las matematicas

4.5: Usar la forma pendiente-intersección de una ecuación de una línea

4.5: Usar la forma pendiente-intersección de una ecuación de una línea

Ahora que sabemos cómo encontrar la pendiente y (y ) – interceptar una línea de su ecuación, podemos graficar la línea trazando la intercepción (y ) – y luego usar la pendiente para encontrar otra punto.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Representa gráficamente la línea de la ecuación (y = −x − 3 ) usando su pendiente y (y ) – intercepción.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The points (0, negative 3) and (1, negative 4) are plotted on the line.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Representa gráficamente la línea de la ecuación (y = −x − 1 ) usando su pendiente y (y ) – intercepción.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The points (0, negative 1) and (1, negative 2) are plotted on the line.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Representa gráficamente la línea de la ecuación (y = – frac {2} {3} x − 3 ) usando su pendiente y (y ) – intercepción.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(y = mx + b )
La ecuación está en forma de pendiente-intersección. (y = – frac {2} {3} x − 3 )
Identifica la pendiente y (y ) – intercepción. (m = – frac {2} {3} ); (y ) – la intersección es ((0, −3) )
Grafica la (y ) – intercepción. Ver gráfico a continuación.
Identifica el ascenso y la carrera.
Cuente el ascenso y corra para marcar el segundo punto.
Dibuja la línea. .
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Representa gráficamente la línea de la ecuación (y = – frac {5} {2} x + 1 ) usando su pendiente y (y ) – intercepción.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The points (0,1) and (2, negative 4) are plotted on the line.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Representa gráficamente la línea de la ecuación (y = – frac {3} {4} x − 2 ) usando su pendiente y (y ) – intercepción.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The points (0, negative 2) and (4, negative 5) are plotted on the line.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Representa gráficamente la línea de la ecuación (4x − 3y = 12 ) usando su pendiente y (y ) – intercepción.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(4x − 3y = 12 )
Halla la forma pendiente-intersección de la ecuación. (- 3y = −4x + 12 )
(- frac {3y} {3} = frac {−4x + 12} {- 3} )
La ecuación ahora está en forma de pendiente-intersección. (y = frac {4} {3} x − 4 )
Identifica la pendiente y (y ) – intercepción. (m = frac {4} {3} )
(y ) – ntercept es ((0, −4) )
Grafica la (y ) – intercepción. Ver gráfico a continuación.
Identifica el ascenso y la carrera; Cuente el aumento y corra para marcar el segundo punto.
Dibuja la línea. .
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Representa gráficamente la línea de la ecuación (2x − y = 6 ) usando su pendiente y (y ) – intercepción.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The points (0, negative 6) and (1, negative 4) are plotted on the line.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Representa gráficamente la línea de la ecuación (3x − 2y = 8 ) usando su pendiente y (y ) – intercepción.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The points (0, negative 4) and (2, negative 1) are plotted on the line.

     
 
 
 

Hemos utilizado una cuadrícula con (x ) y (y ) que van desde aproximadamente (- 10 ) a (10 ​​) para todas las ecuaciones que hemos graficado hasta ahora. No todas las ecuaciones lineales se pueden graficar en esta pequeña cuadrícula. A menudo, especialmente en aplicaciones con datos del mundo real, tendremos que extender los ejes a números positivos más grandes o negativos más pequeños.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Representa gráficamente la línea de la ecuación (y = 0.2x + 45 ) usando su pendiente y (y ) – intercepción.

 
     
Respuesta
     
     

Utilizaremos una cuadrícula con los ejes que van desde aproximadamente (- 80 ) a (80 ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(y = mx + b )
La ecuación está en forma de pendiente-intersección. (y = 0.2x + 45 )
Identifica la pendiente y (y ) – intercepción. (m = 0.2 )
La (y ) – intercepción es ((0, 45) )
Grafica la (y ) – intercepción. Ver gráfico a continuación.
Cuente el ascenso y corra para marcar el segundo punto. La pendiente es (m = 0.2 ); en forma de fracción, esto significa (m = frac {2} {10} ). Dada la escala de nuestro gráfico, sería más fácil usar la fracción equivalente (m = frac {10} {50} ).
Dibuja la línea. .
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Representa gráficamente la línea de la ecuación (y = 0.5x + 25 ) usando su pendiente y (y ) – intercepción.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 70 to 30. The y-axis of the plane runs from negative 20 to 40. The points (0, 25) and (10, 30) are plotted on the line.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Representa gráficamente la línea de la ecuación (y = 0.1x − 30 ) usando su pendiente y (y ) – intercepción.

