Resolviendo ecuaciones racionales
Una ecuación racional 33 es una ecuación que contiene al menos una expresión racional. Las expresiones racionales suelen contener una variable en el denominador. Por esta razón, nos aseguraremos de que el denominador no sea (0 ) tomando nota de las restricciones y verificando nuestras soluciones. Resolver ecuaciones racionales implica borrar fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador (LCD).
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Resuelve: ( frac {1} {x} + frac {2} {x ^ {2}} = frac {x + 9} {2 x ^ {2}} ).
Solución
Primero tomamos nota de la restricción en ( x , x ≠ 0 ). Luego multiplicamos ambos lados por la pantalla LCD, que en este caso es igual a (2x ^ {2} ).
( begin {alineado} color {Cerulean} {2 x ^ {2}} color {black} { cdot} left ( frac {1} {x} + frac {2} { x ^ {2}} right) & = color {Cerulean} {2 x ^ {2}} color {black} { cdot} left ( frac {x + 9} {2 x ^ {2} } right) quad quad color {Cerulean} {Multiplicar : ambos : lados : por : the : LCD.} \ color {Cerulean} {2 x ^ {2}} color { negro} { cdot} frac {1} {x} + color {Cerulean} {2 x ^ {2}} color {black} { cdot} frac {2} {x ^ {2}} y = color {Cerulean} {2 x ^ {2}} color {black} { cdot} frac {x + 9} {2 x ^ {2}} quad quad quad : : color {Cerulean} {Distribuir.} \ 2 x + 4 & = x + 9 quad quad quad quad quad quad color {Cerulean} {Simplificar : y : luego : resolver.} \ x & = 5 end {alineado} )
Verifique su respuesta . Sustituye (x = 5 ) en la ecuación original y mira si obtienes un enunciado verdadero.
( begin {array} {l} { frac {1} {x} + frac {2} {x ^ {2}} = frac {x + 9} {2 x ^ {2} } quad color {Cerulean} {Original : ecuación}} \ { frac {1} { color {OliveGreen} {5}} color {black} {+} frac {2} { color { OliveGreen} {5} ^ { color {black} {2}}} = frac { color {OliveGreen} {5} color {black} {+} 9} {2 ( color {OliveGreen} {5} color {black} {)} ^ {2}} quad color {Cerulean} {Check : x = 5.}} \ { frac {1} {5} + frac {2} {25} = frac {14} {2 cdot 25}} \ frac {5} {25} + frac {2} {25} = frac {7} {25} \ { frac {7} { 25} = frac {7} {25}} : : color {Cerulean} {✓} end {array} )
Respuesta :
La solución es (5 ).
Después de multiplicar ambos lados del ejemplo anterior por la pantalla LCD, nos quedaba una ecuación lineal para resolver. Este no es siempre el caso; a veces nos quedaremos con la ecuación cuadrática.
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Resuelve: ( frac {3 (x + 2)} {x – 4} – frac {x + 4} {x – 2} = frac {x – 2} {x – 4} ) .
Solución
En este ejemplo, hay dos restricciones, (x ≠ 4 ) y (x ≠ 2 ). Comience multiplicando ambos lados por la pantalla LCD, ((x − 2) (x − 4) ).
( begin {alineado} color {Cerulean} {(x-2) (x-4)} color {black} { cdot} left ( frac {3 (x + 2)} { x-4} – frac {x + 4} {x-2} right) & = color {Cerulean} {(x-2) (x-4)} color {black} { cdot} left ( frac {x-2} {x-4} right) \ color {Cerulean} {(x-2) cancel {(x-4)}} color {black} { cdot} frac {3 (x + 2)} { cancel {x-4}} – color {Cerulean} { cancel {(x-2)} (x-4)} color {black} { cdot} frac {x + 4} { cancel {x-2}} & = color {Cerulean} {(x-2) cancel {(x-4)}} color {black} { cdot} frac {x -2} { cancel {x-4}} \ 3 (x + 2) (x – 2) – (x + 4) (x – 4) & = (x – 2) (x – 2) \ 3 left (x ^ {2} – 4 right) – left (x ^ {2} – 16 right) & = x ^ {2} – 2 x – 2 x + 4 \ 3 x ^ {2 } – 12 – x ^ {2} + 16 & = x ^ {2} – 4 x + 4 \ 2x ^ {2} + 4 & = x ^ {2} -4x + 4 end {alineado} )
Después de distribuir y simplificar ambos lados de la ecuación, queda una ecuación cuadrática. Para resolverlo, reescribe la ecuación cuadrática en forma estándar, factoriza y luego establece cada factor igual a 0.
