4.6: Multiplicar y dividir números mixtos y fracciones complejas (Parte 2)

4.6: Multiplicar y dividir números mixtos y fracciones complejas (Parte 2)

Simplificar expresiones con una barra de fracciones

 

¿A dónde va el signo negativo en una fracción? Por lo general, el signo negativo se coloca delante de la fracción, pero a veces verá una fracción con un numerador o denominador negativo. Recuerda que las fracciones representan división. La fracción (- dfrac {1} {3} ) podría ser el resultado de dividir ( dfrac {−1} {3} ), un negativo por un positivo, o de dividir ( dfrac {1 } {- 3} ), un positivo por un negativo. Cuando el numerador y el denominador tienen signos diferentes, el cociente es negativo.

 

[ dfrac {-1} {3} = – dfrac {1} {3} quad dfrac {negativo} {positivo} = negativo quad dfrac {1} {- 3} = – dfrac {1} {3} quad dfrac {positivo} {negativo} = negativo etiqueta {4.3.46} nonumber ]

 

Si tanto el numerador como el denominador son negativos, entonces la fracción en sí es positiva porque estamos dividiendo un negativo por uno negativo.

 

[ dfrac {-1} {- 3} = dfrac {1} {3} qquad dfrac {negativo} {negativo} = positivo etiqueta {4.3.47} nonumber ]

 
 

Colocación de signo negativo en una fracción

 

Para cualquier número positivo (a ) y (b ),

 

[ dfrac {-a} {b} = dfrac {a} {- b} = – dfrac {a} {b} ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ): fracciones equivalentes

 

¿Cuál de las siguientes fracciones son equivalentes a ( dfrac {7} {- 8} )?

 

[ dfrac {-7} {- 8}, dfrac {-7} {8}, dfrac {7} {8}, – dfrac {7} {8} nonumber ] [19459005 ]  

Solución

 

El cociente de un positivo y un negativo es negativo, entonces ( dfrac {7} {- 8} ) es negativo. De las fracciones enumeradas, ( dfrac {−7} {8} ) y (- dfrac {7} {8} ) también son negativas.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

¿Cuál de las siguientes fracciones son equivalentes a ( dfrac {-3} {5} )?

 

[ dfrac {-3} {- 5}, dfrac {3} {5}, – dfrac {3} {5}, dfrac {3} {- 5} nonumber ] [19459005 ]  

     
Respuesta
     
     

(- dfrac {3} {5}, dfrac {3} {- 5} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

¿Cuál de las siguientes fracciones son equivalentes a (- dfrac {2} {7} )?

 

[ dfrac {-2} {- 7}, dfrac {-2} {7}, dfrac {2} {7}, dfrac {2} {- 7} nonumber ] [19459005 ]  

     
Respuesta
     
     

( dfrac {-2} {7}, dfrac {2} {- 7} )

     
 
 
 

Las barras de fracciones actúan como símbolos de agrupación. Las expresiones encima y debajo de la barra de fracción deben tratarse como si estuvieran entre paréntesis. Por ejemplo, ( dfrac {4 + 8} {5 – 3} ) significa ((4 + 8) ÷ (5 – 3) ). El orden de las operaciones nos dice que primero simplifiquemos el numerador y el denominador, como si hubiera paréntesis, antes de dividir.

 

Agregaremos barras de fracción a nuestro conjunto de símbolos de agrupación de Use el lenguaje de álgebra para tener un conjunto más completo aquí.

 
 

Símbolos de agrupación

 

Parentheses, brackets, braces, an absolute value sign, and a fraction bar are shown.

 
 
 
 

CÓMO: SIMPLIFICAR UNA EXPRESIÓN CON UNA BARRA DE FRACCIÓN

 

Paso 1. Simplifica el numerador.

 

Paso 2. Simplifica el denominador.

