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las matematicas
fracciones

4.7: Sumar y restar fracciones con denominadores comunes

Adición de fracción de modelo

 

¿Cuántos cuartos están representados? Un cuarto más (2 ) cuartos equivale a (3 ) cuartos.

 

Three U.S. quarters are shown. One is shown on the left, and two are shown on the right.

 

Figura ( PageIndex {1} )

 

Recuerde, los trimestres son realmente fracciones de un dólar. Los trimestres son otra forma de decir cuartos. Entonces la imagen de las monedas muestra que

 

[ begin {split} dfrac {1} {4} qquad qquad qquad dfrac {2} {4} qquad & qquad qquad dfrac {3} {4} \ one ; cuarto + dos ; cuartos & = tres ; trimestres fin {split} nonumber ]

 

Usemos círculos de fracciones para modelar el mismo ejemplo, ( dfrac {1} {4} + dfrac {2} {4} ).

                                                                                                                                                                                                        
Comience con una pieza ( dfrac {1} {4} ). ( dfrac {1} {4} )
Agregue dos piezas ( dfrac {1} {4} ) más. (+ dfrac {2} {4} )
El resultado es ( dfrac {3} {4} ). ( dfrac {3} {4} )
 

Entonces, de nuevo, vemos que

 

[ dfrac {1} {4} + dfrac {2} {4} = dfrac {3} {4} nonumber ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): adición

 

Usa un modelo para encontrar la suma ( dfrac {3} {8} + dfrac {2} {8} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                        
Comienza con tres ( dfrac {1} {8} ) piezas. ( dfrac {3} {8} )
Agregue dos piezas ( dfrac {1} {8} ). (+ dfrac {2} {8} )
¿Cuántas ( dfrac {1} {8} ) piezas hay? ( dfrac {5} {8} )
 

Hay cinco ( dfrac {1} {8} ) piezas, o cinco octavos. El modelo muestra que ( dfrac {3} {8} + dfrac {2} {8} = dfrac {5} {8} ).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Usa un modelo para encontrar cada suma. Muestre un diagrama para ilustrar su modelo. [ dfrac {1} {8} + dfrac {4} {8} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5} {8} )

     

CNX_BMath_Figure_04_04_004_img.jpg

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Usa un modelo para encontrar cada suma. Muestre un diagrama para ilustrar su modelo. [ dfrac {1} {6} + dfrac {4} {6} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5} {6} )

     

CNX_BMath_Figure_04_04_005_img.jpg

     
 
 
 

Agregar fracciones con un denominador común

 

El ejemplo ( PageIndex {1} ) muestra que para agregar piezas del mismo tamaño, lo que significa que las fracciones tienen el mismo denominador, simplemente agregamos el número de piezas.

 
 

Definición: Adición de fracción

 

Si (a ), (b ) y (c ) son números donde (c ≠ 0 ), entonces

 

[ dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} = dfrac {a + b} {c} ]

 

Para agregar fracciones con un denominador común, suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común.

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): adición

 

Encuentra la suma: ( dfrac {3} {5} + dfrac {1} {5} ).

 

Solución

                                                                                                              
Suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( dfrac {3 + 1} {5} )
Simplificar. ( dfrac {4} {5} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentra cada suma: ( dfrac {3} {6} + dfrac {2} {6} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5} {6} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Encuentra cada suma: ( dfrac {3} {10} + dfrac {7} {10} ).

 
     
Respuesta
     
     

(1 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): adición

 

Encuentra la suma: ( dfrac {x} {3} + dfrac {2} {3} ).

 

Solución

                                                              
Suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( dfrac {x + 2} {3} )
 

Tenga en cuenta que ya no podemos simplificar esta fracción. Como (x ) y (2 ) no son términos similares, no podemos combinarlos.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Encuentra la suma: ( dfrac {x} {4} + dfrac {3} {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x + 3} {4} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentra la suma: ( dfrac {y} {8} + dfrac {5} {8} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {y + 5} {8} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): adición

 

Encuentra la suma: (- dfrac {9} {d} + dfrac {3} {d} ).

