Objetivos de aprendizaje
Al final de esta sección, podrá:
- Resolver un sistema de ecuaciones por sustitución
- Resolver aplicaciones de sistemas de ecuaciones por sustitución
Nota
Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.
- Simplifica −5 (3 − x).
Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.10.43 . - Simplifica 4−2 (n + 5).
Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.10.41 . - Resuelve para y. 8y − 8 = 32−2y
Si se perdió este problema, repase Ejercicio 2.3.22 . - Resuelve para x. 3x − 9y = −3
Si se perdió este problema, repase Ejercicio 2.6.22 .
Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficos es una buena manera de visualizar los tipos de soluciones que pueden resultar. Sin embargo, hay muchos casos en los que resolver un sistema mediante gráficos es inconveniente o impreciso. Si los gráficos se extienden más allá de la cuadrícula pequeña con x y y ambos entre −10 y 10, graficar las líneas puede ser engorroso. Y si las soluciones al sistema no son enteros, puede ser difícil leer sus valores con precisión de un gráfico.
En esta sección, resolveremos sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de sustitución.
Resolver un sistema de ecuaciones por sustitución
Usaremos el mismo sistema que usamos primero para graficar.
( left { begin {array} {l} {2 x + y = 7} \ {x-2 y = 6} end {array} right. )
Primero resolveremos una de las ecuaciones para x o y . Podemos elegir cualquiera de las ecuaciones y resolver cualquier variable, pero intentaremos tomar una decisión que facilite el trabajo.
Luego sustituimos esa expresión en la otra ecuación. El resultado es una ecuación con solo una variable, ¡y sabemos cómo resolverlas!
Después de encontrar el valor de una variable, sustituiremos ese valor en una de las ecuaciones originales y resolveremos la otra variable. Finalmente, verificamos nuestra solución y nos aseguramos de que ambas ecuaciones sean verdaderas.
Completaremos todos estos pasos ahora en el Ejercicio ( PageIndex {1} ).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {- 2 x + y = -11} \ {x + 3 y = 9} end {array} right. )
- Respuesta
-
(6,1)
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {x + 3 y = 10} \ {4 x + y = 18} end {array} right. )
- Respuesta
-
(4,2)
RESUELVE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR SUSTITUCIÓN.
- Resuelve una de las ecuaciones para cualquier variable.
- Sustituye la expresión del Paso 1 en la otra ecuación.
- Resuelve la ecuación resultante.
- Sustituye la solución en el Paso 3 en una de las ecuaciones originales para encontrar la otra variable.
- Escribe la solución como un par ordenado.
- Comprueba que el par ordenado es una solución a ambas ecuaciones originales.
Si una de las ecuaciones en el sistema se da en forma de pendiente-intersección, ¡el Paso 1 ya está hecho! Lo veremos en el ejercicio ( PageIndex {4} ).
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {x + y = -1} \ {y = x + 5} end {array} right. )
- Respuesta
-
La segunda ecuación ya está resuelta para y . Sustituiremos la expresión en lugar de y en la primera ecuación.
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {x + y = 6} \ {y = 3 x-2} end {array} right. )
- Respuesta
-
(2,4)
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {2 x-y = 1} \ {y = -3 x-6} end {array} right. )
- Respuesta
-
(−1, −3)
Si las ecuaciones se dan en forma estándar, tendremos que comenzar resolviendo una de las variables. En el siguiente ejemplo, resolveremos la primera ecuación para y .
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {3 x + y = 5} \ {2 x + 4 y = -10} end {array} right. )
- Respuesta
-
Necesitamos resolver una ecuación para una variable. Luego sustituiremos esa expresión en la otra ecuación.
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {4 x + y = 2} \ {3 x + 2 y = -1} end {array} right. )
- Respuesta
-
(1, −2)
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {- x + y = 4} \ {4 x-y = 2} end {array} right. )
- Respuesta
-
(2,6)
En el ejercicio ( PageIndex {7} ) fue más fácil resolver y en la primera ecuación porque tenía un coeficiente de 1. En el ejercicio ( PageIndex {10} ) será más fácil de resolver para x .
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {x-2 y = -2} \ {3 x + 2 y = 34} end {array} right. )
- Respuesta
-
Resolveremos la primera ecuación para xx y luego sustituiremos la expresión en la segunda ecuación.