( begin {array} {l} {2 x ^ {2} + 4 = x ^ {2} – 4 x + 4} \ {x ^ {2} + 4 x = 0} \ {x (x + 4) = 0} end {array} )
( begin {alineado} x = 0 text {o} x + 4 & = 0 \ x & = – 4 end {alineado} )
Verifique si estos valores resuelven la ecuación original.
( frac {3 (x + 2)} {x – 4} – frac {x + 4} {x – 2} = frac {x – 2} {x – 4} ) [19459011 ]
| Comprobar (x = 0 ) | Verificación (x = 4 ) |
|---|---|
| ( begin {alineado} frac {3 ( color {Cerulean} {0} color {black} {+} 2)} { color {Cerulean} {0} color {black} {- } 4} – frac { color {Cerulean} {0} color {black} {+} 4} { color {Cerulean} {0} color {black} {-} 2} & = frac { color {Cerulean} {0} color {black} {-} 2} { color {Cerulean} {0} color {black} {-} 4} \ frac {6} {- 4} – frac {4} {- 2} & = frac {- 2} {- 4} \ – frac {3} {2} + 2 & = frac {1} {2} \ – frac {3} {2} + frac {4} {2} & = frac {1} {2} \ frac {1} {2} & = frac {1} {2} color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) | ( begin {alineado} frac {3 ( color {Cerulean} {- 4} color {black} {+} 2)} { color {Cerulean} {- 4} color {black} {-} 4} – frac { color {Cerulean} {- 4} color {black} {+} 4} { color {Cerulean} {- 4} color {black} {-} 2} & = frac { color {Cerulean} {- 4} color {black} {-} 2} { color {Cerulean} {- 4} color {black} {-} 4} \ frac {3 (- 2)} {- 8} – frac {0} {- 6} & = frac {- 6} {- 8} \ frac {- 6} {- 8} – 0 & = frac {3} {4} \ frac {3} {4} & = frac {3} {4} color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) |
Tabla 4.7.1
Respuesta :
Las soluciones son (0 ) y (- 4 ).
Hasta este punto, todas las soluciones posibles han resuelto la ecuación original. Sin embargo, esto puede no ser siempre el caso. Multiplicar ambos lados de una ecuación por factores variables puede conducir a soluciones extrañas 34 , que son soluciones que no resuelven la ecuación original. En el siguiente ejemplo se describe una lista completa de los pasos para resolver una ecuación racional.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Resolver: ( frac {2 x} {3 x + 1} = frac {1} {x – 5} – frac {4 (x – 1)} {3 x ^ {2} – 14 x – 5} ).
Solución
Paso 1: Factoriza todos los denominadores y determina la pantalla LCD.
( begin {array} {l} { frac {2 x} {3 x + 1} = frac {1} {x – 5} – frac {4 (x – 1)} {3 x ^ {2} – 14 x – 5}} \ { frac {2 x} {(3 x + 1)} = frac {1} {(x – 5)} – frac {4 (x – 1)} {(3 x + 1) (x – 5)}} end {array} )
La pantalla LCD es ((3x + 1) (x − 5) ).
Paso 2: Identifica las restricciones. En este caso, (x ≠ – frac {1} {3} ) y (x ≠ 5 ).
Paso 3: Multiplica ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD. Distribuir con cuidado y luego simplificar.
( begin {alineado} color {Cerulean} {(3 x + 1) (x – 5)} color {black} { cdot} frac {2 x} {(3 x + 1) } & = color {Cerulean} {(3 x + 1) (x – 5)} color {black} { cdot} left ( frac {1} {(x – 5)} – frac {4 (x – 1)} {(3 x + 1) (x – 5)} right) \ color {Cerulean} { cancel {(3x + 1)} (x-5)} color {black} { cdot} frac {2x} { cancel {(3x + 1)}} & = color {Cerulean} {(3x + 1) cancel {(x-5)}} color {black} { cdot} frac {1} { cancel {(x-5)}} – color {Cerulean} { cancel {(3x + 1)} cancel {(x-5)}} color {black} { cdot} frac {4 (x-1)} { cancel {(3x + 1)} cancel {(x-5)}} \ 2x (x-5) & = (3x + 1) -4 (x-1) end {alineado} )
Paso 4: Resuelve la ecuación resultante. Aquí el resultado es una ecuación cuadrática. Vuelva a escribirlo en forma estándar, factor, y luego establezca cada factor igual a (0 ).
