las matematicas

4.6: Encontrar la ecuación de una línea

4.6: Encontrar la ecuación de una línea

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Encuentre una ecuación de la línea dada la pendiente y la intersección con el eje y
    •      
  • Encuentra una ecuación de la línea dada la pendiente y un punto
    •      
  • Encuentra una ecuación de la línea dada dos puntos
    •      
  • Encuentra una ecuación de una línea paralela a una línea dada
    •      
  • Encuentra una ecuación de una línea perpendicular a una línea dada
    •  
 
 
 

Nota

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Resuelve: ( frac {2} {3} = frac {x} {5} ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 2.2.4 .
    2.      
  2. Simplifique: (- frac {2} {5} (x − 15) ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.10.34 .
    3.  
 
 

¿Cómo saben los minoristas en línea que “también te puede gustar” un artículo en particular basado en algo que acabas de pedir? ¿Cómo pueden los economistas saber cómo un aumento en el salario mínimo afectará la tasa de desempleo? ¿Cómo crean los investigadores médicos medicamentos para atacar las células cancerosas? ¿Cómo pueden los ingenieros de tráfico predecir el efecto en su tiempo de viaje de un aumento o disminución en los precios del gas? Todo es matemática.

 

Estás en un punto emocionante en tu viaje matemático ya que las matemáticas que estás estudiando tienen aplicaciones interesantes en el mundo real.

 

Las ciencias físicas, las ciencias sociales y el mundo de los negocios están llenos de situaciones que pueden modelarse con ecuaciones lineales que relacionan dos variables. Los datos se recopilan y grafican. Si los puntos de datos parecen formar una línea recta, se puede usar una ecuación de esa línea para predecir el valor de una variable en función del valor de la otra variable.

 

Para crear un modelo matemático de una relación lineal entre dos variables, debemos ser capaces de encontrar la ecuación de la línea. En esta sección veremos varias formas de escribir la ecuación de una línea. El método específico que usemos estará determinado por la información que se nos proporcione.

 
 

Encuentre una ecuación de la línea dada la pendiente y y -Intercepción

 

Podemos determinar fácilmente la pendiente y la intersección de una línea si la ecuación se escribió en forma de pendiente-intersección, y = mx + b. Ahora, haremos lo contrario: comenzaremos con la pendiente y y -interceptamos y los usaremos para encontrar la ecuación de la recta.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Encuentre una ecuación de una línea con pendiente −7 y y -intercept (0, −1).

 
     
Respuesta
     
     

Dado que se nos da la pendiente y y -intercepción de la línea, podemos sustituir los valores necesarios en la forma pendiente-intersección, y = mx + b.

          
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Encuentre una ecuación de una línea con pendiente ( frac {2} {5} ) y y -intercepción (0,4).

 
     
Respuesta
     
     

(y = frac {2} {5} x + 4 )

     
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentre una ecuación de una línea con pendiente −1 y y -intercept (0, −3).

 
     
Respuesta
     
     

(y = −x − 3 )

     
 
 
 

A veces, la pendiente y la intersección deben determinarse a partir del gráfico.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Encuentra la ecuación de la línea que se muestra.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axes each run from negative 7 to 7. A line intercepts the y-axis at (0, negative 4), passes through the plotted point (3, negative 2), and intercepts the x-axis at (4, 0).

 
     
Respuesta
     
     

Necesitamos encontrar la pendiente y y -intercepción de la línea del gráfico para poder sustituir los valores necesarios en la forma pendiente-intersección, y = mx + por = mx + b.

     

Para encontrar la pendiente, elegimos dos puntos en el gráfico.

     

La intersección y es (0, −4) y el gráfico pasa por (3, −2).

          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Encuentra la ecuación de la línea que se muestra en el gráfico.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axes each run from negative 7 to 7. A line intercepts the x-axis at (negative 2, 0), intercepts the y-axis at (0, 1) and passes through the plotted point (5, 4).