 

Solución

 

Comenzaremos reescribiendo la primera fracción con el signo negativo en el numerador.

 

[- dfrac {a} {b} = dfrac {−a} {b} nonumber ]

                                                                                                                                                                                                              
Reescribe la primera fracción con el negativo en el numerador. ( dfrac {-9} {d} + dfrac {3} {d} )
Suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( dfrac {-9 + 3} {d} )
Simplifica el numerador. ( dfrac {-6} {d} )
Reescribe con signo negativo frente a la fracción. (- dfrac {6} {d} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Encuentra la suma: (- dfrac {7} {d} + dfrac {8} {d} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {1} {d} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Encuentra la suma: (- dfrac {6} {m} + dfrac {9} {m} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {3} {m} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): adición

 

Encuentra la suma: ( dfrac {2n} {11} + dfrac {5n} {11} ).

 

Solución

                                                                                                              
Suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( dfrac {2n + 5n} {11} )
Combina términos similares. ( dfrac {7n} {11} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Encuentra la suma: ( dfrac {3p} {8} + dfrac {6p} {8} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {9p} {8} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Encuentra la suma: ( dfrac {2q} {5} + dfrac {7q} {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {9q} {5} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): adición

 

Encuentra la suma: (- dfrac {3} {12} + left (- dfrac {5} {12} right) ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( dfrac {-3 + (-5)} {12} )
Agregar. ( dfrac {-8} {12} )
Simplifica la fracción. (- dfrac {2} {3} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Encuentra cada suma: (- dfrac {4} {15} + left (- dfrac {6} {15} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {2} {3} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Encuentra cada suma: (- dfrac {5} {21} + left (- dfrac {9} {21} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {2} {3} )

     
 
 
 

Sustracción de fracciones modelo

 

Restar dos fracciones con denominadores comunes es muy parecido a sumar fracciones. Piense en una pizza que fue cortada en (12 ) rebanadas. Supongamos que se comen cinco piezas para la cena. Esto significa que, después de la cena, quedan siete piezas (o ( dfrac {7} {12} ) de la pizza) en la caja. Si Leonardo come (2 ) de estas piezas restantes (o ( dfrac {2} {12} ) de la pizza), ¿cuánto queda? Quedarían (5 ) piezas (o ( dfrac {5} {12} ) de la pizza).

 

[ dfrac {7} {12} – dfrac {2} {12} = dfrac {5} {12} nonumber ]

 

Usemos círculos de fracciones para modelar el mismo ejemplo, ( dfrac {7} {12} – dfrac {2} {12} ). Comience con siete ( dfrac {1} {12} ) piezas. Quite dos ( dfrac {1} {12} ) piezas. ¿Cuántas doceavas quedan?

 

The bottom reads 7 twelfths minus 2 twelfths equals 5 twelfths. Above 7 twelfths, there is a circle divided into 12 equal pieces, with 7 pieces shaded in orange. Above 2 twelfths, the same circle is shown, but 2 of the 7 pieces are shaded in grey. Above 5 twelfths, the 2 grey pieces are no longer shaded, so there is a circle divided into 12 pieces with 5 of the pieces shaded in orange.

 

Figura ( PageIndex {2} )

 

Nuevamente, tenemos cinco doceavos, ( dfrac {5} {12} ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): diferencia

 

Usa círculos de fracciones para encontrar la diferencia: ( dfrac {4} {5} – dfrac {1} {5} ).

 

Solución

 

Comienza con cuatro ( dfrac {1} {5} ) piezas. Quite una ( dfrac {1} {5} ) pieza. Cuenta cuántos quintos quedan. Quedan tres ( dfrac {1} {5} ) piezas restantes.

 

The bottom reads 4 fifths minus 1 fifth equals 3 fifths. Above 4 fifths, there is a circle divided into 5 equal pieces, with 4 pieces shaded in orange. Above 1 fifth, the same circle is shown, but 1 of the 4 shaded pieces is shaded in grey. Above 3 fifths, the 1 grey piece is no longer shaded, so there is a circle divided into 5 pieces with 3 of the pieces shaded in orange.

