5.10: Razones y tasa (Parte 1)

5.10: Razones y tasa (Parte 1)

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Escribe una razón como una fracción
  •      
  • Escribe una tasa como fracción
  •      
  • Buscar tasas unitarias
  •      
  • Encontrar precio unitario
  •      
  • Traduce frases a expresiones con fracciones
  •  
 
 
 
 

prepárate!

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Simplifica: ( dfrac {16} {24} ). Si perdió este problema, revise Ejemplo 4.3.1 .
  2.      
  3. Divide: 2.76 ÷ 11.5. Si se perdió este problema, revise Ejemplo 5.4.9 .
  4.      
  5. Simplifique: ( dfrac {1 dfrac {1} {2}} {2 dfrac {3} {4}} ). Si se perdió este problema, revise Ejemplo 4.5.7 .
  6.  
 
 
 

Escribe una razón como una fracción

 

Cuando solicita una hipoteca, el oficial de préstamos comparará su deuda total con su ingreso total para decidir si califica para el préstamo. Esta comparación se llama relación deuda-ingreso. Una relación compara dos cantidades que se miden con la misma unidad. Si comparamos a y b, la razón se escribe como a a b, ( dfrac {a} {b} ) o a: b.

 
 

Definición: ratios

 

Una razón compara dos números o dos cantidades que se miden con la misma unidad. La razón de a a b se escribe a a b, ( dfrac {a} {b} ) o a: b.

 
 

En esta sección, utilizaremos la notación de fracción. Cuando una razón se escribe en forma de fracción, la fracción debe simplificarse. Si es una fracción impropia, no la cambiamos a un número mixto. Debido a que una razón compara dos cantidades, dejaríamos una razón como ( dfrac {4} {1} ) en lugar de simplificarla a 4 para que podamos ver las dos partes de la razón.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Escribe cada razón como una fracción: (a) 15 a 27 (b) 45 a 18.

 

Solución

 

(a) 15 a 27

                                                                                                              
Escribe como una fracción con el primer número en el numerador y el segundo en el denominador. $$ dfrac {15} {27} $$
Simplifica la fracción. $$ dfrac {5} {9} $$
 

(b) 45 a 18

                                                                                                              
Escribe como una fracción con el primer número en el numerador y el segundo en el denominador. $$ dfrac {45} {18} $$
Simplificar. $$ dfrac {5} {2} $$
 

Dejamos la relación en (b) como una fracción impropia.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

Escribe cada razón como una fracción: (a) 21 a 56 (b) 48 a 32.

 
     
Responda a
     
     

( dfrac {3} {8} )

     
     
Respuesta b
     
     

( dfrac {3} {2} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

Escribe cada razón como una fracción: (a) 27 a 72 (b) 51 a 34.

 
     
Responda a
     
     

( dfrac {1} {1} )

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

( dfrac {3} {2} )

     
 
 
 

Ratios que involucran decimales

 

A menudo trabajaremos con razones de decimales, especialmente cuando tenemos razones que involucran dinero. En estos casos, podemos eliminar los decimales utilizando la Propiedad de fracciones equivalentes para convertir la razón en una fracción con números enteros en el numerador y el denominador.

 

Por ejemplo, considere la relación 0.8 a 0.05. Podemos escribirlo como una fracción con decimales y luego multiplicar el numerador y el denominador por 100 para eliminar los decimales.

 

$$ dfrac {0.8} {0.05} $$

 

$$ dfrac {(0.8) textcolor {rojo} {100}} {(0.05) textcolor {rojo} {100}} $$

 

$$ dfrac {80} {5} $$

 

¿Ves un atajo para encontrar la fracción equivalente? Observe que 0.8 = ( dfrac {8} {10} ) y 0.05 = ( dfrac {5} {100} ). El mínimo común denominador de ( dfrac {8} {10} ) y 5 100 es 100. Al multiplicar el numerador y el denominador de ( dfrac {0.8} {0.05} ) por 100, ‘movimos’ el decimal dos lugares a la derecha para obtener la fracción equivalente sin decimales. Ahora que entendemos las matemáticas detrás del proceso, podemos encontrar la fracción sin decimales como esta:

 

The top line says 0.80 over 0.05. There are blue arrows moving the decimal points over 2 places to the right.