 
     
Respuesta
     
     

(y = frac {3} {5} x + 1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentra la ecuación de la línea que se muestra en el gráfico.

 

The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axes each run from negative 7 to 7. A line intercepts the y-axis at (0, negative 5), passes through the plotted point (3, negative 1), and intercepts the x-axis at (15 fourths, 0).

 
     
Respuesta
     
     

(y = frac {4} {3} x − 5 )

     
 
 
 
 
 

Encuentre una ecuación de la línea dada la pendiente y un punto

 

Encontrar una ecuación de una línea usando la forma pendiente-intersección de la ecuación funciona bien cuando se te da la pendiente y y -intercepción o cuando los lees en un gráfico. Pero, ¿qué sucede cuando tienes otro punto en lugar de la intercepción y ?

 

Vamos a usar la fórmula de la pendiente para derivar otra forma de una ecuación de la recta. Supongamos que tenemos una línea que tiene pendiente mm y que contiene algún punto específico ((x_ {1}, y_ {1}) ) y algún otro punto, que simplemente llamaremos (x, y). Podemos escribir la pendiente de esta línea y luego cambiarla a una forma diferente.

 

( begin {array} {lrll} & m & = frac {y-y_ {1}} {x-x_ {1}} \ text {Multiplica ambos lados de la ecuación por} x − x_ {1}. & M left (x-x_ {1} right) & = left ( frac {y-y_ {1}} {x-x_ {1}} right) left (x-x_ { 1} right) \ text {Simplify.} & M left (x-x_ {1} right) & = y-y_ {1} \ text {Reescribe la ecuación con los términos y a la izquierda. } & y-y_ {1} & = m left (x-x_ {1} right) end {array} )

 

Este formato se denomina forma punto-pendiente de una ecuación de una línea.

 
 
 

FORMA DE PUNTO-PENDIENTE DE UNA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA

 

La forma punto-pendiente de una ecuación de una línea con pendiente mm y que contiene el punto ((x_ {1}, y_ {1}) ) es

 

No alt text

 
 
 

Podemos usar la forma punto-pendiente de una ecuación para encontrar una ecuación de una línea cuando se nos da la pendiente y un punto. Luego reescribiremos la ecuación en forma de pendiente-intersección. La mayoría de las aplicaciones de ecuaciones lineales usan la forma pendiente-intersección.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ): Encuentra una ecuación de una línea dada la pendiente y un punto

 

Encuentre una ecuación de una línea con pendiente (m = frac {2} {5} ) que contiene el punto (10,3). Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

This figure is a table that has three columns and four rows. The first column is a header column, and it contains the names and numbers of each step. The second column contains further written instructions. The third column contains math. In the first row of the table, the first cell on the left reads: “Step 1. Identify the slope.” The text in the second cell reads: “The slope is given.” The third cell contains the slope of a line, defined as m equals 2 fifths.
In the second row, the first cell reads: “Step 2. Identify the point.” The second cell reads: “The point is given.” The third cell contains the ordered pair (10, 3). A superscript x subscript 1 is written over 10, and a superscript y subscript 1 is written over 3.
In the third row, the first cell reads: “Step 3. Substitute the values into the point-slope form, y minus y subscript 1 equals m times x minus x subscript 1 in parentheses.” The top line of the second cell is left blank. The third cell features the point-slope form written again: y minus y subscript 1 equals m times x minus x subscript 1 in parentheses. Below this is the point-slope form with 10 substituted for x subscript 1, 3 substituted for y subscript 1, and 2 fifths substituted for m: y minus 3 equals 2 fifths times x minus 10 in parentheses. One line down, the instructions in the second cell say: “Simplify.” In the third cell is y minus 3 equals 2 fifths x minus 4.
In the fourth row, the first cell reads: “Write the equation in slope-intercept form.” The second cell is blank. In the third cell is y equals 2 fifths x minus 1.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Encuentre una ecuación de una línea con pendiente (m = frac {5} {6} ) y que contenga el punto (6,3).