 
     
Respuesta
     
     

The figure shows a line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 50 to 350. The y-axis of the plane runs from negative 40 to 40. The points (0, negative 30) and (100, negative 20) are plotted on the line.

     
 
 
 
 

Ahora que graficamos líneas usando la pendiente y (y ) – intercepción, resumamos todos los métodos que hemos usado para graficar líneas. Ver Figura ( PageIndex {2} ).

 
The table has two rows and four columns. The first row spans all four columns and is a header row. The header is “Methods to Graph Lines”. The second row is made up of four columns. The first column is labeled “Plotting Points” and shows a smaller table with four rows and two columns. The first row is a header row with the first column labeled “x” and the second labeled “y”. The rest of the table is blank. Below the table it reads “Find three points. Plot the points, make sure they line up, then draw the line.” The Second column is labeled “Slope–Intercept” and shows the equation y equals m x, plus b. Below the equation it reads “Find the slope and y-intercept. Start at the y-intercept, then count the slope to get a second point.” The third column is labeled “Intercepts” and shows a smaller table with four rows and two columns. The first row is a header row with the first column labeled “x” and the second labeled “y”. The second row has a 0 in the “x” column and the “y” column is blank. The second row is blank in the “x” column and has a 0 in the “y” column. The third row is blank. Below the table it reads “Find the intercepts and a third point. Plot the points, make sure they line up, then draw the line.” The fourth column is labeled “Recognize Vertical and Horizontal Lines”. Below that it reads “The equation has only one variable.” The equation x equals a is a vertical line and the equation y equals b is a horizontal line.  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 
 
 

Elija el método más conveniente para graficar una línea

 

Ahora que hemos visto varios métodos que podemos usar para graficar líneas, ¿cómo sabemos qué método usar para una ecuación dada?

 

Si bien podríamos trazar puntos, usar la forma pendiente-intersección, o encontrar las intersecciones para cualquier ecuación , si reconocemos la forma más conveniente de graficar un cierto tipo de ecuación, nuestro trabajo será más fácil . Generalmente, trazar puntos no es la forma más eficiente de graficar una línea. Vimos mejores métodos en las secciones 4.3, 4.4 y anteriores en esta sección. Busquemos algunos patrones para ayudar a determinar el método más conveniente para graficar una línea.

 

Aquí hay seis ecuaciones que graficamos en este capítulo y el método que utilizamos para representar gráficamente cada una de ellas.

 
 

[ begin {array} {lll} { text {# 1}} & { text {Equation}} & { text {Method}} \ { text {# 2}} & {x = 2} y { text {Línea vertical}} \ { text {# 3}} & {y = 4} y { text {Hortical line}} \ { text {# 4}} & {- x + 2 y = 6} & { text {Intercepts}} \ { text {# 5}} & {4 x-3 y = 12} & { text {Intercepts}} \ { text {# 6}} & {y = 4 x-2} y { text {Pendiente-intersección}} \ { text {# 7}} & {y = -x + 4} & { text {Pendiente-intersección} } end {array} ]

 

Las ecuaciones n. ° 1 y n. ° 2 tienen una sola variable. Recuerde, en ecuaciones de esta forma, el valor de esa variable es constante; no depende del valor de la otra variable. Las ecuaciones de esta forma tienen gráficos que son líneas verticales u horizontales.

 

En las ecuaciones # 3 y # 4, tanto (x ) como (y ) están en el mismo lado de la ecuación. Estas dos ecuaciones son de la forma (Ax + By = C ). Sustituimos (y = 0 ) para encontrar la intersección de (x ) y (x = 0 ) para encontrar la intersección de (y ), y luego encontramos un tercer punto eligiendo otro valor para (x ) o (y ).

 

Las ecuaciones # 5 y # 6 están escritas en forma de pendiente-intersección. Después de identificar la pendiente y (y ) – interceptar de la ecuación, las usamos para graficar la línea.

 

Esto lleva a la siguiente estrategia.

