Movimiento uniforme (o distancia) 37 problemas involucran la fórmula (D = rt ), donde se da la distancia (D ) como el producto de la tasa promedio (r ) y el tiempo (t ) viajado a esa tasa. Si dividimos ambos lados por la tasa promedio (r ), entonces obtenemos la fórmula
(t = frac {D} {r} )
Por esta razón, cuando la cantidad desconocida es el tiempo, la configuración algebraica para problemas de distancia a menudo resulta en una ecuación racional. Comenzamos cualquier problema de movimiento uniforme organizando primero nuestros datos con un gráfico. Use esta información para configurar una ecuación algebraica que modele la aplicación.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Sally viajó (15 ) millas en el autobús y luego otras (72 ) millas en un tren. El tren fue (18 ) millas por hora más rápido que el autobús, y el viaje total tomó (2 ) horas. ¿Cuál fue la velocidad promedio del tren?
Solución
Primero, identifique la cantidad desconocida y organice los datos.
Sea (x ) la velocidad promedio (en millas por hora) del autobús.
Sea (x + 18 ) la velocidad promedio del tren.
Figura 4.8.1
Para evitar introducir dos variables más para la columna de tiempo, use la fórmula (t = frac {D} {r} ). El tiempo para cada tramo del viaje se calcula de la siguiente manera:
( begin {alineado} color {Cerulean} {Tiempo : gastado : en : el : autobús:} color {negro} {t} = frac {D} {r} & = frac {15} {x} \ color {Cerulean} {Tiempo : gastado : en : el : tren:} color {negro} {t} = frac {D} {r} & = frac {72} {x + 18} end {alineado} )
Usa estas expresiones para completar el gráfico.
Figura 4.8.2
La configuración algebraica está definida por la columna de tiempo. Agregue el tiempo dedicado a cada tramo del viaje para obtener un total de (2 ) horas:
Figura 4.8.3
Comenzamos a resolver esta ecuación multiplicando primero ambos lados por la pantalla LCD, (x (x + 18) ).
( begin {alineado} frac {15} {x} + frac {72} {x + 18} & = 2 \ color {Cerulean} {x (x + 18)} color { negro} { cdot} left ( frac {15} {x} + frac {72} {x + 18} right) & = color {Cerulean} {x (x + 18)} color {black { } { cdot} 2 \ color {Cerulean} {x (x + 18)} color {black} { cdot} frac {15} {x} + color {Cerulean} {x (x + 18 )} color {black} { cdot} frac {72} {x + 18} & = color {Cerulean} {x (x + 18)} color {black} { cdot} 2 \ 15 ( x + 18) cdot 72x & = 2x (x + 18) \ 15 x + 270 + 72 x & = 2 x ^ {2} + 36 x \ 87 x + 270 & = 2 x ^ {2} + 36 x \ 0 & = 2 x ^ {2} – 51 x – 270 end {alineado} )
Resuelve la ecuación cuadrática resultante factorizando.
( begin {array} {l} {0 = 2 x ^ {2} – 51 x – 270} \ {0 = (2 x + 9) (x – 30)} end {array} )
( begin {alineado} 2 x + 9 & = 0 quad quad text {o} & x – 30 & = 0 \ x & = – frac {9} {2} & x & = 30 end {alineado} )
Dado que estamos buscando una velocidad promedio, ignoraremos la respuesta negativa y concluiremos que el autobús promedió (30 ) mph. Sustituya (x = 30 ) en la expresión identificada como la velocidad del tren.
(x + 18 = 30 + 18 = 48 )
Respuesta :
La velocidad del tren era (48 ) mph.
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Un bote puede promediar (12 ) millas por hora en aguas tranquilas. En un viaje río abajo, el barco pudo viajar (29 ) millas con la corriente. En el viaje de regreso, el bote solo pudo viajar (19 ) millas en la misma cantidad de tiempo contra la corriente. ¿Cuál fue la velocidad de la corriente?
Solución
Primero, identifique las cantidades desconocidas y organice los datos.
Sea (c ) la velocidad de la corriente del río.
A continuación, organice los datos dados en un gráfico. Viajando río abajo, la corriente aumentará la velocidad del bote, por lo que se suma a la velocidad promedio del bote. Viajando río arriba, la corriente ralentiza el bote, por lo que se restará de la velocidad promedio del bote.
Figura 4.8.4
Use la fórmula (t = frac {D} {r} ) para completar la columna de tiempo.
