5.12: Simplifique y use raíces cuadradas (Parte 1)

5.12: Simplifique y use raíces cuadradas (Parte 1)

Simplificar expresiones con raíces cuadradas

 

Para comenzar esta sección, necesitamos revisar un poco de vocabulario y notación importantes. Recuerde que cuando un número n se multiplica por sí mismo, podemos escribir esto como n 2 , que leemos en voz alta como «n al cuadrado». Por ejemplo, 8 2 se lee como «8 al cuadrado». Llamamos 64 al cuadrado de 8 porque 8 2 = 64. Del mismo modo, 121 es el cuadrado de 11, porque 11 2 = 121.

 
 

Definición: cuadrado de un número

 

Si n 2 = m, entonces m es el cuadrado de n.

 
 

Cuadrados de modelado

 

¿Sabes por qué usamos la palabra cuadrado ? Si construimos un cuadrado con tres fichas en cada lado, el número total de fichas sería nueve.

 

A square is shown with 3 tiles on each side. There are a total of 9 tiles in the square.

 

Por eso decimos que el cuadrado de tres es nueve.

 

$$ 3 ^ {2} = 9 $$

 

El número 9 se llama un cuadrado perfecto porque es el cuadrado de un número entero.

 

La tabla muestra los cuadrados de los números de conteo del 1 al 15. Puede consultarlo para ayudarlo a identificar los cuadrados perfectos.

 

A table with two columns is shown. The first column is labeled “Number” and has the values: n, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, and 15. The second column is labeled “Square” and has the values: n squared, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, and 225.

 
 

Definición: cuadrados perfectos

 

Un cuadrado perfecto es el cuadrado de un número entero.

 
 

¿Qué sucede cuando cuadras un número negativo?

 

$$ begin {split} (-8) ^ {2} & = (-8) (-8) \ & = 64 end {split} $$

 

Cuando multiplicamos dos números negativos, el producto siempre es positivo. Entonces, el cuadrado de un número negativo siempre es positivo. El gráfico muestra los cuadrados de los enteros negativos de −1 a −15.

 

A table is shown with 2 columns. The first column is labeled “Number” and contains the values: n, negative 1, negative 2, negative 3, negative 4, negative 5, negative 6, negative 7, negative 8, negative 9, negative 10, negative 11, negative 12, negative 13, negative 14, and negative 15. The next column is labeled “Square” and contains the values: n squared, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, and 225.

 

¿Notaste que estos cuadrados son los mismos que los cuadrados de los números positivos?

 

Raíces cuadradas

 

A veces tendremos que mirar la relación entre los números y sus cuadrados al revés. Como 10 2 = 100, decimos que 100 es el cuadrado de 10. También podemos decir que 10 es una raíz cuadrada de 100.

 
 

Definición: Raíz cuadrada de un número

 

Un número cuyo cuadrado es m se llama raíz cuadrada de m. Si n 2 = m, entonces n es una raíz cuadrada de m.

 
 

Aviso (−10) 2 = 100 también, entonces −10 también es una raíz cuadrada de 100. Por lo tanto, 10 y −10 son raíces cuadradas de 100. Entonces, cada número positivo tiene dos raíces cuadradas: una positiva y una negativa.

 

¿Qué pasa si solo queremos la raíz cuadrada positiva de un número positivo? El signo radical , ( sqrt { quad} ), representa la raíz cuadrada positiva. La raíz cuadrada positiva también se llama raíz cuadrada principal .

 
 

Definición: Notación de raíz cuadrada

 

( sqrt {m} ) se lee como «la raíz cuadrada de m». Si m = n 2 , entonces m = n para n ≥ 0.

 

A picture of an m inside a square root sign is shown. The sign is labeled as a radical sign and the m is labeled as the radicand.

 
 

También podemos usar el signo radical para la raíz cuadrada de cero. Porque 0 2 = 0, ( sqrt {0} ) = 0. Observe que cero tiene solo una raíz cuadrada. La tabla muestra las raíces cuadradas de los primeros 15 números cuadrados perfectos.

 

A table is shown with 2 columns. The first column contains the values: square root of 1, square root of 4, square root of 9, square root of 16, square root of 25, square root of 36, square root of 49, square root of 64, square root of 81, square root of 100, square root of 121, square root of 144, square root of 169, square root of 196, and square root of 225. The second column contains the values: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, and 15.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Simplifique: (a) ( sqrt {25} ) (b) ( sqrt {121} ).

 

Solución

 

(a) ( sqrt {25} )

 

(b) ( sqrt {121} )

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

Simplifique: (a) ( sqrt {36} ) (b) ( sqrt {169} ).

 
     
Responde a
     
     

6

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

13

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

Simplifique: (a) ( sqrt {16} ) (b) ( sqrt {196} ).

 
     
Responde a
     
     

4

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

14

     
 
 
 
 

Cada número positivo tiene dos raíces cuadradas y el signo radical indica el positivo. Escribimos ( sqrt {100} ) = 10. Si queremos encontrar la raíz cuadrada negativa de un número, colocamos un negativo delante del signo radical. Por ejemplo, (- sqrt {100} ) = −10.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Simplificar. (a) (- sqrt {9} ) (b) (- sqrt {144} ).