 
     
Respuesta
     
     

(y = frac {5} {6} x − 2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Encuentra una ecuación de una línea con pendiente (m = frac {2} {3} ) y que contiene el punto (9,2).

 
     
Respuesta
     
     

(y = frac {2} {3} x − 4 )

     
 
 
 
 
 

ENCUENTRE UNA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA DADA LA PENDIENTE Y UN PUNTO.

 
         
  1. Identifica la pendiente.
    2.      
  2. Identifica el punto.
    3.      
  3. Sustituya los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
    4.      
  4. Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.
    5.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Encuentre una ecuación de una línea con pendiente (m = – frac {1} {3} ) que contiene el punto (6, −4). Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

Dado que se nos da un punto y la pendiente de la línea, podemos sustituir los valores necesarios en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).

          
 
 
 
 
 
     
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Encuentre una ecuación de una línea con pendiente (m = – frac {2} {5} ) y que contenga el punto (10, −5).

 
     
Respuesta
     
     

(y = – frac {2} {5} x − 1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Encuentra una ecuación de una línea con pendiente (m = – frac {3} {4} ) y que contiene el punto (4, −7).

 
     
Respuesta
     
     

(y = – frac {3} {4} x − 4 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Encuentra una ecuación de una línea horizontal que contenga el punto (−1,2). Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

Cada línea horizontal tiene pendiente 0. Podemos sustituir la pendiente y los puntos en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).

         ¿Terminamos con la forma de una línea horizontal, y = a?
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Encuentra una ecuación de una línea horizontal que contenga el punto (−3,8).

 
     
Respuesta
     
     

y = 8

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Encuentra una ecuación de una línea horizontal que contenga el punto (−1,4).

 
     
Respuesta
     
     

y = 4

     
 
 
 

Encuentre una ecuación de la línea dados dos puntos

 

Cuando se recopilan datos del mundo real, se puede crear un modelo lineal a partir de dos puntos de datos. En el siguiente ejemplo, veremos cómo encontrar una ecuación de una línea cuando solo se dan dos puntos.

 

Hasta ahora tenemos dos opciones para encontrar una ecuación de una línea: pendiente-intersección o punto-pendiente. Como conoceremos dos puntos, tendrá más sentido usar la forma punto-pendiente.

 

Pero luego necesitamos la pendiente. ¿Podemos encontrar la pendiente con solo dos puntos? Si. Luego, una vez que tenemos la pendiente, podemos usarla y uno de los puntos dados para encontrar la ecuación.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} ): Encuentra una ecuación de una línea dados dos puntos

 

Encuentra una ecuación de una línea que contenga los puntos (5,4) y (3,6). Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

This figure is a table that has three columns and four rows. The first column is a header column, and it contains the names and numbers of each step. The second column contains further written instructions. The third column contains math. In the first row of the table, the first cell on the left reads: “Step 1. Find the slope using the given points.” The text in the second cell reads: “To use the point-slope form, we first find the slope.” The third cell contains the slope of a line formula: m equals y superscript 2 minus y superscript 1 divided by x superscript 2 minus x superscript 1. Below this is m equals 6 minus 4 divided by 3 minus 5. Below this is m equals 2 divided by negative 2. Below this is m equals negative 1. In the second row, the first cell reads: “Step 2. Choose one point.” The second cell reads: “Choose either point.” The third cell contains the ordered pair (5, 4) with a superscript x subscript 1 over 5 and a superscript y subscript 1 over 4. In the third row, the first cell reads: “Step 3. Substitute the values into the point-slope form, y minus y subscript 1 equals m times x minus x subscript 1 in parentheses.” The top line of the second cell is left blank. The third cell contains the point-slope form, y minus y subscript 1 equals m times x minus x subscript 1 in parentheses. Below this is the point-slope form with 5 substituted for x subscript 1, 4 substituted for y subscript 1, and negative 1 substituted for m: y minus 4 equals negative 1 times x minus 5 in parentheses. Below this is y minus 4 equals negative x plus 5. In the fourth row, the first cell reads: “Step 4. Write the equation in slope-intercept form.” The second cell is blank. The third cell contains y equals negative x plus 9.