( begin {alineado} 2 x (x – 5) & = (3 x + 1) – 4 (x – 1) \ 2 x ^ {2} – 10 x & = 3 x + 1 – 4 x + 4 \ 2 x ^ {2} – 10 x & = – x + 5 \ 2 x ^ {2} – 9 x – 5 & = 0 \ (2 x + 1) (x – 5) & = 0 end {alineado} )
( begin {alineado} 2 x + 1 & = 0 quad quad text {o} & x – 5 & = 0 \ 2 x & = – 1 & x & = 5 \ x & = – frac {1} {2} end {alineado} )
Paso 5: Verificar soluciones extrañas. Siempre sustituya en la ecuación original, o el equivalente factorizado. En este caso, elija el equivalente factorizado para verificar:
( frac {2 x} {(3 x + 1)} = frac {1} {(x – 5)} – frac {4 (x – 1)} {(3 x + 1) (x – 5)} )
| Verifique (x = – frac {1} {2} ) | Verificación (x = 5 ) |
|---|---|
| ( begin {alineado} frac {2 left ( color {Cerulean} {- frac {1} {2}} right)} { left (3 left ( color {Cerulean} {- frac {1} {2}} right) color {black} {+} 1 right)} & = frac {1} { left ( left ( color {Cerulean} {- frac {1} {2}} right) – 5 right)} – frac {4 left ( left ( color {Cerulean} {- frac {1} {2}} right) color {black { } {-} 1 right)} { left (3 left ( color {Cerulean} {- frac {1} {2}} right) color {black} {+} 1 right) left ( left ( color {Cerulean} {- frac {1} {2}} right) – 5 right)} \ frac {- 1} { left (- frac {1} {2} right)} & = frac {1} { left (- frac {11} {2} right)} – frac {4 left (- frac {3} {2} right)} { left (- frac {1} {2} right) left (- frac {11} {2} right)} \ 2 & = – frac {2} {11} – frac {- 6} { left ( frac {11} {4} right)} \ 2 & = – frac {2} {11} + frac {24} {11} \ 2 & = frac {22 } {11} \ 2 & = 2 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) | ( begin {alineado} frac {2 left ( color {Cerulean} {5} right)} { left (3 left ( color {Cerulean} {5} right) color {black} {+} 1 right)} & = frac {1} { left ( left ( color {Cerulean} {5} right) – 5 right)} – frac {4 left ( left ( color {Cerulean} {5} right) color {black} {-} 1 right)} { left (3 left ( color {Cerulean} {5} right) color {black } {+} 1 derecha) izquierda ( izquierda ( color {Cerulean} {5} derecha) – 5 derecha)} \ frac {10} {16} & = frac {1} {0 } – frac {16} {0} end {alineado} ) |
| ( color {Cerulean} {Indefinido} ) |
Tabla 4.7.2
Aquí (5 ) es una solución extraña y no está incluida en el conjunto de soluciones. Es importante tener en cuenta que (5 ) es una restricción.
Respuesta :
La solución es (- 12 ).
Si este proceso produce una solución que resulta ser una restricción, ignórela como una solución.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Resuelve: ( frac {4 (x – 3)} {36 – x ^ {2}} = frac {1} {6 – x} + frac {2 x} {6 + x} )
- Respuesta
-
(- frac {3} {2} )
A veces, todas las soluciones potenciales son extrañas, en cuyo caso decimos que no hay solución para la ecuación original. En los siguientes dos ejemplos, demostramos dos formas en que la ecuación racional no puede tener soluciones.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Resuelve: (1 + frac {5 x + 22} {x ^ {2} + 3 x – 4} = frac {x + 4} {x – 1} )
Solución
Para identificar la pantalla LCD, primero factoriza los denominadores.
( begin {array} {c} {1 + frac {5 x + 22} {x ^ {2} + 3 x – 4} = frac {x + 4} {x – 1}} \ {1 + frac {5 x + 22} {(x + 4) (x – 1)} = frac {x + 4} {(x – 1)}} end {array} ) [19459011 ]
Multiplica ambos lados por la pantalla LCD, ((x + 4) (x − 1) ), distribuyendo cuidadosamente.
