5.2: Polinomios

5.2: Polinomios

                 

Comenzamos con la definición de un término.

 
 

Definición: Término

 

Un término es un número único (llamado término constante ) o el producto de un número y una o más variables.

 
 

Por ejemplo, cada uno de los siguientes es un término.

 

[-5 quad-3 x ^ {2} quad 12 y ^ {2} z ^ {3} quad 13 a ^ {2} b c ^ {3} nonumber ]

 

Observe cómo el primer término es un número único, mientras que los términos restantes son productos de un número y una o más variables. Por ejemplo, (- 3x ^ 2 ) es el producto de (- 3 ), (x ) y (x ).

 
 

Definición: Coe ffi cient

 

Cuando un término es producto de un número y una o más variables, el número se llama coeficiente del término. En el caso de un término que es un número único, el número mismo se llama coeficiente.

 
 

Así, por ejemplo, los coeficientes de los términos [- 5 quad-3 x ^ {2} quad 12 y ^ {2} z ^ {3} quad 13 a ^ {2} bc ^ { 3} nonumber ] son ​​ (- 5 ), (- 3 ), (12 ) y (13 ), respectivamente.

 
 

Definición: Grado

 

El grado de un término es la suma de los exponentes en cada variable del término. Un término constante (número único sin variables) tiene grado cero.

 
 

Así, por ejemplo, los grados de los términos [- 5 quad-3 x ^ {2} quad 12 y ^ {2} z ^ {3} quad 13 a ^ {2} bc ^ { 3} nonumber ] son ​​ (0 ), (2 ), (5 ) y (6 ), respectivamente. En el último ejemplo, tenga en cuenta que (13a ^ 2bc ^ 3 ) es equivalente a (13a ^ 2b ^ 1c ^ 3 ), por lo que sumando exponentes, obtenemos:

 

[ begin {alineado} text {Grado de} 13 a ^ {2} bc ^ {3} & = text {Grado de} 13 a ^ {2} b ^ {1} c ^ {3 } \ & = 2 + 1 + 3 \ & = 6 end {alineado} nonumber ]

 
 

Definición: Monomial

 

Las palabras monomial y término son ​​equivalentes.

 
 

Por lo tanto, [- 5 quad-3 x ^ {2} quad 12 y ^ {2} z ^ {3} quad 13 a ^ {2} bc ^ {3} nonumber ] son ​​monomios .

 
 

Definición: Binomial

 

Un binomio es una expresión matemática que contiene exactamente dos términos, separados por signos más o menos.

 
 

Por ejemplo, cada una de las expresiones matemáticas [2 x + 3 y quad-3 a ^ {2} -3 b ^ {2} quad x y + 7 quad-3 x ^ {2} y +5 xy ^ {2} nonumber ] es un binomio. Cada expresión tiene exactamente dos términos.

 
 

Definición: Trinomial

 

Un trinomio es una expresión matemática que contiene exactamente tres términos, separados por signos más o menos.

 
 

Por ejemplo, cada una de las expresiones matemáticas [2 x ^ {2} +3 x + 7 quad a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} quad x ^ {4} -2 x ^ {2} y ^ {2} +3 y ^ {4} nonumber ] es un trinomio. Cada expresión tiene exactamente tres términos.

 

Una bicicleta tiene dos ruedas, un binomio tiene dos términos. Un triciclo tiene tres ruedas, un trinomio tiene tres términos. Pero una vez que pasamos los tres términos, la asignación de nombres especiales cesa y usamos la palabra genérica polinomio , que significa «muchos términos».

 
 

Definición: polinomial

 

Un polinomio es una expresión matemática de muchos términos, con términos separados por signos más o menos. Los coeficientes de un polinomio son los coeficientes de sus términos.

 
 

Cada una de las expresiones anteriores, [12 y ^ {2} z ^ {3} quad-3 a ^ {2} -3 b ^ {2} quad x ^ {4} -2 x ^ { 2} y ^ {2} +3 y ^ {4} nonumber ] aunque asignados los nombres particulares monomial, binomial y trinomial, respectivamente, también son expresiones «de muchos términos» y también pueden denominarse polinomios. Sin embargo, debido a que la palabra polinomio significa «muchos términos», también podemos usar la palabra polinomio para describir expresiones matemáticas con más de tres términos, como: [x ^ {4} -4 x ^ {3} y + 6 x ^ {2} y ^ {2} -4 xy ^ {3} + y ^ {4} nonumber ] Los coeficientes de (x ^ {4} -4 x ^ {3} y + 6 x ^ {2 } y ^ {2} -4 xy ^ {3} + y ^ {4} ) son (1 ), (- 4 ), (6 ), (- 4 ) y (1 ).