 
 
 

ESTRATEGIA PARA ELEGIR EL MÉTODO MÁS CONVENIENTE PARA GRAFICAR UNA LÍNEA

 

Considere la forma de la ecuación.

 
         
  • Si solo tiene una variable, es una línea vertical u horizontal.      
               
    • (x = a ) es una línea vertical que pasa por el eje (x ) en (a ).
      •          
    • (y = b ) es una línea horizontal que pasa por el eje (y ) en (b ).
      •      
         
    •      
  • Si (y ) está aislado en un lado de la ecuación, en la forma (y = mx + b ), graficar usando la pendiente y (y ) – interceptar.      
               
    • Identifica la pendiente y (y ) – intercepta y luego representa gráficamente.
      •      
         
    •      
  • Si la ecuación es de la forma (Ax + By = C ), encuentre las intersecciones.      
               
    • Encuentra las intersecciones (x ) – y (y ) -, un tercer punto y luego grafica.
      •      
         
    •  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Determine el método más conveniente para graficar cada línea.

 
         
  1. (y = −6 )
    2.      
  2. (5x − 3y = 15 )
    3.      
  3. (x = 7 )
    4.      
  4. (y = frac {2} {5} x − 1 ).
    5.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (y = −6 )
Esta ecuación tiene solo una variable, (y ). Su gráfico es una línea horizontal que cruza el eje (y ) en (- 6 ).

     

2. (5x − 3y = 15 )
Esta ecuación tiene la forma (Ax + By = C ). La forma más fácil de graficarlo será encontrar las intersecciones y un punto más.

     

3. (x = 7 )
Solo hay una variable, (x ). El gráfico es una línea vertical que cruza el eje (x ) en (7 ).

     

4. (y = frac {2} {5} x − 1 )
Dado que esta ecuación está en forma (y = mx + b ), será más fácil graficar esta línea por usando la pendiente y (y ) – intercepción.

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Determine el método más conveniente para graficar cada línea:

 
         
  1. (3x + 2y = 12 )
    2.      
  2. (y = 4 )
    3.      
  3. (y = frac {1} {5} x − 4 )
    4.      
  4. (x = −7 )
    5.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. intercepta
    2.          
  2. línea horizontal
    3.          
  3. pendiente-intercepción
    4.          
  4. línea vertical
    5.      
     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Determine el método más conveniente para graficar cada línea:

 
         
  1. (x = 6 )
    2.      
  2. (y = – frac {3} {4} x + 1 )
    3.      
  3. (y = −8 )
    4.      
  4. (4x − 3y = −1 )
    5.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. línea vertical
    2.          
  2. pendiente-intercepción
    3.          
  3. línea horizontal
    4.          
  4. intercepta
    5.      
     
 
 
 
 
 

Graficar e interpretar aplicaciones de pendiente-intersección

 

Muchas aplicaciones del mundo real están modeladas por ecuaciones lineales. Echaremos un vistazo a algunas aplicaciones aquí para que pueda ver cómo las ecuaciones escritas en forma de pendiente-intercepción se relacionan con situaciones del mundo real.

 

Por lo general, cuando una ecuación lineal modela una situación del mundo real, se utilizan letras diferentes para las variables, en lugar de (x ) e (y ). Los nombres de las variables nos recuerdan qué cantidades se están midiendo.

 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

La ecuación (F = frac {9} {5} C + 32 ) se usa para convertir temperaturas, (C ), en la escala Celsius, a temperaturas, (F ), en Fahrenheit escala.

 
         
  1. Encuentre la temperatura Fahrenheit para una temperatura Celsius de (0 ).
    2.      
  2. Encuentre la temperatura Fahrenheit para una temperatura Celsius de (20 ).
    3.      
  3. Interpreta la pendiente y (F ) – intersección de la ecuación.
    4.      
  4. Representa gráficamente la ecuación.
    5.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( begin {array} {ll} { text {Encuentre la temperatura Fahrenheit para una temperatura Celsius de} 0.} & {F = frac {9} {5} C + 32} \ { text {Find} F text {when} C = 0.} & {F = frac {9} {5} (0) +32} \ { text {Simplify.}} & {F = 32 } end {array} )

     

2. begin {array} {ll} { text {Encuentre la temperatura Fahrenheit para una temperatura Celsius de} 20.} & {F = frac {9} {5} C + 32} \ { text {Find} F text {when} C = 20.} & {F = frac {9} {5} (20) +32} \ { text {Simplify. }} & {F = 36 + 32} \ { text {Simplificar. }} & {F = 68} end {array}

     

3. Interprete la pendiente y (F ) – intersección de la ecuación.

     

Aunque esta ecuación usa (F ) y (C ), todavía está en forma de pendiente-intersección.

