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las matematicas

5.2: Forma de vértice

En la sección anterior, aprendiste que es una tarea simple dibujar el gráfico de una función cuadrática si se presenta en forma de vértice

El objetivo de la sección actual es para comenzar con la forma más general de la función cuadrática, a saber

y manipular la ecuación en forma de vértice. Una vez que tenga su función cuadrática en forma de vértice, la técnica de la sección anterior debería permitirle construir la gráfica de la función cuadrática. Sin embargo, antes de centrar nuestra atención en la tarea de convertir la forma cuadrática general en vértice, necesitamos revisar los fundamentos algebraicos necesarios. Comencemos con una revisión de un atajo algebraico importante llamado cuadrar un binomio.

Cuadrando un binomio

 

Un monomio es un término algebraico único, generalmente construido como producto de un número (llamado coeficiente) y una o más variables elevadas a potencias integrales no negativas, como (- 3 x ^ {2} ) o 14 (y ^ {3} z ^ {5} ). La frase clave aquí es “término único”. Un binomio es una suma o diferencia algebraica de dos monomios (o términos), como (x + 2 y ) o (3 a b ^ {2} -2 c ^ {3} ). La frase clave aquí es “dos términos”.

 

Para “cuadrar un binomio”, comience con un binomio arbitrario, como a + b, luego multiplíquelo por sí mismo para producir su cuadrado (a + b) (a + b), o, de manera más compacta, (( a + b) ^ {2} ). Podemos usar la propiedad distributiva para expandir el cuadrado del binomio a + b.

 

[ begin {alineado} (a + b) ^ {2} & = (a + b) (a + b) \ & = a (a + b) + b (a + b) \ & = a ^ {2} + a b + b a + b ^ {2} end {alineado} ]

 

Debido a que ab = ba, podemos agregar los dos términos medios para llegar a la siguiente propiedad.

 
 

Propiedad 3

 

El cuadrado del binomio a + b se expande de la siguiente manera.

 

[(a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Expandir ((x + 4) ^ {2} )

 

Solución

 

Podríamos proceder de la siguiente manera.

 

[ begin {align *} (x + 4) ^ {2} & = (x + 4) (x + 4) \ & = x (x + 4) +4 (x + 4) & = x ^ {2} +4 x + 4 x + 16 \ & = x ^ {2} +8 x + 16 end {align *} ]

 

Aunque es correcta, esta técnica no nos ayudará con nuestra próxima tarea. Lo que debemos hacer es seguir el algoritmo sugerido por la Propiedad 3.

 
 

Algoritmo para cuadrar un binomio

 

Para cuadrar el binomio a + b, proceda de la siguiente manera:

 
         
  1. Al cuadrado el primer término para obtener (a ^ 2 ).
  2.      
  3. Multiplica el primer y el segundo término juntos, y luego multiplica el resultado por dos para obtener 2ab.
  4.      
  5. Al cuadrado el segundo término para obtener (b ^ 2 ).
  6.  
 
 

Por lo tanto, para expandir ((x + 4) ^ 2 ), debemos proceder de la siguiente manera.

 
         
  1. Al cuadrado el primer término para obtener (x ^ 2 )
  2.      
  3. Multiplica el primer y el segundo término juntos y luego multiplica por dos para obtener 8x.
  4.      
  5. Cuadra el segundo término para obtener 16.
  6.  
 

Proceder de esta manera nos permite realizar la expansión mentalmente y simplemente escribir la solución.

 

[(x + 4) ^ {2} = x ^ {2} +2 (x) (4) + 4 ^ {2} = x ^ {2} +8 x + 16 nonumber ] [ 19459003]  

 

Aquí hay algunos ejemplos más. En cada uno, hemos escrito un paso adicional para ayudar a aclarar el procedimiento. En la práctica, simplemente debe escribir la solución sin ningún paso intermedio.

 

[ begin {array} {l} {(x + 3) ^ {2} = x ^ {2} +2 (x) (3) + 3 ^ {2} = x ^ {2} + 6 x + 9} \ {(x-5) ^ {2} = x ^ {2} +2 (x) (- 5) + (- 5) ^ {2} = x ^ {2} -10 x +25} \ { left (x- frac {1} {2} right) ^ {2} = x ^ {2} +2 (x) left (- frac {1} {2} derecha) + izquierda (- frac {1} {2} derecha) ^ {2} = x ^ {2} -x + frac {1} {4}} end {array} ]

 

Es imprescindible que domine este acceso directo antes de pasar al resto del material de esta sección.

 

Trinomios cuadrados perfectos

 

Una vez que hayas dominado la cuadratura de un binomio, como en

 

[(a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} nonumber ]

 

es simple identificar y factorizar trinomios (tres términos) que tienen la forma (a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} ). Simplemente “deshaces” la multiplicación. Siempre que detecte un trinomio cuyos primeros y terceros términos son cuadrados perfectos, debe sospechar que tiene los siguientes factores.

 

[a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} = (a + b) ^ {2} nonumber ]

 

Un trinomio que factoriza de acuerdo con esta regla o patrón se denomina trinomio cuadrado perfecto.

 

Por ejemplo, los primeros y últimos términos del siguiente trinomio son cuadrados perfectos.

 

[x ^ {2} +16 x + 64 nonumber ]

 

Las raíces cuadradas del primer y último término son x y 8, respectivamente. Por lo tanto, tiene sentido intentar lo siguiente.

 

[x ^ {2} +16 x + 64 = (x + 8) ^ {2} nonumber ]

 

Es importante que verifique su resultado usando la multiplicación. Entonces, siguiendo el algoritmo de tres pasos para cuadrar un binomio:

 
         
  1. Cuadrado x para obtener (x ^ 2 ).
  2.      
  3. Multiplica xy 8 para obtener 8x, luego multiplica este resultado por 2 para obtener 16x.
  4.      
  5. Cuadrado 8 para obtener 64.
  6.  
 

Por lo tanto, (x ^ 2 + 16x + 64 ) es un trinomio cuadrado perfecto y factores como ((x + 8) ^ 2 ).

 

Como otro ejemplo, considere (x ^ 2 – 10x + 25 ). Las raíces cuadradas del primer y último término son x y 5, respectivamente. Por lo tanto, tiene sentido intentarlo

 

[x ^ {2} -10 x + 25 = (x-5) ^ {2} nonumber ]

 

Nuevamente, debe verificar este resultado. Tenga en cuenta especialmente que dos veces el producto de x y −5 es igual al término medio de la izquierda, a saber, −10x.

 

Completando la plaza

 

Si se da una función cuadrática en forma de vértice, es simple esbozar la parábola representada por la ecuación. Por ejemplo, considere la función cuadrática

 

[f (x) = (x + 2) ^ {2} +3 ]

 

que está en forma de vértice. La gráfica de esta ecuación es una parábola que se abre hacia arriba. Se traduce 2 unidades a la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Esta es la ventaja de la forma de vértice. Las transformaciones requeridas para dibujar el gráfico de la función son fáciles de detectar cuando la ecuación se escribe en forma de vértice.

 

Es simple transformar la ecuación (f (x) = (x + 2) ^ 2 + 3 ) en la forma general de una función cuadrática, (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ). Simplemente usamos el algoritmo de tres pasos para cuadrar el binomio; entonces combinamos términos similares.

 

[ begin {array} {l} {f (x) = (x + 2) ^ {2} +3} \ {f (x) = x ^ {2} +4 x + 4 + 3} \ {f (x) = x ^ {2} +4 x + 7} end {array} ]

 

Sin embargo, tenga en cuenta que el resultado de esta manipulación, (f (x) = x ^ 2 + 4x + 7 ), no es tan útil como la forma de vértice, ya que es difícil identificar las transformaciones necesarias para dibujar el parábola representada por la ecuación (f (x) = x ^ 2 + 4x + 7 ).

 

Es realmente lo contrario de la manipulación anterior que se necesita. Si se nos presenta una ecuación en la forma (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ), como (f (x) = x ^ 2 + 4x + 7 ), entonces un método algebraico es necesario para convertir esta ecuación en forma de vértice (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ); o en este caso, volver a su forma original de vértice (f (x) = (x + 2) ^ 2 + 3 ).

 

El procedimiento que buscamos se llama completar el cuadrado. El nombre se deriva del hecho de que necesitamos “completar” el trinomio en el lado derecho de (y = x ^ 2 + 4x + 7 ) para que se convierta en un trinomio cuadrado perfecto.

 
 

Algoritmo para completar el cuadrado

 

El procedimiento para completar el cuadrado implica tres pasos clave.

 
         
  1. Tome la mitad del coeficiente de x y cuadre el resultado.
  2.      
  3. Suma y resta la cantidad del paso uno para que el lado derecho de la ecuación no cambie.
  4.      
  5. Factoriza el trinomio cuadrado perfecto resultante y combina términos constantes.
  6.  
 
 

Sigamos este procedimiento y coloquemos (f (x) = x ^ 2 + 4x + 7 ) en forma de vértice.

 
         
  1. Tome la mitad del coeficiente de x. Por lo tanto, (1/2) (4) = 2. Al cuadrado este resultado. Por lo tanto, (2 ^ 2 = 4 ).
  2.      
  3. Suma y resta 4 en el lado derecho de la ecuación (f (x) = x ^ 2 + 4x + 7 ) [f (x) = x ^ {2} +4 x + 4-4 + 7 ]
  4.      
  5. Agrupe los primeros tres términos en el lado derecho. Estos forman un trinomio cuadrado perfecto.
  6.  
 

[f (x) = left (x ^ {2} +4 x + 4 right) -4 + 7 nonumber ]

 

Ahora factoriza el trinomio cuadrado perfecto y combina las constantes al final para obtener

 

[f (x) = (x + 2) ^ {2} +3 nonumber ]

 

¡Eso es, hemos terminado! Hemos devuelto la cuadrática general (f (x) = x ^ 2 + 4x + 7 ) a la forma de vértice (f (x) = (x + 2) ^ 2 + 3 ).

 

Probemos eso una vez más.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Coloque la función cuadrática (f (x) = x ^ 2 – 8x – 9 ) en forma de vértice.

 

Solución

 

Seguimos el algoritmo de tres pasos para completar el cuadrado.

 
         
  1. Tome la mitad del coeficiente de xy cuadrado: es decir, [[(1/2) (- 8)] ^ {2} = [- 4] ^ {2} = 16 nonumber ]
  2.      
  3. Suma y resta esta cantidad al lado derecho de la función. [f (x) = x ^ {2} -8 x + 16-16-9 nonumber ]
  4.      
  5. Agrupe los primeros tres términos en el lado derecho. Estos forman un trinomio cuadrado perfecto. [f (x) = left (x ^ {2} -8 x + 16 right) -16-9 nonumber ]
  6.  
 

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto y combina los coeficientes al final.

 

[f (x) = (x-4) ^ {2} -25 nonumber ]

 
 

Ahora, veamos cómo podemos usar la técnica de completar el cuadrado para ayudar a dibujar los gráficos de funciones cuadráticas generales.

 

Trabajando con (f (x) = x ^ 2 + bx + c )

 

Los ejemplos en esta sección tendrán la forma (f (x) = x ^ 2 + bx + c ). Tenga en cuenta que el coeficiente de (x ^ 2 ) es 1. En la siguiente sección, trabajaremos con una forma más difícil, (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ), donde (a neq 1 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Completa el cuadrado para colocar (f (x) = x ^ 2 + 6x + 2 ) en forma de vértice y dibuja su gráfica.

 

Solución

 

Primero, toma la mitad del coeficiente de xy cuadrado; es decir, ([(1/2) (6)] ^ 2 = 9 ). En el lado derecho de la ecuación, suma y resta esta cantidad para no cambiar la ecuación.

 

[f (x) = x ^ {2} +6 x + 9-9 + 2 nonumber ]

 

Agrupe los primeros tres términos en el lado derecho.

 

[f (x) = left (x ^ {2} +6 x + 9 right) -9 + 2 nonumber ]

 

Los primeros tres términos en el lado derecho forman un trinomio cuadrado perfecto que se puede factorizar fácilmente. Además, combine las constantes al final.

 

[f (x) = (x + 3) ^ {2} -7 nonumber ]

 

Esta es una parábola que se abre hacia arriba. Necesitamos mover la parábola 3 unidades hacia la izquierda y luego 7 unidades hacia abajo, colocando el vértice en (−3, −7) como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (a). El eje de simetría es la línea vertical x = −3. La tabla en la Figura ( PageIndex {1} ) (b) calcula dos puntos a la derecha del eje de simetría, y los puntos espejo a la izquierda del eje de simetría hacen una gráfica precisa de la parábola.

 
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Figura ( PageIndex {1} ). Trazar la gráfica de la función cuadrática (f (x) = (x + 3) ^ 2 – 7 ).
 
 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Completa el cuadrado para colocar (f (x) = x ^ 2 – 8x + 21 ) en forma de vértice y dibuja su gráfica.

 

Solución

 

Primero, toma la mitad del coeficiente de xy cuadrado; es decir, ([(1/2) (- 8)] ^ 2 = 16 ). En el lado derecho de la ecuación, suma y resta esta cantidad para no cambiar la ecuación.

 

[f (x) = x ^ {2} -8 x + 16-16 + 21 nonumber ]

 

Agrupe los primeros tres términos en el lado derecho de la ecuación.

 

[f (x) = left (x ^ {2} -8 x + 16 right) -16 + 21 nonumber ]

 

Los primeros tres términos forman un trinomio cuadrado perfecto que se puede factorizar fácilmente. Además, combine constantes al final.

 

[f (x) = (x-4) ^ {2} +5 nonumber ]

 

Esta es una parábola que se abre hacia arriba. Necesitamos mover la parábola 4 unidades hacia la derecha y luego 5 unidades hacia arriba, colocando el vértice en (4, 5), como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (a). La tabla en la Figura ( PageIndex {2} ) (b) calcula dos puntos a la derecha del eje de simetría, y los puntos espejo a la izquierda del eje de simetría hacen una gráfica precisa de la parábola.

 
WeChat88cab81527981fcea2cabeace4b1d35a.png  
Figura ( PageIndex {2} ). Trazar la gráfica de la función cuadrática (f (x) = (x – 4) ^ 2 + 5 ).
 
 
 

Trabajando con (f (x) = ax ^ 2 + bx + c )

 

En los últimos dos ejemplos, el coeficiente de (x ^ 2 ) fue 1. En esta sección, aprenderemos cómo completar el cuadrado cuando el coeficiente de (x ^ 2 ) es un número distinto de 1.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Completa el cuadrado para colocar (f (x) = 2 x ^ {2} +4 x-4 ) en forma de vértice y dibuja su gráfica.

 

Solución

 

En los últimos dos ejemplos, obtuvimos alguna medida de éxito cuando el coeficiente de (x ^ 2 ) era 1. Nos estábamos sintiendo cómodos con esa situación y nos gustaría seguir sintiéndonos cómodos, así que Comencemos factorizando un 2 de cada término en el lado derecho de la ecuación.

 

[f (x) = 2 left [x ^ {2} +2 x-2 right] nonumber ]

 

Si ignoramos el factor 2 al frente, el coeficiente de (x ^ 2 ) en la expresión trinomial dentro de los paréntesis es un 1. ¡Ah, terreno familiar! Continuaremos como lo hicimos antes, pero llevaremos el factor 2 fuera de los paréntesis en cada paso. Comience tomando la mitad del coeficiente de x y cuadrando el resultado; es decir, ([(1/2) (2)] ^ 2 = 1 ).

 

Suma y resta esta cantidad dentro de los paréntesis para no cambiar la ecuación.

 

[f (x) = 2 left [x ^ {2} +2 x + 1-1-2 right] nonumber ]

 

Agrupe los primeros tres términos dentro del paréntesis y combine constantes.

 

[f (x) = 2 left [ left (x ^ {2} +2 x + 1 right) -3 right] nonumber ]

 

Los términos agrupados dentro de los paréntesis forman un trinomio cuadrado perfecto que se puede factorizar fácilmente.

 

[f (x) = 2 left [(x + 1) ^ {2} -3 right] nonumber ]

 

Finalmente, redistribuya el 2.

 

[f (x) = 2 (x + 1) ^ {2} -6 nonumber ]

 

Esta es una parábola que se abre hacia arriba. Además, se estira en un factor de 2, por lo que será algo más estrecho que nuestros ejemplos anteriores. La parábola también se desplaza 1 unidad hacia la izquierda, luego 6 unidades hacia abajo, colocando el vértice en (−1, −6), como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (a). La tabla en la Figura ( PageIndex {3} ) (b) calcula dos puntos a la derecha del eje de simetría, y los puntos espejo a la izquierda del eje de simetría hacen una gráfica precisa de la parábola.

 
WeChatb70823865226c0f99b457db7eace215e.png  
Figura ( PageIndex {3} ). Trazar la gráfica de la función cuadrática (f (x) = 2x ^ 2 + 4x – 4 ).
 
 
 

Veamos un ejemplo donde el coeficiente de (x ^ 2 ) es negativo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Completa el cuadrado para colocar (f (x) = −x ^ 2 + 6x – 2 ) en forma de vértice y dibuja su gráfica.

 

Solución

 

En el último ejemplo, factorizamos el coeficiente de (x ^ 2 ). Esto nos dejó con un trinomio con un coeficiente principal 1, lo que nos permitió proceder de la misma manera que lo hicimos antes: reducir a la mitad el coeficiente medio y el cuadrado, sumar y restar esta cantidad, factorizar el trinomio cuadrado perfecto resultante. Como tuvimos éxito con esta técnica en el último ejemplo, comencemos nuevamente factorizando el coeficiente principal, en este caso un -1.

 

[f (x) = – 1 left [x ^ {2} -6 x + 2 right] nonumber ]

 

Si ignoramos el factor de −1 al frente, el coeficiente de (x ^ 2 ) en la expresión trinomial dentro de los paréntesis es un 1. ¡Nuevamente, terreno familiar! Vamos a proceder como lo hicimos antes, pero llevaremos el factor de -1 fuera de los paréntesis en cada paso. Comience tomando la mitad del coeficiente de x y cuadrando el resultado; es decir, ([(1/2) (- 6)] ^ 2 = 9 ).

 

Suma y resta esta cantidad dentro de los paréntesis para no cambiar la ecuación.

 

[f (x) = – 1 left [x ^ {2} -6 x + 9-9 + 2 right] nonumber ]

 

Agrupe los primeros tres términos dentro del paréntesis y combine constantes.

 

[f (x) = – 1 left [ left (x ^ {2} -6 x + 9 right) -7 right] nonumber ]

 

Los términos agrupados dentro de los paréntesis forman un trinomio cuadrado perfecto que se puede factorizar fácilmente.

 

[f (x) = – 1 left [(x-3) ^ {2} -7 right] nonumber ]

 

Finalmente, redistribuya el −1.

 

[f (x) = – (x-3) ^ {2} +7 nonumber ]

 

Esta es una parábola que se abre hacia abajo. La parábola también se desplaza 3 unidades hacia la derecha, luego 7 unidades hacia arriba, colocando el vértice en (3, 7), como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (a). La tabla en la Figura ( PageIndex {4} ) (b) calcula dos puntos a la derecha del eje de simetría, y los puntos espejo a la izquierda del eje de simetría hacen una gráfica precisa de la parábola.

 
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Figura ( PageIndex {4} ). Trazar la gráfica de la función cuadrática (f (x) = – (x – 3) ^ 2 + 7 ).
 
 
 

Probemos con un ejemplo más.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Completa el cuadrado para colocar (f (x) = 3x ^ 2 + 4x – 8 ) en forma de vértice y dibuja su gráfica.

 

Solución

 

Comencemos nuevamente factorizando el coeficiente principal, en este caso un 3.

 

[f (x) = 3 left [x ^ {2} + frac {4} {3} x- frac {8} {3} right] nonumber ]

 

Las fracciones agregan un grado de dificultad, pero si sigues la misma rutina que en los ejemplos anteriores, deberías poder obtener el resultado necesario. Tome la mitad del coeficiente de x y cuadre el resultado; es decir, ([(1/2) (4/3)] ^ 2 = [2/3] ^ 2 = 4/9 ).

 

Suma y resta esta cantidad dentro de los paréntesis para no cambiar la ecuación.

 

[f (x) = 3 left [x ^ {2} + frac {4} {3} x + frac {4} {9} – frac {4} {9} – frac { 8} {3} right] nonumber ]

 

Agrupe los primeros tres términos entre paréntesis. Necesitarás un denominador común para combinar constantes.

 

[f (x) = 3 left [ left (x ^ {2} + frac {4} {3} x + frac {4} {9} right) – frac {4} { 9} – frac {24} {9} right] nonumber ]

 

Los términos agrupados dentro de los paréntesis forman un trinomio cuadrado perfecto que se puede factorizar fácilmente.

 

[f (x) = 3 left [ left (x + frac {2} {3} right) ^ {2} – frac {28} {9} right] nonumber ] [ 19459003]  

Finalmente, redistribuya el 3.

 

[f (x) = 3 left (x + frac {2} {3} right) ^ {2} – frac {28} {3} nonumber ]

 

Esta es una parábola que se abre hacia arriba. También se estira por un factor de 3, por lo que será más estrecho que todos nuestros ejemplos anteriores. La parábola también se desplaza 2/3 unidades hacia la izquierda, luego 28/3 unidades hacia abajo, colocando el vértice en (−2/3, −28/3), como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) ( una). La tabla en la Figura ( PageIndex {5} ) (b) calcula dos puntos a la derecha del eje de simetría, y los puntos de espejo a la izquierda del eje de simetría hacen una gráfica precisa de la parábola.

 
 
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Figura ( PageIndex {5} ). Trazar la gráfica de la función cuadrática (f (x) = 3 (x + 2/3) ^ 2 – 28/3 ).
 
 

 

Ejercicio

 

En Ejercicios 1 8 , expanda el binomio.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {1} )

 

((x + frac {4} {5}) ^ 2 )

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ 2 + frac {8} {5} x + frac {16} {25} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {2} )

 

((x− frac {4} {5}) ^ 2 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {3} )

 

((x + 3) ^ 2 )

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ 2 + 6x + 9 )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {4} )

 

((x + 5) ^ 2 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {5} )

 

((x − 7) ^ 2 )

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ 2−14x + 49 )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {6} )

 

((x− frac {2} {5}) ^ 2 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {7} )

 

((x − 6) ^ 2 )

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ 2−12x + 36 )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {8} )

 

((x− frac {5} {2}) ^ 2 )

 
 

En Ejercicios 9 16 , factoriza el trinomio cuadrado perfecto.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {9} )

 

(x ^ 2− frac {6} {5} x + frac {9} {25} )

 
     
Respuesta
     
     

((x− frac {3} {5}) ^ 2 )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {10} )

 

(x ^ 2 + 5x + frac {25} {4} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {11} )

 

(x ^ 2−12x + 36 )

 
     
Respuesta
     
     

((x − 6) ^ 2 )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {12} )

 

(x ^ 2 + 3x + frac {9} {4} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {13} )

 

(x ^ 2 + 12x + 36 )

 
     
Respuesta
     
     

((x + 6) ^ 2 )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {14} )

 

(x ^ 2− frac {3} {2} x + frac {9} {16} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {15} )

 

(x ^ 2 + 18x + 81 )

 
     
Respuesta
     
     

((x + 9) ^ 2 )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {16} )

 

(x ^ 2 + 10x + 25 )

 
 

En Ejercicios 17 24 , transforma la función cuadrática dada en forma de vértice (f (x) = (x − h) ^ 2 + k ) completando el cuadrado.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {17} )

 

(f (x) = x ^ 2 − x + 8 )

 
     
Respuesta
     
     

((x− frac {1} {2}) ^ 2+ frac {31} {4} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {18} )

 

(f (x) = x ^ 2 + x − 7 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {19} )

 

(f (x) = x ^ 2−5x − 4 )

 
     
Respuesta
     
     

((x− frac {5} {2}) ^ 2− frac {41} {4} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {20} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 7x − 1 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {21} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 2x − 6 )

 
     
Respuesta
     
     

((x + 1) ^ 2−7 )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {22} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 4x + 8 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {23} )

 

(f (x) = x ^ 2−9x + 3 )

 
     
Respuesta
     
     

((x− frac {9} {2}) – frac {69} {4} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {24} )

 

(f (x) = x ^ 2−7x + 8 )

 
 

En Ejercicios 25 32 , transforma la función cuadrática dada en forma de vértice (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ) completando la plaza.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {25} )

 

(f (x) = −2x ^ 2−9x − 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(- 2 (x + frac {9} {4}) ^ 2+ frac {57} {8} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {26} )

 

(f (x) = −4x ^ 2−6x + 1 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {27} )

 

(f (x) = 5x ^ 2 + 5x + 5 )

 
     
Respuesta
     
     

(5 (x + frac {1} {2}) ^ 2+ frac {15} {4} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {28} )

 

(f (x) = 3x ^ 2−4x − 6 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {29} )

 

(f (x) = 5x ^ 2 + 7x − 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(5 (x + frac {7} {10}) ^ 2− frac {109} {20} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {30} )

 

(f (x) = 5x ^ 2 + 6x + 4 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {31} )

 

(f (x) = −x ^ 2 − x + 4 )

 
     
Respuesta
     
     

(- 1 (x + frac {1} {2}) ^ 2+ frac {17} {4} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {32} )

 

(f (x) = −3x ^ 2−6x + 4 )

 
 

En Ejercicios 33 38 , encuentre el vértice de la gráfica de la función cuadrática dada.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {33} )

 

(f (x) = −2x ^ 2 + 5x + 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(( frac {5} {4}, frac {49} {8}) )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {34} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 5x + 8 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {35} )

 

(f (x) = −4x ^ 2−4x + 1 )

 
     
Respuesta
     
     

((- frac {1} {2}, 2) )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {36} )

 

(f (x) = 5x ^ 2 + 7x + 8 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {37} )

 

(f (x) = 4x ^ 2 + 2x + 8 )

 
     
Respuesta
     
     

((- frac {1} {4}, frac {31} {4}) )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {38} )

 

(f (x) = x ^ 2 + x − 7 )

 
 

En Ejercicios 39 44 , encuentre el eje de simetría de la gráfica de la función cuadrática dada.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {39} )

 

(f (x) = −5x ^ 2−7x − 8 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = – frac {7} {10} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {40} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 6x + 3 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {41} )

 

(f (x) = −2x ^ 2−5x − 8 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = – frac {5} {4} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {42} )

 

(f (x) = −x ^ 2−6x + 2 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {43} )

 

(f (x) = −5x ^ 2 + x + 6 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = frac {1} {10} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {44} )

 

(f (x) = x ^ 2−9x − 6 )

 
 

Para cada una de las funciones cuadráticas en Ejercicios 45 66 , realice cada una de las siguientes tareas.

 
         
  1.      

    Usa la técnica de completar el cuadrado para colocar la función cuadrática dada en forma de vértice.

         
  2.      
  3.      

    Configure un sistema de coordenadas en una hoja de papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje.

         
  4.      
  5.      

    Dibuje el eje de simetría y etiquételo con su ecuación. Trace el vértice y etiquételo con sus coordenadas.

         
  6.      
  7.      

    Configura una tabla cerca de tu sistema de coordenadas que calcule las coordenadas de dos puntos a cada lado del eje de simetría. Trace estos puntos y sus imágenes especulares a través del eje de simetría. Dibuja la parábola y etiquétala con su ecuación

         
  8.      
  9.      

    Usa la gráfica de la parábola para determinar el dominio y el rango de la función cuadrática. Describa el dominio y el rango usando la notación de intervalo.

         
  10.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {45} )

 

(f (x) = x ^ 2−8x + 12 )

 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = (x − 4) ^ 2−4 )

     

Screen Shot 2019-09-05 at 3.30.31 PM.png

     

Dominio = ( mathbb {R} ), Rango = [−4, ( infty ))

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {46} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 4x − 1 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {47} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 6x + 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = (x + 3) ^ 2−6 )

     

Screen Shot 2019-09-05 at 3.32.36 PM.png

     

Dominio = ( mathbb {R} ), Rango = [−6, ( infty ))

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {48} )

 

(f (x) = x ^ 2−4x + 1 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {49} )

 

(f (x) = x ^ 2−2x − 6 )

 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = (x − 1) ^ 2−7 )

     

Screen Shot 2019-09-05 at 3.48.28 PM.png

     

Dominio = ( mathbb {R} ), Rango = [−7, ( infty ))

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {50} )

 

(f (x) = x ^ 2 + 10x + 23 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {51} )

 

(f (x) = −x ^ 2 + 6x − 4 )

 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = – (x − 3) ^ 2 + 5 )

     

Screen Shot 2019-09-05 at 3.47.56 PM.png

     

Dominio = ( mathbb {R} ), Rango = (- ( infty ), 5]

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {52} )

 

(f (x) = −x ^ 2−6x − 3 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {53} )

 

(f (x) = −x ^ 2−10x − 21 )

 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = – (x + 5) ^ 2 + 4 )

     

Screen Shot 2019-09-05 at 3.47.24 PM.png

     

Dominio = ( mathbb {R} ), Rango = (- ( infty ), 4]

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {54} )

 

(f (x) = −x ^ 2 + 12x − 33 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {55} )

 

(f (x) = 2x ^ 2−8x + 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = 2 (x − 2) ^ 2−5 )

     

Screen Shot 2019-09-05 at 3.46.56 PM.png

     

Dominio = ( mathbb {R} ), Rango = [−5, ( infty ))

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {56} )

 

(f (x) = 2x ^ 2 + 8x + 4 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {57} )

 

(f (x) = −2x ^ 2−12x − 13 )

 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = −2 (x + 3) ^ 2 + 5 )

     

Screen Shot 2019-09-05 at 3.46.13 PM.png

     

Dominio = ( mathbb {R} ), Rango = (- ( infty ), 5]

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {58} )

 

(f (x) = −2x ^ 2 + 24x − 70 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {59} )

 

(f (x) = frac {1} {2} x ^ 2−4x + 5 )

 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = frac {1} {2} (x − 4) ^ 2−3 )

     

Screen Shot 2019-09-05 at 3.45.45 PM.png

     

Dominio = ( mathbb {R} ), Rango = [−3, ( infty ))

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {60} )

 

(f (x) = frac {1} {2} x ^ 2 + 4x + 6 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {61} )

 

(f (x) = – frac {1} {2} x ^ 2−3x + frac {1} {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = – frac {1} {2} (x + 3) ^ 2 + 5 )

     

Screen Shot 2019-09-05 at 3.45.17 PM.png

     

Dominio = ( mathbb {R} ), Rango = (- ( infty ), 5]

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{62})

 

(f(x) = −frac{1}{2}x^2+4x−2)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{63})

 

(f(x) = 2x^2+7x−2)

 
     
Answer
     
     

(f(x) = 2(x+frac{7}{4})^2− frac{65}{8})

     

Screen Shot 2019-09-05 at 3.44.51 PM.png

     

Domain = (mathbb{R}), Range = [(−frac{65}{8}), (infty))

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{64})

 

(f(x) = −2x^2−5x−4)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{65})

 

(f(x) = −3x^2+8x−3)

 
     
Answer
     
     

(f(x) = −3(x−frac{4}{3})^2+frac{7}{3})

     

Screen Shot 2019-09-05 at 3.43.51 PM.png

     

Domain = (mathbb{R}), Range = (−(infty), (frac{7}{3})]

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{66})

 

(f(x) = 3x^2+4x−6)

 
 

In  Exercises 67 72 , find the range of the given quadratic function. Express your answer in both interval and set notation.

 
 

EXERCISE (PageIndex{67})

 

(f(x) = −2x^2+4x+3)

 
     
Answer
     
     

((−infty), 5] = {x|(x le 5)}

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{68})

 

(f(x) = x^2+4x+8)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{69})

 

(f(x) = 5x^2+4x+4)

 
     
Answer
     
     

[(frac{16}{5}), (infty)) = {x| (x ge 5)}

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{70})

 

(f(x) = 3x^2−8x+3)

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{71})

 

(f(x) = −x^2−2x−7)

 
     
Answer
     
     

((−infty),−6] = {x|(x le −6)}

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{72})

 

(f(x) = x^2+x+9)

 
 

Drill for Skill. In  Exercises 73 76 , evaluate the function at the given value b.

 
 

EXERCISE (PageIndex{73})

 

(f(x) = 9x^2−9x+4); b = −6

 
     
Answer
     
     

382

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{74})

 

(f(x) = −12x^2+5x+2); b = −3

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{75})

 

(f(x) = 4x^2−6x−4); b = 11

 
     
Answer
     
     

414

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{76})

 

(f(x) = −2x^2−11x−10); b = −12

 
 

Drill for Skill. In  Exercises 77 80 , evaluate the function at the given expression.

 
 

EXERCISE (PageIndex{77})

 

Evaluate f(x+4) if (f(x) = −5x^2+4x+2).

 
     
Answer
     
     

(−5x^2−36x−62)

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{78})

 

Evaluate f(−4x−5) if (f(x) = 4x^2+x+1).

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{79})

 

Evaluate f(4x−1) if (f(x) = 4x^2+3x−3).

 
     
Answer
     
     

(64x^2−20x−2)

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{80})

 

Evaluate f(−5x−3) if (f(x) = −4x^2+x+4).

 
 

 

 
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