Simplificar expresiones con raíces cuadradas
Para comenzar esta sección, necesitamos revisar un poco de vocabulario y notación importantes. Recuerde que cuando un número n se multiplica por sí mismo, podemos escribir esto como n 2 , que leemos en voz alta como “n al cuadrado”. Por ejemplo, 8 2 se lee como “8 al cuadrado”. Llamamos 64 al cuadrado de 8 porque 8 2 = 64. Del mismo modo, 121 es el cuadrado de 11, porque 11 2 = 121.
Definición: cuadrado de un número
Si n 2 = m, entonces m es el cuadrado de n.
Cuadrados de modelado
¿Sabes por qué usamos la palabra cuadrado ? Si construimos un cuadrado con tres fichas en cada lado, el número total de fichas sería nueve.
Por eso decimos que el cuadrado de tres es nueve.
$$ 3 ^ {2} = 9 $$
El número 9 se llama un cuadrado perfecto porque es el cuadrado de un número entero.
La tabla muestra los cuadrados de los números de conteo del 1 al 15. Puede consultarlo para ayudarlo a identificar los cuadrados perfectos.
Definición: cuadrados perfectos
Un cuadrado perfecto es el cuadrado de un número entero.
¿Qué sucede cuando cuadras un número negativo?
$$ begin {split} (-8) ^ {2} & = (-8) (-8) \ & = 64 end {split} $$
Cuando multiplicamos dos números negativos, el producto siempre es positivo. Entonces, el cuadrado de un número negativo siempre es positivo. El gráfico muestra los cuadrados de los enteros negativos de −1 a −15.
¿Notaste que estos cuadrados son los mismos que los cuadrados de los números positivos?
Raíces cuadradas
A veces tendremos que mirar la relación entre los números y sus cuadrados al revés. Como 10 2 = 100, decimos que 100 es el cuadrado de 10. También podemos decir que 10 es una raíz cuadrada de 100.
Definición: Raíz cuadrada de un número
Un número cuyo cuadrado es m se llama raíz cuadrada de m. Si n 2 = m, entonces n es una raíz cuadrada de m.
Aviso (−10) 2 = 100 también, entonces −10 también es una raíz cuadrada de 100. Por lo tanto, 10 y −10 son raíces cuadradas de 100. Entonces, cada número positivo tiene dos raíces cuadradas: una positiva y una negativa.
¿Qué pasa si solo queremos la raíz cuadrada positiva de un número positivo? El signo radical , ( sqrt { quad} ), representa la raíz cuadrada positiva. La raíz cuadrada positiva también se llama raíz cuadrada principal .
Definición: Notación de raíz cuadrada
( sqrt {m} ) se lee como “la raíz cuadrada de m”. Si m = n 2 , entonces m = n para n ≥ 0.
También podemos usar el signo radical para la raíz cuadrada de cero. Porque 0 2 = 0, ( sqrt {0} ) = 0. Observe que cero tiene solo una raíz cuadrada. La tabla muestra las raíces cuadradas de los primeros 15 números cuadrados perfectos.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Simplifique: (a) ( sqrt {25} ) (b) ( sqrt {121} ).
Solución
(a) ( sqrt {25} )
(b) ( sqrt {121} )
Ejercicio ( PageIndex {1} ):
Simplifique: (a) ( sqrt {36} ) (b) ( sqrt {169} ).
- Responde a
-
6
- Respuesta b
-
13
Ejercicio ( PageIndex {2} ):
Simplifique: (a) ( sqrt {16} ) (b) ( sqrt {196} ).
- Responde a
-
4
- Respuesta b
-
14
Cada número positivo tiene dos raíces cuadradas y el signo radical indica el positivo. Escribimos ( sqrt {100} ) = 10. Si queremos encontrar la raíz cuadrada negativa de un número, colocamos un negativo delante del signo radical. Por ejemplo, (- sqrt {100} ) = −10.
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Simplificar. (a) (- sqrt {9} ) (b) (- sqrt {144} ).
Solución
(a) (- sqrt {9} )
| Lo negativo está frente al signo radical. | -3 |
(b) (- sqrt {144} )
| Lo negativo está frente al signo radical. | -12 |
Ejercicio ( PageIndex {3} ):
Simplifique: (a) (- sqrt {4} ) (b) (- sqrt {225} ).
- Responde a
-
-2
- Respuesta b
-
-15
Ejercicio ( PageIndex {4} ):
Simplifique: (a) (- sqrt {81} ) (b) (- sqrt {64} ).
- Responde a
-
-9
- Respuesta b
-
-8
Raíz cuadrada de un número negativo
¿Podemos simplificar ( sqrt {−25} )? ¿Hay un número cuyo cuadrado es −25?
$$ (;) ^ {2} = -25? $$
Ninguno de los números que hemos tratado hasta ahora tiene un cuadrado que es −25. ¿Por qué? Cualquier número positivo al cuadrado es positivo, y cualquier número negativo al cuadrado también es positivo. En el próximo capítulo veremos que todos los números con los que trabajamos se llaman números reales. Entonces decimos que no hay un número real igual a ( sqrt {−25} ). Si se nos pide encontrar la raíz cuadrada de cualquier número negativo, decimos que la solución no es un número real.
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Simplifique: (a) ( sqrt {−169} ) (b) (- sqrt {121} ).
Solución
(a) No hay un número real cuyo cuadrado sea −169. Por lo tanto, ( sqrt {−169} ) no es un número real.
(b) El negativo está delante del signo radical, por lo que encontramos el opuesto de la raíz cuadrada de 121.
| Lo negativo está frente al radical. | -11 |
Ejercicio ( PageIndex {5} ):
Simplifique: (a) ( sqrt {-196} ) (b) (- sqrt {81} ).
- Responde a
-
no es un número real
- Respuesta b
-
-9
Ejercicio ( PageIndex {6} ):
Simplifique: (a) (- sqrt {49} ) (b) ( sqrt {-121} ).
- Responde a
-
-7
- Respuesta b
-
no es un número real
Raíces cuadradas y el orden de operaciones
Cuando usamos el orden de las operaciones para simplificar una expresión que tiene raíces cuadradas, tratamos el signo radical como un símbolo de agrupación. Simplificamos cualquier expresión bajo el signo radical antes de realizar otras operaciones.
Ejemplo ( PageIndex {4} ):
Simplifique: (a) ( sqrt {25} + sqrt {144} ) (b) ( sqrt {25 + 144} ).
Solución
(a)
| Usa el orden de las operaciones. | $$ sqrt {25} + sqrt {144} $$ |
| Simplifica cada radical. | 5 + 12 |
| Agregar. | 17 |
(b)
| Usa el orden de las operaciones. | $$ sqrt {25 + 144} $$ |
| Añadir bajo el signo radical. | $$ sqrt {169} $$ |
| Simplifica. | 13 |
Ejercicio ( PageIndex {7} ):
Simplifique: (a) ( sqrt {9} + sqrt {16} ) (b) ( sqrt {9 + 16} ).
- Responde a
-
7
- Respuesta b
-
5
Ejercicio ( PageIndex {8} ):
Simplifique: (a) ( sqrt {64 + 225} ) (b) ( sqrt {64} + sqrt {225} ).
- Responde a
-
17
- Respuesta b
-
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Observe las diferentes respuestas en las partes (a) y (b) del Ejemplo ( PageIndex {4} ). Es importante seguir el orden de las operaciones correctamente. En (a), tomamos primero cada raíz cuadrada y luego las agregamos. En (b), agregamos primero bajo el signo radical y luego encontramos la raíz cuadrada.