 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Usa un modelo para encontrar cada diferencia. Muestre un diagrama para ilustrar su modelo. ( dfrac {7} {8} – dfrac {4} {8} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {3} {8} ), los modelos pueden diferir.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Usa un modelo para encontrar cada diferencia. Muestre un diagrama para ilustrar su modelo. ( dfrac {5} {6} – dfrac {4} {6} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {1} {6} ), los modelos pueden diferir.

     
 
 
 

Restar fracciones con un denominador común

 

Restamos fracciones con un denominador común de la misma manera que sumamos fracciones con un denominador común.

 
 
 

Definición: Resta de fracciones

 

Si (a ), (b ) y (c ) son números donde (c ≠ 0 ), entonces

 

[ dfrac {a} {c} – dfrac {b} {c} = dfrac {a-b} {c} ]

 

Para restar fracciones con un denominador común, restamos los numeradores y colocamos la diferencia sobre el denominador común.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): diferencia

 

Encuentra la diferencia: ( dfrac {23} {24} – dfrac {14} {24} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Resta los numeradores y coloca la diferencia sobre el denominador común. ( dfrac {23 – 14} {24} )
Simplifica el numerador. ( dfrac {9} {24} )
Simplifica la fracción eliminando factores comunes. ( dfrac {3} {8} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Encuentra la diferencia: ( dfrac {19} {28} – dfrac {7} {28} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {3} {7} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Encuentra la diferencia: ( dfrac {27} {32} – dfrac {11} {32} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {1} {2} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): diferencia

 

Encuentra la diferencia: ( dfrac {y} {6} – dfrac {1} {6} ).

 

Solución

                                                              
Resta los numeradores y coloca la diferencia sobre el denominador común. ( dfrac {y – 1} {6} )
 

La fracción se simplifica porque no podemos combinar los términos en el numerador.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Encuentra la diferencia: ( dfrac {x} {7} – dfrac {2} {7} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x-2} {7} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Encuentra la diferencia: ( dfrac {y} {14} – dfrac {13} {14} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {y-13} {14} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): diferencia

 

Encuentra la diferencia: (- dfrac {10} {x} – dfrac {4} {x} ).

 

Solución

 

Recuerde, la fracción (- dfrac {10} {x} ) se puede escribir como ( dfrac {−10} {x} ).

                                                                                                                                                              
Resta los numeradores. ( dfrac {-10 – 4} {x} )
Simplificar. ( dfrac {-14} {x} )
Reescribe con el signo negativo frente a la fracción. (- dfrac {14} {x} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Encuentra la diferencia: (- dfrac {9} {x} – dfrac {7} {x} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {16} {x} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Encuentra la diferencia: (- dfrac {17} {a} – dfrac {5} {a} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {22} {a} )

     
 
 
 

Ahora hagamos un ejemplo que involucra tanto la suma como la resta.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ): simplificar

 

Simplifique: ( dfrac {3} {8} + left (- dfrac {5} {8} right) – dfrac {1} {8} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Combina los numeradores sobre el denominador común. ( dfrac {3 + (-5) – 1} {8} )
Simplifique el numerador, trabajando de izquierda a derecha. ( dfrac {-2 – 1} {8} )
Reste los términos en el numerador. ( dfrac {-3} {8} )
Reescribe con el signo negativo frente a la fracción. (- dfrac {3} {8} )
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Simplifique: ( dfrac {2} {5} + left (- dfrac {4} {5} right) – dfrac {3} {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 1 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Simplifique: ( dfrac {5} {9} + left (- dfrac {4} {9} right) – dfrac {7} {9} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {2} {3} )

     
 
 
 
 

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Conceptos clave

 
         
  • Adición de fracción      
               
    • Si (a, b, ) , y (c ) son números donde (c neq 0 ), luego ( dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} = dfrac {a + b} {c} )
      •          
    • Para sumar fracciones, suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común.
      •      
         
    •      
  • Resta de fracciones      
               
    • Si (a, b, ) , y (c ) son números donde (c neq 0 ), luego ( dfrac {a} {c} – dfrac {b} {c} = dfrac {ab} {c} )
      •          
    • Para restar fracciones, reste los numeradores y coloque la diferencia sobre el denominador común.
      •      
         
    •  
 

La práctica hace la perfección

 

Adición de fracción de modelo

 

En los siguientes ejercicios, usa un modelo para agregar las fracciones. Muestre un diagrama para ilustrar su modelo.