 

Poderes ascendentes y descendentes

 

Cuando se nos pide que simplifiquemos una expresión polinomial, debemos combinar los términos similares que encontremos y, cuando sea posible, organizar la respuesta en ascendente o descendente poderes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Simplifica la siguiente expresión polinómica, ordenando tu respuesta en los poderes descendentes de (x ). Una vez que haya completado esa tarea, haga un segundo arreglo, ordenando sus términos en poderes ascendentes de (x ). [2 x ^ {3} +7 x-3 x ^ {2} +11 x + 8 x ^ {2} + 11 + 15 x nonumber ]

 

Solución

 

Para organizar nuestra respuesta en potencias descendentes de (x ), queremos colocar primero el término con la potencia más alta de (x ) y el término con la potencia más baja de (x ) . Usamos las propiedades conmutativas y asociativas para cambiar el orden y reagruparnos, luego combinamos términos similares.

 

[ begin {alineado} 2 x ^ {3} +7 x & -3 x ^ {2} +11 x + 8 x ^ {2} + 11 + 15 x \ & = 2 x ^ { 3} + left (-3 x ^ {2} +8 x ^ {2} right) + (7 x + 11 x + 15 x) +11 \ & = 2 x ^ {3} +5 x ^ {2} +33 x + 11 end {alineado} nonumber ]

 

Observe cómo los poderes de (x ) comienzan en (3 ), luego disminuyen en orden.

 

Para organizar nuestra respuesta final en potencias ascendentes de (x ), primero ponemos la potencia más baja de (x ), luego la potencia más alta de (x ), reagrupando y combinando términos similares.

 

[ begin {alineado} 2 x ^ {3} +7 x & -3 x ^ {2} +11 x + 8 x ^ {2} + 11 + 15 x \ & = 11 + (7 x + 11 x + 15 x) + left (-3 x ^ {2} +8 x ^ {2} right) +2 x ^ {3} \ & = 11 + 33 x + 5 x ^ {2 } +2 x ^ {3} end {alineado} nonumber ]

 

Observe cómo comenzamos con el término constante, luego las potencias de (x ) aumentan en orden.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Simplifica el siguiente polinomio y organiza tu respuesta en potencias ascendentes de [3 x ^ {2} -5 x ^ {3} +8 x + 9 x ^ {2} -7 x +2 x ^ {3} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

(x + 12 x ^ {2} -3 x ^ {3} )

     
 
 
 

Cuando tenemos un polinomio en una sola variable, como el polinomio en el Ejemplo ( PageIndex {1} ), organizar los términos en orden ascendente o descendente es bastante sencillo. Sin embargo, un polinomio en dos o más variables es un poco más difícil, y a veces imposible, organizarlo en un orden decente.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Simplifique la siguiente expresión polinómica, luego organice su respuesta en potencias descendentes de (x ). [X ^ {3} +2 xy ^ {2} -6 x ^ {2} y + y ^ {3 } -3 xy ^ {2} +4 x ^ {2} y nonumber ]

 

Solución

 

Nuevamente usaremos las propiedades conmutativas y asociativas para cambiar el orden y reagrupar, colocando primero los términos con los poderes más altos de (x ), luego seguiremos con los términos que contengan poderes más bajos de (x ) en orden .

 

[ begin {alineado} x ^ {3} +2 xy ^ {2} y -6 x ^ {2} y + y ^ {3} -3 xy ^ {2} +4 x ^ {2 } y \ & = x ^ {3} + left (-6 x ^ {2} y + 4 x ^ {2} y right) + left (2 xy ^ {2} -3 xy ^ {2 } right) + y ^ {3} \ & = x ^ {3} -2 x ^ {2} yx y ^ {2} + y ^ {3} end {alineado} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que este es un orden muy natural, los poderes de (x ) disminuyen mientras que simultáneamente los poderes de (y ) aumentan.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Simplifique el siguiente polinomio y organice su respuesta en potencias descendentes de (x ): [- 4 x ^ {2} y ^ {2} +3 xy ^ {3} + 6 x ^ {3} yx y ^ {3} +2 x ^ {2} y ^ {2} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

(6 x ^ {3} y-2 x ^ {2} y ^ {2} +2 x y ^ {3} )

     
 
 
 

