4.8: Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores (Parte 1)

4.8: Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores (Parte 1)

Encuentra el mínimo común denominador

 

En la sección anterior, explicamos cómo sumar y restar fracciones con un denominador común. Pero, ¿cómo podemos sumar y restar fracciones con denominadores distintos?

 

Pensemos nuevamente en las monedas. ¿Puedes agregar un cuarto y una moneda de diez centavos? Se podría decir que hay dos monedas, pero eso no es muy útil. Para encontrar el valor total de un cuarto más un centavo, cámbielos al mismo tipo de unidad: centavos. Un cuarto equivale a (25 ) centavos y un centavo equivale a (10 ​​) centavos, por lo que la suma es (35 ) centavos. Ver Figura ( PageIndex {1} ).

 

A quarter and a dime are shown. Below them, it reads 25 cents plus 10 cents. Below that, it reads 35 cents.

 

Figura ( PageIndex {1} ): Juntos, un cuarto y una moneda de diez centavos valen 35 centavos, o ( dfrac {35} {100} ) de un dólar.

 

Del mismo modo, cuando agregamos fracciones con diferentes denominadores, tenemos que convertirlas en fracciones equivalentes con un denominador común. Con las monedas, cuando convertimos a centavos, el denominador es (100 ). Como hay (100 ) centavos en un dólar, (25 ) centavos es ( dfrac {25} {100} ) y (10 ​​) centavos es ( dfrac {10} {100} ). Entonces agregamos ( dfrac {25} {100} + dfrac {10} {100} ) para obtener ( dfrac {35} {100} ), que es (35 ) centavos.

 

Has practicado sumar y restar fracciones con denominadores comunes. Ahora veamos qué necesita hacer con fracciones que tienen diferentes denominadores.

 

Primero, usaremos mosaicos de fracciones para modelar y encontrar el denominador común de ( dfrac {1} {2} ) y ( dfrac {1} {3} ). Comenzaremos con un mosaico ( dfrac {1} {2} ) y un mosaico ( dfrac {1} {3} ). Queremos encontrar un mosaico de fracción común que podamos usar para que coincida tanto ( dfrac {1} {2} ) como ( dfrac {1} {3} ) exactamente. Si probamos las piezas ( dfrac {1} {4} ), (2 ) de ellas coinciden exactamente con la pieza ( dfrac {1} {2} ), pero no coinciden exactamente con la ( dfrac {1} {3} ) pieza.

 

Two rectangles are shown side by side. The first is labeled 1 half. The second is shorter and is labeled 1 third. Underneath the first rectangle is an equally sized rectangle split vertically into two pieces, each labeled 1 fourth. Underneath the second rectangle are two pieces, each labeled 1 fourth. These rectangles together are longer than the rectangle labeled as 1 third.

 

Figura ( PageIndex {2} )

 

Si probamos las piezas ( dfrac {1} {5} ), no cubren exactamente la pieza ( dfrac {1} {2} ) o la ( dfrac {1} { 3} ) pieza.

 

Two rectangles are shown side by side. The first is labeled 1 half. The second is shorter and is labeled 1 third. Underneath the first rectangle are three smaller rectangles, each labeled 1 fifth. Together, these rectangles are longer than the 1 half rectangle. Below the 1 third rectangle are two smaller rectangles, each labeled 1 fifth. Together, these rectangles are longer than the 1 third rectangle.

 

Figura ( PageIndex {3} )

 

Si tuviéramos que probar las piezas ( dfrac {1} {12} ), también funcionarían.

 

Two rectangles are shown side by side. The first is labeled 1 half. The second is shorter and is labeled 1 third. Underneath the first rectangle is an equally sized rectangle split vertically into 6 pieces, each labeled 1 twelfth. Underneath the second rectangle is an equally sized rectangle split vertically into 4 pieces, each labeled 1 twelfth.

 

Figura ( PageIndex {4} )

 

Incluso los mosaicos más pequeños, como ( dfrac {1} {24} ) y ( dfrac {1} {48} ), también cubrirían exactamente el ( dfrac {1} {2} ) pieza y la pieza ( dfrac {1} {3} ). El denominador de la pieza más grande que cubre ambas fracciones es el mínimo común denominador (LCD) de las dos fracciones. Entonces, el mínimo común denominador de ( dfrac {1} {2} ) y ( dfrac {1} {3} ) es (6 ).

