Objetivos de aprendizaje Al final de esta sección, podrá: Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación. En esta sección aprenderemos otro método para resolver sistemas de ecuaciones lineales llamado la regla de Cramer. Antes de que podamos comenzar a usar la regla, necesitamos aprender algunas nuevas definiciones y notación. Si una matriz tiene el mismo número de filas y columnas, la llamamos matriz cuadrada . Cada matriz cuadrada tiene asociado un número real llamado determinante . Para encontrar el determinante de la matriz cuadrada ( left [ begin {matrix} a & b \ c & d end {matrix} right] ), primero lo escribimos como ( left | begin {matrix} a & b \ c & d end {matriz} right | ). Para obtener el valor numérico real del determinado, restamos los productos de las diagonales, como se muestra. DETERMINANTE El determinante de cualquier matriz cuadrada ( left [ begin {matrix} a & b \ c & d end {matrix} right] ), donde a, b, c, y [ 19459059] d son números reales, es [ left | begin {matrix} a & b \ c & d end {matrix} right | = ad − bc nonumber ] Ejemplo ( PageIndex {1} ) Evalúe el determinante de ⓐ ( left [ begin {matrix} 4 & -2 \ 3 & -1 end {matrix} right] ) ⓑ ( left [ begin {matrix} -3 & -4 \ -2 & 0 end {matriz} derecha] ). ⓐ ⓑ Ejemplo ( PageIndex {2} ) Evalúe el determinante de ⓐ ( left [ begin {matrix} 5 & −3 \ 2 & −4 end {matrix} right] ) ⓑ ( left [ begin {matrix} −4 & – 6 \ 0 y 7 end {matriz} derecha] ). ⓐ (- 14 ); Ⓑ (- 28 ) Ejemplo ( PageIndex {3} ) Evalúe el determinante de ⓐ ( left [ begin {matrix} −1 & 3 \ – 2 & 4 end {matrix} right] ) ⓑ ( left [ begin {matrix} −7 & −3 −5 & 0 end {matrix} right] ). ⓐ 2 ⓑ (- 15 ) Para evaluar el determinante de una matriz (3 × 3 ), tenemos que poder evaluar el menor de una entrada en el determinante. El menor de una entrada es el determinante (2 × 2 ) que se encuentra al eliminar la fila y la columna en el determinante (3 × 3 ) que contiene la entrada. MENOR DE UNA ENTRADA EN (3 × 3 ) UN DETERMINANTE El menor de una entrada en un determinante (3 × 3 ) es el determinante (2 × 2 ) encontrado al eliminar la fila y la columna en el (3 × 3 ) determinante que contiene la entrada. Para encontrar el menor de la entrada (a_1 ), eliminamos la fila y la columna que lo contienen. Entonces eliminamos la primera fila y la primera columna. Luego escribimos el determinante (2 × 2 ) que queda. Para encontrar el menor de la entrada (b_2 ), eliminamos la fila y la columna que lo contienen. Entonces eliminamos la fila (2 ^ {nd} ) y la columna (2 ^ {nd} ). Luego escribimos el determinante (2 × 2 ) que queda. Ejemplo ( PageIndex {4} ) Para el determinante ( left | begin {matrix} 4 & −2 & 3 \ 1 & 0 & −3 \ – 2 & −4 & 2 end {matrix} right | ), encuentre y luego evalúe el menor de ⓐ (a_1 ) ⓑ (b_3 ) ⓒ (c_2 ). ⓐ ⓑ ⓒ Ejemplo ( PageIndex {5} ) Para el determinante ( left | begin {matrix} 1 & −1 & 4 \ 0 & 2 & −1 \ – 2 & −3 & 3 end {matrix} right | ), encuentre y luego evalúe el menor de ⓐ (a_1 ) ⓑ (b_2 ) ⓒ (c_3 ). ⓐ 3 ⓑ 11 ⓒ 2 Ejemplo ( PageIndex {6} ) Para el determinante ( left | begin {matrix} −2 & −1 & 0 \ 3 & 0 & −1 \ – 1 & −2 & 3 end {matrix} right | ), encuentre y luego evalúe el menor de ⓐ (a_2 ) ⓑ (b_3 ) ⓒ (c_2 ). ⓐ (- 3 ) ⓑ 2 ⓒ 3 Ahora estamos listos para evaluar un determinante (3 × 3 ). Para hacer esto, expandimos por menores, lo que nos permite evaluar el determinante (3 × 3 ) usando los determinantes (2 × 2 ), ¡que ya sabemos cómo evaluar! Para evaluar un determinante (3 × 3 ) expandiéndolo por menores a lo largo de la primera fila, utilizamos el siguiente patrón: Recuerde, para encontrar el menor de una entrada, eliminamos la fila y la columna que contiene la entrada. EXPANDIENDO POR MENORES A LO LARGO DE LA PRIMERA FILA PARA EVALUAR UN DETERMINANTE A (3 × 3 ) Para evaluar un determinante (3 × 3 ) mediante expandiéndose por menores a lo largo de la primera fila , el siguiente patrón: Ejemplo ( PageIndex {7} ) Evalúe el determinante ( left | begin {matrix} 2 & −3 & −1 \ 3 & 2 & 0 \ – 1 & −1 & −2 end {matrix} right | ) expandiéndolo por menores a lo largo de la primera fila . Ejemplo ( PageIndex {8} ) Evalúe el determinante ( left | begin {matrix} 3 & −2 & 4 \ 0 & −1 & −2 \ 2 & 3 & −1 end {matrix} right | ), expandiéndolo por menores a lo largo de la primera fila . 