     

Usa el punto (3,6) y observa que obtienes la misma ecuación.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Encuentra una ecuación de una línea que contenga los puntos (3,1) y (5,6).

 
     
Respuesta
     
     

(y = frac {5} {2} x− frac {13} {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Encuentra una ecuación de una línea que contenga los puntos (1,4) y (6,2).

 
     
Respuesta
     
     

(y = – frac {2} {5} x + frac {22} {5} )

     
 
 
 
 
 

ENCUENTRE UNA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA DADA DOS PUNTOS.

 
         
  1. Encuentra la pendiente usando los puntos dados.
    2.      
  2. Elija un punto.
    3.      
  3. Sustituya los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
    4.      
  4. Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.
    5.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Encuentra una ecuación de una línea que contenga los puntos (−3, −1) y (2, −2). Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

Como tenemos dos puntos, encontraremos una ecuación de la línea usando la forma punto-pendiente. El primer paso será encontrar la pendiente.

          
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Encuentra una ecuación de una línea que contenga los puntos (−2, −4) y (1, −3).

 
     
Respuesta
     
     

(y = frac {1} {3} x− frac {10} {3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Encuentra una ecuación de una línea que contenga los puntos (−4, −3) y (1, −5).

 
     
Respuesta
     
     

(y = – frac {2} {5} x− frac {23} {5} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Encuentra una ecuación de una línea que contenga los puntos (−2,4) y (−2, −3). Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

Nuevamente, el primer paso será encontrar la pendiente.

     

( begin {array} {lrl} text {Encuentra la pendiente de la línea a través de} (- 2,4) text {y} (- 2, -3) & & & \ & m & = & frac {y_ {2} -x_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} \ & m & = & frac {-3-4} {- 2 – (- 2)} \ & m & = & frac {-7} {0} \ \ text {La pendiente no está definida.} & & & end {array} )

     

Esto nos dice que es una línea vertical. Ambos puntos tienen una x -coordinada de −2. Entonces nuestra ecuación de la línea es x = −2. Como no hay yy, no podemos escribirlo en forma de pendiente-intersección.

     

Es posible que desee dibujar un gráfico utilizando los dos puntos dados. ¿El gráfico está de acuerdo con nuestra conclusión de que esta es una línea vertical?

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Encuentra una ecuación de una línea que contenga los puntos (5,1) y (5, −4).

 
     
Respuesta
     
     

x = 5

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Encuentre una ecuación de una línea que contenga los puntos (−4,4) y (−4,3).

 
     
Respuesta
     
     

x = −4

     
 
 
 

Hemos visto que podemos usar la forma pendiente-intersección o la forma punto-pendiente para encontrar una ecuación de una línea. El formulario que usemos dependerá de la información que se nos brinde. Esto se resume en la Tabla ( PageIndex {1} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                        
Para escribir una ecuación de una línea
Si se da: Uso: Formulario:
Pendiente y y -intercepción pendiente-intercepción y = mx + b
Pendiente y un punto punto-pendiente (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) )
Dos puntos punto-pendiente (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) )
 

Tabla ( PageIndex {1} )

 

Encuentre una ecuación de una línea paralela a una línea dada

 

Supongamos que necesitamos encontrar una ecuación de una línea que pase por un punto específico y sea paralela a una línea dada. Podemos usar el hecho de que las líneas paralelas tienen la misma pendiente. Entonces tendremos un punto y la pendiente, justo lo que necesitamos para usar la ecuación punto-pendiente.