( begin {alineado} color {Cerulean} {trip : downriver:} & color {black} {} t = frac {D} {r} = frac {29} {12 + c } \ color {Cerulean} {viaje : río arriba:} & color {negro} {t} = frac {D} {r} = frac {19} {12 – c} end {alineado} )
Figura 4.8.5
Debido a que el barco viajó la misma cantidad de tiempo río abajo que río arriba, termine la configuración algebraica configurando las expresiones que representan los tiempos iguales entre sí.
( frac {29} {12 + c} = frac {19} {12 – c} )
Como hay una sola fracción algebraica en cada lado, podemos resolver esta ecuación usando la multiplicación cruzada.
( begin {alineado} frac {29} {12 + c} & = frac {19} {12 – c} \ 29 (12 – c) & = 19 (12 + c) \ 348 – 29 c & = 228 + 19 c \ 120 & = 48 c \ frac {120} {48} & = c \ frac {5} {2} & = c end {alineado} )
Respuesta :
La velocidad de la corriente era (2 frac {1} {2} ) millas por hora.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Un avión a reacción puede promediar (160 ) millas por hora en aire tranquilo. En un viaje, el avión viajó (600 ) millas con un viento de cola y regresó las (600 ) millas contra un viento en contra de la misma velocidad. Si el viaje total de ida y vuelta tomó (8 ) horas, ¿cuál fue la velocidad del viento?
Respuesta
(40 ) millas por hora
Solución de problemas de velocidad de trabajo
La tasa a la que se puede realizar una tarea se denomina tasa de trabajo 38 . Por ejemplo, si un pintor puede pintar una habitación en (6 ) horas, entonces la tarea es pintar la habitación y podemos escribir
( frac {1 text {tarea}} {6 text {horas}} quad color {Cerulean} {work : rate} )
En otras palabras, el pintor puede completar ( frac {1} {6} ) de la tarea por hora. Si trabaja menos de (6 ) horas, realizará una fracción de la tarea. Si trabaja más de (6 ) horas, puede completar más de una tarea. Por ejemplo,
( begin {alineado} color {Cerulean} {tasa de trabajo : : times : : time} & color {black} {=} color {Cerulean} {cantidad : de : tarea : completada} \ frac {1} {6} quad times quad3 hrs & = : frac {1} {2} quad color {Cerulean} {la mitad : de : the : room : painted} \ frac {1} {6} quad times quad 6 hrs & = : 1 quad color {Cerulean} {one : whole : room : pintado} \ frac {1} {6} quad times : : 12 text {hrs} & = : 2 quad color {Cerulean} {two : entero : habitaciones : pintado} end {alineado} )
Obtenga la cantidad de la tarea completada multiplicando la tasa de trabajo por la cantidad de tiempo que trabaja el pintor. Por lo general, los problemas de ritmo de trabajo involucran a personas o máquinas que trabajan juntas para completar tareas. En general, si (t ) representa el tiempo en que dos personas trabajan juntas, entonces tenemos la siguiente fórmula de tasa de trabajo 39 :
( frac {1} {t _ {1}} t + frac {1} {t _ {2}} t = color {Cerulean} {cantidad : de : tarea : completado : juntos} )
Aquí ( frac {1} {t _ {1}} ) y ( frac {1} {t _ {2}} ) son las tasas de trabajo individuales.
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Joe puede pintar una habitación típica en (2 ) horas menos que Mark. Si Joe y Mark pueden pintar (5 ) habitaciones trabajando juntas en un turno de (12 ) horas, ¿cuánto tiempo les lleva a cada una pintar una habitación individual?
Solución
Sea (x ) el tiempo que le toma a Mark pintar una habitación típica.
Sea (x – 2 ) el tiempo que le toma a Joe pintar una habitación típica.
Por lo tanto, la tasa de trabajo individual de Mark es ( frac {1} {x} ) habitaciones por hora y la de Joe es ( frac {1} {x − 2} ) habitaciones por hora. Ambos hombres trabajaron durante (12 ) horas. Podemos organizar los datos en un gráfico, tal como lo hicimos con los problemas de distancia.
Figura 4.8.6
Trabajando juntos, pueden pintar 5 habitaciones en total en 12 horas. Esto nos lleva a la siguiente configuración algebraica:
( frac {12} {x – 2} + frac {12} {x} = 5 )
Multiplica ambos lados por la pantalla LCD, (x (x − 2) ).