     This image shows three lines of equations. The first line reads y equals m x plus b. The second line reads F equals m C plus b and the third line reads F equals nine fifths times C plus 32.      

La pendiente, ( frac {9} {5} ), significa que la temperatura Fahrenheit ( (F )) aumenta (9 ) grados cuando la temperatura Celsius ( (C )) aumenta (5 ) grados.

     

La intercepción (F ) significa que cuando la temperatura es (0 ° ) en la escala Celsius, es (32 ° ) en la escala Fahrenheit.

     

4. Representa gráficamente la ecuación.

     

Tendremos que usar una escala mayor que la habitual. Comience en (F ) – intercepte ((0,32) ) luego cuente el aumento de (9 ) y la ejecución de (5 ) para obtener un segundo punto. Ver Figura ( PageIndex {3} ).

     
No Alt Text      
Figura ( PageIndex {3} )
     
     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

La ecuación (h = 2s + 50 ) se usa para estimar la altura de una mujer en pulgadas, (h ), según el tamaño de su zapato, (s ).

 
         
  1. Estima la altura de un niño que usa zapatos de mujer (0 ).
    2.      
  2. Estima la altura de una mujer con talla de zapato (8 ).
    3.      
  3. Interpreta la pendiente y (h ) – intersección de la ecuación.
    4.      
  4. Representa gráficamente la ecuación.
    5.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (50 ) pulgadas
    2.          
  2. (66 ) pulgadas
    3.          
  3. La pendiente, (2 ), significa que la altura, (h ), aumenta en (2 ) pulgadas cuando el tamaño del zapato, (s ), aumenta en (1 ). La intersección con (h ) significa que cuando el tamaño del zapato es (0 ), la altura es (50 ) pulgadas.
    4.          
    5.      
     

The figure shows a line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane represents the variable s and runs from negative 2 to 15. The y-axis of the plane represents the variable h and runs from negative 1 to 80. The line begins at the point (0, 50) and goes through the points (8, 66).

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

La ecuación (T = frac {1} {4} n + 40 ) se usa para estimar la temperatura en grados Fahrenheit, (T ), en función del número de chirridos de grillos, (n ), en un minuto.

 
         
  1. Estime la temperatura cuando no haya chirridos.
    2.      
  2. Estime la temperatura cuando el número de chirridos en un minuto es (100 ).
    3.      
  3. Interpreta la pendiente y (T ) – intersección de la ecuación.
    4.      
  4. Representa gráficamente la ecuación.
    5.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (40 ) grados
    2.          
  2. (65 ) grados
    3.          
  3. La pendiente, ( frac {1} {4} ), significa que la temperatura Fahrenheit ( (F )) aumenta (1 ) grados cuando el número de chirridos, (n ), aumenta en (4 ). La intercepción (T ) significa que cuando el número de chirridos es (0 ), la temperatura es (40 ° ).
    4.          
    5.      
     

The figure shows a line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane represents the variable n and runs from 10 to 140 The y-axis of the plane represents the variable T and runs from negative 5 to 75. The line begins at the point (0, 40) and goes through the point (100, 65).

     
 
 
 
 
 

El costo de administrar algunos tipos de negocios tiene dos componentes: un costo fijo y un costo variable . El costo fijo es siempre el mismo independientemente de cuántas unidades se produzcan. Este es el costo de alquiler, seguro, equipo, publicidad y otros artículos que deben pagarse regularmente. El costo variable depende del número de unidades producidas. Es por el material y la mano de obra necesarios para producir cada artículo.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Stella tiene un negocio en casa que vende pizzas gourmet. La ecuación (C = 4p + 25 ) modela la relación entre su costo semanal, (C ), en dólares y el número de pizzas, (p ), que vende.