 

Tenga en cuenta que todas las fichas que cubren ( dfrac {1} {2} ) y ( dfrac {1} {3} ) tienen algo en común: sus denominadores son múltiplos comunes de (2 ) y (3 ), los denominadores de ( dfrac {1} {2} ) y ( dfrac {1} {3} ). El mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores es (6 ), por lo que decimos que (6 ) es el mínimo común denominador (LCD) de las fracciones ( dfrac {1} {2} ) y ( dfrac {1} {3} ).

 
 

Definición: Mínimo común denominador

 

El mínimo común denominador (LCD) de dos fracciones es el mínimo común múltiplo (LCM) de sus denominadores.

 
 

Para encontrar el LCD de dos fracciones, encontraremos el MCM de sus denominadores. Seguimos el procedimiento que utilizamos anteriormente para encontrar el MCM de dos números. Solo usamos los denominadores de las fracciones, no los numeradores, al encontrar la pantalla LCD.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): lcd

 

Busque la pantalla LCD para las fracciones ( dfrac {7} {12} ) y ( dfrac {5} {18} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Factoriza cada denominador en sus números primos.
Liste los primos de 12 y los primos de 18 alineándolos en columnas cuando sea posible.
Baja las columnas.
Multiplica los factores. El producto es el LCM. MCM = 36
El MCM de 12 y 18 es 36, por lo que la pantalla LCD de ( dfrac {7} {12} ) y ( dfrac {5} {18} ) es 36. LCD de ( dfrac {7} {12} ) y ( dfrac {5} {18} ) es 36.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Encuentra el mínimo común denominador para las fracciones: ( dfrac {7} {12} ) y ( dfrac {11} {15} ).

 
     
Respuesta
     
     

(60 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Encuentra el mínimo común denominador para las fracciones: ( dfrac {13} {15} ) y ( dfrac {17} {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

(15 )

     
 
 
 

Para encontrar el mcd de dos fracciones, encuentre el mcm de sus denominadores. Observe cómo los pasos que se muestran a continuación son similares a los pasos que tomamos para encontrar el LCM.

 
 

CÓMO: ENCONTRAR EL MENOR DENOMINADOR COMÚN (LCD) DE DOS FRACCIONES

 

Paso 1. Factoriza cada denominador en sus números primos.

 

Paso 2. Liste los primos, haciendo coincidir los primos en columnas cuando sea posible.

 

Paso 3. Baja las columnas.

 

Paso 4. Multiplica los factores. El producto es el MCM de los denominadores.

 

Paso 5. El MCM de los denominadores es el LCD de las fracciones.

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Encuentra el mínimo común denominador para las fracciones ( dfrac {8} {15} ) y ( dfrac {11} {24} ).

 

Solución

 

Para encontrar la pantalla LCD, encontramos el MCM de los denominadores. Encuentre el MCM de (15 ) y (24 ).

 

The top line shows 15 equals 3 times 5. The next line shows 24 equals 2 times 2 times 2 times 3. The 3s are lined up vertically. The next line shows LCM equals 2 times 2 times 2 times 3 times 5. The last line shows LCM equals 120.

 

El MCM de (15 ) y (24 ) es (120 ). Entonces, la pantalla LCD de ( dfrac {8} {15} ) y ( dfrac {11} {24} ) es (120 ).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentra el mínimo común denominador para las fracciones: ( dfrac {13} {24} ) y ( dfrac {17} {32} ).

 
     
Respuesta
     
     

(96 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Encuentra el mínimo común denominador para las fracciones: ( dfrac {9} {28} ) y ( dfrac {21} {32} ).

 
     
Respuesta
     
     

(224 )

     
 
 
 

Convertir fracciones a fracciones equivalentes con la pantalla LCD

 

Anteriormente, utilizamos mosaicos de fracciones para ver que la pantalla LCD de ( dfrac {1} {4} ) y ( dfrac {1} {6} ) es (12 ). Vimos que tres ( dfrac {1} {12} ) piezas exactamente cubiertas ( dfrac {1} {4} ) y dos ( dfrac {1} {12} ) piezas exactamente cubiertas ( dfrac {1} {6} ), entonces

 

[ dfrac {1} {4} = dfrac {3} {12} quad y quad dfrac {1} {6} = dfrac {2} {12} ldotp nonumber ]

 

On the left is a rectangle labeled 1 fourth. Below it is an identical rectangle split vertically into 3 equal pieces, each labeled 1 twelfth. On the right is a rectangle labeled 1 sixth. Below it is an identical rectangle split vertically into 2 equal pieces, each labeled 1 twelfth.