                                                                                                              
«Mover» el decimal 2 lugares. $$ dfrac {80} {5} $$
Simplificar. $$ dfrac {16} {1} $$
 

No tiene que escribir cada paso cuando multiplica el numerador y el denominador por potencias de diez. Mientras mueva ambos lugares decimales el mismo número de lugares, la relación seguirá siendo la misma.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Escribe cada razón como una fracción de números enteros: (a) 4.8 a 11.2 (b) 2.7 a 0.54

 

Solución

 

(a) 4.8 a 11.2

                                                                                                                                                              
Escribe como una fracción. $$ dfrac {4.8} {11.2} $$
Reescribe como una fracción equivalente sin decimales, moviendo ambos puntos decimales 1 lugar a la derecha. $$ dfrac {48} {112} $$
Simplificar. $$ dfrac {3} {7} $$
 

Entonces 4.8 a 11.2 es equivalente a ( dfrac {3} {7} ).

 

(b) 2.7 a 0.54

                                                                                                                                                              
Escribe como una fracción. $$ dfrac {2.7} {0.54} $$
El numerador tiene un lugar decimal y el denominador tiene 2. Para borrar ambos decimales, necesitamos mover el decimal 2 lugares a la derecha. $$ dfrac {270} {54} $$
Simplificar. $$ dfrac {5} {1} $$
 

Entonces 2.7 a 0.54 es equivalente a ( dfrac {5} {1} ).

 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

Escribe cada razón como una fracción: (a) 4.6 a 11.5 (b) 2.3 a 0.69.

 
     
Responda a
     
     

( dfrac {2} {5} )

     
     
Respuesta b
     
     

( dfrac {10} {3} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Escribe cada razón como una fracción: (a) 3.4 a 15.3 (b) 3.4 a 0.68.

 
     
Responda a
     
     

( dfrac {2} {9} )

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

( dfrac {5} {1} )

     
 
 
 

Algunas razones comparan dos números mixtos. Recuerde que para dividir números mixtos, primero los reescribe como fracciones impropias.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Escribe la razón de (1 dfrac {1} {4} ) a (2 dfrac {3} {8} ) como una fracción.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Escribe como una fracción. $$ dfrac {1 dfrac {1} {4}} {2 dfrac {3} {8}} $$
Convierta el numerador y el denominador en fracciones impropias. $$ dfrac { dfrac {5} {4}} { dfrac {19} {8}} $$
Reescribe como una división de fracciones. $$ dfrac {5} {4} div dfrac {19} {8} $$
Invierte el divisor y multiplica. $$ dfrac {5} {4} cdot dfrac {8} {19} $$
Simplificar. $$ dfrac {10} {19} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

 

Escribe cada razón como una fracción: (1 dfrac {3} {4} ) a (2 dfrac {5} {8} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {2} {3}

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Escribe cada razón como una fracción: (1 dfrac {1} {8} ) a (2 dfrac {3} {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {9} {22} )

     
 
 
 

Aplicaciones de razones

 

Una aplicación del mundo real de proporciones que afecta a muchas personas implica medir el colesterol en la sangre. La relación entre el colesterol total y el colesterol HDL es una forma en que los médicos evalúan la salud general de una persona. Una relación de menos de 5 a 1 se considera buena.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

El colesterol total de Héctor es de 249 mg / dl y su colesterol HDL es de 39 mg / dl. (a) Encuentre la relación entre su colesterol total y su colesterol HDL. (b) Suponiendo que una relación inferior a 5 a 1 se considera buena, ¿qué le sugeriría a Héctor?

 

Solución

 

(a) Primero, escribe las palabras que expresan la razón. Queremos saber la relación entre el colesterol total de Héctor y su colesterol HDL.

                                                                                                                                                              
Escribe como una fracción. $$ dfrac {total ; colesterol} {HDL ; colesterol} $$
Sustituir los valores. $$ dfrac {249} {39} $$
Simplificar. $$ dfrac {83} {13} $$
 

(b) ¿Está bien la relación de colesterol de Héctor? Si dividimos 83 por 13 obtenemos aproximadamente 6.4, entonces ( dfrac {83} {13} approx dfrac {6.4} {1} ). ¡La proporción de colesterol de Héctor es alta! Héctor debería reducir su colesterol total o aumentar su colesterol HDL.