 
         
  1. Encuentra el costo de Stella durante una semana cuando no vende pizzas.
    2.      
  2. Halla el costo de una semana cuando vende (15 ) pizzas.
    3.      
  3. Interprete la pendiente y (C ) – intersección de la ecuación.
    4.      
  4. Representa gráficamente la ecuación.
    5.  
 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Sam conduce una furgoneta de reparto. La ecuación (C = 0.5m + 60 ) modela la relación entre su costo semanal, (C ), en dólares y el número de millas, (m ), que maneja.

 
         
  1. Encuentre el costo de Sam por una semana cuando maneja (0 ) millas.
    2.      
  2. Encuentre el costo de una semana cuando maneja (250 ) millas.
    3.      
  3. Interprete la pendiente y (C ) – intersección de la ecuación.
    4.      
  4. Representa gráficamente la ecuación.
    5.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ($ 60 )
    2.          
  2. ($ 185 )
    3.          
  3. La pendiente, (0.5 ), significa que el costo semanal, (C ), aumenta en ($ 0.50 ) cuando el número de millas conducidas, (n ), aumenta en (1 ) La intersección con (C ) significa que cuando el número de millas recorridas es (0 ), el costo semanal es ($ 60 ).
    4.          
    5.      
     

The figure shows a line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane represents the variable m and runs from negative 10 to 400. The y-axis of the plane represents the variable C and runs from negative 10 to 300. The line begins at the point (0, 65) and goes through the point (250, 185).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Loreen tiene un negocio de caligrafía. La ecuación (C = 1.8n + 35 ) modela la relación entre su costo semanal, (C ), en dólares y el número de invitaciones de boda, (n ), que ella escribe.

 
         
  1. Encuentra el costo de Loreen durante una semana cuando no escribe invitaciones.
    2.      
  2. Encuentre el costo de una semana cuando escribe (75 ) invitaciones.
    3.      
  3. Interprete la pendiente y (C ) – intersección de la ecuación.
    4.      
  4. Representa gráficamente la ecuación.
    5.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ($ 35 )
    2.          
  2. ($ 170 )
    3.          
  3. La pendiente, (1.8 ), significa que el costo semanal, (C ), aumenta en ($ 1.80 ) cuando el número de invitaciones, (n ), aumenta en (1.80 ) . La intercepción (C ) significa que cuando el número de invitaciones es (0 ), el costo semanal es ($ 35 ).
    4.          
    5.      
     

The figure shows a line graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane represents the variable n and runs from negative 10 to 400. The y-axis of the plane represents the variable C and runs from negative 10 to 300. The line begins at the point (0, 35) and goes through the point (75, 170).

     
 
 
 

Usar pendientes para identificar líneas paralelas

 

La pendiente de una línea indica qué tan empinada es la línea y si sube o baja a medida que la leemos de izquierda a derecha. Dos líneas que tienen la misma pendiente se llaman líneas paralelas. Las líneas paralelas nunca se cruzan.

 
The figure shows three pairs of lines side-by-side. The pair of lines on the left run diagonally rising from left to right. The pair run side-by-side, not crossing. The pair of lines in the middle run diagonally dropping from left to right. The pair run side-by-side, not crossing. The pair of lines on the right run diagonally also dropping from left to right, but with a lesser slope. The pair run side-by-side, not crossing.  
Figura ( PageIndex {4} ).
 
 
The figure shows two lines graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 8 to 8. The y-axis of the plane runs from negative 8 to 8. One line goes through the points (negative 5,1) and (5,5). The other line goes through the points (negative 5, negative 4) and (5,0).  
Figura ( PageIndex {4} ): Verifique que ambas líneas tengan la misma pendiente, (m = frac {2} {5} ) y diferentes (y ) – intersecciones.
 
 

¿Qué pasa con las líneas verticales? La pendiente de una línea vertical no está definida, por lo que las líneas verticales no se ajustan a la definición anterior. Decimos que las líneas verticales que tienen diferentes (x ) – las intersecciones son paralelas. Ver Figura ( PageIndex {5} ).

 
The figure shows two vertical lines graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 8 to 8. The y-axis of the plane runs from negative 8 to 8. One line goes through the points (2,1) and (2,5). The other line goes through the points (5, negative 4) and (5,0).  
Figura ( PageIndex {5} ): Las líneas verticales con diferentes x -interceptos son paralelos.
 