Ejercicio ( PageIndex {11} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {x-5 y = 13} \ {4 x-3 y = 1} end {array} right. )
- Respuesta
-
(−2, −3)
Ejercicio ( PageIndex {12} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {x-6 y = -6} \ {2 x-4 y = 4} end {array} right. )
- Respuesta
-
(6,2)
Cuando ambas ecuaciones ya están resueltas para la misma variable, ¡es fácil sustituirlas!
Ejercicio ( PageIndex {13} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {y = -2 x + 5} \ {y = frac {1} {2} x} end {array} right. ) [19459003 ]
- Respuesta
-
Dado que ambas ecuaciones están resueltas por y , podemos sustituir una por la otra.
Ejercicio ( PageIndex {14} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {y = 3 x-16} \ {y = frac {1} {3} x} end {array} right. )
- Respuesta
-
(6,2)
Ejercicio ( PageIndex {15} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {y = -x + 10} \ {y = frac {1} {4} x} end {array} right. )
- Respuesta
-
(8,2)
Tenga mucho cuidado con las señales en el siguiente ejemplo.
Ejercicio ( PageIndex {16} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {4 x + 2 y = 4} \ {6 x-y = 8} end {array} right. )
- Respuesta
-
Necesitamos resolver una ecuación para una variable. Resolveremos la primera ecuación para y .
Ejercicio ( PageIndex {17} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {x-4 y = -4} \ {-3 x + 4 y = 0} end {array} right. )
- Respuesta
-
((2, frac {3} {2}) )
Ejercicio ( PageIndex {18} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {4 x-y = 0} \ {2 x-3 y = 5} end {array} right. )
- Respuesta
-
((- frac {1} {2}, – 2) )
En Ejemplo , tomará un poco más de trabajo resolver una ecuación para x o y .
Ejercicio ( PageIndex {19} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {4 x-3 y = 6} \ {15 y-20 x = -30} end {array} right. )
- Respuesta
-
Necesitamos resolver una ecuación para una variable. Resolveremos la primera ecuación para x .
Como 0 = 0 es una declaración verdadera, el sistema es consistente. Las ecuaciones son dependientes. Las gráficas de estas dos ecuaciones darían la misma línea. El sistema tiene infinitas soluciones.
Ejercicio ( PageIndex {20} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {2 x-3 y = 12} \ {-12 y + 8 x = 48} end {array} right. )
- Respuesta
-
infinitas soluciones
Ejercicio ( PageIndex {21} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {5 x + 2 y = 12} \ {-4 y-10 x = -24} end {array} right. )
- Respuesta
-
infinitas soluciones
Mira las ecuaciones del ejercicio ( PageIndex {22} ). ¿Hay alguna forma de reconocer que son la misma línea?
Veamos qué sucede en el siguiente ejemplo.
Ejercicio ( PageIndex {22} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {5 x-2 y = -10} \ {y = frac {5} {2} x} end {array} right. ) [ 19459003]
- Respuesta
-
La segunda ecuación ya está resuelta para y , por lo que podemos sustituir y en la primera ecuación.
Como 0 = −10 es una declaración falsa, las ecuaciones son inconsistentes. Las gráficas de las dos ecuaciones serían líneas paralelas. El sistema no tiene soluciones.Sustituye x por y en la primera ecuación. 
Reemplace y con ( frac {5} {2} x ). 
Resuelve para x . 
Ejercicio ( PageIndex {23} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {3 x + 2 y = 9} \ {y = – frac {3} {2} x + 1} end {array} right. )
- Respuesta
-
sin solución
Ejercicio ( PageIndex {24} )
Resuelve el sistema por sustitución. ( left { begin {array} {l} {5 x-3 y = 2} \ {y = frac {5} {3} x-4} end {array} right. )
- Respuesta
-
sin solución
Resolver aplicaciones de sistemas de ecuaciones por sustitución
Copiaremos aquí la estrategia de resolución de problemas que utilizamos en la sección Resolución de sistemas de ecuaciones mediante gráficos para resolver sistemas de ecuaciones. Ahora que sabemos cómo resolver sistemas por sustitución, eso es lo que haremos en el Paso 5.
CÓMO USAR UNA ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
- Lea el problema. Asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas.
- Identifique lo que estamos buscando.
- Nombre lo que estamos buscando. Elija variables para representar esas cantidades.
- Traduzca en un sistema de ecuaciones.