 

Paso 3. Simplifica la fracción.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Simplifique: ( dfrac {4 + 8} {5 – 3} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Simplifica la expresión en el numerador. ( dfrac {12} {5 – 3} )
Simplifica la expresión en el denominador. ( dfrac {12} {2} )
Simplifica la fracción. (6 )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Simplifique: ( dfrac {4 + 6} {11 – 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {10} {9} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Simplifica: ( dfrac {3 + 5} {18− 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {1} {2} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

 

Simplifique: ( dfrac {4 – 2 (3)} {2 ^ {2} + 2} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Usa el orden de las operaciones. Multiplica en el numerador y usa el exponente en el denominador. ( dfrac {4 – 6} {4 + 2} )
Simplifica el numerador y el denominador. ( dfrac {-2} {6} )
Simplifica la fracción. (- dfrac {1} {3} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Simplifique: ( dfrac {6 – 3 (5)} {3 ^ {2} + 3} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {-3} {4} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Simplifique: ( dfrac {4 – 4 (6)} {3 ^ {3} + 3} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {2} {3} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ): simplificar

 

Simplifique: ( dfrac {(8 – 4) ^ {2}} {8 ^ {2} – 4 ^ {2}} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Use el orden de las operaciones (paréntesis primero, luego exponentes). ( dfrac {(4) ^ {2}} {64 – 16} )
Simplifica el numerador y el denominador. ( dfrac {16} {48} )
Simplifica la fracción. ( dfrac {1} {3} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Simplifique: ( dfrac {(11 – 7) ^ {2}} {11 ^ {2} – 7 ^ {2}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {2} {9} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Simplifique: ( dfrac {(6 + 2) ^ {2}} {6 ^ {2} – 2 ^ {2}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {8} {5} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} ): simplificar

 

Simplifica: ( dfrac {4 (−3) + 6 (−2)} {- 3 (2) −2} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Multiplica. ( dfrac {-12 + (-12)} {- 6 – 2} )
Simplifica. ( dfrac {-24} {- 8} )
Divide. (3 )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Simplifique: ( dfrac {8 (−2) + 4 (−3)} {- 5 (2) + 3} ).

 
     
Respuesta
     
     

(4 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Simplifique: ( dfrac {7 (−1) + 9 (−3)} {- 5 (3) + 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(2 )

     
 
 
 

Acceda a recursos en línea adicionales

 

Conceptos clave

 
         
  • Multiplica o divide números mixtos.      
               
    1. Convierta los números mixtos a fracciones impropias.
    2.          
    3. Sigue las reglas para la multiplicación o división de fracciones.
    4.          
    5. Simplifica si es posible.
    6.      
         
  •      
  • Simplifica una fracción compleja.      
               
    1. Reescribe la fracción compleja como un problema de división.
    2.          
    3. Sigue las reglas para dividir fracciones.
    4.          
    5. Simplifica si es posible.
    6.      
         
  •      
  • Colocación del signo negativo en una fracción.      
               
    • Para cualquier número positivo (a ) y (b ), ( dfrac {-a} {b} = dfrac {a} {- b} = – dfrac {a} {b} ).
    •      
         
  •      
  • Simplifica una expresión con una barra de fracción.      
               
    1. Simplifica el numerador.
    2.          
    3. Simplifica el denominador.
    4.          
    5. Simplifica la fracción.
    6.      
         
  •  
 

Glosario

 
     
fracción compleja
     
     

Una fracción compleja es una fracción en la que el numerador o el denominador contiene una fracción.

     
 
 
 

La práctica hace la perfección

 

Multiplica y divide números mixtos

 

En los siguientes ejercicios, multiplique y escriba la respuesta en forma simplificada.

 
         
  1. (4 dfrac {3} {8} cdot dfrac {7} {10} )
  2.      
  3. (2 dfrac {4} {9} cdot dfrac {6} {7} )
  4.      
  5. ( dfrac {15} {22} cdot 3 dfrac {3} {5} )
  6.      
  7. ( dfrac {25} {36} cdot 6 dfrac {3} {10} )
  8.      
  9. (4 dfrac {2} {3} (−1 dfrac {1} {8}) )
  10.      
  11. (2 dfrac {2} {5} (−2 dfrac {2} {9}) )
  12.      
  13. (- 4 dfrac {4} {9} cdot 5 dfrac {13} {16} )
  14.      
  15. (- 1 dfrac {7} {20} cdot 2 dfrac {11} {12} )
  16.  
 

En los siguientes ejercicios, divide y escribe tu respuesta en forma simplificada.