No todos los ejemplos tendrán un orden agradable presentado en el Ejemplo ( PageIndex {2} ), con las potencias de una variable descendente mientras que las potencias de la otra variable ascienden simultáneamente. A veces tenemos que tomar algunas decisiones muy subjetivas en el orden de los términos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Simplifica la siguiente expresión polinómica, luego organiza tu respuesta en algún tipo de orden razonable. [a ^ {3} b ^ {3} +2 a ^ {2} b-3 a ^ {2} b ^ {3} +4 a ^ {3} b ^ {3} +5 a ^ {4 } +3 a ^ {2} b + b ^ {5} nonumber ]

 

Solución

 

Tratemos de organizar los términos para que los poderes de un descendiente. Nuevamente, usamos las propiedades conmutativas y asociativas para cambiar el orden y reagruparnos.

 

[ begin {alineado} a ^ {3} b ^ {3} +2 a ^ {2} b & -3 a ^ {2} b ^ {3} +4 a ^ {3} b ^ {3} +5 a ^ {4} +3 a ^ {2} b + b ^ {5} \ & = 5 a ^ {4} + left (a ^ {3} b ^ {3} +4 a ^ {3} b ^ {3} right) + left (2 a ^ {2} b + 3 a ^ {2} b right) -3 a ^ {2} b ^ {3} + b ^ {5} \ & = 5 a ^ {4} +5 a ^ {3} b ^ {3} +5 a ^ {2} b-3 a ^ {2} b ^ {3} + b ^ {5 } end {alineado} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que en nuestra disposición final, los poderes de (a ) descienden, pero los poderes de (b ) rebotan hacia arriba y hacia abajo, pero al menos tenemos los poderes de (a ) descendentes. Eso debería ayudarnos a detectar si nos hemos perdido un término al tiempo que simplificamos el problema dado.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Simplifique el siguiente polinomio y organice su respuesta en potencias ascendentes de (b ): [5 a ^ {3} b ^ {2} +4 ab ^ {3} -2 a ^ {2} b + 3 a ^ {3} b ^ {2} -ab ^ {3} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

(- 2 a ^ {2} b + 8 a ^ {3} b ^ {2} +3 a b ^ {3} )

     
 
 
 

El grado de un polinomio

 

Para encontrar el grado de un polinomio, localice el término del polinomio que tiene el grado más alto.

 
 

El grado de un polinomio

 

El grado de un polinomio es el grado del término que tiene el grado más alto.

 
 

Encontrar el grado de un polinomio de una sola variable es bastante fácil.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

¿Cuál es el grado del polinomio (x ^ {3} -4 x ^ {2} + 5-6 x + 2 x ^ {7} )?

 

Solución

 

Primero, organicemos el polinomio en potencias descendentes de x.

 

[2 x ^ {7} + x ^ {3} -4 x ^ {2} -6 x + 5 nonumber ]

 

Organizar el polinomio en potencias descendentes de (x ) hace que sea más fácil ver que el término del polinomio con el grado más alto es (2x ^ 7 ). Por lo tanto, el grado del polinomio es (7 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

¿Cuál es el grado del polinomio (2 x ^ {3} +8 x ^ {2} +3 x ^ {4} +2 x + 10 )?

 
     
Respuesta
     
     

(4 )

     
 
 
 

Encontrar el grado de un polinomio de más de una variable es un poco más complicado.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

¿Cuál es el grado del polinomio (x ^ {4} -2 x ^ {3} y ^ {7} + y ^ {5} )?

 

Solución

 

Tenga en cuenta que el polinomio ya está organizado en potencias descendentes de (x ), una disposición que probablemente sea tan buena como la que vamos a obtener. En la siguiente tabla, enumeramos el grado de cada término. Recuerde, el grado de cualquier término se encuentra sumando los exponentes en sus variables.

 

[ begin {array} {cc} { text {Term}} & { text {Degree}} \ hline x ^ {4} & {4} \ {-2 x ^ {3 } y ^ {7}} y {10} \ {y ^ {5}} y {5} \ hline end {array} nonumber ]

 

Por lo tanto, el término con el grado más alto es (- 2 x ^ {3} y ^ {7} ), haciendo (10 ​​) el grado del polinomio.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

¿Cuál es el grado del polinomio (x ^ {2} y ^ {4} -6 x ^ {2} y ^ {2} +5 x ^ {2} y ^ {5} -2 xy )?