( begin {alineado} color {Cerulean} {x (x – 2)} color {black} { cdot} left ( frac {12} {x – 2} + frac {12 } {x} right) & = color {Cerulean} {x (x – 2)} color {black} { cdot} 5 \ color {Cerulean} {x (x – 2)} color { negro} { cdot} frac {12} {x – 2} + color {Cerulean} {x (x – 2)} color {black} { cdot} frac {12} {x} & = color {Cerulean} {x (x – 2)} color {black} { cdot} 5 \ 12 x + 12 (x – 2) & = 5 x (x – 2) \ 12 x + 12 x – 24 & = 5 x ^ {2} – 10 x \ 0 & = 5 x ^ {2} – 34 x + 24 end {alineado} )
Resuelve la ecuación cuadrática resultante factorizando.
( begin {array} {l} {0 = 5 x ^ {2} – 34 x + 24} \ {0 = (5 x – 4) (x – 6)} end {array} )
( begin {alineado} 5 x – 4 & = 0 quad quad text {o} & x – 6 & = 0 \ 5 x & = 4 & x & = 6 \ x & = frac { 4} {5} end {alineado} )
Podemos ignorar ( frac {4} {5} ) porque la sustitución posterior en (x – 2 ) produciría un tiempo negativo para pintar una habitación. Tome (x = 6 ) como la única solución y úselo para encontrar el tiempo que le toma a Joe pintar una habitación típica.
(x – 2 = 6 – 2 = 4 )
Respuesta :
Joe puede pintar una habitación típica en (4 ) horas y Mark puede pintar una habitación típica en (6 ) horas. Como verificación, podemos multiplicar ambas tasas de trabajo por (12 ) horas para ver que juntas pueden pintar (5 ) habitaciones.
( left. Begin {array} {l} { color {Cerulean} {Joe} : : color {black} { frac {1 text {room}} {4 text { hrs}}} cdot 12 text {hrs} = 3 text {rooms}} \ { color {Cerulean} {Mark} : : color {black} { frac {1 text {room} } {6 text {hrs}}} cdot 12 text {hrs} = 2 text {rooms}} end {array} right } Total : 5 : rooms : color {Cerulean} { ✓} )
Ejemplo ( PageIndex {4} ):
A Bill le toma el doble de tiempo colocar un piso de baldosas solo que a Manny. Después de trabajar junto con Bill durante (4 ) horas, Manny pudo completar el trabajo en (2 ) horas adicionales. ¿Cuánto tiempo le habría llevado a Manny trabajar solo?
Solución
Sea (x ) el tiempo que le toma a Manny tender el piso solo.
Deje que (2x ) represente el tiempo que le toma a Bill poner el piso solo.
La tasa de trabajo de Manny es ( frac {1} {x} ) del piso por hora y la tasa de trabajo de Bill es ( frac {1} {2x} ). Bill trabajó en el trabajo durante (4 ) horas y Manny trabajó en el trabajo durante (6 ) horas.
Figura 4.8.7
Esto nos lleva a la siguiente configuración algebraica:
Matt puede enlosar una encimera en (2 ) horas, y su asistente puede hacer el mismo trabajo en (3 ) horas. Si Matt comienza el trabajo y su asistente se une a él (1 ) hora más tarde, ¿cuánto tiempo tomará colocar la encimera?
Respuesta
(1 frac {3} {5} ) horas
Solución de problemas que involucran variación directa, inversa y conjunta
Muchos problemas del mundo real encontrados en las ciencias involucran dos tipos de relaciones funcionales. El primer tipo puede explorarse utilizando el hecho de que la distancia (s ) en pies de un objeto cae del reposo, sin tener en cuenta la resistencia del aire, puede aproximarse utilizando la siguiente fórmula:
(s = 16t ^ {2} )
Aquí (t ) representa el tiempo en segundos que el objeto ha estado cayendo. Por ejemplo, después de (2 ) segundos, el objeto habrá caído (s = 16 (2) ^ {2} = 16 cdot 4 = 64 ) pies.
Tiempo (t ) en segundos
Distancia (s = 16 t ^ {2} ) en pies
(0 )
(0 )
(1 )
(16 )
(2 )
(64 )
(3 )
(144 )
(4 )
(256 )
Tabla 4.8.1
En este ejemplo, podemos ver que la distancia varía con el tiempo como el producto de una constante (16 ) y el cuadrado del tiempo (t ). Esta relación se describe como variación directa 40 y (16 ) se llama constante de variación 41 . Además, si dividimos ambos lados de (s = 16t ^ {2} ) por (t ^ {2} ) tenemos
( frac {s} {t ^ {2}} = 16 )
En esta forma, es razonable decir que (s ) es proporcional a (t ^ {2} ), y (16 ) se llama la constante de proporcionalidad [ 19459068] 42 . En general, tenemos
Palabras clave
Traducción
” (y ) varía (x ) directamente como (x )”
(y = kx )
” (y ) es directamente proporcional 43 a (x )”
” (y ) es proporcional a (x )”
Tabla 4.8.2
Aquí (k ) no es cero y se llama constante de variación o constante de proporcionalidad. Por lo general, se nos dará información a partir de la cual podemos determinar esta constante.