 
         
  1. (5 dfrac {1} {3} ) ÷ 4
  2.      
  3. (13 dfrac {1} {2} ) ÷ 9
  4.      
  5. −12 ÷ (3 dfrac {3} {11} )
  6.      
  7. −7 ÷ (5 dfrac {1} {4} )
  8.      
  9. (6 dfrac {3} {8} div 2 dfrac {1} {8} )
  10.      
  11. (2 dfrac {1} {5} div 1 dfrac {1} {10} )
  12.      
  13. (- 9 dfrac {3} {5} div (−1 dfrac {3} {5}) )
  14.      
  15. (- 18 dfrac {3} {4} div (−3 dfrac {3} {4}) )
  16.  
 

Traducir frases a expresiones con fracciones

 

En los siguientes ejercicios, traduce cada frase en inglés a una expresión algebraica.

 
         
  1. el cociente de 5u y 11
  2.      
  3. el cociente de 7v y 13
  4.      
  5. el cociente de p y q
  6.      
  7. el cociente de ayb
  8.      
  9. el cociente de r y la suma de sy 10
  10.      
  11. el cociente de A y la diferencia de 3 y B
  12.  
 

Simplificar fracciones complejas

 

En los siguientes ejercicios, simplifica la fracción compleja.

 
         
  1. ( dfrac { dfrac {2} {3}} { dfrac {8} {9}} )
  2.      
  3. ( dfrac { dfrac {4} {5}} { dfrac {8} {15}} )
  4.      
  5. ( dfrac {- dfrac {8} {21}} { dfrac {12} {35}} )
  6.      
  7. ( dfrac {- dfrac {9} {16}} { dfrac {33} {40}} )
  8.      
  9. ( dfrac {- dfrac {4} {5}} {2} )
  10.      
  11. ( dfrac {- dfrac {9} {10}} {3} )
  12.      
  13. ( dfrac { dfrac {2} {5}} {8} )
  14.      
  15. ( dfrac { dfrac {5} {3}} {10} )
  16.      
  17. ( dfrac { dfrac {m} {3}} { dfrac {n} {2}} )
  18.      
  19. ( dfrac { dfrac {r} {5}} { dfrac {s} {3}} )
  20.      
  21. ( dfrac {- dfrac {x} {6}} {- dfrac {8} {9}} )
  22.      
  23. ( dfrac {- dfrac {3} {8}} {- dfrac {y} {12}} )
  24.      
  25. ( dfrac {2 dfrac {4} {5}} { dfrac {1} {10}} )
  26.      
  27. ( dfrac {4 dfrac {2} {3}} { dfrac {1} {6}} )
  28.      
  29. ( dfrac { dfrac {7} {9}} {- 2 dfrac {4} {5}} )
  30.      
  31. ( dfrac { dfrac {3} {8}} {- 6 dfrac {3} {4}} )
  32.  
 

Simplificar expresiones con una barra de fracciones

 

En los siguientes ejercicios, identifica las fracciones equivalentes.

 
         
  1. ¿Cuál de las siguientes fracciones son equivalentes a ( dfrac {5} {- 11} )? $$ dfrac {−5} {- 11}, dfrac {−5} {11}, dfrac {5} {11}, – dfrac {5} {11} $$
  2.      
  3. ¿Cuál de las siguientes fracciones son equivalentes a ( dfrac {−4} {9} )? $$ dfrac {−4} {- 9}, dfrac {−4} {9}, dfrac {4} {9}, – dfrac {4} {9} $$
  4.      
  5. ¿Cuál de las siguientes fracciones son equivalentes a (- dfrac {11} {3} )? $$ dfrac {−11} {3}, dfrac {11} {3}, dfrac {−11} {- 3}, dfrac {11} {- 3} $$
  6.      
  7. ¿Cuál de las siguientes fracciones son equivalentes a (- dfrac {13} {6} )? $$ dfrac {13} {6}, dfrac {13} {- 6}, dfrac {−13} {- 6}, dfrac {−13} {6} $$
  8.  
 

En los siguientes ejercicios, simplifica.