 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

Encuentre la proporción del paciente de colesterol total a colesterol HDL usando la información dada. El colesterol total es de 185 mg / dL y el colesterol HDL es de 40 mg / dL.

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {37} {8}

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

Encuentre la proporción de colesterol total del paciente con respecto al colesterol HDL utilizando la información proporcionada. El colesterol total es 204 mg / dL y el colesterol HDL es 38 mg / dL.

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {102} {19}

     
 
 
 

Relaciones de dos mediciones en diferentes unidades

 

Para encontrar la razón de dos mediciones, debemos asegurarnos de que las cantidades se hayan medido con la misma unidad. Si las medidas no están en las mismas unidades, primero debemos convertirlas a las mismas unidades.

 

Sabemos que para simplificar una fracción, dividimos los factores comunes. Del mismo modo, en una proporción de medidas, dividimos la unidad común.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Las pautas de la Ley de Estadounidenses con Discapacidades (ADA) para las rampas para sillas de ruedas requieren un aumento vertical máximo de 1 pulgada por cada 1 pie de recorrido horizontal. ¿Cuál es la relación entre el aumento y la carrera?

 

Solución

 

En una proporción, las medidas deben estar en las mismas unidades. Podemos cambiar pies a pulgadas o pulgadas a pies. Por lo general, es más fácil convertir a la unidad más pequeña, ya que esto evita introducir más fracciones en el problema. Escribe las palabras que expresan la razón.

                                                                                                                                                                                                              
Escribe la razón como una fracción. $$ dfrac {subida} {ejecutar} $$
Sustituir en los valores dados. $$ dfrac {1 ; pulgada} {1 ; pie} $$
Convertir 1 pie a pulgadas. $$ dfrac {1 ; pulgada} {12 ; pulgadas} $$
Simplifica, dividiendo factores y unidades comunes. $$ dfrac {1} {12} $$
 

Por lo tanto, la relación de subida a carrera es de 1 a 12. Esto significa que la rampa debe subir 1 pulgada por cada 12 pulgadas de carrera horizontal para cumplir con las pautas.

 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

 

Halla la razón de la primera longitud a la segunda longitud: 32 pulgadas a 1 pie.

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {8} {3}

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

 

Halla la razón de la primera longitud a la segunda longitud: 1 pie a 54 pulgadas.

 
     
Responda a
     
     

( dfrac {2} {9}

     
 
 
 

Escriba una tasa como fracción

 

Con frecuencia queremos comparar dos tipos diferentes de mediciones, como millas a galones. Para hacer esta comparación, utilizamos una tasa . Ejemplos de tarifas son 120 millas en 2 horas, 160 palabras en 4 minutos y $ 5 dólares por 64 onzas.

 
 

Definición: tasa

 

Una tasa compara dos cantidades de unidades diferentes. Una tasa generalmente se escribe como una fracción.

 
 

Al escribir una fracción como tasa, ponemos la primera cantidad dada con sus unidades en el numerador y la segunda cantidad con sus unidades en el denominador. Cuando las tasas se simplifican, las unidades permanecen en el numerador y el denominador.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Bob condujo su automóvil 525 millas en 9 horas. Escribe esta tasa como una fracción.

 

Solución

                                                                                                              
Escribe como una fracción, con 525 millas en el numerador y 9 horas en el denominador. $$ dfrac {525 ; millas} {9 ; horas} $$
$$ dfrac {175 ; millas} {3 ; horas} $$
 

Entonces 525 millas en 9 horas es equivalente a ( dfrac {175 ; millas} {3 ; horas} ).

 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

 

Escribe la tasa como una fracción: 492 millas en 8 horas.

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {123 ; millas} {2 ; horas} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

 

Escribe la tasa como una fracción: 242 millas en 6 horas.

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {121 ; millas} {3 ; horas} )

     
 
 
 
 
                                  
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