 
         
  1. ( dfrac {2} {5} + dfrac {1} {5} )
    2.      
  2. ( dfrac {3} {10} + dfrac {4} {10} )
    3.      
  3. ( dfrac {1} {6} + dfrac {3} {6} )
    4.      
  4. ( dfrac {3} {8} + dfrac {3} {8} )
    5.  
 

Agregar fracciones con un denominador común

 

En los siguientes ejercicios, encuentre cada suma.

 
         
  1. ( dfrac {4} {9} + dfrac {1} {9} )
    2.      
  2. ( dfrac {2} {9} + dfrac {5} {9} )
    3.      
  3. ( dfrac {6} {13} + dfrac {7} {13} )
    4.      
  4. ( dfrac {9} {15} + dfrac {7} {15} )
    5.      
  5. ( dfrac {x} {4} + dfrac {3} {4} )
    6.      
  6. ( dfrac {y} {3} + dfrac {2} {3} )
    7.      
  7. ( dfrac {7} {p} + dfrac {9} {p} )
    8.      
  8. ( dfrac {8} {q} + dfrac {6} {q} )
    9.      
  9. ( dfrac {8b} {9} + dfrac {3b} {9} )
    10.      
  10. ( dfrac {5a} {7} + dfrac {4a} {7} )
    11.      
  11. ( dfrac {-12y} {8} + dfrac {3y} {8} )
    12.      
  12. ( dfrac {-11x} {5} + dfrac {7x} {5} )
    13.      
  13. (- dfrac {1} {8} + left (- dfrac {3} {8} right) )
    14.      
  14. (- dfrac {1} {8} + left (- dfrac {5} {8} right) )
    15.      
  15. (- dfrac {3} {16} + left (- dfrac {7} {16} right) )
    16.      
  16. (- dfrac {5} {16} + left (- dfrac {9} {16} right) )
    17.      
  17. (- dfrac {8} {17} + dfrac {15} {17} )
    18.      
  18. (- dfrac {9} {19} + dfrac {17} {19} )
    19.      
  19. (- dfrac {6} {13} + left (- dfrac {10} {13} right) + left (- dfrac {12} {13} right) ) [19459079 ]      
  20. (- dfrac {5} {12} + left (- dfrac {7} {12} right) + left (- dfrac {11} {12} right) ) [19459079 ]  
 

Sustracción de fracciones modelo

 

En los siguientes ejercicios, usa un modelo para restar las fracciones. Muestre un diagrama para ilustrar su modelo.

 
         
  1. ( dfrac {5} {8} – dfrac {2} {8} )
    2.      
  2. ( dfrac {5} {6} – dfrac {2} {6} )
    3.  
 

Restar fracciones con un denominador común

 

En los siguientes ejercicios, encuentra la diferencia.

 
         