 

Solución

 

(a) (- sqrt {9} )

                                                              
Lo negativo está frente al signo radical. -3
 

(b) (- sqrt {144} )

                                                              
Lo negativo está frente al signo radical. -12
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

Simplifique: (a) (- sqrt {4} ) (b) (- sqrt {225} ).

 
     
Responde a
     
     

-2

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

-15

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Simplifique: (a) (- sqrt {81} ) (b) (- sqrt {64} ).

 
     
Responde a
     
     

-9

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

-8

     
 
 
 

Raíz cuadrada de un número negativo

 

¿Podemos simplificar ( sqrt {−25} )? ¿Hay un número cuyo cuadrado es −25?

 

$$ (;) ^ {2} = -25? $$

 

Ninguno de los números que hemos tratado hasta ahora tiene un cuadrado que es −25. ¿Por qué? Cualquier número positivo al cuadrado es positivo, y cualquier número negativo al cuadrado también es positivo. En el próximo capítulo veremos que todos los números con los que trabajamos se llaman números reales. Entonces decimos que no hay un número real igual a ( sqrt {−25} ). Si se nos pide encontrar la raíz cuadrada de cualquier número negativo, decimos que la solución no es un número real.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Simplifique: (a) ( sqrt {−169} ) (b) (- sqrt {121} ).

 

Solución

 

(a) No hay un número real cuyo cuadrado sea −169. Por lo tanto, ( sqrt {−169} ) no es un número real.

 

(b) El negativo está delante del signo radical, por lo que encontramos el opuesto de la raíz cuadrada de 121.

                                                              
Lo negativo está frente al radical. -11
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

 

Simplifique: (a) ( sqrt {-196} ) (b) (- sqrt {81} ).

 
     
Responde a
     
     

no es un número real

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

-9

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Simplifique: (a) (- sqrt {49} ) (b) ( sqrt {-121} ).

 
     
Responde a
     
     

-7

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

no es un número real

     
 
 
 

Raíces cuadradas y el orden de operaciones

 

Cuando usamos el orden de las operaciones para simplificar una expresión que tiene raíces cuadradas, tratamos el signo radical como un símbolo de agrupación. Simplificamos cualquier expresión bajo el signo radical antes de realizar otras operaciones.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Simplifique: (a) ( sqrt {25} + sqrt {144} ) (b) ( sqrt {25 + 144} ).

 

Solución

 

(a)

                                                                                                                                                              
Usa el orden de las operaciones. $$ sqrt {25} + sqrt {144} $$
Simplifica cada radical. 5 + 12
Agregar. 17
 

(b)

                                                                                                                                                              
Usa el orden de las operaciones. $$ sqrt {25 + 144} $$
Añadir bajo el signo radical. $$ sqrt {169} $$
Simplifica. 13
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

Simplifique: (a) ( sqrt {9} + sqrt {16} ) (b) ( sqrt {9 + 16} ).

 
     
Responde a
     
     

7

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

5

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

Simplifique: (a) ( sqrt {64 + 225} ) (b) ( sqrt {64} + sqrt {225} ).

 
     
Responde a
     
     

17

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

23

     
 
 
 
 

Observe las diferentes respuestas en las partes (a) y (b) del Ejemplo ( PageIndex {4} ). Es importante seguir el orden de las operaciones correctamente. En (a), tomamos primero cada raíz cuadrada y luego las agregamos. En (b), agregamos primero bajo el signo radical y luego encontramos la raíz cuadrada.

 

Estimar raíces cuadradas

 

Hasta ahora solo hemos trabajado con raíces cuadradas de cuadrados perfectos. Las raíces cuadradas de otros números no son números enteros.

 

A table is shown with 2 columns. The first column is labeled “Number” and contains the values: 4, 5, 6, 7, 8, 9. The second column is labeled “Square root” and contains the values: square root of 4 equals 2, square root of 5, square root of 6, square root of 7, square root of 8, square root of 9 equals 3.

 

Podríamos concluir que las raíces cuadradas de los números entre 4 y 9 estarán entre 2 y 3, y no serán números enteros. Según el patrón de la tabla anterior, podríamos decir que ( sqrt {5} ) está entre 2 y 3. Utilizando símbolos de desigualdad, escribimos

 

$$ 2 < sqrt {5} <3 $$

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Estima ( sqrt {60} ) entre dos números enteros consecutivos.

 

Solución

 

Piensa en los cuadrados perfectos más cercanos a 60. Haz una pequeña tabla de estos cuadrados perfectos y sus raíces cuadradas.

 

A table is shown with 2 columns. The first column is labeled “Number” and contains the values: 36, 49, 64, and 81. There is a balloon coming out of the table between 49 and 64 that says 60. The second column is labeled “Square root” and contains the values: 6, 7, 8, and 9. There is a balloon coming out of the table between 7 and 8 that says square root of 60.

                                                                                                              
Localiza 60 entre dos cuadrados perfectos consecutivos. 49 <60 <64
( sqrt {60} ) está entre sus raíces cuadradas. $$ 7 < sqrt {60} <8 $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

 

Estima ( sqrt {38} ) entre dos números enteros consecutivos.

 
     
Respuesta
     
     

(6 < sqrt {38} <7 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

 

Estima ( sqrt {84} ) entre dos números enteros consecutivos.

 
     
Respuesta
     
     

(9 < sqrt {84} <10 )

     
 
 
 
 
]]>

,

Deja una respuesta