Recuerde que un cuadrado raíz 1 de un número es un número que cuando se multiplica por sí mismo produce el número original. Por ejemplo, (5 ) es una raíz cuadrada de (25 ), porque (5 ^ {2} = 25 ). Como ((- 5) ^ {2} = 25 ), podemos decir que (- 5 ) también es una raíz cuadrada de (25 ). Cada número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Por esta razón, usamos el signo radical (√ ) para denotar el cuadrado principal (no negativo) raíz 2 y un signo negativo delante del radical (- √ ) para denotar la raíz cuadrada negativa.
( begin {alineado} sqrt {25} & = 5 quad quad color {Cerulean} {Positivo : cuadrado : raíz : de : 25} \ – sqrt {25} & = – 5 quad : color {Cerulean} {Negativo : cuadrado : raíz : de : 25} end {alineado} )
Cero es el único número real con una raíz cuadrada.
( sqrt {0} = 0 text {porque} 0 ^ {2} = 0 )
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Evaluar.
( sqrt {121} )
(- sqrt {81} )
Solución
( sqrt {121} = sqrt {11 ^ {2}} = 11 )
(- sqrt {81} = – sqrt {9 ^ {2}} = – 9 )
Si el radicando 3 , el número dentro del signo radical, puede factorizarse como el cuadrado de otro número, entonces la raíz cuadrada del número Es evidente. En este caso, tenemos la siguiente propiedad:
( sqrt {a ^ {2}} = a quad text {if} quad a geq 0 )
O más generalmente,
( sqrt {a ^ {2}} = | a | quad text {if} quad a in R )
El valor absoluto es importante porque (a ) puede ser un número negativo y el signo radical denota la raíz cuadrada principal. Por ejemplo,
( sqrt {(- 8) ^ {2}} = | -8 | = 8 )
Utilice el valor absoluto para garantizar un resultado positivo.
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Simplifique: ( sqrt {(x – 2) ^ {2}} ).
Solución
Aquí la expresión variable (x – 2 ) podría ser negativa, cero o positiva. Como el signo depende de la cantidad desconocida (x ), debemos asegurarnos de obtener la raíz cuadrada principal utilizando el valor absoluto.
( sqrt {(x – 2) ^ {2}} = | x – 2 | )
Respuesta :
(| x – 2 | )
La importancia del uso del valor absoluto en el ejemplo anterior es evidente cuando evaluamos el uso de valores que hacen que el radicando sea negativo. Por ejemplo, cuando (x = 1 ),
Luego, considera la raíz cuadrada de un número negativo. Para determinar la raíz cuadrada de (- 25 ), debe encontrar un número que al cuadrado resulte en (- 25 ):
( sqrt {- 25} = color {Cerulean} {?} Color {black} quad { text {or}} quad ( color {Cerulean} {?} Color {black} {)} ^ {2} = – 25 )
Sin embargo, cualquier número real al cuadrado siempre da como resultado un número positivo. La raíz cuadrada de un número negativo actualmente no se define. Por ahora, indicaremos que ( sqrt {- 25} ) no es un número real. Por lo tanto, la función raíz cuadrada 4 dada por (f (x) = sqrt {x} ) no está definida ser un número real si los valores (x ) son negativos. El valor más pequeño en el dominio es cero. Por ejemplo, (f (0) = sqrt {0} = 0 ) y (f (4) = sqrt {4} = 2 ). Recordemos el gráfico de la función de raíz cuadrada.
Figura 5.1.1
El dominio y el rango consisten en números reales mayores o iguales a cero: ([0, ∞) ). Para determinar el dominio de una función que involucra una raíz cuadrada, observamos el radicando y encontramos los valores que producen resultados no negativos.
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Determine el dominio de la función definida por (f (x) = sqrt {2 x + 3} ).
Solución
Aquí el radicando es (2x + 3 ). Esta expresión debe ser cero o positiva. En otras palabras,
(2 x + 3 geq 0 )
Resuelve para (x ).