 

Primero veamos esto gráficamente.

 

La gráfica muestra la gráfica de y = 2x − 3. Queremos graficar una línea paralela a esta línea y que pase por el punto (−2,1).

 
The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axes each run from negative 7 to 7. The line whose equation is y equals 2x minus 3 intercepts the y-axis at (0, negative 3) and intercepts the x-axis at (3 halves, 0). Elsewhere on the graph, the point (negative 2, 1) is plotted.  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 

Sabemos que las líneas paralelas tienen la misma pendiente. Entonces la segunda línea tendrá la misma pendiente que y = 2x − 3. Esa pendiente es (m _ { |} = 2 ). Usaremos la notación (m _ { |} ) para representar la pendiente de una línea paralela a una línea con pendiente m. (Observe que el subíndice ∥ se parece a dos líneas paralelas).

 

La segunda línea pasará (−2,1) y tendrá m = 2. Para graficar la línea, comenzamos en (−2,1) y contamos el aumento y la carrera. Con m = 2 (o (m = frac {2} {1} )), contamos el ascenso 2 y la carrera 1. Dibujamos la línea.

 
The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axes each run from negative 7 to 7. The line whose equation is y equals 2x minus 3 intercepts the y-axis at (0, negative 3) and intercepts the x-axis at (3 halves, 0). The points (negative 2, 1) and (negative 1, 3) are plotted. A second line, parallel to the first, intercepts the x-axis at (negative 5 halves, 0), passes through the points (negative 2, 1) and (negative 1, 3), and intercepts the y-axis at (0, 5).  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 

¿Las líneas aparecen paralelas? ¿Pasa la segunda línea (−2,1)?

 

Ahora, veamos cómo hacer esto algebraicamente.

 

Podemos usar la forma pendiente-intersección o la forma punto-pendiente para encontrar una ecuación de una línea. Aquí conocemos un punto y podemos encontrar la pendiente. Entonces usaremos la forma punto-pendiente.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Encuentre una ecuación de una línea paralela a la línea y = 3x + 1 que contiene el punto (4,2). Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

y = 3x − 10

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Encuentre una ecuación de una línea paralela a la línea (y = frac {1} {2} x − 3 ) que contiene el punto (6,4).

 
     
Respuesta
     
     

(y = frac {1} {2} x + 1 )

     
 
 
 
 

ENCUENTRE UNA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA PARALELA A UNA LÍNEA DADA.

 
 
         
  1. Encuentra la pendiente de la línea dada.
    2.      
  2. Encuentra la pendiente de la línea paralela.
    3.      
  3. Identifica el punto.
    4.      
  4. Sustituya los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
    5.      
  5. Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.
    6.  
 
 
 

Encuentre una ecuación de una línea perpendicular a una línea dada

 

Ahora, consideremos las líneas perpendiculares. Supongamos que necesitamos encontrar una línea que pase por un punto específico y que sea perpendicular a una línea dada. Podemos usar el hecho de que las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas. Nuevamente usaremos la ecuación punto-pendiente, como hicimos con líneas paralelas.

 

La gráfica muestra la gráfica de y = 2x − 3. Ahora, queremos graficar una línea perpendicular a esta línea y pasar a través de (−2,1).

 
The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axes each run from negative 7 to 7. The line whose equation is y equals 2x minus 3 intercepts the y-axis at (0, negative 3) and intercepts the x-axis at (3 halves, 0). Elsewhere on the graph, the point (negative 2, 1) is plotted.  
Figura ( PageIndex {3} )
 
 

Sabemos que las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas. Usaremos la notación (m _ { perp} ) para representar la pendiente de una línea perpendicular a una línea con pendiente m. (Observe que el subíndice (_ { perp} ) se parece a los ángulos rectos formados por dos líneas perpendiculares.)

