5.1: Funciones

5.1: Funciones

                 

Comenzamos con la definición de una relación .

 
 

Relación

 

Una relación es una colección de pares ordenados.

 
 

La colección de pares ordenados [R = {(0,3), (0,4), (1,5), (2,6) } nonumber ] es un ejemplo de una relación.

 

Si recopilamos el primer elemento de cada par ordenado en un conjunto, tenemos lo que se llama el dominio de la relación.

 
 

Dominio

 

El dominio de una relación es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados.

 
 

Por ejemplo, en la relación [R = {(0,3), (0,4), (1,5), (2,6) } nonumber ] si recopilamos el primer elemento de cada par ordenado en (R ), obtenemos el dominio: [ text {Dominio de R} = {0,1,2 } nonumber ] Aunque el número cero aparece dos veces como primer elemento en los pares ordenados de (R ), tenga en cuenta que lo enumeramos solo una vez cuando enumeramos los elementos en el dominio de (R ).

 

De manera similar, si reunimos los segundos elementos de cada par ordenado en un conjunto, tenemos lo que se llama el rango de una relación.

 
 

Rango

 

El rango de una relación es el conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordenados.

 
 

Por ejemplo, en la relación [R = {(0,3), (0,4), (1,5), (2,6) } nonumber ] si recopilamos el segundo elemento de cada par ordenado en (R ), obtenemos el rango: [ text {Rango de R} = {3,4,5,6 } nonumber ]

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Indique el dominio y el rango de la relación [T = {(5,3), (6,3), (7,4) } nonumber ]

 

Solución

 

Recopile el primer elemento de cada par ordenado en (T ) para enumerar el dominio:

 

Dominio de (T = {5,6,7 } )

 

Recoge el segundo elemento de cada par ordenado en (T ) para enumerar el rango:

 

Rango de (T = {3,4 } )

 

Tenga en cuenta que aunque el número tres aparece en la segunda posición dos veces, solo lo enumeramos una vez para describir el rango.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Estado el dominio y el rango de la relación [S = {(- 1,7), (2,5), (2,3) } nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

Dominio de (S = {- 1,2 } ), Rango de (S = {3,5,7 } )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Indique el dominio y el rango de la relación que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
fig 5.1.1.png
Figura ( PageIndex {1} ): Podemos presentar una relación como una colección de pares ordenados en un gráfico.
 

Solución

 

El punto (A ) tiene coordenadas ((3,2) ), el punto (B ) tiene coordenadas ((- 2,3) ), el punto (C ) tiene coordenadas ( (−4, −3) ), y el punto (D ) tiene coordenadas ((1, −3) ). Podemos recoger estos puntos en un conjunto. [S = {(3,2), (- 2,3), (- 4, −3), (1, −3) } nonumber ]

 

Si recolectamos cada elemento en la primera posición de cada par ordenado, tenemos el dominio.

 

Dominio de (S = {- 4, −2,1,3 } )

 

Tenga en cuenta que es tradicional enumerar los elementos de dominio en orden (de menor a mayor). Luego, si recolectamos cada elemento en la segunda posición de cada par ordenado, tenemos el rango.

 

Rango de (S = {- 3,2,3 } )

 

Nuevamente, es tradicional enumerar los elementos en orden. Observe nuevamente que no repetimos el número (- 3 ) al enumerar el rango, a pesar de que se usa dos veces como un segundo elemento de un par ordenado en el conjunto (S ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Indique el dominio y el rango de la relación que se muestra a continuación.

