Usar operaciones de fila en una matriz

 

Una vez que un sistema de ecuaciones está en su forma de matriz aumentada, realizaremos operaciones en las filas que nos llevarán a la solución.

 

Para resolver por eliminación, no importa en qué orden colocamos las ecuaciones en el sistema. Del mismo modo, en la matriz podemos intercambiar las filas.

 

Cuando resolvemos por eliminación, a menudo multiplicamos una de las ecuaciones por una constante. Dado que cada fila representa una ecuación, y podemos multiplicar cada lado de una ecuación por una constante, de manera similar, podemos multiplicar cada entrada en una fila por cualquier número real excepto 0.

 

En la eliminación, a menudo agregamos un múltiplo de una fila a otra fila. En la matriz podemos reemplazar una fila con su suma con un múltiplo de otra fila.

 

Estas acciones se llaman operaciones de fila y nos ayudarán a usar la matriz para resolver un sistema de ecuaciones.

 

 

 

OPERACIONES DE FILA

 

En una matriz, las siguientes operaciones se pueden realizar en cualquier fila y la matriz resultante será equivalente a la matriz original.

 

     
1. Intercambie dos filas cualquiera.
     
2. Multiplica una fila por cualquier número real excepto 0.
     
3. Agregue un múltiplo distinto de cero de una fila a otra fila.
 

 

 

 

Realizar estas operaciones es fácil de hacer, pero toda la aritmética puede provocar un error. Si usamos un sistema para registrar la operación de la fila en cada paso, es mucho más fácil regresar y verificar nuestro trabajo.

 

Utilizamos letras mayúsculas con subíndices para representar cada fila. Luego mostramos la operación a la izquierda de la nueva matriz. Para mostrar el intercambio de una fila:

 

 

Para multiplicar la fila 2 por (- 3 ):

 

 

Para multiplicar la fila 2 por (- 3 ) y agregarlo a la fila 1:

 

   

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Realice las operaciones indicadas en la matriz aumentada:

 

ⓐ Intercambie las filas 1 y 3.

 

ⓑ Multiplicar la fila 3 por 3.

 

ⓒ Multiplicar la fila 3 por 2 y agregar a la fila 2.

 

( left [ begin {array} {ccc | c} 5 & −2 & -2 & -2 \ 4 & -1 & −4 & 4 \ -2 & 3 & 0 & −1 end { matriz} right] )

 

     

Respuesta

     

     

ⓐ ( left [ begin {matrix} −2 & 3 & 0 & −2 \ 4 & −1 & −4 & 4 \ 5 & −2 & −2 & −2 end {matrix} right ] )

     

ⓑ ( left [ begin {matrix} −2 & 3 & 0 & −2 \ 4 & −1 & −4 & 4 \ 15 & −6 & −6 & −6 end {matrix} right ] )

     

ⓒ ( left [ begin {matrix} -2 & 3 & 0 & 2 & \ 3 & 4 & -13 & -16 & -8 \ 15 & -6 & -6 & -6 & end {matrix } right] )

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Realice las operaciones indicadas en la matriz aumentada:

 

ⓐ Intercambie las filas 1 y 2,

 

ⓑ Multiplicar la fila 1 por 2,

 

ⓒ Multiplicar la fila 2 por 3 y agregar a la fila 1.

 

( left [ begin {array} {ccc | c} 2 & −3 & −2 & −4 \ 4 & 1 & −3 & 2 \ 5 & 0 & 4 & −1 end {array} derecha] )

 

     

Respuesta

     

     

ⓐ ( left [ begin {matrix} 4 & 1 & −3 & 2 \ 2 & −3 & −2 & −4 \ 5 & 0 & 4 & −1 end {matrix} right] )
ⓑ ( left [ begin {matrix} 8 & 2 & −6 & 4 \ 2 & −3 & −2 & −4 \ 5 & 0 & 4 & −1 end {matrix} right] )
ⓒ ( left [ begin {matrix} 14 & −7 & −12 & −8 \ 2 & −3 & −2 & −4 \ 5 & 0 & 4 & −1 end {matrix} derecha] )

     

 

 

 

 

 

 

 

 

Ahora que hemos practicado las operaciones de la fila, veremos una matriz aumentada y descubriremos qué operación usaremos para alcanzar una meta. Esto es exactamente lo que hicimos cuando eliminamos. Decidimos por qué número multiplicar una fila para que una variable se elimine cuando sumamos las filas.

 

Dado este sistema, ¿qué haría para eliminar x ?

 

 

El siguiente ejemplo esencialmente hace lo mismo, pero a la matriz.

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Realice la operación de fila necesaria que hará que la primera entrada en la fila 2 sea cero en la matriz aumentada: ( left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 2 \ 4 & – 8 & 0 end {array} right] )

 

     

Respuesta

     

     

Para hacer el 4 a 0, podríamos multiplicar la fila 1 por (- 4 ) y luego agregarlo a la fila 2.

     

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Realice la operación de fila necesaria que hará que la primera entrada en la fila 2 sea cero en la matriz aumentada: ( left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 2 \ 3 & – 6 y 2 end {array} right] )

 

     

Respuesta

     

     

( left [ begin {matrix} 1 & −1 & 2 \ 0 & −3 & −4 end {matrix} right] )

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Realice la operación de fila necesaria que hará que la primera entrada en la fila 2 sea cero en la matriz aumentada: ( left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 3 \ -2 & −3 & 2 end {array} right] )

 

     

Respuesta

     

     

( left [ begin {matrix} 1 & −1 & 3 \ 0 & −5 & 8 end {matrix} right] )