 

[ begin {array} {cl} {y = 2 x-3} & { text {línea perpendicular}} \ {m = 2} & {m _ { perp} = – frac {1 } {2}} end {array} ]

 

Ahora sabemos que la línea perpendicular pasará por (−2,1) con (m _ { perp} = – frac {1} {2} ).

 

Para graficar la línea, comenzaremos en (−2,1) y contaremos el aumento −1 y la carrera 2. Luego dibujamos la línea.

 
The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axes each run from negative 7 to 7. The line whose equation is y equals 2x minus 3 intercepts the y-axis at (0, negative 3) and intercepts the x-axis at (3 halves, 0). Elsewhere, the point (negative 2, 1) is plotted. Another line perpendicular to the first line passes through the point (negative 2, 1) and intercepts the x and y-axes at (0, 0). A red line with an arrow extends left from (0, 0) to (negative 2, 0), then extends up and terminates at (negative 2, 1), forming a right triangle with the second line as a hypotenuse.  
Figura ( PageIndex {4} )
 
 

¿Las líneas aparecen perpendiculares? ¿Pasa la segunda línea (−2,1)?

 

Ahora, veamos cómo hacer esto algebraicamente. Podemos usar la forma pendiente-intersección o la forma punto-pendiente para encontrar una ecuación de una línea. En este ejemplo, conocemos un punto y podemos encontrar la pendiente, por lo que usaremos la forma punto-pendiente.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Encuentre una ecuación de una línea perpendicular a la línea y = 3x + 1 que contiene el punto (4,2). Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

(y = – frac {1} {3} x + frac {10} {3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Encuentre una ecuación de una línea perpendicular a la línea (y = frac {1} {2} x − 3 ) que contiene el punto (6,4).

 
     
Respuesta
     
     

y = −2x + 16

     
 
 
 
 
 

ENCUENTRE UNA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA PERPENDICULAR A UNA LÍNEA DADA.

 
         
  1. Encuentra la pendiente de la línea dada.
    2.      
  2. Encuentra la pendiente de la línea perpendicular.
    3.      
  3. Identifica el punto.
    4.      
  4. Sustituya los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
    5.      
  5. Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.
    6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Encuentre una ecuación de una línea perpendicular a x = 5 que contenga el punto (3, −2). Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

Nuevamente, dado que conocemos un punto, la opción punto-pendiente parece más prometedora que la opción pendiente-intercepción. Necesitamos la pendiente para usar esta forma, y ​​sabemos que la nueva línea será perpendicular a x = 5. Esta línea es vertical, por lo que su perpendicular será horizontal. Esto nos dice el (m _ { perp} = 0 ).

     

( begin {array} {lrll} { text {Identifique el punto.}} & {(3} & {,} & {- 2)} \ { text {Identifique la pendiente de la perpendicular línea.}} & {m _ { perp}} & {=} & {0} \ { text {Sustituya los valores en} y-y_ {1} = m left (x-x_ {1} right ).} & {y-y_ {1}} & {=} & {m left (x-x_ {1} right)} \ {} & {y – (- 2)} & {=} & {0 (x − 3)} \ { text {Simplify.}} & {Y + 2} & {=} & {0} \ & {y} & {=} & {- 2} end { matriz} )

     

Dibuja el gráfico de ambas líneas. ¿Parecen ser perpendiculares?

     
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Encuentre una ecuación de una línea que sea perpendicular a la línea x = 4 que contiene el punto (4, −5). Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

y = −5

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Encuentre una ecuación de una línea que sea perpendicular a la línea x = 2 que contiene el punto (2, −1). Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

y = −1

     
 
 
 

En el ejercicio ( PageIndex {31} ), utilizamos la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación. Podríamos haber visto esto de una manera diferente.

 

Queremos encontrar una línea que sea perpendicular a x = 5 que contenga el punto (3, −2). El gráfico nos muestra la línea x = 5 y el punto (3, −2).