 

Ex 5.1.2.png

 
     
Respuesta
     
     

Dominio de (S = {- 2,1,2 } ), Rango de (S = {- 4, −1,2,3 } ) [ 19459004]      

 
 
 

Diagramas de mapeo

 

Un diagrama de mapeo es una construcción útil que ayuda a analizar una relación. Considere la relación anterior (R = {(0,3), (0,4), (1,5), (2,6) } ), que tenía dominio ( mathcal {D} = {0,1,2 } ) y rango ( mathcal {R} = {3,4,5,6 } ). Para construir un diagrama de mapeo para (R ), enumere los elementos en el dominio de (R ) a la izquierda, enumere los elementos del rango de (R ) a la derecha, luego use las flechas para indicar el pares ordenados (ver Figura ( PageIndex {2} )).

 
fig 5.1.2.png
Figura ( PageIndex {2} ): Usando un diagrama de mapeo para describir la relación (R ).
 

Observe cómo se indica el par ordenado ((0,3) ) dibujando una flecha que conecta (0 ) a la izquierda con (3 ) a la derecha. Decimos que la relación «asigna (0 ) a (3 )» y escribimos (R: 0 rightarrow 3 ). De manera similar:

 
         
  • El par ordenado ((0,4) ) se indica dibujando una flecha que conecta (0 ) a la izquierda con (4 ) a la derecha; es decir, (R ) «asigna (0 ) a (4 )» o (R: 0 → 4 ).
  •      
  • El par ordenado ((1,5) ) se indica dibujando una flecha que conecta (1 ) a la izquierda con (5 ) a la derecha; es decir, (R ) «mapas (1 ) a (5 )» o (R: 1 → 5 ).
  •      
  • El par ordenado ((2,6) ) se indica dibujando una flecha que conecta (2 ) a la izquierda con (6 ) a la derecha; es decir, (R ) «mapas (2 ) a (6 )» o (R: 2 → 6 ).
  •  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Cree un diagrama de mapeo para la relación en el Ejemplo ( PageIndex {1} ).

 

Solución

 

La relación del Ejemplo ( PageIndex {1} ) es (T = {(5,3), (6,3), (7,4) } ). Liste el dominio ( mathcal {D} = {5,6,7 } ) a la izquierda, el rango ( mathcal {R} = {3,4 } ) a la derecha, luego use flechas para indicar los pares ordenados (consulte la Figura ( PageIndex {3} )).

 
fig 5.1.3.png
Figura ( PageIndex {3} ): Un diagrama de mapeo para la relación (T ).
 
 

Definición de funciones

 

Una función es un tipo de relación muy especial.

 
 

Función

 

Una relación es una función si y solo si cada objeto en el dominio está emparejado con exactamente un objeto en el rango.

 
 

Como primer ejemplo, considere la relación (R = {(0,3), (0,4), (1,5), (2,6) } ) cuyo diagrama de mapeo se ilustra en Figura ( PageIndex {2} ). Tenga en cuenta que (0 ) en el dominio está emparejado con dos objetos, (3 ) y (4 ), en el rango. Por lo tanto, la relación (R ) no es una función.

 

Como segundo ejemplo, considere la relación (T = {(5,3), (6,3), (7,4) } ), cuyo diagrama de mapeo se ilustra en la Figura ( PageIndex {3} ). En este ejemplo, cada objeto de dominio se combina con exactamente un objeto de rango: (5 ) solo se envía a (3 ), (6 ) solo se envía a (3 ) y (7 ) solo se envía a (4 ). Por lo tanto, la relación (T ) es una función. El hecho de que el objeto de rango (3 ) se use dos veces no importa. Lo que importa es el hecho de que cada objeto de dominio se envía exactamente a un objeto de rango.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Considere la relación representada en la Figura ( PageIndex {4} ). ¿Es una función?

 
fig 5.1.4.png
Figura ( PageIndex {4} ): ¿Es esta relación una función?
 

Solución

 

El gráfico en la Figura ( PageIndex {4} ) consiste en los puntos (A (1,1) ), (B (2,2) ), (C (3,2) ), (D (3,3) ) y (E (4,4) ). El dominio es ( mathcal {D} = {1,2,3,4 } ) y el rango es ( mathcal {R} = {1,2,3,4 } ). Un diagrama de mapeo (ver Figura ( PageIndex {5} )) nos ayudará a decidir si la relación representada por el gráfico es una función. Coloque el dominio a la izquierda, el rango a la derecha, luego use flechas para indicar los pares ordenados. Llamemos a la relación (f ).