- Resuelve el sistema de ecuaciones usando buenas técnicas de álgebra.
- Marque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
- Responda la pregunta con una oración completa.
Algunas personas encuentran que configurar problemas de palabras con dos variables es más fácil que configurarlos con una sola variable. Elegir los nombres de las variables es más fácil cuando todo lo que necesita hacer es escribir dos letras. Piense en esto en el siguiente ejemplo: ¿cómo lo habría hecho con una sola variable?
Ejercicio ( PageIndex {25} )
La suma de dos números es cero. Un número es nueve menos que el otro. Encuentra los números.
- Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {26} )
La suma de dos números es 10. Un número es 4 menos que el otro. Encuentra los números.
- Respuesta
-
Los números son 3 y 7.
Ejercicio ( PageIndex {27} )
La suma de dos números es −6. Un número es 10 menos que el otro. Encuentra los números.
- Respuesta
-
Los números son 2 y −8.
En el ejercicio ( PageIndex {28} ), usaremos la fórmula para el perímetro de un rectángulo, P = 2 L + 2 W .
Ejercicio ( PageIndex {28} )
Agregue texto de ejercicios aquí.
- Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {29} )
El perímetro de un rectángulo es 40. El largo es 4 más que el ancho. Encuentra la longitud y el ancho del rectángulo.
- Respuesta
-
La longitud es 12 y el ancho es 8.
Ejercicio ( PageIndex {30} )
El perímetro de un rectángulo es 58. El largo es 5 más de tres veces el ancho. Encuentra la longitud y el ancho del rectángulo.
- Respuesta
-
La longitud es 23 y el ancho es 6.
Para el ejercicio ( PageIndex {31} ) debemos recordar que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180 grados y que un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 grados.
Ejercicio ( PageIndex {31} )
La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo rectángulo es diez veces más de tres veces la medida del otro ángulo pequeño. Encuentra las medidas de ambos ángulos.
- Respuesta
-
Dibujaremos y etiquetaremos una figura.
Ejercicio ( PageIndex {32} )
La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo rectángulo es 2 más de 3 veces la medida del otro ángulo pequeño. Encuentra la medida de ambos ángulos.
- Respuesta
-
La medida de los ángulos es de 22 grados y 68 grados.
Ejercicio ( PageIndex {33} )
La medida de uno de los ángulos pequeños de un triángulo rectángulo es 18 menos del doble de la medida del otro ángulo pequeño. Encuentra la medida de ambos ángulos.
- Respuesta
-
La medida de los ángulos es de 36 grados y 54 grados.
Ejercicio ( PageIndex {34} )
A Heather le han ofrecido dos opciones por su salario como entrenadora en el gimnasio. La opción A le pagaría $ 25,000 más $ 15 por cada sesión de entrenamiento. La opción B le pagaría $ 10,000 + $ 40 por cada sesión de entrenamiento. ¿Cuántas sesiones de capacitación igualarían las opciones salariales?
- Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {35} )
Geraldine ha recibido ofertas de dos compañías de seguros. La primera compañía paga un salario de $ 12,000 más una comisión de $ 100 por cada póliza vendida. El segundo paga un salario de $ 20,000 más una comisión de $ 50 por cada póliza vendida. ¿Cuántas pólizas tendrían que venderse para que el total pague lo mismo?
- Respuesta
-
Tendría que haber 160 pólizas vendidas para que el pago total sea el mismo.
Ejercicio ( PageIndex {36} )
Kenneth actualmente vende trajes para la compañía A con un salario de $ 22,000 más una comisión de $ 10 por cada traje vendido. La compañía B le ofrece un puesto con un salario de $ 28,000 más una comisión de $ 4 por cada demanda vendida. ¿Cuántos trajes necesitaría vender Kenneth para que las opciones fueran iguales?
- Respuesta
-
Kenneth necesitaría vender 1,000 trajes.
Nota
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica para resolver sistemas de ecuaciones por sustitución.
Conceptos clave
- Resolver un sistema de ecuaciones por sustitución
- Resuelve una de las ecuaciones para cualquier variable.
- Sustituye la expresión del Paso 1 en la otra ecuación.
- Resuelve la ecuación resultante.
- Sustituye la solución en el Paso 3 en una de las ecuaciones originales para encontrar la otra variable.
- Escribe la solución como un par ordenado.
- Comprueba que el par ordenado es una solución para ambas ecuaciones originales.