37 Ejemplo ( PageIndex {9} ) Evalúe el determinante ( left | begin {matrix} 3 & −2 & −2 \ 2 & −1 & 4 \ – 1 & 0 & −3 end {matrix} right | ), expandiéndolo por los menores a lo largo del primer fila. 7 Para evaluar un determinante (3 × 3 ) podemos expandir por menores utilizando cualquier fila o columna. Elegir una fila o columna que no sea la primera fila a veces facilita el trabajo. Cuando nos expandimos por cualquier fila o columna, debemos tener cuidado con el signo de los términos en la expansión. Para determinar el signo de los términos, utilizamos la siguiente tabla de patrones de signos. [ left | begin {matrix} + & – & + \ – & + & – \ + & – & + end {matrix} right | nonumber ] PATRÓN DE SEÑAL Cuando se expande por menores utilizando una fila o columna, el signo de los términos en la expansión sigue el siguiente patrón. [ Left | begin {matrix} + & – & + \ – & + & – \ + & – & + end {matrix} right | nonumber ] Observe que el patrón de signos en la primera fila coincide con los signos entre los términos en la expansión de la primera fila. Dado que podemos expandirnos por cualquier fila o columna, ¿cómo decidimos qué fila o columna usar? Por lo general, tratamos de elegir una fila o columna que facilite nuestro cálculo. Si el determinante contiene un 0, el uso de la fila o columna que contiene el 0 facilitará los cálculos. Ejemplo ( PageIndex {10} ) Evalúe el determinante ( left | begin {matrix} 4 & −1 & −3 \ 3 & 0 & 2 \ 5 & −4 & −3 end {matrix} right | ) expandiéndolo por menores. Para expandir por menores, buscamos una fila o columna que facilite nuestros cálculos. Como 0 está en la segunda fila y en la segunda columna, expandirse por cualquiera de ellas es una buena opción. Como la segunda fila tiene menos negativos que la segunda columna, nos expandiremos por la segunda fila. Ejemplo ( PageIndex {11} ) Evalúe el determinante ( left | begin {matrix} 2 & −1 & −3 \ 0 & 3 & −4 \ 3 & −4 & −3 end {matrix} right | ) expandiéndolo por menores. (- 11 ) Ejemplo ( PageIndex {12} ) Evalúe el determinante ( left | begin {matrix} −2 & −1 & −3 \ – 1 & 2 & 2 \ 4 & −4 & 0 end {matrix} right | ) expandiéndolo por menores. 8 La regla de Cramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones usando determinantes. Se puede derivar resolviendo la forma general de los sistemas de ecuaciones por eliminación. Aquí demostraremos la regla para ambos sistemas de dos ecuaciones con dos variables y para sistemas de tres ecuaciones con tres variables. Comencemos con los sistemas de dos ecuaciones con dos variables. REGLA DEL CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES Para el sistema de ecuaciones ( left { begin {array} {l} a_1x + b_1y = k_1 \ a_2x + b_2y = k_2 end {array} right. ), La solución (( x, y) ) se puede determinar por Observe que para formar el determinante D , usamos los coeficientes de las variables. Observe que para formar el determinante (D_x ) y (D_y ), sustituimos las constantes por los coeficientes de la variable que estamos encontrando. Ejemplo ( PageIndex {14} ) Resuelve usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} 3x + y = −3 \ 2x + 3y = 6 end {array} right. ) ((- frac {15} {7}, frac {24} {7}) ) Ejemplo ( PageIndex {15} ) Resuelve usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} −x + y = 2 \ 2x + y = −4 end {array} right. ) ((- 2,0) ) RESUELVE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES UTILIZANDO LA REGLA DE CRAMER. Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables con la regla de Cramer, básicamente hacemos lo que hicimos para un sistema de dos ecuaciones. Sin embargo, ahora tenemos que resolver tres variables para obtener la solución. ¡Los determinantes también serán (3 × 3 ) lo que hará que nuestro trabajo sea más interesante! REGLA DEL CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES Para el sistema de ecuaciones ( left { begin {array} {l} a_1x + b_1y + c_1z = k_1 \ a_2x + b_2y + c_2z = k_2 \ a_3x + b_3y + c_3z = k_3 end { array} right. ), la solución ((x, y, z) ) se puede determinar por Ejemplo ( PageIndex {16} ) Resuelve el sistema de ecuaciones usando la Regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} 3x − 5y + 4z = 5 \ 5x + 2y + z = 0 \ 2x + 3y − 2z = 3 end {array} right. ) Ejemplo ( PageIndex {17} ) Resuelve el sistema de ecuaciones usando la Regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} 3x + 8y + 2z = −5 \ 2x + 5y − 3z = 0 \ x + 2y − 2z = −1 end {array} right. ) ((- 9,3, −1) ) Ejemplo ( PageIndex {18} ) Resuelve el sistema de ecuaciones usando la Regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} 3x + y − 6z = −3 \ 2x + 6y + 3z = 0 \ 3x + 2y − 3z = −6 end {array} right. ) ((- 6,3, −2) ) La regla de Cramer no funciona cuando el valor del determinante D es 0, ya que esto significaría que estaríamos dividiendo entre 0. Pero cuando (D = 0 ), el sistema es inconsistente o dependiente Cuando el valor de (D = 0 ) y (D_x, space D_y ) y D son todos cero, el sistema es consistente y dependiente y hay infinitas soluciones. Cuando el valor de (D = 0 ) y (D_x, space D_y ) y (D_z ) no son todos cero, el sistema es inconsistente y no hay solución. SISTEMAS DE ECUACIONES DEPENDIENTES E INCONSISTENTES Para cualquier sistema de ecuaciones, donde el valor del determinante (D = 0 ), [ begin {array} {lll} textbf {Valor de los determinantes} & textbf {Tipo de sistema} & textbf {Solución} \ {D = 0 text {y} D_x, space D_y text {y} D_z text {son todos cero}} y text {consistentes y dependientes} y text {infinitas soluciones}} \ {D = 0 text {y} D_x, space D_y text {y } D_z text {no son todos cero}} & text {inconsistente} & text {sin solución} end {array} nonumber ] En el siguiente ejemplo, utilizaremos los valores de los determinantes para encontrar la solución del sistema. Ejemplo ( PageIndex {19} ) Resuelve el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} x + 3y = 4 \ – 2x − 6y = 3 end {array} right. ) [ 19459036]
( begin {array} {ll} {} & { left { begin {array} {l} x + 3y = 4 \ – 2x − 6y = 3 end {array} right. } \ { begin {array} {l} text {Evalúe el determinanteD, utilizando los} \ text {coeficientes de las variables.} end {array}} & {D = left | begin {matrix } 1 y 3 \ – 2 & −6 end {matriz} right |} \ {} & {D = −6 – (- 6)} \ {} & {D = 0} end {array} ) No podemos usar la regla de Cramer para resolver este sistema. Pero al observar el valor de los determinantes (D_x ) y (D_y ), podemos determinar si el sistema es dependiente o inconsistente. ( begin {array} {ll} { text {Evalúe el determinante} D_x.} & {D_x = left | begin {matrix} 4 & 3 \ 3 & −6 end {matrix} right | } \ {} & {D_x = −24−9} \ {} & {D_x = 15} end {array} ) Dado que todos los determinantes no son cero, el sistema es inconsistente. No hay solución. Ejemplo ( PageIndex {20} ) Resuelve el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} 4x − 3y = 8 \ 8x − 6y = 14 end {array} right. ) [19459036 ]
sin solución Ejemplo ( PageIndex {21} ) Resuelve el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} x = −3y + 4 \ 2x + 6y = 8 end {array} right. ) [ 19459036]
soluciones infinitas Una aplicación interesante de determinantes nos permite probar si los puntos son colineales. Tres puntos ((x_1, y_1) ), ((x_2, y_2) ) y ((x_3, y_3) ) son colineales si y solo si el determinante a continuación es cero. [ left | begin {matrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 end {matrix} right | = 0 nonumber ] PRUEBA DE PUNTOS COLINEARES Tres puntos ((x_1, y_1) ), ((x_2, y_2) ) y ((x_3, y_3) ) son colineales si y solo si [ left | begin {matrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 end {matrix} right | = 0 nonumber ] Utilizaremos esta propiedad en el siguiente ejemplo. Ejemplo ( PageIndex {22} ) Determine si los puntos ((5, −5) ), ((4, −3) ) y ((3, −1) ) son colineales. Ejemplo ( PageIndex {23} ) Determine si los puntos ((3, −2) ), ((5, −3) ) y ((1, −1) ) son colineales. sí Ejemplo ( PageIndex {24} ) Determine si los puntos ((- 4, −1) ), ((- 6,2) ) y ((- 2, −4) ) son colineales. sí Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica para resolver sistemas de desigualdades lineales mediante gráficos.
Si se perdió este problema, revise [enlace] .
Si se perdió este problema, revise [enlace] .
Si se perdió este problema, revise [enlace] . Evalúe el determinante de una matriz (2 × 2 )
Evalúe el determinante de una matriz (3 × 3 )
Elimine la fila y la columna que contiene (b_3 ).
Escribe el determinante (2 × 2 ) que queda.
Evaluar.
Simplifica.
Usa la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones
Resolver aplicaciones usando determinantes
4.7: Resolver sistemas de ecuaciones usando determinantes