 
Ex 5.1.4.png
Figura ( PageIndex {5} ): Un diagrama de mapeo para la relación (f ) representada en la Figura ( PageIndex {4} ).
 

En la Figura ( PageIndex {5} ), observe cómo el objeto de dominio (3 ) es «enviado» o emparejado con dos objetos de rango, (2 ) y (3 ). Por lo tanto, la relación (f ) no es una función.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Considere la relación que se muestra a continuación. ¿Es una función?

 

Ex 5.1.4.png

 
     
Respuesta
     
     

Sí, la relación es una función.

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

La siguiente relación empareja automóviles con su millaje de gasolina . Determine si la relación es una función.

 

[T = { text {(Bentley Mulsanne, 18), (Kia Soul, 30), (Lamborghini Gallardo, 20), (Smart Fortwo, 41), (Jaguar XF, 23)} } no número ]

 

Solución

 

En la Figura ( PageIndex {6} ), creamos un diagrama de mapeo que indica la relación entre los automóviles y su consumo de combustible. Tenga en cuenta que cada objeto de dominio a la izquierda está emparejado con exactamente un objeto de rango a la derecha. Por lo tanto, esta relación es una función.

 
fig 5.1.6.png
Figura ( PageIndex {6} ): Un diagrama de mapeo para la relación (T ).
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

La relación siguiente empareja a las personas con su edad. Determina si la relación es una función.

 

[S = { text {(Mary, 23), (Joe, 18), (Alfonzo, 20), (Zoe, 18), (Maria, 22), (Chris, 23)} } nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

Sí, la relación es una función.

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

La siguiente relación empareja un pájaro en particular con el estado que ha adoptado ese pájaro como su pájaro de estado. Determina si la relación es una función.

 

[R = { text {(Yellowhammer, Alabama), (Robin, Connecticut), (Nene, Hawaii), (Robin, Michigan)} } nonumber ]

 

Solución

 

En la Figura ( PageIndex {7} ), creamos un diagrama de mapeo que indica la relación entre las aves y sus adopciones estatales. Tenga en cuenta que el objeto de dominio «Robin» está emparejado con dos objetos de rango, «Connecticut» y «Michigan», por lo tanto, esta relación no es una función.

 
fig 5.1.7.png
Figura ( PageIndex {7} ): Un diagrama de mapeo para la relación (R ).
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

La siguiente relación empareja a las personas con los tipos de automóviles que poseen. Determina si la relación es una función.

 

[S = { text {(Bernard, station wagon), (Tina, truck), (Gilberto, sedan), (Kate, sport utility), (Bernard, sedan), (Kate, minivan)} } nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

No, la relación no es una función.

     
 
 
 

Notación de diagrama de mapeo

 

El objetivo de esta sección es introducir la notación de funciones. Comencemos con el diagrama de mapeo en la Figura ( PageIndex {8} ).

 
fig 5.1.8.png
Figura ( PageIndex {8} ): Diagrama de mapeo.
 

El diagrama de mapeo en la Figura ( PageIndex {8} ) revela los siguientes hechos:

 
         
  • (f ) mapas (1 ) a (2 ) o (f: 1 → 2 )
  •      
  • (f ) mapas (2 ) a (4 ) o (f: 2 → 4 )
  •      
  • (f ) mapas (3 ) a (6 ) o (f: 3 → 6 )
  •      
  • (f ) mapas (4 ) a (8 ) o (f: 4 → 8 )
  •  
 

Observe cómo la notación (f: 4 → 8 ) se correlaciona muy bien con el diagrama de mapeo en la Figura ( PageIndex {8} ). La notación (f: 4 → 8 ) se lee “ (f ) mapas (4 ) a (8 )” o “ (f ) envía (4 ) a (8 ) «.