( begin {alineado} color {Cerulean} {(x + 4) (x – 1)} color {black} { cdot} left (1 + frac {5 x + 22} { (x + 4) (x – 1)} right) & = color {Cerulean} {(x + 4) (x – 1)} color {black} { cdot} frac {x + 4} { (x – 1)} \ color {Cerulean} {(x + 4) (x – 1)} color {black} { cdot} 1 + color {Cerulean} {(x + 4) (x – 1)} color {negro} { cdot} frac {(5 x + 22)} {(x + 4) (x – 1)} & = color {Cerulean} {(x + 4) (x – 1)} color {negro} { cdot} frac {(x + 4)} {(x – 1)} \ (x + 4) (x-1) + (5x + 22) & = (x +4) (x + 4) \ x ^ {2} – x + 4 x – 4 + 5 x + 22 & = x ^ {2} + 4 x + 4x + 16 \ x ^ {2} + 8 x + 18 & = x ^ {2} + 8 x + 16 \ 18 & = 16 : : color {rojo} {Falso} end {alineado} )
La ecuación es una contradicción y, por lo tanto, no tiene solución.
Respuesta :
Sin solución, (Ø )
Ejemplo ( PageIndex {5} ):
Resolver: ( frac {3 x} {2 x – 3} – frac {3 (4 x + 3)} {4 x ^ {2} – 9} = frac {x} {2 x + 3} ).
Solución
Primero, factoriza los denominadores.
( frac {3 x} {(2 x – 3)} – frac {3 (4 x + 3)} {(2 x + 3) (2 x – 3)} = frac {x } {(2 x + 3)} )
Tenga en cuenta que las restricciones en el dominio son (x ≠ ± frac {3} {2} ). Para borrar las fracciones, multiplique por la pantalla LCD, ((2x + 3) (2x − 3) ).
( begin {alineado} frac {3 x cdot color {Cerulean} {(2 x + 3) (2 x – 3)}} { color {black} {(2 x – 3) }} – frac {3 (4 x + 3) cdot color {Cerulean} {(2 x + 3) (2 x – 3)}} { color {black} {(} 2 x + 3) ( 2 x – 3)} & = frac {x cdot color {Cerulean} {(2 x + 3) (2 x – 3)}} { color {black} {(} 2 x + 3)} 3 x (2 x + 3) – 3 (4 x + 3) & = x (2 x – 3) \ 6 x ^ {2} + 9 x – 12 x – 9 & = 2 x ^ {2} – 3 x \ 6 x ^ {2} – 3 x – 9 & = 2 x ^ {2} – 3 x \ 4 x ^ {2} – 9 & = 0 \ (2 x + 3) (2 x – 3) & = 0 end {alineado} )
( begin {alineado} 2 x + 3 & = 0 quad quad text {o} & 2 x – 3 & = 0 \ 2 x & = – 3 & 2 x & = 3 \ x & = – frac {3} {2} & x & = frac {3} {2} end {alineado} )
Ambos valores son restricciones de la ecuación original; por lo tanto, ambos son extraños.
Respuesta :
Sin solución, (Ø )
Es importante señalar que esta técnica para eliminar fracciones algebraicas solo funciona para ecuaciones. No intente borrar fracciones algebraicas al simplificar expresiones. Como recordatorio, a continuación se proporciona un ejemplo de cada uno.
| Expresión | Ecuación |
|---|---|
| ( frac {1} {x} + frac {x} {2 x + 1} ) | ( frac {1} {x} + frac {x} {2 x + 1} = 0 ) |
Tabla 4.7.3
Las expresiones deben simplificarse y las ecuaciones deben resolverse. Si multiplicamos la expresión por la pantalla LCD, (x (2x + 1) ), obtenemos otra expresión que no es equivalente.
|
Incorrecto |
Correcto |
|---|---|
|
( begin {array} {l} { frac {1} {x} + frac {x} {2 x + 1}} \ { neq color {red} {x (2 x + 1)} color {negro} { cdot} left ( frac {1} {x} + frac {x} {2 x + 1} right)} \ {= 2 x + 1 + x ^ {2}} color {rojo} {✗} end {array} ) |
( begin {alineado} frac {1} {x} + frac {x} {2 x + 1} & = 0 \ color {Cerulean} {x (2x + 1)} color {negro} { cdot} ( frac {1} {x} + frac {x} {2 x + 1}) & = color {Cerulean} {x (2 x + 1)} color {black} { cdot} 0 \ 2 x + 1 + x ^ {2} & = 0 \ x ^ {2} + 2 x + 1 & = 0 color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) |
Tabla 4.7.4
Las ecuaciones racionales a veces se expresan usando exponentes negativos.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Resuelve: (6 + x ^ {- 1} = x ^ {- 2} ).
Solución :
Comienza por eliminar los exponentes negativos.