 
     
Respuesta
     
     

(7 )

     
 
 
 

Funciones polinomiales

 

Primero definimos lo que queremos decir con una función polinómica.

 
 

Función polinómica

 

Una función polinómica es una función definida por una regla que asigna a cada objeto de dominio un objeto de rango definido por una expresión polinómica.

 
 

Los cursos avanzados, como el cálculo multivariado, con frecuencia utilizan funciones polinómicas de más de una variable, como (f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} ). Sin embargo, en este curso, nuestro enfoque estará en las funciones polinómicas de una sola variable, como (p (x) = 3-4 x-9 x ^ {2} ) y (q (x) = x ^ {3} -9 x ^ {2} +11 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Dada la función polinómica (p (x) = x ^ {3} -8 x-11 ), evalúa (p (−3) ).

 

Solución

 

Para evaluar (p (−3) ), primero repita la definición de la función, luego reemplace cada aparición de la variable (x ) con paréntesis abiertos.

 

[ begin {alineado} p (x) & = x ^ {3} -8 x-11 quad color {Rojo} text {Definición de la función original. } \ p (; 😉 & = (; 😉 ^ {3} -8 (; 😉 – 11 quad color {Red} text {Reemplace cada aparición de} x text {con paréntesis abiertos. } end {alineado} nonumber ]

 

Luego, sustituya (- 3 ) por (x ) en los paréntesis abiertos preparados en el último paso.

 

[ begin {alineado} p (-3) & = (-3) ^ {3} -8 (-3) -11 quad color {Rojo} text {Sustituir} -3 text { para} x text {en las posiciones de paréntesis abiertas.} \ p (-3) & = -27-8 (-3) -11 quad color {Red} text {Exponente primero:} (- 3) ^ {3} = – 27 \ p (-3) & = -27 + 24-11 quad color {Rojo} text {Multiplicar:} -8 (-3) = 24 \ p (-3) & = -14 quad color {Rojo} text {Agregar. } end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, (p (−3) = −14 ). Puede verificar fácilmente este resultado en su calculadora (consulte la Figura ( PageIndex {1} )).

 
fig 5.2.1.png
Figura ( PageIndex {1} ): Verificación de la calculadora.
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Dada la función polinómica (p (x) = – 3 x ^ {2} +7 x + 4 ) , evalúa (p (2) ).

 
     
Respuesta
     
     

(6 )

     
 
 
 

El gráfico de una función polinómica

 

Una de las funciones polinómicas más importantes en todas las matemáticas y ciencias es el polinomio que tiene grado dos.

 
 

Polinomio cuadrático

 

El polinomio de segundo grado que tiene la forma [p (x) = a x ^ {2} + b x + c nonumber ] se llama polinomio cuadrático . La gráfica de este polinomio se llama una parábola .

 
 

La parábola tiene aproximadamente forma de U. Algunos se abren hacia arriba, otros se abren hacia abajo, según el signo del término principal.

 

En la Figura ( PageIndex {2} ), el término principal de la parábola (p (x) = 2 x ^ {2} -8 x + 6 ) tiene dos positivos como su coeficiente, por lo que se abre hacia arriba

 
fig 5.2.2.png
Figura ( PageIndex {2} ): Se abre la gráfica de (p (x) = 2 x ^ {2} -8 x + 6 ).
 

En la Figura ( PageIndex {3} ), el término principal de la parábola (p (x) = – 2 x ^ {2} -8 x-6 ) tiene dos negativos como coeficiente, por lo que Se abre hacia abajo.

 
fig 5.2.3.png
Figura ( PageIndex {3} ): La gráfica de (p (x) = – 2 x ^ {2} -8 x-6 ) se abre hacia abajo.
 
 

Nota

 

El signo del término principal de (p (x) = ax ^ 2 + bx + c ) determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

 
         
  • Si (a> 0 ), la parábola se abre hacia arriba.
  •      
  • Si (a <0 ), la parábola se abre hacia abajo.
  •  
 
 

El punto de inflexión de una parábola tiene un nombre especial.

 
 

El vértice de una parábola

 

La gráfica del polinomio de segundo grado (p (x) = ax ^ 2 + bx + c ) tiene un solo punto de inflexión, llamado vértice de la parábola.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Usa tu calculadora gráfica para dibujar el gráfico del polinomio cuadrático (p (x) = – 3x ^ 2 + 12x + 25 ).