( begin {alineado} 2 x + 3 & geq 0 \ 2 x & geq – 3 \ x & geq – frac {3} {2} end {alineado} ) [ 19459012]
Respuesta :
Dominio: ( left [- frac {3} {2}, infty right) )
Un cubo raíz 5 de un número es un número que cuando se multiplica por sí mismo tres veces produce el número original. Además, denotamos una raíz cúbica usando el símbolo ( sqrt [3] {} ), donde (3 ) se llama índice 6 [19459010 ] Por ejemplo,
( sqrt [3] {64} = 4, text {porque} 4 ^ {3} = 64 )
El producto de tres factores iguales será positivo si el factor es positivo y negativo si el factor es negativo. Por esta razón, cualquier número real tendrá solo una raíz cúbica real. Por lo tanto, los tecnicismos asociados con la raíz principal no se aplican. Por ejemplo,
Puede darse el caso de que el radicando no sea un cuadrado o cubo perfecto. Si un número entero no es una potencia perfecta del índice, entonces su raíz será irracional. Por ejemplo, ( sqrt [3] {2} ) es un número irracional que se puede aproximar en la mayoría de las calculadoras usando el botón raíz ( sqrt [x] {} ). Dependiendo de la calculadora, normalmente escribimos en el índice antes de presionar el botón y luego la radio y así:
Dado que la raíz cúbica podría ser negativa o positiva, concluimos que el dominio consta de todos los números reales. Dibuja el gráfico trazando puntos. Elija algunos valores positivos y negativos para (x ), así como cero, y luego calcule los valores (y ) correspondientes.
(x )
(f (x) )
(f (x) = sqrt [3] {x} )
( color {Cerulean} {Pedido : Pares} )
(- 8 )
( color {Cerulean} {- 2} )
(f (- 8) = sqrt [3] {- 8} = – 2 )
((- 8, -2) )
(- 1 )
( color {Cerulean} {- 1} )
(f (- 1) = sqrt [3] {- 1} = – 1 )
((- 1, -1) )
(0 )
( color {Cerulean} {0} )
(f (0) = sqrt [3] {0} = 0 )
((0,0) )
(1 )
( color {Cerulean} {1} )
(f (1) = sqrt [3] {1} = 1 )
((1,1) )
(8 )
( color {Cerulean} {2} )
(f (8) = sqrt [3] {8} = 2 )
((8,2) )
Tabla 5.1.1
Grafica los puntos y dibuja el gráfico de la función raíz del cubo.
Figura 5.1.2
El gráfico pasa la prueba de la línea vertical y de hecho es una función. Además, el rango consta de todos los números reales.
Ejemplo ( PageIndex {6} ):
Dado (g (x) = sqrt [3] {x + 1} + 2 ), encuentre (g (- 9), g (- 2), g (- 1) ) y (g (0) ). Dibuja la gráfica de (g ).
Solución
Reemplazar (x ) con los valores dados.
(x )
(g (x) )
(g (x) = sqrt [3] {x + 1} + 2 )
( color {Cerulean} {Pedido : Pares} )
(- 9 )
( color {Cerulean} {0} )
(g ( color {OliveGreen} {- 9} color {black} {)} = sqrt [3] { color {OliveGreen} {- 9} color {black} {+} 1} + 2 = sqrt [3] {- 8} + 2 = – 2 + 2 = 0 )
((- 9,0) )
(- 2 )
( color {Cerulean} {1} )
(g ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} = sqrt [3] { color {OliveGreen} {- 2} color {black} {+} 1} + 2 = sqrt [3] {- 1} + 2 = – 1 + 2 = 1 )
((- 2,1) )
(- 1 )
( color {Cerulean} {2} )
(g ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} = sqrt [3] { color {OliveGreen} {- 1} color {black} {+} 1} + 2 = sqrt [3] {0} + 2 = 0 + 2 = 2 )
((- 1,2) )
(0 )
( color {Cerulean} {3} )
(g ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} = sqrt [3] { color {OliveGreen} {0} color {black} {+} 1} + 2 = sqrt [3] {1} + 2 = 1 + 2 = 3 )
((0,3) )
Tabla 5.1.2
También podemos dibujar el gráfico usando las siguientes traducciones:
Para cualquier número entero (n ≥ 2 ), definimos una (n ) th raíz 8 de un número real positivo como un número que cuando se eleva a la potencia (n) produce el número original. Dado cualquier número real no negativo (a ), tenemos la siguiente propiedad:
( sqrt [n] {a ^ {n}} = a, quad text {if} quad a geq 0 )
Aquí n se llama índice y (a ^ {n} ) se llama radicando. Además, podemos referirnos a la expresión completa ( sqrt [n] {A} ) como un radical 9 . Cuando el índice es un entero mayor o igual que (4 ), decimos «cuarta raíz», «quinta raíz», y así sucesivamente. La raíz (n ) th de cualquier número es evidente si podemos escribir el radicando con un exponente igual al índice.
