las matematicas

4.5: Resolver sistemas de ecuaciones con tres variables

4.5: Resolver sistemas de ecuaciones con tres variables

Determine si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables

 

En esta sección, ampliaremos nuestro trabajo para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Hasta ahora hemos trabajado con sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos variables. Ahora trabajaremos con sistemas de tres ecuaciones con tres variables. Pero primero repasemos lo que ya sabemos sobre la resolución de ecuaciones y sistemas que involucran hasta dos variables.

 

Aprendimos anteriormente que la gráfica de una ecuación lineal , (ax + by = c ), es una línea. Cada punto en la línea, un par ordenado ((x, y) ), es una solución a la ecuación. Para un sistema de dos ecuaciones con dos variables, graficamos dos líneas. Entonces podemos ver que todos los puntos que son soluciones para cada ecuación forman una línea. Y, al encontrar qué tienen en común las líneas, encontraremos la solución al sistema.

 

La mayoría de las ecuaciones lineales en una variable tienen una solución, pero vimos que algunas ecuaciones, llamadas contradicciones, no tienen soluciones y para otras ecuaciones, llamadas identidades, todos los números son soluciones

 

Sabemos que cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones lineales representadas por un gráfico de dos líneas en el mismo plano, hay tres casos posibles, como se muestra.

 

Figure shows three graphs. In the first one, two lines intersect. Intersecting lines have one point in common. There is one solution to this system. The graph is labeled Consistent Independent. In the second graph, two lines are parallel. Parallel lines have no points in common. There is no solution to this system. The graph is labeled inconsistent. In the third graph, there is just one line. Both equations give the same line. Because we have just one line, there are infinitely many solutions. It is labeled consistent dependent.

 

Del mismo modo, para una ecuación lineal con tres variables ax + by + cz = d, ax + by + cz = d, cada solución a la ecuación es un triple ordenado, (x, y, z) (x, y, z) eso hace que la ecuación sea verdadera.

 
 
 

ECUACIÓN LINEAL EN TRES VARIABLES

 

Una ecuación lineal con tres variables, donde a, b, c, y d son ​​números reales y a, b y c no son todos 0, tiene la forma

 

[ax + by + cz = d nonumber ]

 

Cada solución a la ecuación es un triple ordenado, ((x, y, z) ) que hace que la ecuación sea verdadera.

 
 
 

Todos los puntos que son soluciones a una ecuación forman un plano en un espacio tridimensional. Y, al encontrar lo que los aviones tienen en común, encontraremos la solución al sistema.

 

Cuando resolvemos un sistema de tres ecuaciones lineales representadas por una gráfica de tres planos en el espacio, hay tres casos posibles.

 

Eight figures are shown. The first one shows three intersecting planes with one point in common. It is labeled Consistent system and Independent equations. The second figure has three parallel planes with no points in common. It is labeled Inconsistent system. In the third figure two planes are coincident and parallel to the third plane. The planes have no points in common. In the fourth figure, two planes are parallel and each intersects the third plane. The planes have no points in common. In the fifth figure, each plane intersects the other two, but all three share no points. The planes have no points in common. In the sixth figure, three planes intersect in one line. There is just one line, so there are infinitely many solutions. In the seventh figure, two planes are coincident and intersect the third plane in a line. There is just one line, so there are infinitely many solutions. In the last figure, three planes are coincident. There is just one plane, so there are infinitely many solutions. . . . . . . .

 

Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales, queremos encontrar los valores de las variables que son soluciones para las tres ecuaciones. En otras palabras, estamos buscando el triple ordenado ((x, y, z) ) que hace que las tres ecuaciones sean verdaderas. Estas se llaman las soluciones del sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables .

 
 
 

SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES VARIABLES

 

Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones sean verdaderas. Una solución está representada por un triple ordenado ((x, y, z) ).