 

Decimos que ( dfrac {1} {4} ) y ( dfrac {3} {12} ) son fracciones equivalentes y también que ( dfrac {1} {6} ) y ( dfrac {2} {12} ) son fracciones equivalentes.

 

Podemos usar la propiedad de fracciones equivalentes para cambiar algebraicamente una fracción a una equivalente. Recuerde, dos fracciones son equivalentes si tienen el mismo valor. La propiedad de fracciones equivalentes se repite a continuación como referencia.

 
 

Definición: Propiedad de fracciones equivalentes

 

Si (a, b, c ) son números enteros donde (b ≠ 0 ), (c ≠ 0 ), entonces

 

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} quad y quad dfrac {a cdot c} {b cdot c} = dfrac {a} {b} ]

 
 

Para sumar o restar fracciones con diferentes denominadores, primero tendremos que convertir cada fracción a una fracción equivalente con la pantalla LCD. Veamos cómo cambiar ( dfrac {1} {4} ) y ( dfrac {1} {6} ) a fracciones equivalentes con denominador (12 ) sin usar modelos.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): conversión

 

Convierta ( dfrac {1} {4} ) y ( dfrac {1} {6} ) a fracciones equivalentes con denominador (12 ), su LCD.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Encuentra la pantalla LCD. La pantalla LCD de ( dfrac {1} {4} ) y ( dfrac {1} {6} ) es 12.
Encuentra el número para multiplicar 4 y obtener 12. (4 cdot textcolor {rojo} {3} = 12 )
Encuentra el número para multiplicar 6 y obtener 12. (6 cdot textcolor {rojo} {2} = 12 )
Usa la propiedad de fracciones equivalentes para convertir cada fracción a una fracción equivalente con la pantalla LCD, multiplicando tanto el numerador como el denominador de cada fracción por el mismo número. ( begin {split} dfrac {1} {4} qquad & dfrac {1} {6} \ dfrac {1 cdot textcolor {red} {3}} {4 cdot textcolor {red} {3}} qquad & dfrac {1 cdot textcolor {red} {2}} {6 cdot textcolor {red} {2}} end {split} )
Simplifique los numeradores y denominadores. ( dfrac {3} {12} qquad dfrac {2} {12} )
 

No reducimos las fracciones resultantes. Si lo hiciéramos, volveríamos a nuestras fracciones originales y perderíamos el denominador común.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Cambie a fracciones equivalentes con la pantalla LCD: ( dfrac {3} {4} ) y ( dfrac {5} {6} ), (LCD = 12 )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {9} {12}, dfrac {10} {12} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Cambie a fracciones equivalentes con la pantalla LCD: (- dfrac {7} {12} ) y ( dfrac {11} {15} ), (LCD = 60 )

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {35} {60}, dfrac {44} {60} )

     
 
 
 
 
 

CÓMO: CONVERTIR DOS FRACCIONES A FRACCIONES EQUIVALENTES CON SU LCD COMO EL DENOMINADOR COMÚN

 

Paso 1. Encuentra la pantalla LCD.

 

Paso 2. Para cada fracción, determina el número necesario para multiplicar el denominador para obtener la pantalla LCD.

 

Paso 3. Usa la propiedad de fracciones equivalentes para multiplicar el numerador y el denominador por el número que encontraste en el paso 2.

 

Paso 4. Simplifica el numerador y el denominador.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): conversión

 

Convierta ( dfrac {8} {15} ) y ( dfrac {11} {24} ) a fracciones equivalentes con denominador (120 ), su LCD.