 
 
 

LÍNEAS PARALELAS

 

Las líneas paralelas son líneas en el mismo plano que no se cruzan.

 
         
  • Las líneas paralelas tienen la misma pendiente y diferentes (y ) – intersecciones.
    •      
  • Si (m_ {1} ) y (m_ {2} ) son las pendientes de dos líneas paralelas, entonces (m_ {1} = m_ {2} ).
    •      
  • Las líneas verticales paralelas tienen diferentes (x ) – intersecciones.
    •  
 
 

Grafiquemos las ecuaciones (y = −2x + 3 ) y (2x + y = −1 ) en la misma cuadrícula. La primera ecuación ya está en forma de pendiente-intersección: (y = −2x + 3 ). Resolvemos la segunda ecuación para (y ):

 
 
 
 

[ begin {alineado} 2x + y & = – 1 \ y & = – 2x-1 end {alineado} ]

 

Representa gráficamente las líneas.

 

The figure shows two lines graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 8 to 8. The y-axis of the plane runs from negative 8 to 8. One line goes through the points (negative 4, 7) and (3, negative 7). The other line goes through the points (negative 2, 7) and (5, negative 7).

 

Observe que las líneas se ven paralelas. ¿Cuál es la pendiente de cada línea? ¿Cuál es la intersección (y ) de cada línea?

 
 

[ begin {array} {lll} {y} & {= m x + b} & {y = m x + b} \ {y} & {= -2 x + 3} & {y = -2 x-1} \ {m} & {= -2} & {m = -2} \ {b} & {= 3, (0,3)} & {b = -1, (0 , -1)} end {array} ]

 

Las pendientes de las líneas son las mismas y la intersección (y ) de cada línea es diferente. Entonces sabemos que estas líneas son paralelas.

 

Dado que las líneas paralelas tienen la misma pendiente e intersecciones (y ) diferentes, ahora podemos ver la forma pendiente-intersección de las ecuaciones de las líneas y decidir si las líneas son paralelas.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} )

 

Use pendientes y (y ) – intercepta para determinar si las líneas (3x − 2y = 6 ) y (y = frac {3} {2} x + 1 ) son paralelas.

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lrll} { text {Resuelva la primera ecuación para} y.} & {3 x-2 y} & {=} & {6} \ {} & { frac {-2 y} {- 2}} & {=} y {- 3 x + 6} \ {} y { frac {-2 y} {- 2}} & {=} & { frac {- 3 x + 6} {- 2}} \ {} & {y} & {=} & { frac {3} {2} x-3} end {array} )

     

La ecuación ahora está en forma de pendiente-intersección.

     

La ecuación de la segunda línea ya está en forma de pendiente-intersección.

     

Identifique la pendiente y (y ) – intercepción de ambas líneas.

     

( begin {array} {lll} {y = frac {3} {2} x + 1} & {} & {y = frac {3} {2} x-3} \ { y = m x + b} & {} & {y = m x + b} \ {m = frac {3} {2}} & {} & {m = frac {3} {2}} {Y text {-intercept is} (0, 1)} & {} & {y text {-intercept is} (0, −3)} end {array} )

     

Las líneas tienen la misma pendiente y diferentes (y ) – intersecciones, por lo que son paralelas. Es posible que desee graficar las líneas para confirmar si son paralelas.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {35} )

 

Use pendientes y (y ) – intercepta para determinar si las líneas (2x + 5y = 5 ) y (y = – frac {2} {5} x − 4 ) son paralelas.

 
     
Respuesta
     
     

paralelo

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {36} )

 

Use pendientes y (y ) – intercepta para determinar si las líneas (4x − 3y = 6 ) y (y = frac {4} {3} x − 1 ) son paralelas.

 
     
Respuesta
     
     

paralelo

     
 
 
 

Usar pendientes para identificar líneas perpendiculares

 

Veamos las líneas cuyas ecuaciones son (y = frac {1} {4} x − 1 ) y (y = −4x + 2 ), que se muestran en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
The figure shows two lines graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 8 to 8. The y-axis of the plane runs from negative 8 to 8. One line is labeled with the equation y equals negative 4x plus 2 and goes through the points (0,2) and (1, negative 2). The other line is labeled with the equation y equals one fourth x minus 1 and goes through the points (0, negative 1) and (4,0).  
Figura ( PageIndex {5} )
 
 

Estas líneas se encuentran en el mismo plano y se cruzan en ángulo recto. Llamamos a estas líneas perpendiculares .