  1. ( dfrac {4} {5} – dfrac {1} {5} )
    2.      
  2. ( dfrac {4} {5} – dfrac {3} {5} )
    3.      
  3. ( dfrac {11} {15} – dfrac {7} {15} )
    4.      
  4. ( dfrac {9} {13} – dfrac {4} {13} )
    5.      
  5. ( dfrac {11} {12} – dfrac {5} {12} )
    6.      
  6. ( dfrac {7} {12} – dfrac {5} {12} )
    7.      
  7. ( dfrac {4} {21} – dfrac {19} {21} )
    8.      
  8. (- dfrac {8} {9} – dfrac {16} {9} )
    9.      
  9. ( dfrac {y} {17} – dfrac {9} {17} )
    10.      
  10. ( dfrac {x} {19} – dfrac {8} {19} )
    11.      
  11. ( dfrac {5 años} {8} – dfrac {7} {8} )
    12.      
  12. ( dfrac {11z} {13} – dfrac {8} {13} )
    13.      
  13. (- dfrac {8} {d} – dfrac {3} {d} )
    14.      
  14. (- dfrac {7} {c} – dfrac {7} {c} )
    15.      
  15. (- dfrac {23} {u} – dfrac {15} {u} )
    16.      
  16. (- dfrac {29} {v} – dfrac {26} {v} )
    17.      
  17. (- dfrac {6c} {7} – dfrac {5c} {7} )
    18.      
  18. (- dfrac {12d} {11} – dfrac {9d} {11} )
    19.      
  19. ( dfrac {-4r} {13} – dfrac {5r} {13} )
    20.      
  20. ( dfrac {-7s} {3} – dfrac {7s} {3} )
    21.      
  21. (- dfrac {3} {5} – left (- dfrac {4} {5} right) )
    22.      
  22. (- dfrac {3} {7} – left (- dfrac {5} {7} right) )
    23.      
  23. (- dfrac {7} {9} – left (- dfrac {5} {9} right) )
    24.      
  24. (- dfrac {8} {11} – left (- dfrac {5} {11} right) )
    25.  
 

Práctica mixta

 

En los siguientes ejercicios, realice la operación indicada y escriba sus respuestas en forma simplificada.

 
         
  1. (- dfrac {5} {18} cdot dfrac {9} {10} )
    2.      
  2. (- dfrac {3} {14} cdot dfrac {7} {12} )
    3.      
  3. ( dfrac {n} {5} – dfrac {4} {5} )
    4.      
  4. ( dfrac {6} {11} – dfrac {s} {11} )
    5.      
  5. (- dfrac {7} {24} – dfrac {2} {24} )
    6.      
  6. (- dfrac {5} {18} – dfrac {1} {18} )
    7.      
  7. ( dfrac {8} {15} div dfrac {12} {5} )
    8.      
  8. ( dfrac {7} {12} div dfrac {9} {28} )
    9.  
 

Matemáticas cotidianas

 
         
  1. Trail Mix Jacob está mezclando nueces y pasas para hacer una mezcla de trail. Tiene ( dfrac {6} {10} ) de una libra de nueces y ( dfrac {3} {10} ) de una libra de pasas. ¿Cuánta mezcla de trail puede hacer?
    2.      
  2. Hornear Janet necesita ( dfrac {5} {8} ) de una taza de harina para una receta que está haciendo. Ella solo tiene ( dfrac {3} {8} ) de una taza de harina y le pedirá prestado el resto a su vecino de al lado. ¿Cuánta harina tiene que pedir prestada?
    3.  
 

Ejercicios de escritura

 
         
  1. Greg dejó caer su caja de brocas y tres de las brocas se cayeron. La caja tiene ranuras para las brocas, y las ranuras están dispuestas en orden de menor a mayor. Greg necesita poner los pedazos que se cayeron en el caso en las ranuras vacías. ¿A dónde van los tres bits? Explica cómo lo sabes.
    2.  
 

Bits en caso: ( dfrac {1} {16}, dfrac {1} {8} ), ___, ___, ( dfrac {5} {16}, dfrac {3} { 8} ), ___, ( dfrac {1} {2}, dfrac {9} {16}, dfrac {5} {8} ).

 

Bits que se cayeron: ( dfrac {7} {16}, dfrac {3} {16}, dfrac {1} {4} ).

 
         
  1. Después de una fiesta, Lupe tiene ( dfrac {5} {12} ) de una pizza de queso, ( dfrac {4} {12} ) de una pizza de pepperoni y ( dfrac {4 } {12} ) de una pizza vegetariana a la izquierda. ¿Encajarán todas las rebanadas en 1 caja de pizza? Explica tu razonamiento.
    2.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

 

(b) En una escala del 1 al 10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo puedes mejorar esto?

 
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