 

Solución

 

El grado del polinomio (p (x) = – 3x ^ 2 + 12x + 25 ) es dos, por lo que es un polinomio cuadrático y su gráfica es una parábola. Además, su término principal tiene tres negativos como coeficiente, por lo que sabemos que la parábola se abre hacia abajo. Ingrese (y = −3x ^ 2 + 12x + 25 ) como (Y 1 = -3 * X wedge 2 + 12 * X + 25 ) en el menú Y = (consulte el primera imagen en la Figura ( PageIndex {4} )), luego seleccione 6: ZStandard en el menú ZOOM para producir la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {4} ).

 
fig 5.2.4.png
Figura ( PageIndex {4} ): Dibujando el gráfico de (p (x) = – 3x ^ 2 + 12x + 25 ).
 

Tenga en cuenta que el gráfico de la Figura ( PageIndex {4} ) parece tener la forma de U de una parábola que se abre hacia abajo. Su vértice (punto de inflexión) no es visible, pero se podría suponer que se encuentra en la parte superior de la pantalla. Necesitamos ajustar los parámetros WINDOW para que el vértice de la parábola sea visible en la pantalla de visualización. Después de experimentar un poco, nos conformamos con los parámetros que se muestran en la primera imagen en la Figura ( PageIndex {5} ), luego presionamos el botón GRAPH para producir la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {5 } ).

 
fig 5.2.5.png
Figura ( PageIndex {5} ): Ajuste los parámetros WINDOW para que el vértice sea visible en la pantalla de visualización.
 

Al informar su resultado en su tarea, siga las Pautas de envío de la calculadora del Capítulo 3, Sección 2 .

 

fig 5.2.5a.png

 
         
  1. Dibuja hachas con una regla.
  2.      
  3. Rotule el eje horizontal (x ) y el eje vertical (y ).
  4.      
  5. Indique los parámetros VENTANA ( mathrm {Xmin}, mathrm {Xmax}, mathrm {Ymin} ) y ( mathrm {Ymax} ) ) al final de cada eje.
  6.      
  7. Dibuje a mano alzada la curva y etiquétela con su ecuación.
  8.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Usa tu calculadora gráfica para dibujar el gráfico del polino cuadrático mial (p (x) = 2x ^ 2 −5x − 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

Ex 5.2.7.png

     
 
 
 

Cuando el grado del polinomio es mayor que dos, el número de puntos de inflexión del gráfico puede aumentar. Esto hace algunas curvas muy interesantes. En cursos más avanzados, como álgebra intermedia y universitaria, se le presentará una variedad de técnicas que lo ayudarán a determinar las ventanas de visualización adecuadas para los gráficos de estos polinomios de grado superior. Sin embargo, en esta sección introductoria, lo ayudaremos sugiriéndole una buena ventana de visualización para cada polinomio, una que le permitirá ver todos los puntos de inflexión de la gráfica del polinomio.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Usa tu calculadora gráfica para dibujar la gráfica de la función polinómica (p (x) = x ^ {4} -37 x ^ {2} +24 x + 180 ). Establezca los parámetros de su ventana de la siguiente manera: ( mathbf {X} min = -10, mathbf {X} max = 10, mathbf {X} operatorname {scl} = 1, mathbf {Y} min = -1000, mathbf {Y} max = 1000, ) y ( mathbf {Y} operatorname {scl} = 100 ).

 

Solución

 

Ingrese la función polinómica en ( mathbf {Y} mathbf {1} ) del menú Y = , luego ingrese los parámetros de ventana sugeridos en el menú VENTANA (ver Figura ( PageIndex {6} )).

 
fig 5.2.6.png
Figura ( PageIndex {6} ): Ingrese el polinomio y ajuste los parámetros de la VENTANA.
 

Presione el botón GRAPH en la fila superior de su calculadora para producir el gráfico de la función polinómica que se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ).

 
fig 5.2.7.png
Figura ( PageIndex {7} ): La gráfica de (p (x) = x ^ 4 −37x ​​^ 2 + 24x + 180 ).
 

¡Curva de aspecto dulce!

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Use su calculadora gráfica para dibujar el gráfico del polinomio cuadrático p (x) = x3 −14×2 + 20x + 60. Configure los parámetros de su ventana de la siguiente manera: ( mathbf {X} min = -10, mathbf {X} max = 20, mathbf {X} operatorname {scl} = 1, mathbf {Y} min = -200, mathbf {Y} max = 200, ) y ( mathbf {Y} operatorname {scl} = 20 ).

 
     
Respuesta
     
     

Ex 5.2.8.png

     
 
 
 
                                  
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