3 cdot cancel {2}} { cancel {2} cdot cancel {x} cdot y} )
Eliminar factores comunes y simplificar. ( dfrac {3} {y} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Simplifique: ( dfrac { dfrac {a} {8}} { dfrac {ab} {6}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {3} {4b} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Simplifique: ( dfrac { dfrac {p} {2}} { dfrac {pq} {8}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {4} {q} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): simplificar

 

Simplifique: ( dfrac {2 dfrac {3} {4}} { dfrac {1} {8}} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Reescribir como división. (2 dfrac {3} {4} div dfrac {1} {8} )
Cambie el número mixto a una fracción impropia. ( dfrac {11} {4} div dfrac {1} {8} )
Multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda. ( dfrac {11} {4} cdot dfrac {8} {1} )
Multiplica. ( dfrac {11 cdot 8} {4 cdot 1} )
Busca factores comunes. ( dfrac {11 cdot cancel {4} cdot 2} { cancel {4} cdot 1} )
Eliminar factores comunes y simplificar. (22 )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Simplifique: ( dfrac { dfrac {5} {7}} {1 dfrac {2} {5}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {25} {49} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Simplifique: ( dfrac { dfrac {8} {5}} {3 dfrac {1} {5}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {1} {2} )

     
 
 
 
                                  
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