                                                                                                                                                                                                              
Encuentra el número que debe multiplicar 15 para obtener 120. (15 cdot textcolor {rojo} {8} = 120 )
Encuentra el número que debe multiplicar 24 para obtener 120. (24 cdot textcolor {rojo} {5} = 120 )
Utilice la propiedad de fracciones equivalentes. ( dfrac {8 cdot textcolor {red} {8}} {15 cdot textcolor {red} {8}} qquad dfrac {11 cdot textcolor {red} {5}} {24 cdot textcolor {red} {5}} )
Simplifique los numeradores y denominadores. ( dfrac {64} {120} qquad dfrac {55} {120} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Cambie a fracciones equivalentes con la pantalla LCD: ( dfrac {13} {24} ) y ( dfrac {17} {32} ), LCD (96 )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {52} {96}, dfrac {51} {96} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Cambie a fracciones equivalentes con la pantalla LCD: ( dfrac {9} {28} ) y ( dfrac {27} {32} ), LCD (224 )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {72} {224}, dfrac {189} {224} )

     
 
 
 

Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores

 

Una vez que hemos convertido dos fracciones a formas equivalentes con denominadores comunes, podemos sumarlas o restarlas sumando o restando los numeradores.

 
 

CÓMO: AGREGAR O RESTAR FRACCIONES CON DENOMINADORES DIFERENTES

 

Paso 1. Encuentra la pantalla LCD.

 

Paso 2. Convierta cada fracción a una forma equivalente con el LCD como denominador.

 

Paso 3. Suma o resta las fracciones.

 

Paso 4. Escribe el resultado en forma simplificada.

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): agregar

 

Agregue: ( dfrac {1} {2} + dfrac {1} {3} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Encuentra la pantalla LCD de 2, 3.
Cambiar a fracciones equivalentes con la pantalla LCD 6. ( dfrac {1 cdot textcolor {red} {3}} {2 cdot textcolor {red} {3}} + dfrac {1 cdot textcolor {red} {2}} { 3 cdot textcolor {red} {2}} )
Simplifique los numeradores y denominadores. ( dfrac {3} {6} + dfrac {2} {6} )
Agregar. ( dfrac {5} {6} )
 

Recuerde, siempre verifique si la respuesta puede simplificarse. Como (5 ) y (6 ) no tienen factores comunes, la fracción ( dfrac {5} {6} ) no se puede reducir.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Agregue: ( dfrac {1} {4} + dfrac {1} {3} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {7} {12} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Agregue: ( dfrac {1} {2} + dfrac {1} {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {7} {10} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): restar

 

Restar: ( dfrac {1} {2} – left (- dfrac {1} {4} right) ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Encuentra la pantalla LCD de 2 y 4.
Reescribe como fracciones equivalentes usando la pantalla LCD 4. ( dfrac {1 cdot textcolor {red} {2}} {2 cdot textcolor {red} {2}} – left (- dfrac {1} {4} right) )
Simplifica la primera fracción. ( dfrac {2} {4} – left (- dfrac {1} {4} right) )
Restar. ( dfrac {2 – (-1)} {4} )
Simplificar. ( dfrac {3} {4} )
 

Una de las fracciones ya tenía el mínimo común denominador, por lo que solo tuvimos que convertir la otra fracción.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Restar: ( dfrac {1} {2} – left (- dfrac {1} {8} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5} {8} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Restar: ( dfrac {1} {3} – left (- dfrac {1} {6} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {1} {2} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): agregar

 

Agregue: ( dfrac {7} {12} + dfrac {5} {18} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Encuentra la pantalla LCD de 12 y 18.
Reescribe como fracciones equivalentes con la pantalla LCD. ( dfrac {7 cdot textcolor {red} {3}} {12 cdot textcolor {red} {3}} + dfrac {5 cdot textcolor {red} {2}} { 18 cdot textcolor {rojo} {2}} )
Simplifique los numeradores y denominadores. ( dfrac {21} {36} + dfrac {10} {36} )
Agregar. ( dfrac {31} {36} )
 

Debido a que (31 ) es un número primo, no tiene factores en común con (36 ). La respuesta es simplificada.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Agregue: ( dfrac {7} {12} + dfrac {11} {15} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {79} {60} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Agregue: ( dfrac {13} {15} + dfrac {17} {20} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {103} {60} )

     
 
 
 
 

Cuando usamos la propiedad de fracciones equivalentes, hay una manera rápida de encontrar el número por el que debes multiplicar para obtener la pantalla LCD. Escriba los factores de los denominadores y la pantalla LCD tal como lo hizo para encontrar la pantalla LCD. Los factores «faltantes» de cada denominador son los números que necesita.