 
 
 
 

Para determinar si un triple ordenado es una solución para un sistema de tres ecuaciones, sustituimos los valores de las variables en cada ecuación. Si el triple ordenado hace que las tres ecuaciones sean verdaderas, es una solución para el sistema.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Determine si el triple ordenado es una solución para el sistema: ( left { begin {array} {l} x − y + z = 2 \ 2x − y − z = −6 \ 2x + 2y + z = −3 end {array} right. )

 

ⓐ ((- 2, −1,3) ) ⓑ ((- 4, −3,4) )

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ

     The equations are x minus y plus z equals 2, 2x minus y minus z equals minus 6 and 2x plus 2y plus z equals minus 3. Substituting minus 2 for x, minus 1 for y and 3 for z into all three equations, we find that all three hold true. Hence, minus 2, minus 1, 3 is a solution.      

ⓑ

     

The equations are x minus y plus z equals 2, 2x minus y minus z equals minus 6 and 2x plus 2y plus z equals minus 3. Substituting minus minus 4 for x, minus 3 for y and 4 for z into all three equations, we find that all three hold true. Hence, minus 4, minus 3, 4 is not a solution.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Determine si el triple ordenado es una solución para el sistema: ( left { begin {array} {l} 3x + y + z = 2 \ x + 2y + z = −3 \ 3x + y + 2z = 4 end {array} right. )

 

ⓐ ((1, −3,2) ) ⓑ ((4, −1, −5) )

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ sí ⓑ no

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Determine si el triple ordenado es una solución para el sistema: ( left { begin {array} {l} x − 3y + z = −5 \ ​​−3x − y − z = 1 \ 2x −2y + 3z = 1 end {array} right. )

 

ⓐ ((2, −2,3) ) ⓑ ((- 2,2,3) )

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ no ⓑ sí

     
 
 
 
 
 
 
 

Resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables

 

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables, básicamente utilizamos las mismas técnicas que utilizamos con sistemas que tenían dos variables. Comenzamos con dos pares de ecuaciones y en cada par eliminamos la misma variable. ¡Esto nos dará un sistema de ecuaciones con solo dos variables y luego sabremos cómo resolver ese sistema!

 

Luego, usamos los valores de las dos variables que acabamos de encontrar para volver a la ecuación original y encontrar la tercera variable. Escribimos nuestra respuesta como un triple ordenado y luego verificamos nuestros resultados.

 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} 3x + y − z = 2 \ 2x − 3y − 2z = 1 \ 4x − y − 3z = 0 end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

((2, −1,3) )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelva el sistema mediante eliminación: ( left { begin {array} {l} 4x + y + z = −1 \ −2x − 2y + z = 2 \ 2x + 3y − z = 1 end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

((- 2,3,4) )

     
 
 
 
 
 

Los pasos se resumen aquí.

 
 
 

RESUELVE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES VARIABLES.

 
         
  1. Escribe las ecuaciones en forma estándar      
               
    • Si algunos coeficientes son fracciones, límpielos.
      •      
         
    2.      
  2. Elimina la misma variable de dos ecuaciones.      
               
    • Decide qué variable eliminarás.
      •          
    • Trabaja con un par de ecuaciones para eliminar la variable elegida.
      •          
    • Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
      •          
    • Agregue las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable
      •      
         
    3.      
  3. Repita el Paso 2 usando otras dos ecuaciones y elimine la misma variable que en el Paso 2.
    4.      
  4. Las dos nuevas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Resuelve este sistema.
    5.      
  5. Use los valores de las dos variables encontradas en el Paso 4 para encontrar la tercera variable.
    6.      
  6. Escribe la solución como un triple ordenado.
    7.      
  7. Verifique que el triple ordenado sea una solución a las tres ecuaciones originales .
    8.  
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resuelva: ( left { begin {array} {l} 3x − 4z = 0 \ 3y + 2z = −3 \ 2x + 3y = −5 end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

[ left { begin {array} {ll} 3x − 4z = 0 & (1) \ 3y + 2z = −3 & (2) \ 2x + 3y = −5 & (3) end {array} right. nonumber ]

     

Podemos eliminar (z ) de las ecuaciones (1) y (2) multiplicando la ecuación (2) por 2 y luego sumando las ecuaciones resultantes.