Ejemplo ( PageIndex {5} ):
El peso de un objeto en la Tierra varía directamente a su peso en la Luna. Si un hombre pesa (180 ) libras en la Tierra, entonces pesará (30 ) libras en la Luna. Establezca una ecuación algebraica que exprese el peso en la Tierra en términos del peso en la Luna y úselo para determinar el peso de una mujer en la Luna si pesa (120 ) libras en la Tierra.
Solución
Sea (y ) representar el peso en la Tierra.
Sea (x ) representar el peso en la Luna.
Se nos dice que el “peso en la Tierra varía directamente con el peso en la Luna”.
(y = kx )
Para encontrar la constante de variación (k ), usa la información dada. A (180 ) – lb hombre en la Tierra pesa (30 ) libras en la Luna, o (y = 180 ) cuando (x = 30 ).
(180 = k cdot 30 )
Resuelve para (k ).
( begin {array} {c} { frac {180} {30} = k} \ {6 = k} end {array} )
A continuación, configure una fórmula que modele la información dada.
(y = 6x )
Esto implica que el peso de una persona en la Tierra es (6 ) veces su peso en la Luna. Para responder a la pregunta, use el peso de la mujer en la Tierra, (y = 120 ) lbs, y resuelva (x ).
La segunda relación funcional se puede explorar utilizando la fórmula que relaciona la intensidad de la luz (I ) con la distancia desde su fuente (d ).
(I = frac {k} {d ^ {2}} )
Aquí (k ) representa alguna constante. Una vela de pie es una medida de la intensidad de la luz. Una vela de un pie se define como igual a la cantidad de iluminación producida por una vela estándar medida a un pie de distancia. Por ejemplo, una (125 ) – Luz de crecimiento fluorescente de vatios se anuncia para producir (525 ) pies de velas de iluminación. Esto significa que a una distancia (d = 1 ) pie, (I = 525 ) pie-velas y tenemos:
( begin {array} {l} {525 = frac {k} {(1) ^ {2}}} \ {525 = k} end {array} )
Usando (k = 525 ) podemos construir una fórmula que da la intensidad de la luz producida por la bombilla:
(I = frac {525} {d ^ {2}} )
Aquí (d ) representa la distancia que la luz creciente está de las plantas. En el siguiente cuadro, podemos ver que la cantidad de iluminación se desvanece rápidamente a medida que aumenta la distancia desde las plantas.
Distancia (t ) en pies
Intensidad de luz (I = frac {525} {d ^ {2}} )
(1 )
(525 )
(2 )
(131,25 )
(3 )
(58,33 )
(4 )
(32,81 )
(5 )
(21 )
Tabla 4.8.3
Este tipo de relación se describe como una variación inversa 44 . Decimos que I es inversamente proporcional 45 al cuadrado de la distancia (d ) , donde (525 ) es la constante de proporcionalidad. En general, tenemos
Palabras clave
Traducción
” (y ) varía inversamente como (x )”
(y = frac {k} {x} )
” (y ) es inversamente proporcional a (x )”
Tabla 4.8.4
Nuevamente, (k ) no es cero y se llama constante de variación o constante de proporcionalidad.
Ejemplo ( PageIndex {6} ):
El peso de un objeto varía inversamente como el cuadrado de su distancia desde el centro de la Tierra. Si un objeto pesa (100 ) libras en la superficie de la Tierra (aproximadamente (4,000 ) millas del centro), ¿cuánto pesará a (1,000 ) millas sobre la superficie de la Tierra?
Solución
Sea (w ) el peso del objeto.
Deje que (d ) represente la distancia del objeto desde el centro de la Tierra.
Dado que ” (w ) varía inversamente como el cuadrado de (d )”, podemos escribir
(w = frac {k} {d ^ {2}} )
Use la información dada para encontrar (k ). Un objeto pesa (100 ) libras en la superficie de la Tierra, aproximadamente (4,000 ) millas del centro. En otras palabras, (w = 100 ) cuando (d = 4,000 ):
(100 = frac {k} {(4,000) ^ {2}} )
Resuelve para (k ).