( begin {alineado} 6 + x ^ {- 1} & = x ^ {- 2} \ 6 + frac {1} {x} & = frac {1} {x ^ {2 }} end {alineado} )
Aquí podemos ver la restricción, (x ≠ 0 ). Luego, multiplique ambos lados por la pantalla LCD, (x ^ {2} ).
( begin {alineado} color {Cerulean} {x ^ {2}} color {black} { cdot} left (6 + frac {1} {x} right) & = color {Cerulean} {x ^ {2}} color {black} { cdot} left ( frac {1} {x ^ {2}} right) \ color {Cerulean} {x ^ {2 }} color {black} { cdot} 6 + color {Cerulean} {x ^ {2}} color {black} { cdot} frac {1} {x} & = color {Cerulean} { x ^ {2}} color {negro} { cdot} frac {1} {x ^ {2}} \ 6 x ^ {2} + x & = 1 \ 6 x ^ {2} + x – 1 & = 0 \ (3 x – 1) (2 x + 1) & = 0 end {alineado} )
( begin {alineado} 3 x – 1 & = 0 quad quad text {o} & 2 x + 1 & = 0 \ 3 x & = 1 & 2 x & = – 1 \ x & = frac {1} {3} & x & = – frac {1} {2} end {alineado} )
Respuesta :
(- frac {1} {2}, frac {1} {3} )
Una proporción 35 es una declaración de igualdad de dos razones.
( frac {a} {b} = frac {c} {d} )
Esta proporción a menudo se lee » (a ) es a (b ) como (c ) es a (d )». Dado cualquier número real distinto de cero (a, b, c ) y (d ) que satisfaga una proporción, multiplique ambos lados por el producto de los denominadores para obtener lo siguiente:
( begin {alineado} frac {a} {b} & = frac {c} {d} \ color {Cerulean} {bd} color {black} { cdot} frac { a} {b} & = color {Cerulean} {bd} color {black} { cdot} frac {c} {d} \ ad & = bc end {alineado} )
Esto muestra que los productos cruzados son iguales, y se conoce comúnmente como multiplicación cruzada 36 .
Si ( frac {a} {b} = frac {c} {d} ) entonces ( frac {a} {d} = frac {b} {c} )
Multiplica en cruz para resolver proporciones donde los términos son desconocidos.
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Resuelve: ( frac {5 n – 1} {5} = frac {3 n} {2} ).
Solución
Cuando multiplique, asegúrese de agrupar (5n − 1 ).
((5 n – 1) cdot 2 = 5 cdot 3 n )
Aplicar la propiedad distributiva en el siguiente paso.
( begin {alineado} (5 n – 1) cdot 2 & = 5 cdot 3 n \ 10 n – 2 & = 15 n quad color {Cerulean} {Distribuir.} \ – 2 & = 5 n quad : : color {Cerulean} {Resolver.} \ frac {- 2} {5} & = n end {alineado} )
Respuesta :
(n = – frac {2} {5} )
La multiplicación cruzada se puede usar como un método alternativo para resolver ecuaciones racionales. La idea es simplificar cada lado de la ecuación a una sola fracción algebraica y luego multiplicar en cruz.
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Resuelve: ( frac {1} {2} – frac {4} {x} = – frac {x} {8} ).
Solución
Obtenga una sola fracción algebraica en el lado izquierdo restando las fracciones equivalentes con un denominador común.
( begin {alineado} frac {1} {2} cdot color {Cerulean} { frac {x} {x}} color {black} {-} frac {4} {x } cdot color {Cerulean} { frac {2} {2}} & color {black} {=} – frac {x} {8} \ frac {x} {2 x} – frac {8} {2 x} & = – frac {x} {8} \ frac {x – 8} {2 x} & = – frac {x} {8} end {alineado} ) [ 19459011]
Tenga en cuenta que (x ≠ 0 ), multiplique, y luego resuelva (x ).
( begin {alineado} frac {x – 8} {2 x} & = frac {- x} {8} \ 8 (x – 8) & = – x cdot 2 x \ 8 x – 64 & = – 2 x ^ {2} \ 2 x ^ {2} + 8 x – 64 & = 0 \ 2 izquierda (x ^ {2} + 4 x – 32 derecha) & = 0 \ 2 (x – 4) (x + 8) & = 0 end {alineado} )
Luego, configure cada factor variable igual a cero.
( begin {alineado} x – 4 & = 0 quad quad text {o} & x + 8 & = 0 \ x & = 4 quad & x & = – 8 end {alineado} )
El cheque se deja al lector.
Respuesta :
(- 8, 4 )