     The equations are 3 x minus 4 equals 0, 3y plus 2 z equals minus 3 and 2 x plus 3 y equals minus 5. Multiply equation 2 by 2 and add to equation 1. We get 3 x plus 6 y equals minus 6.      

Observe que las ecuaciones (3) y (4) tienen las variables (x ) y (y ). Resolveremos este nuevo sistema para (x ) y (y ).

     Multiply equation 3 by minus 2 and add that to equation 4. We get x equal to minus 4.      

Para resolver y , sustituimos (x = −4 ) en la ecuación (3).

     Substitute minus 4 into equation 3 and solve for y. We get y equal to 1.      

Ahora tenemos (x = −4 ) y (y = 1 ). Necesitamos resolver para z . Podemos sustituir (x = −4 ) en la ecuación (1) para encontrar z .

     Substituting minus 4 into equation 1 for x, we get z equal to minus 3.      

Escribimos la solución como un triple ordenado. ((- 4,1, −3) )

     

Verificamos que la solución hace que las tres ecuaciones sean verdaderas.

     

( begin {array} {lll} {3x-4z = 0 space (1)} & {3y + 2z = −3 space (2)} & {2x + 3y = −5 space ( 3)} \ {3 (−4) −4 (−3) overset {?} {=} 0} & {3 (1) +2 (−3) overset {?} {=} −3} & {2 (−4) +3 (1) overset {?} {=} −5} \ {0 = 0 checkmark} & {- 3 = −3 checkmark} & {- 5 = −5 marca de verificación} \ {} & {} & { text {La solución es} (- 4,1, −3)} end {array} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Resuelve: ( left { begin {array} {l} 3x − 4z = −1 \ 2y + 3z = 2 \ 2x + 3y = 6 end {array} right. ) [ 19459007]  

     
Respuesta
     
     

((- 3,4, −2) )

     
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Resuelve: ( left { begin {array} {l} 4x − 3z = −5 \ ​​3y + 2z = 7 \ 3x + 4y = 6 end {array} right. ) [ 19459007]  

     
Respuesta
     
     

((- 2,3, −1) )

     
 
 
 
 
 
 

Cuando resolvemos un sistema y terminamos sin variables y una declaración falsa, sabemos que no hay soluciones y que el sistema es inconsistente. El siguiente ejemplo muestra un sistema de ecuaciones que es inconsistente.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Resuelve el sistema de ecuaciones: ( left { begin {array} {l} x + 2y − 3z = −1 \ x − 3y + z = 1 \ 2x − y − 2z = 2 end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

[ left { begin {array} {ll} x + 2y − 3z = −1 & (1) \ x − 3y + z = 1 & (2) \ 2x − y − 2z = 2 & (3) end {array} right. Nonumber ]

     

Use la ecuación (1) y (2) para eliminar z .

     The equations are x plus 2y minus 3z equals minus 1, x minus 3y plus z equals 1 and 2x minus y minus 2z equals 2.      

Use (2) y (3) para eliminar (z ) nuevamente.

     Multiplying equation 2 by 3 and adding it to equation 1, we get equation 4, 4x minus 7y equals 2. Multiplying equation 2 by 2 and adding it to equation 3, we get equation 5, 4x minus 7y equals 4.      

Use (4) y (5) para eliminar una variable.

     Equations 4 and 5 both have 2 variables. Multiply equation 5 by minus 1 and add it to equation 4. We get 0 equal to minus 2, which is false.      

No hay solución.