 

¿Qué notas sobre las pendientes de estas dos líneas? A medida que leemos de izquierda a derecha, la línea (y = 14x − 1 ) aumenta, por lo que su pendiente es positiva. La línea (y = −4x + 2 ) cae de izquierda a derecha, por lo que tiene una pendiente negativa. ¿Tiene sentido que las pendientes de dos líneas perpendiculares tengan signos opuestos?

 

Si observamos la pendiente de la primera línea, (m_ {1} = 14 ), y la pendiente de la segunda línea, (m_ {2} = – 4 ), podemos ver que son recíprocos negativos uno del otro. Si los multiplicamos, su producto es (- 1 ).

 

[ begin {array} {c} {m_ {1} cdot m_ {2}} \ { frac {1} {4} (- 4)} \ {-1} end { matriz} ]

 

Esto siempre es cierto para líneas perpendiculares y nos lleva a esta definición.

 
 
 

LÍNEAS PERPENDICULARES

 

Las líneas perpendiculares son ​​líneas en el mismo plano que forman un ángulo recto.

 

Si m1 y m2 son las pendientes de dos líneas perpendiculares, entonces:

 

[m_ {1} cdot m_ {2} = – 1 text {y} m_ {1} = frac {-1} {m_ {2}} ]

 

Las líneas verticales y horizontales siempre son perpendiculares entre sí.

 
 

Pudimos observar la forma pendiente-intersección de ecuaciones lineales y determinar si las líneas eran paralelas o no. Podemos hacer lo mismo para las líneas perpendiculares.

 

Encontramos la forma pendiente-intersección de la ecuación, y luego vemos si las pendientes son recíprocas negativas. Si el producto de las pendientes es (- 1 ), las líneas son perpendiculares. Las líneas perpendiculares pueden tener los mismos (y ) – intersecciones.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {46} )

 

Use pendientes para determinar si las líneas, (y = −5x − 4 ) y (x − 5y = 5 ) son perpendiculares.

 
     
Respuesta
     
     

La primera ecuación ya está en forma de pendiente-intersección: ( quad y = −5x − 4 )

( begin {array} {llll} { text {Resolver la segunda ecuación para} y.} y {x-5y} y {=} y {5} \ {} & {- 5 y} y {=} y {- x + 5} \ {} y { frac {- 5 y} {- 5}} & {=} y { frac {-x + 5} {- 5}} \ {} & {y} & {=} y { frac {1} {5} x -1} end {array} )

     

La segunda ecuación ahora también está en forma de pendiente-intersección.

     

( begin {array} {lrllllll} { text {Identifica la pendiente de cada línea.}} & {Y} & {=} & {- 5 x-4} & {} & {y} & {=} & { frac {1} {5} x-1} \ {} & {y} & {=} & {m x + b} & {} & {y} & {=} & {m x + b} \ {} y {m_ {1}} y {=} y {- 5} y {} y {m_ {2}} y {=} y { frac {1} {5}} end {array} )

     

Las pendientes son recíprocas negativas entre sí, por lo que las líneas son perpendiculares. Verificamos multiplicando las pendientes,

     

[ begin {array} {l} {m_ {1} cdot m_ {2}} \ {-5 left ( frac {1} {5} right)} \ {-1 marca de verificación} end {array} ]

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {47} )

 

Use pendientes para determinar si las líneas (y = −3x + 2 ) y (x − 3y = 4 ) son perpendiculares.

 
     
Respuesta
     
     

perpendicular

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {48} )

 

Use pendientes para determinar si las líneas (y = 2x − 5 ) y (x + 2y = −6 ) son perpendiculares.

 
     
Respuesta
     
     

perpendicular

     
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {49} )

 

Use pendientes para determinar si las líneas, (7x + 2y = 3 ) y (2x + 7y = 5 ) son perpendiculares.