 
The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axes each run from negative 7 to 7. The line whose equation is x equals 5 intercepts the x-axis at (5, 0) and runs parallel to the y-axis. Elsewhere on the graph, the point (3, negative 2) is plotted.  
Figura ( PageIndex {5} )
 
 

Sabemos que cada línea perpendicular a una línea vertical es horizontal, por lo que trazaremos la línea horizontal a través de (3, −2).

 
The graph shows the x y-coordinate plane. The x and y-axes each run from negative 7 to 7. The line whose equation is x equals 5 intercepts the x-axis at (5, 0) and runs parallel to the y-axis. Elsewhere on the graph, the points (negative 2, negative 2), (0, negative 2), (3, negative 2), and (6, negative 2) are plotted. A line perpendicular to the previous line passes through those points and runs parallel to the x-axis.  
Figura ( PageIndex {6} )
 
 

¿Las líneas aparecen perpendiculares?

 

Si observamos algunos puntos en esta línea horizontal, notamos que todos tienen y -coordenadas de −2. Entonces, la ecuación de la línea perpendicular a la línea vertical x = 5 es y = −2.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} )

 

Encuentre una ecuación de una línea que sea perpendicular a y = −4 que contenga el punto (−4,2). Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

La línea y = −4 es una línea horizontal. Cualquier línea perpendicular a ella debe ser vertical, en la forma x = a. Como la línea perpendicular es vertical y pasa a través de (−4,2), cada punto en ella tiene una x -coordinada de −4. La ecuación de la línea perpendicular es x = −4. Es posible que desee dibujar las líneas. ¿Aparecen perpendiculares?

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {35} )

 

Encuentre una ecuación de una línea que sea perpendicular a la línea y = 1 que contiene el punto (−5,1). Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

x = −5

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {36} )

 

Encuentre una ecuación de una línea que sea perpendicular a la línea y = −5 que contiene el punto (−4, −5).

 
     
Respuesta
     
     

x = −4

     
 
 
 
 

Nota

 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica para encontrar la ecuación de una línea.

 
 

Conceptos clave

 
         
  • Para encontrar una ecuación de una línea dada la pendiente y un punto      
               
    1. Identifica la pendiente.
      2.          
    2. Identifica el punto.
      3.          
    3. Sustituya los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
      4.          
    4. Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.
      5.      
         
    •      
  • Para encontrar una ecuación de una línea dados dos puntos      
               
    1. Encuentra la pendiente usando los puntos dados.
      2.          
    2. Elija un punto.
      3.          
    3. Sustituya los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
      4.          
    4. Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.
      5.      
         
    •      
  • Para escribir y ecuación de una línea      
               
    • Si se le da pendiente y (y ) – intercepción, use la forma pendiente – intersección (y = mx + b ).
      •          
    • Si se le da pendiente y un punto, use la forma punto-pendiente (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
      •          
    • Si se le dan dos puntos, use la forma punto-pendiente (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
      •      
         
    •      
  • Para encontrar una ecuación de una línea paralela a una línea dada      
               
    1. Encuentra la pendiente de la línea dada.
      2.          
    2. Encuentra la pendiente de la línea paralela.
      3.          
    3. Identifica el punto.
      4.          
    4. Sustituya los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
      5.          
    5. Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.
      6.      
         
    •      
  • Para encontrar una ecuación de una línea perpendicular a una línea dada      
               
    1. Encuentra la pendiente de la línea dada.
      2.          
    2. Encuentra la pendiente de la línea perpendicular.
      3.          
    3. Identifica el punto.
      4.          
    4. Sustituya los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
      5.          
    5. Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.
      6.      
         
    •  
 

 
 
 
 

Glosario

 
     
forma punto-pendiente
     
La forma punto-pendiente de una ecuación de una línea con pendiente mm y que contiene el punto ( left (x_ {1}, y_ {1} right) ) es (y-y_ {1} = m left (x-x_ {1} right) ).
 
 
                                  
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antonio1095

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