     

Nos quedamos con una declaración falsa y esto nos dice que el sistema es inconsistente y no tiene solución.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Resuelve el sistema de ecuaciones: ( left { begin {array} {l} x + 2y + 6z = 5 \ −x + y − 2z = 3 \ x − 4y − 2z = 1 end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

sin solución

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Resuelve el sistema de ecuaciones: ( left { begin {array} {l} 2x − 2y + 3z = 6 \ 4x − 3y + 2z = 0 \ −2x + 3y − 7z = 1 end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

sin solución

     
 
 
 
 
 

Cuando resolvemos un sistema y terminamos sin variables sino una declaración verdadera, sabemos que hay infinitas soluciones. El sistema es consistente con ecuaciones dependientes. Nuestra solución mostrará cómo dos de las variables dependen de la tercera.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Resuelve el sistema de ecuaciones: ( left { begin {array} {l} x + 2y − z = 1 \ 2x + 7y + 4z = 11 \ x + 3y + z = 4 end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

[ left { begin {array} {ll} x + 2y − z = 1 & (1) \ 2x + 7y + 4z = 11 & (2) \ x + 3y + z = 4 & (3) end {array} right. Nonumber ]

     

Use la ecuación (1) y (3) para eliminar x .

     The equations are x plus 2y minus z equals 1, 2x plus 7y plus 4z equals 11 and x plus 3y plus z equals 4. Multiply equation 1 with minus 1 and add it to equation 3. We get equation 4, y plus 2z equals 3.      

Use la ecuación (1) y (2) para eliminar x nuevamente.

     Multiply equation 1 with minus 2 and add it to equation 2. We get equation 5, 3y plus 6z equals 9.      

Use la ecuación (4) y (5) para eliminar (y ).

     Multiply equation 4 with minus 3 and add it to equation 5. We get 0 equal to 0. There are infinite many solutions. Solving equation 4 for y, we get y equal to minus 2z plus 3. Substituting this into equation 1, we get x equal to 5z minus 5. The true statement 0 equal to 0 tells us that this is a dependent system that has infinitely many solutions. The solutions are of the form x, y, z where x is 5z minus 5, y is minus 2z plus 3 and z is any real number.                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Hay infinitas soluciones.
Resuelve la ecuación (4) para y . Representa la solución que muestra cómo x y y dependen de z .
( begin {alineado} y + 2z & = 3 \ y & = −2z + 3 end {alineado} )
Usa la ecuación (1) para resolver x . (x + 2y − z = 1 )
Sustituye (y = −2z + 3 ). ( begin {alineado} x + 2 (−2z + 3) −z & = 1 \ x − 4z + 6 − z & = 1 \ x − 5z + 6 & = 1 \ x & = 5z − 5 end {alineado} )
     

La afirmación verdadera (0 = 0 ) nos dice que este es un sistema dependiente que tiene infinitas soluciones. Las soluciones son de la forma (x, y, z) (x, y, z) donde (x = 5z − 5; space y = −2z + 3 ) y z es cualquier real número.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Resuelve el sistema por ecuaciones: ( left { begin {array} {l} x + y − z = 0 \ 2x + 4y − 2z = 6 \ 3x + 6y − 3z = 9 end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

infinitas soluciones ((x, 3, z) ) donde (x = z − 3; space y = 3; space z ) es cualquier número real

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Resuelva el sistema mediante ecuaciones: ( left { begin {array} {l} x − y − z = 1 \ −x + 2y − 3z = −4 \ 3x − 2y − 7z = 0 end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

infinitas soluciones ((x, y, z) ) donde (x = 5z − 2; space y = 4z − 3; space z ) es cualquier número real

     
 
 
 
 
 
 
 

Resolver aplicaciones usando sistemas de ecuaciones lineales con tres variables

 

Las aplicaciones que son modeladas por un sistema de ecuaciones pueden resolverse usando las mismas técnicas que usamos para resolver los sistemas. Muchas de las aplicaciones son solo extensiones de tres variables de los tipos que hemos resuelto anteriormente.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

El departamento de teatro de la universidad comunitaria vendió tres tipos de entradas para su última producción teatral. Las entradas para adultos se venden por $ 15, las entradas para estudiantes por $ 10 y las entradas para niños por $ 8. El departamento de teatro estaba encantado de haber vendido 250 boletos y traído $ 2,825 en una noche. El número de boletos de estudiantes vendidos es el doble del número de boletos de adultos vendidos. ¿Cuántos de cada tipo vendió el departamento?