( begin {alineado} color {Cerulean} {(4,000) ^ {2}} color {black} { cdot} 100 & = color {Cerulean} {(4,000) ^ {2}} color {black} { cdot} frac {k} {(4,000) ^ {2}} \ 1,600,000,000 & = k \ 1.6 times 10 ^ {9} & = k end {alineado} ) [ 19459011]
Por lo tanto, podemos modelar el problema con la siguiente fórmula:
(w = frac {1.6 times 10 ^ {9}} {d ^ {2}} )
Para usar la fórmula para encontrar el peso, necesitamos la distancia desde el centro de la Tierra. Dado que el objeto está (1,000 ) millas sobre la superficie, encuentre la distancia desde el centro de la Tierra agregando (4,000 ) millas:
(d = 4,000 + 1,000 = 5,000 : : text {millas} )
Para responder la pregunta, use la fórmula con (d = 5,000 ).
( begin {alineado} y & = frac {1.6 times 10 ^ {9}} {( color {OliveGreen} {5,000} color {black} {)} ^ {2}} \ & = frac {1.6 times 10 ^ {9}} {25,000,000} \ & = frac {1.6 times 10 ^ {9}} {2.5 times 10 ^ {9}} \ & = 0.64 times 10 ^ {2} \ & = 64 end {alineado} )
Respuesta :
El objeto pesará (64 ) libras a una distancia (1,000 ) millas sobre la superficie de la Tierra.
Finalmente, definimos relaciones entre múltiples variables, descritas como variación conjunta 46 . En general, tenemos
Palabras clave
Traducción
” (y ) varía conjuntamente como (x ) y (z )”
(y = k x z )
” (y ) es conjuntamente proporcional 47 a (x ) y (z )”
Tabla 4.8.5
Aquí (k ) no es cero y se llama constante de variación o constante de proporcionalidad.
Ejemplo ( PageIndex {7} ):
El área de una elipse varía conjuntamente como (a ), la mitad del eje mayor de la elipse y (b ), la mitad del eje menor de la elipse como se muestra en la imagen. Si el área de una elipse es (300π cm ^ {2} ), donde (a = 10 ) cm y (b = 30 ) cm, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? Da una fórmula para el área de una elipse.
Figura 4.8.8
Solución
Si dejamos que (A ) represente el área de una elipse, entonces podemos usar la declaración “el área varía conjuntamente como (a ) y (b )” para escribir
(A = kab )
Para encontrar la constante de variación (k ), use el hecho de que el área es (300π ) cuando (a = 10 ) y (b = 30 ).
( begin {array} {c} {300 pi = k ( color {OliveGreen} {10} color {black} {)} ( color {OliveGreen} {30} color {black} {)}} \ {300 pi = 300 k} \ { pi = k} end {array} )
Por lo tanto, la fórmula para el área de una elipse es
(A = πab )
Respuesta :
La constante de proporcionalidad es (π ) y la fórmula para el área de una elipse es (A = abπ ).
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Dado que (y ) varía directamente como el cuadrado de (x ) e inversamente con (z ), donde (y = 2 ) cuando (x = 3 ) y (z = 27 ), encuentre (y ) cuando (x = 2 ) y (z = 16 ).
Respuesta
( frac {3} {2} )
Notas a pie de página
37 Descrito por la fórmula (D = rt ), donde la distancia (D ) se da como el producto de la tasa promedio (r ) y el tiempo (t ) viajó a esa velocidad.
38 La velocidad a la que se puede realizar una tarea.
39 ( frac {1} {t _ {1}} cdot t + frac {1} {t _ {2}} cdot t = 1 ), donde ( frac {1} {t _ {1}} ) y ( frac {1} {t _ {2}} ) son las tasas de trabajo individuales yt es el tiempo que toma para completar la tarea trabajando juntos.
40 Describe dos cantidades (x ) y (y ) que son múltiplos constantes entre sí: (y = kx ).
41 El múltiplo distinto de cero (k ), cuando las cantidades varían directa o inversamente.
42 Se usa cuando se refiere a la constante de variación.
43 Se usa para referirse a la variación directa.
44 Describe dos cantidades (x ) y (y ), donde una variable es directamente proporcional al recíproco de la otra: (y = frac {k} {x} ).
45 Se usa cuando se refiere a la variación inversa.
46 Describe una cantidad (y ) que varía directamente como el producto de otras dos cantidades (x ) y (z: y = kxz ).
47 Se usa cuando se refiere a la variación de la junta.