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lrlrl} { text {Resuelva las ecuaciones para y.}} Y {7 x + 2 y} y {= 3} y {2 x + 7 y} y {=} & {5} \ {} & {2 y} & {= -7 x + 3} y {7 y} & {=} & {- 2 x + 5} \ {} & { frac {2 y } {2}} y {= frac {-7 x + 3} {2} quad} y { frac {7 y} {7}} & {=} y { frac {-2 x + 5} {7}} \ {} & {y} & {= – frac {7} {2} x + frac {3} {2}} & {y} & {=} & { frac {-2} {7} x + frac {5} {7}} \ \ { text {Identifique la pendiente de cada línea.}} & {Y} & {= m x + b} & {y} & {= } & {m x + b} \ {} & {m_ {1}} & {= – frac {7} {2}} y {m_ {2}} & {=} & {- frac {2 } {7}} end {array} )

     

Las pendientes son recíprocas entre sí, pero tienen el mismo signo. Como no son recíprocos negativos, las líneas no son perpendiculares.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {50} )

 

Use pendientes para determinar si las líneas (5x + 4y = 1 ) y (4x + 5y = 3 ) son perpendiculares.

 
     
Respuesta
     
     

no perpendicular

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {51} )

 

Use pendientes para determinar si las líneas (2x − 9y = 3 ) y (9x − 2y = 1 ) son perpendiculares.

 
     
Respuesta
     
     

no perpendicular

     
 
 
 
 

Nota

 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con gráficos.

 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • La forma pendiente-intersección de una ecuación de una línea con pendiente mm y (y ) – intersección, ((0, b) ) es, (y = mx + b ).
    •      
  • Graficar una línea usando su pendiente y (y ) – Intercepción      
               
    1. Encuentra la forma pendiente-intersección de la ecuación de la recta.
      2.          
    2. Identifica la pendiente y (y ) – intercepción.
      3.          
    3. Trace la (y ) – intercepción.
      4.          
    4. Use la fórmula de pendiente (m = dfrac { text {rise}} { text {run}} ) para identificar el ascenso y la carrera.
      5.          
    5. Comenzando en la intersección (y ), cuente el aumento y corra para marcar el segundo punto.
      6.          
    6. Conecte los puntos con una línea.
      7.      
         
    •      
  • Estrategia para elegir el método más conveniente para graficar una línea: Considere la forma de la ecuación.      
               
    • Si solo tiene una variable, es una línea vertical u horizontal.
      (x = a ) es una línea vertical que pasa por el eje (x ) en a.
      (y = b ) es una línea horizontal que pasa por el eje (y ) en (b ).
      •          
    • Si (y ) está aislado en un lado de la ecuación, en la forma (y = mx + b ), graficar usando la pendiente y (y ) – interceptar.
      Identifica la pendiente y (y ) – intercepta y luego representa gráficamente.
      •          
    • Si la ecuación es de la forma (Ax + By = C ), encuentre las intersecciones.
      Encuentra las intersecciones (x ) – y (y ) -, un tercer punto y luego grafica.
      •      
         
    •      
  • Las líneas paralelas son líneas en el mismo plano que no se cruzan.      
               
    • Las líneas paralelas tienen la misma pendiente y diferentes (y ) – intersecciones.
      •          
    • Si (m_1 ) y (m_2 ) son las pendientes de dos líneas paralelas, entonces (m_1 = m_2 ).
      •          
    • Las líneas verticales paralelas tienen diferentes (x ) – intersecciones.
      •      
         
    •      
  • Las líneas perpendiculares son líneas en el mismo plano que forman un ángulo recto.      
               
    • Si (m_1 ) y (m_2 ) son las pendientes de dos líneas perpendiculares, entonces (m_1 cdot m_2 = −1 ) y (m_1 = frac {−1} {m_2} )
      •          
    • Las líneas verticales y horizontales siempre son perpendiculares entre sí.
      •      
         
    •  
 

 

Glosario

 
     
líneas paralelas
     
Líneas en el mismo plano que no se cruzan.
 
 
     
líneas perpendiculares
     
Líneas en el mismo plano que forman un ángulo recto.
 
 
     
forma pendiente-intersección de una ecuación de una línea
     
La forma pendiente-intersección de una ecuación de una línea con pendiente mm y (y ) – intersección, ((0, b) ) es, (y = mx + b ).
 
 
 
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antonio1095

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