Si el índice es (n = 2 ), entonces el radical indica una raíz cuadrada y es costumbre escribir el radical sin el índice; ( sqrt [2] {a} = sqrt {a} ).
Ya nos hemos encargado de definir la raíz cuadrada principal de un número real. En este punto, ampliamos esta idea a las enésimas raíces cuando n es par. Por ejemplo, (3 ) es una cuarta raíz de (81 ), porque (3 ^ {4} = 81 ). Y dado que ((- 3) ^ {4} = 81 ), podemos decir que (- 3 ) es una cuarta raíz de (81 ) también. Por lo tanto, usamos el signo radical ( sqrt [n] {} ) para denotar el principal (no negativo) (n ) th root [ 19459066] 10 cuando (n ) es par. En este caso, para cualquier número real (a ), utilizamos la siguiente propiedad:
( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | quad color {Cerulean} {When : n : is : even} )
La raíz negativa (n ) th, cuando (n ) es par, se denotará con un signo negativo delante del radical (- sqrt [n] {} ).
(- sqrt [4] {81} = – sqrt [4] {3 ^ {4}} = – 3 )
Hemos visto que la raíz cuadrada de un número negativo no es real porque cualquier número real al cuadrado dará como resultado un número positivo. De hecho, surge un problema similar para cualquier índice par:
( sqrt [4] {- 81} = color {Cerulean} {?} Quad color {black} { text {or}} quad ( color {Cerulean} {?} Color {negro} {)} ^ {4} = – 81 )
Podemos ver que una cuarta raíz de (- 81 ) no es un número real porque la cuarta potencia de cualquier número real siempre es positiva.
( left. Begin {array} {l} { sqrt {- 4}} \ { sqrt [4] {- 81}} \ { sqrt [6] {- 64}} end {array} right } quad color {Cerulean} {Estos : radicales : son : not : real : números.} )
Le recomendamos que pruebe todo esto en una calculadora. ¿Qué dice?
Ejemplo ( PageIndex {8} ):
Simplificar.
( sqrt [4] {(- 10) ^ {4}} )
( sqrt [4] {- 10 ^ {4}} )
( sqrt [6] {(2 y + 1) ^ {6}} )
Solución
Dado que los índices son pares, use valores absolutos para garantizar resultados no negativos.
( sqrt [4] {(- 10) ^ {4}} = | – 10 | = 10 )
( sqrt [4] {- 10 ^ {4}} = sqrt [4] {- 10,000} ) no es un número real.
( sqrt [6] {(2 y + 1) ^ {6}} = | 2 y + 1 | )
Cuando el índice (n ) es impar, no se producen los mismos problemas. El producto de un número impar de factores positivos es positivo y el producto de un número impar de factores negativos es negativo. Por lo tanto, cuando el índice (n ) es impar, solo hay una raíz real (n ) para cualquier número real (a ). Y tenemos la siguiente propiedad:
( sqrt [n] {a ^ {n}} = a quad color {Cerulean} {When : n : is : odd} )
Ejemplo ( PageIndex {9} ):
Simplificar.
( sqrt [5] {(- 10) ^ {5}} )
( sqrt [5] {- 32} )
( sqrt [7] {(2 y + 1) ^ {7}} )
Solución
Dado que los índices son impares, no se utiliza el valor absoluto.
En resumen, para cualquier número real (a ) que tengamos,
( begin {alineado} sqrt [n] {a ^ {n}} & = | a | color {Cerulean} : : : {When : n : is : even} \ sqrt [n] {a ^ {n}} & = a quad : color {Cerulean} {When : n : es : impar} end {alineado} )
Cuando (n ) es impar , la raíz (n ) th es positiva o negativa dependiendo del signo del radicando.
No siempre será el caso que el radicando sea una potencia perfecta del índice dado. Si no es así, entonces usamos la regla de producto para radicales 11 y la regla de cociente para [ 19459005] radicales 12 para simplificarlos. Dados los números reales ( sqrt [n] {A} ) y ( sqrt [n] {B} ),
Aquí observamos que el índice es impar y el radicando es negativo; Por lo tanto, el resultado será negativo. Podemos factorizar el radicando de la siguiente manera:
