Las antenas curvas, como las que se muestran en la Figura ( PageIndex {1} ), se usan comúnmente para enfocar microondas y ondas de radio para transmitir señales de televisión y teléfono, así como la comunicación por satélite y nave espacial. La sección transversal de la antena tiene la forma de una parábola, que puede describirse mediante una función cuadrática.
Figura ( PageIndex {1} ): Una matriz de antenas parabólicas. (crédito: Matthew Colvin de Valle, Flickr)
En esta sección, investigaremos las funciones cuadráticas, que frecuentemente modelan problemas relacionados con el área y el movimiento de proyectiles. Trabajar con funciones cuadráticas puede ser menos complejo que trabajar con funciones de mayor grado, por lo que proporcionan una buena oportunidad para un estudio detallado del comportamiento de la función.
Reconociendo las características de las parábolas
La gráfica de una función cuadrática es una curva en forma de U llamada parábola. Una característica importante del gráfico es que tiene un punto extremo, llamado vértice . Si se abre la parábola, el vértice representa el punto más bajo en el gráfico, o el valor mínimo de la función cuadrática. Si la parábola se abre hacia abajo, el vértice representa el punto más alto en el gráfico, o el valor máximo . En cualquier caso, el vértice es un punto de inflexión en el gráfico. El gráfico también es simétrico con una línea vertical dibujada a través del vértice, llamada eje de simetría . Estas características se ilustran en la Figura ( PageIndex {2} ).
La intersección en y es el punto en el que la parábola cruza el eje (y ). Las intersecciones en x son los puntos en los que la parábola cruza el eje (x ). Si existen, las intersecciones en x representan los ceros , o raíces , de la función cuadrática, los valores de (x ) en los que (y = 0 ).
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Identificación de las características de una parábola
Determine el vértice, el eje de simetría, los ceros y la intersección con el eje y de la parábola que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).
Solución
El vértice es el punto de inflexión del gráfico. Podemos ver que el vértice está en ((3,1) ). Debido a que esta parábola se abre hacia arriba, el eje de simetría es la línea vertical que interseca la parábola en el vértice. Entonces el eje de simetría es (x = 3 ). Esta parábola no cruza el eje x, por lo que no tiene ceros. Cruza el eje (y ) – en ((0,7) ) así que esta es la intersección en y.
La forma general de una función cuadrática presenta la función en la forma
[f (x) = ax ^ 2 + bx + c ]
donde (a ), (b ) y (c ) son números reales y (a { neq} 0 ). Si (a> 0 ), la parábola se abre hacia arriba. Si (a <0 ), la parábola se abre hacia abajo. Podemos usar la forma general de una parábola para encontrar la ecuación para el eje de simetría.
El eje de simetría está definido por (x = – frac {b} {2a} ). Si usamos la fórmula cuadrática, (x = frac {−b { pm} sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ), para resolver (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) para las intersecciones en x, o ceros, encontramos que el valor de (x ) a medio camino entre ellas es siempre (x = – frac {b} {2a} ), la ecuación para el eje de simetría.
La figura ( PageIndex {4} ) representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma general como (y = x ^ 2 + 4x + 3 ). De esta forma, (a = 1 ), (b = 4 ) y (c = 3 ). Porque (a> 0 ), la parábola se abre hacia arriba. El eje de simetría es (x = – frac {4} {2 (1)} = – 2 ). Esto también tiene sentido porque podemos ver en el gráfico que la línea vertical (x = −2 ) divide el gráfico por la mitad. El vértice siempre ocurre a lo largo del eje de simetría. Para una parábola que se abre hacia arriba, el vértice se produce en el punto más bajo del gráfico, en este caso, ((- 2, −1) ). Las intersecciones en x, aquellos puntos donde la parábola cruza el eje x, ocurren en ((- 3,0) ) y ((- 1,0) ).
La forma estándar de una función cuadrática presenta la función en la forma
[f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ]
donde ((h, k) ) es el vértice. Debido a que el vértice aparece en la forma estándar de la función cuadrática, esta forma también se conoce como la forma de vértice de una función cuadrática .
Al igual que con la forma general, si (a> 0 ), la parábola se abre hacia arriba y el vértice es mínimo. Si (a <0 ), la parábola se abre hacia abajo y el vértice es un máximo. La figura ( PageIndex {5} ) representa la gráfica de la función cuadrática escrita en forma estándar como (y = −3 (x + 2) ^ 2 + 4 ). Como (x – h = x + 2 ) en este ejemplo, (h = –2 ). En esta forma, (a = −3 ), (h = −2 ) y (k = 4 ). Porque (a <0 ), la parábola se abre hacia abajo. El vértice está en ((- 2, 4) ).
La forma estándar es útil para determinar cómo se transforma la gráfica de la gráfica de (y = x ^ 2 ). La figura ( PageIndex {6} ) es el gráfico de esta función básica.
Si (k> 0 ), el gráfico se desplaza hacia arriba, mientras que si (k <0 ), el gráfico se desplaza hacia abajo. En la Figura ( PageIndex {5} ), (k> 0 ), entonces el gráfico se desplaza 4 unidades hacia arriba. Si (h> 0 ), el gráfico se desplaza hacia la derecha y si (h <0 ), el gráfico se desplaza hacia la izquierda. En la Figura ( PageIndex {5} ), (h <0 ), entonces el gráfico se desplaza 2 unidades hacia la izquierda. La magnitud de (a ) indica el estiramiento de la gráfica. Si (| a |> 1 ), el punto asociado con un valor x particular se desplaza más lejos del eje x, por lo que el gráfico parece ser más estrecho y hay un estiramiento vertical. Pero si (| a | <1 ), el punto asociado con un valor x particular se desplaza más cerca del eje x, por lo que el gráfico parece hacerse más ancho, pero de hecho hay una compresión vertical. En la Figura ( PageIndex {5} ), (| a |> 1 ), entonces el gráfico se vuelve más angosto.
La forma estándar y la forma general son métodos equivalentes para describir la misma función. Podemos ver esto expandiendo el formulario general y configurándolo igual al formulario estándar.
[ begin {align *} a (x − h) ^ 2 + k & = ax ^ 2 + bx + c \ [4pt] ax ^ 2−2ahx + (ah ^ 2 + k) & = ax ^ 2 + bx + c end {align *} ]
Para que los términos lineales sean iguales, los coeficientes deben ser iguales.
[- 2ah = b text {, entonces} h = – dfrac {b} {2a}. nonumber ]
Este es el eje de simetría que definimos anteriormente. Establecer los términos constantes igual:
[ begin {align *} ah ^ 2 + k & = c \ k & = c − ah ^ 2 \ & = c − a− Big ( dfrac {b} {2a} Big) ^ 2 \ & = c− dfrac {b ^ 2} {4a} end {align *} ]
Sin embargo, en la práctica, generalmente es más fácil recordar que (k ) es el valor de salida de la función cuando la entrada es (h ), entonces (f (h) = k ).
Definiciones: Formas de funciones cuadráticas
Una función cuadrática es una función de grado dos. El gráfico de una función cuadrática es una parábola.
- La forma general de una función cuadrática es (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ) donde (a ), (b ) y (c ) son números reales y (a { neq} 0 ).
- La forma estándar de una función cuadrática es (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ).
- El vértice ((h, k) ) se encuentra en [h = – dfrac {b} {2a}, ; k = f (h) = f ( dfrac {−b} {2a }). ]
CÓMO: ESCRIBIR una función cuadrática en forma general
Dada una gráfica de una función cuadrática, escribe la ecuación de la función en forma general.
- Identifica el desplazamiento horizontal de la parábola; este valor es (h ). Identificar el desplazamiento vertical de la parábola; este valor es (k ).
- Sustituya los valores del desplazamiento horizontal y vertical por (h ) y (k ). en la función (f (x) = a (x – h) ^ 2 + k ).
- Sustituya los valores de cualquier punto, que no sea el vértice, en la gráfica de la parábola para (x ) y (f (x) ).
- Resuelva para el factor de estiramiento, (| a | ).
- Si se abre la parábola, (a> 0 ). Si la parábola se abre hacia abajo, (a <0 ) ya que esto significa que el gráfico se reflejó sobre el eje x.
- Expandir y simplificar para escribir en forma general.
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Escribir la ecuación de una función cuadrática desde el gráfico
Escriba una ecuación para la función cuadrática (g ) en la Figura ( PageIndex {7} ) como una transformación de (f (x) = x ^ 2 ), y luego expanda la fórmula, y Simplifique los términos para escribir la ecuación en forma general.
Solución
Podemos ver que la gráfica de (g ) es la gráfica de (f (x) = x ^ 2 ) desplazada hacia la izquierda 2 y hacia abajo 3, dando una fórmula en la forma (g (x ) = a (x + 2) ^ 2–3 ).
Sustituyendo las coordenadas de un punto en la curva, como ((0, −1) ), podemos resolver el factor de estiramiento.
[ begin {align} −1 & = a (0 + 2) ^ 2−3 \ 2 & = 4a \ a & = dfrac {1} {2} end {align} ]
En forma estándar, el modelo algebraico para este gráfico es (g (x) = dfrac {1} {2} (x + 2) ^ 2–3 ).
Para escribir esto en forma polinómica general, podemos expandir la fórmula y simplificar los términos.
[ begin {align} g (x) & = dfrac {1} {2} (x + 2) ^ 2−3 \ & = dfrac {1} {2} (x + 2) (x + 2) −3 \ & = dfrac {1} {2} (x ^ 2 + 4x + 4) −3 \ & = dfrac {1} {2} x ^ 2 + 2x + 2− 3 \ & = dfrac {1} {2} x ^ 2 + 2x − 1 end {align} ]
Observe que los desplazamientos horizontales y verticales del gráfico básico de la función cuadrática determinan la ubicación del vértice de la parábola; el vértice no se ve afectado por estiramientos y compresiones.
Análisis
Podemos verificar nuestro trabajo utilizando la función de tabla en una utilidad gráfica. Primero ingrese ( mathrm {Y1 = dfrac {1} {2} (x + 2) ^ 2−3} ). Luego, seleccione ( mathrm {TBLSET} ), luego use ( mathrm {TblStart = –6} ) y ( mathrm {ΔTbl = 2} ), y seleccione ( mathrm {TABLE} ) Ver Tabla ( PageIndex {1} )
| (x ) | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| (y ) | -5 | -1 | -3 | -1 | 5 |
Los pares ordenados en la tabla corresponden a puntos en el gráfico.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Se superpuso una cuadrícula de coordenadas sobre la ruta cuadrática de una pelota de baloncesto en la Figura ( PageIndex {8} ). Encuentra una ecuación para el camino de la pelota. ¿El tirador hace la canasta?
Figura ( PageIndex {8} ): Pare la imagen en movimiento de un niño que arroja una pelota de baloncesto en un aro para mostrar la curva parabólica que hace.
(crédito: modificación del trabajo de Dan Meyer)
- Respuesta
-
La ruta pasa a través del origen y tiene vértice en ((- 4, 7) ), entonces (h (x) = – frac {7} {16} (x + 4) ^ 2 + 7 ). Para realizar el disparo, (h (−7.5) ) tendría que ser aproximadamente 4 pero (h (–7.5) { aprox} 1.64 ); él no lo logra.
Dada una función cuadrática en forma general, encuentre el vértice de la parábola.
- Identificar (a ), (b ) y (c ).
- Encuentra (h ), la coordenada x del vértice, sustituyendo (a ) y (b ) en (h = – frac {b} {2a} ).
- Encuentre (k ), la coordenada y del vértice, evaluando (k = f (h) = f Big (- frac {b} {2a} Big) ).
Ejemplo ( PageIndex {3} ): Encontrar el vértice de una función cuadrática
Encuentre el vértice de la función cuadrática (f (x) = 2x ^ 2–6x + 7 ). Reescribe la cuadrática en forma estándar (forma de vértice).
Solución
La coordenada horizontal del vértice estará en
[ begin {align} h & = – dfrac {b} {2a} \ & = – dfrac {-6} {2 (2)} \ & = dfrac {6} {4} \ & = dfrac {3} {2} end {align} ]
La coordenada vertical del vértice estará en
[ begin {align} k & = f (h) \ & = f Big ( dfrac {3} {2} Big) \ & = 2 Big ( dfrac {3} {2 } Big) ^ 2−6 Big ( dfrac {3} {2} Big) +7 \ & = dfrac {5} {2} end {align} ]
Reescribiendo en forma estándar, el factor de estiramiento será el mismo que (a ) en la cuadrática original.
[f (x) = ax ^ 2 + bx + c \ f (x) = 2x ^ 2−6x + 7 ]
Usando el vértice para determinar los cambios,
[f (x) = 2 Big (x– dfrac {3} {2} Big) ^ 2 + dfrac {5} {2} ]
Análisis
Una razón por la que podemos querer identificar el vértice de la parábola es que este punto nos informará cuál es el valor máximo o mínimo de la función, ((k) ), y dónde ocurre, ((h ) ).
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Dada la ecuación (g (x) = 13 + x ^ 2−6x ), escriba la ecuación en forma general y luego en forma estándar.
- Respuesta
-
(g (x) = x ^ 2−6x + 13 ) en forma general; (g (x) = (x − 3) ^ 2 + 4 ) en forma estándar.
Encontrar el dominio y el rango de una función cuadrática
Cualquier número puede ser el valor de entrada de una función cuadrática. Por lo tanto, el dominio de cualquier función cuadrática es todos los números reales. Debido a que las parábolas tienen un punto máximo o mínimo, el rango está restringido. Como el vértice de una parábola será un máximo o un mínimo, el rango consistirá en todos los valores de y mayores o iguales a la coordenada y en el punto de giro o menores o iguales a la coordenada y en el giro punto, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
Definición: dominio y rango de una función cuadrática
El dominio de cualquier función cuadrática es todos los números reales.
El rango de una función cuadrática escrita en forma general (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ) con un valor positivo (a ) es (f (x) { geq} f (- frac {b} {2a} Big) ), o ([f (- frac {b} {2a}), ∞) ); el rango de una función cuadrática escrita en forma general con un valor negativo a es (f (x) leq f (- frac {b} {2a}) ), o ((- ∞, f (- frac {b} {2a})] ).
El rango de una función cuadrática escrita en forma estándar (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ) con un valor positivo (a ) es (f (x) geq k; ) el rango de una función cuadrática escrita en forma estándar con un valor negativo (a ) es (f (x) leq k ).
Dada una función cuadrática, encuentre el dominio y el rango.
- Identifique el dominio de cualquier función cuadrática como todos los números reales.
- Determine si (a ) es positivo o negativo. Si (a ) es positivo, la parábola tiene un mínimo. Si (a ) es negativo, la parábola tiene un máximo.
- Determine el valor máximo o mínimo de la parábola, (k ).
- Si la parábola tiene un mínimo, el rango viene dado por (f (x) { geq} k ), o ( left [k, infty right) ). Si la parábola tiene un máximo, el rango viene dado por (f (x) { leq} k ), o ( left (- infty, k right] ).
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar el dominio y el rango de una función cuadrática
Encuentre el dominio y el rango de (f (x) = – 5x ^ 2 + 9x − 1 ).
Solución
Como con cualquier función cuadrática, el dominio es todos los números reales.
Como (a ) es negativo, la parábola se abre hacia abajo y tiene un valor máximo. Necesitamos determinar el valor máximo. Podemos comenzar por encontrar el valor x del vértice.
[ begin {align} h & = – dfrac {b} {2a} \ & = – dfrac {9} {2 (-5)} \ & = dfrac {9} {10} end {align} ]
El valor máximo viene dado por (f (h) ).
[ begin {align} f ( dfrac {9} {10}) & = 5 ( dfrac {9} {10}) ^ 2 + 9 ( dfrac {9} {10}) – 1 \ & = dfrac {61} {20} end {align} ]
El rango es (f (x) { leq} frac {61} {20} ), o ( left (- infty, frac {61} {20} right] )
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Encuentre el dominio y el rango de (f (x) = 2 Big (x− frac {4} {7} Big) ^ 2 + frac {8} {11} ).
- Respuesta
-
El dominio es todos los números reales. El rango es (f (x) { geq} frac {8} {11} ), o ( left [ frac {8} {11}, infty right) ).
Determinación de los valores máximos y mínimos de las funciones cuadráticas
La salida de la función cuadrática en el vértice es el valor máximo o mínimo de la función, dependiendo de la orientación de la parábola . Podemos ver los valores máximos y mínimos en la Figura ( PageIndex {9} ).
Hay muchos escenarios del mundo real que implican encontrar el valor máximo o mínimo de una función cuadrática, como aplicaciones que involucran área e ingresos.
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar el valor máximo de una función cuadrática
Un agricultor de patio quiere encerrar un espacio rectangular para un nuevo jardín dentro de su patio cercado. Ella ha comprado 80 pies de cercas de alambre para encerrar tres lados, y usará una sección de la cerca del patio trasero como el cuarto lado.
- Encuentre una fórmula para el área encerrada por la cerca si los lados de la cerca perpendicular a la cerca existente tienen longitud (L ).
- ¿Qué dimensiones debería hacer su jardín para maximizar el área cerrada?
Solución
Usemos un diagrama como la Figura ( PageIndex {10} ) para registrar la información dada. También es útil introducir una variable temporal, (W ), para representar el ancho del jardín y la longitud de la sección de la cerca paralela a la cerca del patio trasero.
a. Sabemos que solo tenemos 80 pies de cerca disponibles, y (L + W + L = 80 ), o más simplemente, (2L + W = 80 ). Esto nos permite representar el ancho, (W ), en términos de (L ).
[W = 80−2L ]
Ahora estamos listos para escribir una ecuación para el área que encierra la cerca. Sabemos que el área de un rectángulo es la longitud multiplicada por el ancho, entonces
[ begin {align} A & = LW = L (80−2L) \ A (L) & = 80L − 2L ^ 2 end {align} ]
Esta fórmula representa el área de la cerca en términos de longitud variable (L ). La función, escrita en forma general, es
[A (L) = – 2L ^ 2 + 80L ].
El cuadrático tiene un coeficiente inicial negativo, por lo que el gráfico se abrirá hacia abajo y el vértice será el valor máximo para el área. Al encontrar el vértice, debemos tener cuidado porque la ecuación no está escrita en forma polinómica estándar con potencias decrecientes. Es por eso que reescribimos la función en la forma general anterior. Dado que (a ) es el coeficiente del término al cuadrado, (a = −2 ), (b = 80 ) y (c = 0 ).
Para encontrar el vértice:
[ begin {align} h & = – dfrac {80} {2 (−2)} & k & = A (20) \ & = 20 & text {and} ; ; ; ; & = 80 (20) −2 (20) ^ 2 \ &&& = 800 end {align} ]
El valor máximo de la función es un área de 800 pies cuadrados, que ocurre cuando (L = 20 ) pies. Cuando los lados más cortos miden 20 pies, quedan 40 pies de cerca para el lado más largo. Para maximizar el área, debe encerrar el jardín de modo que los dos lados más cortos tengan una longitud de 20 pies y el lado más largo paralelo a la cerca existente tenga una longitud de 40 pies.
Análisis
Este problema también podría resolverse graficando la función cuadrática. Podemos ver dónde se produce el área máxima en un gráfico de la función cuadrática en la Figura ( PageIndex {11} ).
Dada una aplicación que involucra ingresos, use una ecuación cuadrática para encontrar el máximo.
- Escribe una ecuación cuadrática para ingresos.
- Encuentra el vértice de la ecuación cuadrática.
- Determine el valor y del vértice.
Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar los ingresos máximos
El precio unitario de un artículo afecta su oferta y demanda. Es decir, si el precio unitario sube, la demanda del artículo generalmente disminuirá. Por ejemplo, un periódico local actualmente tiene 84,000 suscriptores con un cargo trimestral de $ 30. La investigación de mercado ha sugerido que si los propietarios aumentan el precio a $ 32, perderían 5.000 suscriptores. Suponiendo que las suscripciones están relacionadas linealmente con el precio, ¿qué precio debe cobrar el periódico por una suscripción trimestral para maximizar sus ingresos?
Solución
Los ingresos son la cantidad de dinero que aporta una empresa. En este caso, los ingresos se pueden encontrar multiplicando el precio por suscripción por el número de suscriptores, o la cantidad. Podemos introducir variables, (p ) para el precio por suscripción y (Q ) para la cantidad, dándonos la ecuación ( text {Revenue} = pQ ).
Debido a que el número de suscriptores cambia con el precio, necesitamos encontrar una relación entre las variables. Sabemos que actualmente (p = 30 ) y (Q = 84,000 ). También sabemos que si el precio aumenta a $ 32, el periódico perderá 5,000 suscriptores, dando un segundo par de valores, (p = 32 ) y (Q = 79,000 ). De esto podemos encontrar una ecuación lineal que relaciona las dos cantidades. La pendiente será
[ begin {align} m & = dfrac {79,000−84,000} {32−30} \ & = – dfrac {5,000} {2} \ & = – 2,500 end {align} ]
Esto nos dice que el periódico perderá 2,500 suscriptores por cada dólar que aumenten el precio. Entonces podemos resolver la intersección en y.
[ begin {align} Q & = – 2500p + b & text {Sustituya en el punto $ Q = 84,000 $ y $ p = 30 $} \ 84,000 & = – 2500 (30) + b & texto {Resolver por $ b $} \ b & = 159,000 end {align} ]
Esto nos da la ecuación lineal (Q = −2,500p + 159,000 ) que relaciona el costo y los suscriptores. Ahora volvemos a nuestra ecuación de ingresos.
[ begin {align} text {Revenue} & = pQ \ text {Revenue} & = p (−2,500p + 159,000) \ text {Revenue} & = – 2,500p ^ 2 + 159,000p end {align} ]
Ahora tenemos una función cuadrática para ingresos en función del cargo de suscripción. Para encontrar el precio que maximizará los ingresos del periódico, podemos encontrar el vértice.
[ begin {align} h & = – dfrac {159,000} {2 (−2,500)} \ & = 31.8 end {align} ]
El modelo nos dice que los ingresos máximos se producirán si el periódico cobra $ 31.80 por una suscripción. Para encontrar cuál es el ingreso máximo, evaluamos la función de ingresos.
[ begin {align} text {maximas ganancias} & = – 2,500 (31.8) ^ 2 + 159,000 (31.8) \ & = 2,528,100 end {align} ]
Análisis
Esto también podría resolverse graficando la cuadrática como en la Figura ( PageIndex {12} ). Podemos ver los ingresos máximos en un gráfico de la función cuadrática.
Reescritura de cuadráticos en forma estándar
En el ejemplo ( PageIndex {7} ), la cuadrática se resolvió fácilmente mediante factorización. Sin embargo, hay muchas cuadráticas que no se pueden factorizar. Podemos resolver estas cuadráticas reescribiéndolas primero en forma estándar.
Dada una función cuadrática, encuentre las intersecciones x reescribiendo en forma estándar.
- Sustituya a y (b ) en (h = – frac {b} {2a} ).
- Sustituye (x = h ) en la forma general de la función cuadrática para encontrar (k ).
- Reescribe la cuadrática en forma estándar usando (h ) y (k ).
- Resuelve cuándo la salida de la función será cero para encontrar las intersecciones con el eje x.
Ejemplo ( PageIndex {8} ): Encontrar las intersecciones x de una parábola
Encuentre las intersecciones con el eje x de la función cuadrática (f (x) = 2x ^ 2 + 4x − 4 ).
Solución
Comenzamos resolviendo cuándo la salida será cero.
[0 = 2x ^ 2 + 4x − 4 nonumber ]
Debido a que la cuadrática no es fácilmente factorizable en este caso, resolvemos las intersecciones reescribiendo primero la cuadrática en forma estándar.
[f (x) = a (x − h) ^ 2 + k nonumber ]
Sabemos que (a = 2 ). Luego resolvemos para (h ) y (k ).
[ begin {align *} h & = – dfrac {b} {2a} & k & = f (−1) \ & = – dfrac {4} {2 (2)} & & = 2 (−1) ^ 2 + 4 (−1) −4 \ & = – 1 & & = – 6 end {align *} ]
Entonces ahora podemos reescribir en forma estándar.
[f (x) = 2 (x + 1) ^ 2−6 nonumber ]
Ahora podemos resolver cuándo la salida será cero.
[ begin {align *} 0 & = 2 (x + 1) ^ 2−6 \ 6 & = 2 (x + 1) ^ 2 \ 3 & = (x + 1) ^ 2 \ x + 1 & = { pm} sqrt {3} \ x & = – 1 { pm} sqrt {3} end {align *} ]
El gráfico tiene intersecciones en x en ((- 1− sqrt {3}, 0) ) y ((- 1+ sqrt {3}, 0) ).
Análisis
Podemos verificar nuestro trabajo graficando la función dada en una utilidad gráfica y observando las intersecciones con el eje x. Ver Figura ( PageIndex {15} ).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
En Try It ( PageIndex {1} ), encontramos la forma estándar y general de la función (g (x) = 13 + x ^ 2−6x ). Ahora encuentre las intersecciones y- y x (si las hay).
- Respuesta
-
intersección en y en ((0, 13) ), sin intersecciones en x
Ejemplo ( PageIndex {9} ): Resolver una ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática
Resuelve (x ^ 2 + x + 2 = 0 ).
Solución
Comencemos escribiendo la fórmula cuadrática: (x = frac {−b { pm} sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ).
Al aplicar la fórmula cuadrática, identificamos los coeficientes (a ), (b ) y (c ). Para la ecuación (x ^ 2 + x + 2 = 0 ), tenemos (a = 1 ), (b = 1 ) y (c = 2 ). Sustituyendo estos valores en la fórmula tenemos:
[ begin {align *} x & = dfrac {−b { pm} sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} \ & = dfrac {−1 { pm} sqrt {1 ^ 2−4⋅1⋅ (2)}} {2⋅1} \ & = dfrac {−1 { pm} sqrt {1−8}} {2} \ & = dfrac { −1 { pm} sqrt {−7}} {2} \ & = dfrac {−1 { pm} i sqrt {7}} {2} end {align *} ]
Las soluciones a la ecuación son (x = frac {−1 + i sqrt {7}} {2} ) y (x = frac {−1-i sqrt {7}} { 2} ) o (x = – frac {1} {2} + frac {i sqrt {7}} {2} ) y (x = frac {-1} {2} – frac {i sqrt {7}} {2} ).
Ejemplo ( PageIndex {10} ): Aplicación de las intersecciones de vértices y x de una parábola
Se lanza una pelota hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 40 pies de altura a una velocidad de 80 pies por segundo. La altura de la pelota sobre el suelo puede ser modelada por la ecuación (H (t) = – 16t ^ 2 + 80t + 40 ).
¿Cuándo alcanza la pelota la altura máxima?
¿Cuál es la altura máxima de la pelota?
¿Cuándo golpea la pelota el suelo?
La pelota alcanza la altura máxima en el vértice de la parábola.
[ begin {align} h & = – dfrac {80} {2 (−16)} \ & = dfrac {80} {32} \ & = dfrac {5} {2} \ & = 2.5 end {align} ]
La pelota alcanza una altura máxima después de 2.5 segundos.
Para encontrar la altura máxima, encuentra la coordenada y del vértice de la parábola.
[ begin {align} k & = H (- dfrac {b} {2a}) \ & = H (2.5) \ & = – 16 (2.5) ^ 2 + 80 (2.5) + 40 \ & = 140 end {align} ]
La pelota alcanza una altura máxima de 140 pies.
Para encontrar cuándo la pelota toca el suelo, necesitamos determinar cuándo la altura es cero, (H (t) = 0 ).
Utilizamos la fórmula cuadrática.
[ begin {align} t & = dfrac {−80 ± sqrt {80 ^ 2−4 (−16) (40)}} {2 (−16)} \ & = dfrac { −80 ± sqrt {8960}} {- 32} end {align} ]
Debido a que la raíz cuadrada no se simplifica muy bien, podemos usar una calculadora para aproximar los valores de las soluciones.
[t = dfrac {−80- sqrt {8960}} {- 32} ≈5.458 text {o} t = dfrac {−80+ sqrt {8960}} {- 32} ≈− 0.458 ]
La segunda respuesta está fuera del dominio razonable de nuestro modelo, por lo que concluimos que la pelota tocará el suelo después de unos 5.458 segundos. Ver Figura ( PageIndex {16} ).
( PageIndex {5} ): Se arroja una roca hacia arriba desde la cima de un acantilado de 112 pies de altura que domina el océano a una velocidad de 96 pies por segundo. La altura de la roca sobre el océano puede ser modelada por la ecuación (H (t) = – 16t ^ 2 + 96t + 112 ).
- ¿Cuándo alcanza la roca la altura máxima?
- ¿Cuál es la altura máxima de la roca?
- ¿Cuándo golpea la roca el océano?
Solución
a. 3 segundos b. 256 pies c. 7 segundos