 

Una mirada más cercana al diagrama de mapeo en la Figura ( PageIndex {8} ) revela un patrón interesante. La «regla» parece ser que la relación (f ) duplica cada entrada en su dominio: dos veces (1 ) es (2 ), dos veces (2 ) es (4 ), dos veces (3 ) es (6 ), etc. Es posible dar una descripción general de esta «regla» escribiendo: [f: x → 2x (5.1) label {Eq5.1.1} ] Es decir, (f ) envía (x ) a dos veces (x ), o equivalente, (2x ). Por ejemplo, podríamos preguntar «¿a dónde envía (f ) (15 )?» Para responder a esta pregunta, reemplazaríamos (x ) con (15 ) en la regla ref {Eq5.1.1} para obtener [f: 15 → 2 (15) nonumber ] o equivalente, [ f: 15 → 30 nonumber ] También podríamos preguntar «¿dónde envía (f ) (- 7 )?» Para responder a esta pregunta, reemplazaríamos (x ) con (- 7 ) en la regla ref {Eq5.1.1} para obtener [f: −7 → 2 (−7) nonumber ] o equivalente , [f: −7 → −14 nonumber ]

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Dada la regla (f: x → 2x + 3 ), responda la pregunta «¿a dónde envía (f ) (8 )?»

 

Solución

 

Para encontrar dónde » (f ) envía (8 )», sustituya (8 ) por (x ) en la regla (f: x → 2x + 3 ) para obtener [ f: 8 → 2 (8) + 3 nonumber ] o equivalente, [f: 8 → 19 nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Dada la regla (f: x → 3x − 5 ), responda la pregunta «¿a dónde envía (f ) (- 2 )?»

 
     
Respuesta
     
     

(f: −2 → −11 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Dada la regla (f: x → x / (x + 3) ), responda la pregunta «¿a dónde envía (f ) (- 1 )?»

 

Solución

 

Para encontrar dónde “ (f ) envía (- 1 )”, sustituya (- 1 ) por (x ) en la regla (f: x → x / (x + 3) ) para obtener [f: -1 rightarrow frac {-1} {- 1 + 3} nonumber ] o equivalente, [f: -1 rightarrow- dfrac {1} {2} nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Dada la regla (f: x → 2x ^ 2 + 5x ), responda la pregunta «¿dónde envía (f ) » (3 )? »

 
     
Respuesta
     
     

(f: 3 rightarrow 33 )

     
 
 
 

En los ejemplos ( PageIndex {7} ) y ( PageIndex {8} ), tenga en cuenta que cada vez que sustituya un valor por (x ) en la regla dada, obtendrá una respuesta única. Esto significa que cada objeto en el dominio de (f ) se envía a un objeto único en el rango de (f ), haciendo las reglas en los Ejemplos ( PageIndex {7} ) y ( PageIndex { 8} ) funciones. Esto nos lleva a una descripción detallada de una función.

 
 

Regla de tres

 

Una función consta de tres partes:

 
         
  • un conjunto de objetos que los matemáticos llaman dominio
  •      
  • un segundo conjunto de objetos que los matemáticos llaman el rango
  •      
  • una regla que describe cómo asignar cada objeto en el dominio a exactamente un objeto en el rango.
  •  
 
 

Notación de función

 

Aunque la notación del diagrama de mapeo (f: x → 3−4x ) es bastante fácil de entender, la notación de función estándar utilizada es (f (x) = 3−4x ). Con la notación del diagrama de mapeo, si queremos responder la pregunta «¿dónde (f ) envía (12 )?», Escribimos:

 

[ begin {array} {c} {f: x rightarrow 3-4 x} \ {f: 12 rightarrow 3-4 (12)} \ {f: 12 rightarrow 3-48 } \ {f: 12 rightarrow-45} end {array} nonumber ]

 

Por lo tanto, (f: 12 → −45 ); es decir, (f ) envía (12 ) a (- 45 ). La notación de función usa exactamente el mismo concepto; es decir, sustituya (12 ) por (x ).