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
Usaremos una tabla para organizar la información. .
El número de estudiantes es dos veces el número de adultos.
Reescribe la ecuación en forma estándar. ( begin {alineado} y & = 2x \ 2x − y & = 0 end {alineado} )
.
Use las ecuaciones (1) y (2) para eliminar z .
.
Use (3) y (4) para eliminar (y ).
.
Resuelva para x . (x = 75 ) entradas para adultos
Usa la ecuación (3) para encontrar y . (- 2x + y = 0 )
Sustituye (x = 75 ). ( begin {alineado} −2 (75) + y & = 0 \ −150 + y & = 0 \ y & = 150 text {entradas para estudiantes} end {alineado} ) [19459080 ]              
Usa la ecuación (1) para encontrar z . (x + y + z = 250 )
Sustituir en los valores
(x = 75, space y = 150. ) 		( begin {alineado} 75 + 150 + z & = 250 \ 225 + z & = 250 \ z & = 25 text {tickets infantiles} end {alineado} ) [19459080 ]              
Escribe la solución. El departamento de teatro vendió 75 boletos para adultos,
150 boletos para estudiantes y 25 boletos para niños.
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

El departamento de bellas artes de la universidad comunitaria vendió tres tipos de entradas para su última presentación de baile. Las entradas para adultos se vendieron por $ 20, las entradas para estudiantes por $ 12 y las entradas para niños por $ 10. El departamento de bellas artes estaba encantado de haber vendido 350 boletos y traído $ 4,650 en una noche. El número de boletos para niños vendidos es el mismo que el número de boletos para adultos vendidos. ¿Cuántos de cada tipo vendió el departamento?

 
     
Respuesta
     
     

El departamento de bellas artes vendió 75 boletos para adultos, 200 boletos para estudiantes y 75 boletos para niños.

     
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

El equipo de fútbol de la universidad comunitaria vendió tres tipos de entradas para su último juego. Las entradas para adultos se venden por $ 10, las entradas para estudiantes por $ 8 y las entradas para niños por $ 5. El equipo de fútbol estaba encantado de haber vendido 600 boletos y traído $ 4,900 por un juego. El número de boletos para adultos es el doble del número de boletos para niños. ¿Cuántos de cada tipo vendió el equipo de fútbol?

 
     
Respuesta
     
     

El equipo de fútbol vendió 200 boletos para adultos, 300 boletos para estudiantes y 100 boletos para niños.

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la resolución de un sistema lineal en tres variables con soluciones nulas o infinitas.

 
 
 
 
 
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Ecuación lineal en tres variables: Una ecuación lineal con tres variables, donde a, b, c y d son los números reales y a, b, y c no son todos 0, es de la forma      

    [ax + by + cz = d nonumber ]

         
    Cada solución a la ecuación es un triple ordenado, ((x, y, z) ) que hace que la ecuación sea verdadera.
    •      
  • Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables.      
               
    1. Escribe las ecuaciones en forma estándar
      Si alguno de los coeficientes son fracciones, bórralos.
      2.          
    2. Elimina la misma variable de dos ecuaciones.
      Decide qué variable eliminarás.
      Trabaja con un par de ecuaciones para eliminar la variable elegida.
      Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos.
      Agregue las ecuaciones resultantes del Paso 2 para eliminar una variable
      3.          
    3. Repita el Paso 2 usando otras dos ecuaciones y elimine la misma variable que en el Paso 2.
      4.          
    4. Las dos nuevas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Resuelve este sistema.
      5.          
    5. Use los valores de las dos variables encontradas en el Paso 4 para encontrar la tercera variable.
      6.          
    6. Escribe la solución como un triple ordenado.
      7.          
    7. Verifique que el triple ordenado sea una solución a las tres ecuaciones originales .
      8.      
         
    •  
 
 

Glosario

 
 
 
     
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con tres variables
     
Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones sean verdaderas; una solución está representada por un triple ordenado (x, y, z).
 
 
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