 
         
  1. ( dfrac {4 + 11} {8} )
  2.      
  3. ( dfrac {9 + 3} {7} )
  4.      
  5. ( dfrac {22 + 3} {10} )
  6.      
  7. ( dfrac {19 – 4} {6} )
  8.      
  9. ( dfrac {48} {24 – 15} )
  10.      
  11. ( dfrac {46} {4 + 4} )
  12.      
  13. ( dfrac {−6 + 6} {8 + 4} )
  14.      
  15. ( dfrac {−6 + 3} {17 – 8} )
  16.      
  17. ( dfrac {22 – 14} {19 – 13} )
  18.      
  19. ( dfrac {15 + 9} {18 + 12} )
  20.      
  21. ( dfrac {5 cdot 8} {- 10} )
  22.      
  23. ( dfrac {3 cdot 4} {- 24} )
  24.      
  25. ( dfrac {4 cdot 3} {6 cdot 6} )
  26.      
  27. ( dfrac {6 cdot 6} {9 cdot 2} )
  28.      
  29. ( dfrac {4 ^ {2} – 1} {25} )
  30.      
  31. ( dfrac {7 ^ {2} + 1} {60} )
  32.      
  33. ( dfrac {8 cdot 3 + 2 cdot 9} {14 + 3} )
  34.      
  35. ( dfrac {9 cdot 6 – 4 cdot 7} {22 + 3} )
  36.      
  37. ( dfrac {15 cdot 5 – 5 ^ {2}} {2 cdot 10} )
  38.      
  39. ( dfrac {12 cdot 9 – 3 ^ {2}} {3 cdot 18} )
  40.      
  41. ( dfrac {5 cdot 6 – 3 cdot 4} {4 cdot 5 – 2 cdot 3} )
  42.      
  43. ( dfrac {8 cdot 9 – 7 cdot 6} {5 cdot 6 – 9 cdot 2} )
  44.      
  45. ( dfrac {5 ^ {2} – 3 ^ {2}} {3 – 5} )
  46.      
  47. ( dfrac {6 ^ {2} – 4 ^ {2}} {4 – 6} )
  48.      
  49. ( dfrac {2 + 4 (3)} {- 3 – 2 ^ {2}} )
  50.      
  51. ( dfrac {7 + 3 (5)} {- 2 – 3 ^ {2}} )
  52.      
  53. ( dfrac {7 cdot 4 – 2 (8 – 5)} {9 cdot 3 – 3 cdot 5} )
  54.      
  55. ( dfrac {9 cdot 7 – 3 (12 – 8)} {8 cdot 7 – 6 cdot 6} )
  56.      
  57. ( dfrac {9 (8 – 2) −3 (15 – 7)} {6 (7 – 1) −3 (17 – 9)} )
  58.      
  59. ( dfrac {8 (9 – 2) −4 (14 – 9)} {7 (8 – 3) −3 (16 – 9)} )
  60.  
 

Matemáticas cotidianas

 
         
  1. Hornear Una receta de galletas con chispas de chocolate requiere (2 dfrac {1} {4} ) tazas de harina. Graciela quiere duplicar la receta.      
               
    1. ¿Cuánta harina necesitará Graciela? Muestra tu cálculo. Escribe tu resultado como una fracción impropia y como un número mixto.
    2.          
    3. Las tazas de medición generalmente vienen en juegos con tazas para ( dfrac {1} {8}, dfrac {1} {4}, dfrac {1} {3}, dfrac {1} {2} ) y 1 taza. Dibuje un diagrama para mostrar dos formas diferentes en que Graciela podría medir la harina necesaria para duplicar la receta.
    4.      
         
  2.      
  3. Hornear Un stand en la feria del condado vende fudge por libra. Su galardonado dulce de chocolate «Sobredosis de chocolate» contiene (2 dfrac {2} {3} ) tazas de chips de chocolate por libra.      
               
    1. ¿Cuántas tazas de chispas de chocolate hay en media libra de dulce de azúcar?
    2.          
    3. Los dueños del stand hacen el dulce de azúcar en lotes de 10 libras. ¿Cuántas chispas de chocolate necesitan para hacer un lote de 10 libras? Escribe tus resultados como fracciones impropias y como números mixtos.
    4.      
         
  4.  
 

Ejercicios de escritura

 
         
  1. Explica cómo encontrar el recíproco de un número mixto.
  2.      
  3. Explica cómo multiplicar números mixtos.
  4.      
  5. Randy piensa que (3 dfrac {1} {2} cdot 5 dfrac {1} {4} ) es (15 dfrac {1} {8} ). Explica lo que está mal con el pensamiento de Randy.
  6.      
  7. Explica por qué (- dfrac {1} {2}, dfrac {−1} {2} ) y ( dfrac {1} {- 2} ) son equivalentes.
  8.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

 

(b) ¿Qué le dice esta lista de verificación sobre su dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomarás para mejorar?

 
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