 
 

Consejos para usar la notación de funciones

 
         
  1. Reemplace todas las apariciones de variables en la notación con paréntesis abiertos. Deje espacio entre paréntesis para sustituir el valor dado de la variable.
  2.      
  3. Sustituya los valores dados de las variables en los paréntesis abiertos preparados en el primer paso.
  4.      
  5. Evalúe la expresión resultante de acuerdo con el Orden de Operaciones de Reglas.
  6.  
 
 

Dado (f (x) = 3−4x ), para evaluar (f (12) ), primero repita la notación de la función, luego reemplace cada aparición de la variable con paréntesis abiertos.

 

[ begin {alineado} f (x) & = 3-4 x quad color {Rojo} text {Notación de función original. } \ f (; 😉 & = 3-4 (; 😉 quad color {Red} text {Reemplace cada aparición de} x text {con paréntesis abiertos. } end {alineado} nonumber ]

 

Ahora sustituya (12 ) por (x ) en los paréntesis abiertos preparados en el último paso.

 

[ begin {alineado} f ({ color {Red} 12}) & = 3-4 ({ color {Red} 12}) quad color {Red} text {Sustituir} 12 text {for} x text {en las posiciones de paréntesis abiertas. } \ f (12) & = 3-48 quad color {Red} text {Multiplicar. } \ f (12) & = -45 quad color {Rojo} text {Restar. } end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, (f (12) = −45 ); es decir, (f ) envía (12 ) a (- 45 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Dado (f (x) = 4−5x − x ^ 2 ), evalúa (f (−3) ).

 

Solución

 

Comience por reemplazar cada aparición de la variable (x ) con paréntesis abiertos.

 

[ begin {alineado} f (x) & = 4-5 x-x ^ {2} quad color {Rojo} text {Notación de función original. } \ f (&) = 4-5 ( quad) – ( quad) ^ {2} quad color {Red} text {Reemplace cada aparición de} x text {con paréntesis abiertos. } end {alineado} nonumber ]

 

Ahora sustituya (- 3 ) por (x ) en los paréntesis abiertos preparados en el último paso.

 

[ begin {alineado} f ({ color {Red} -3}) & = 4-5 ({ color {Red} -3}) – ({ color {Red} -3}) ^ {2} quad color {Rojo} text {Sustituir} -3 text {para} x text {en las posiciones de paréntesis abiertas. } \ f (-3) & = 4-5 (-3) -9 quad color {Rojo} text {Evaluar exponente:} (- 3) ^ {2} = 9 \ f (-3) & = 4 + 15-9 quad color {Rojo} text {Multiplicar:} -5 (-3) = 15 \ f (-3) & = 10 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, (f (−3) = 10 ). Verifique esto en su calculadora (vea la Figura ( PageIndex {9} )).

 
fig 5.1.9.png
Figura ( PageIndex {9} ): Verificación de la calculadora.
 
 

El siguiente ejemplo demuestra una de las ventajas de la notación de funciones. Por ejemplo, es fácil hacer referencia a la función en la que desea sustituir el valor (x ) dado.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Dado (f (x) = 5 − x ) y (g (x) = x ^ 2 −9 ), encuentra (f (−1) ) y (g (−2) ).

 

Solución

 

Se nos dan dos definiciones de función, (f ) y (g ), pero primero se nos pide que encontremos (f (−1) ). Esto significa que debemos reemplazar cada aparición de (x ) con (- 1 ) en la función (f (x) = 5 − x ).

 

[ begin {alineado} f (x) & = 5-x quad color {Rojo} text {Notación de función original. } \ f (; 😉 & = 5 – (; 😉 quad color {Red} text {Reemplace cada aparición de} x text {con paréntesis abiertos. } end {alineado} nonumber ]

 

Ahora sustituya (- 1 ) por (x ) en los paréntesis abiertos preparados en el último paso.