 

The first line says 12 equals 2 times 2 times 3. There is a blank space next to the 3. The next line says 18 equals 2 times 3 times 3. There is a blank space between the 2 and the first 3. There are red lines drawn from the blank spaces. This is labeled as missing factors. There is a horizontal line. Below the line, it says LCD equals 2 times 2 times 3 times 3. Below this, it says LCD equals 36.

 

La pantalla LCD, (36 ), tiene (2 ) factores de (2 ) y (2 ) factores de (3 ). Doce tiene dos factores de (2 ), pero solo uno de (3 ), por lo que le falta ‘uno (3 ). Multiplicamos el numerador y el denominador de ( dfrac {7} {12} ) por (3 ) para obtener una fracción equivalente con el denominador (36 ). A Dieciocho le falta un factor de (2 ), por lo que multiplica el numerador y el denominador ( dfrac {5} {18} ) por (2 ) para obtener una fracción equivalente con el denominador (36 ). Aplicaremos este método a medida que restamos las fracciones en el siguiente ejemplo.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): restar

 

Restar: ( dfrac {7} {15} – dfrac {19} {24} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
             

Encuentra la pantalla LCD.

             

15 ‘faltan’ tres factores de 2

             

24 «falta» un factor de 5

             
Reescribe como fracciones equivalentes con la pantalla LCD. ( dfrac {7 cdot textcolor {red} {8}} {15 cdot textcolor {red} {8}} – dfrac {19 cdot textcolor {red} {5}} { 24 cdot textcolor {rojo} {5}} )
Simplifica cada numerador y denominador. ( dfrac {56} {120} – dfrac {95} {120} )
Restar. (- dfrac {39} {120} )
Reescribe mostrando el factor común de 3. (- dfrac {13 cdot 3} {40 cdot 3} )
Elimina el factor común para simplificar. (- dfrac {13} {40} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Restar: ( dfrac {13} {24} – dfrac {17} {32} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {1} {96} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Restar: ( dfrac {21} {32} – dfrac {9} {28} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {75} {224} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): agregar

 

Agregue: (- dfrac {11} {30} + dfrac {23} {42} ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Encuentra la pantalla LCD.
Reescribe como fracciones equivalentes con la pantalla LCD. (- dfrac {11 cdot textcolor {red} {7}} {30 cdot textcolor {red} {7}} + dfrac {23 cdot textcolor {red} {5}} {42 cdot textcolor {red} {5}} )
Simplifica cada numerador y denominador. (- dfrac {77} {210} + dfrac {115} {210} )
Agregar. ( dfrac {38} {210} )
Reescribe mostrando el factor común de 2. ( dfrac {19 cdot 2} {105 cdot 2} )
Elimina el factor común para simplificar. ( dfrac {19} {105} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Agregue: (- dfrac {13} {42} + dfrac {17} {35} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {37} {210} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Agregue: (- dfrac {19} {24} + dfrac {17} {32} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {25} {96} )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, una de las fracciones tiene una variable en su numerador. Seguimos los mismos pasos que cuando ambos numeradores son números.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): agregar

 

Agregue: ( dfrac {3} {5} + dfrac {x} {8} ).

 

Solución

 

Las fracciones tienen diferentes denominadores.

                                                                                                                                                                                                              
Encuentra la pantalla LCD.
Reescribe como fracciones equivalentes con la pantalla LCD. ( dfrac {3 cdot textcolor {red} {8}} {5 cdot textcolor {red} {8}} + dfrac {x cdot textcolor {red} {5}} { 8 cdot textcolor {rojo} {5}} )
Simplifique los numeradores y denominadores. ( dfrac {24} {40} + dfrac {5x} {40} )
Agregar. ( dfrac {24 + 5x} {40} )
 

No podemos agregar (24 ) y (5x ) ya que no son términos similares, por lo que no podemos simplificar más la expresión.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Agregue: ( dfrac {y} {6} + dfrac {7} {9} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {3y + 14} {18} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Agregue: ( dfrac {x} {6} + dfrac {7} {15} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5x + 14} {30} )

     
 
 
 
 
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