 

[ begin {alineado} f (-1) & = 5 – (- 1) quad color {Rojo} text {Sustituir} -1 text {para} x text {al aire libre} \ & = 5 + 1 quad color {Rojo} text {Agregue el opuesto. } \ & = 6 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, (f (−1) = 6 ). Luego se nos pide que encontremos (g (−2) ). Esto significa que debemos reemplazar cada aparición de (x ) con (- 2 ) en la función (g (x) = x ^ 2 −9 ).

 

[ begin {alineado} g (x) & = x ^ {2} -9 quad color {Rojo} text {Notación de función original. } \ g (; 😉 & = (; 😉 ^ {2} -9 quad color {Red} text {Reemplace cada aparición de} x text {con paréntesis abiertos. } end {alineado} nonumber ]

 

Ahora sustituya (- 2 ) por (x ) en los paréntesis abiertos preparados en el último paso.

 

[ begin {alineado} g ({ color {Red} -2}) & = ({ color {Red} -2}) ^ {2} -9 quad color {Red} text {Sustituir} -2 text {para} x text {en la posición de paréntesis abierto. } \ & = 4-9 quad color {Rojo} text {Exponente primero:} (- 2) ^ {2} = 4 \ & = -5 quad color {Rojo} text {Simplifique. } end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, (g (−2) = −5 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Dado f ((x) = 3x ^ 2 −20 ) y (g (x) = 4x + 6 / x ), [ 19459014] encuentra (f (−3) ) y (g (2) ).

 
     
Respuesta
     
     

(f (−3) = 7 ) y (g (2) = 10 )

     
 
 
 

Intercambiando (y ) y (f (x) )

 

En la mayoría de los casos, (y ) y (f (x) ) son completamente intercambiables. Por ejemplo, compare y contraste los siguientes dos ejemplos.

 

Pregunta: Dado (y = 3 x + 7 ), encuentra (y ) cuando (x ) es igual a (5 ).

 

Solución: Reemplace (x ) con (5 ).

 

[ begin {array} {l} {y = 3 x + 7} \ {y = 3 (5) +7} \ {y = 15 + 7} \ {y = 22} end {array} nonumber ]

 

Pregunta: Dado (f (x) = 3 x + 7 ), evalúa (f (5) )

 

Solución: Reemplace (x ) con (5 ).

 

[ begin {array} {l} {f (x) = 3 x + 7} \ {f (5) = 3 (5) +7} \ {f (5) = 15 + 7 } \ {f (5) = 22} end {array} nonumber ]

 

En cada caso, la respuesta es (22 ). Sin embargo, en el primer caso, la respuesta (y = 22 ) disfraza el hecho de que se usó un (x ) – valor de (5 ) para llegar al resultado. Por otro lado, cuando usamos la notación de función, la respuesta final (f (5) = 22 ) indica que usamos un (x ) – valor de (5 ) para determinar que el (y ) -valor es (22 ). Esta es otra ventaja de la notación de funciones.

 

Veamos una aplicación final que demuestra que (y ) y (f (x) ) son intercambiables.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Dibuja la gráfica de (f (x) = 2x − 3 ).

 

Solución

 

Debido a que (y ) y (f (x) ) son intercambiables, la instrucción es idéntica a «dibujar el gráfico de (y = 2 x − 3 )». El gráfico es una línea, con pendiente (2 ) y (y ) -intercepción en ((0, −3) ). Trace la (y ) – intercepte en ((0, −3) ), luego mueva hacia arriba (2 ) y hacia la derecha (1 ) para crear una línea con pendiente (2 ) (vea la Figura ( PageIndex {10} )). Observe cómo hemos etiquetado el gráfico con su ecuación usando la notación de función.

 
fig 5.1.10.png
Figura ( PageIndex {10} ): La gráfica de (f (x) = 2x − 3 ) es una línea.
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Dibuje el gráfico de (f (x) = – dfrac {2} {3} x-2 )

 
     
Respuesta
     
     

Ex 5.1.11.png

     
 
 
 
                                  
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