5.2: Simplificando expresiones radicales

5.2: Simplificando expresiones radicales

Simplificación de expresiones radicales

 

Una expresión algebraica que contiene radicales se llama radical expresión 14 . Utilizamos las reglas del producto y el cociente para simplificarlos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Simplifique: ( sqrt [3] {27 x ^ {3}} ).

 

Solución

 

Use el hecho de que ( sqrt [n] {a ^ {n}} = a ) cuando (n ) es impar.

 

( begin {alineado} sqrt [3] {27 x ^ {3}} & = sqrt [3] {3 ^ {3} cdot x ^ {3}} quad quad color {Cerulean} {Apply : the : product : rule : for : radicales.} \ & = sqrt [3] {3 ^ {3}} cdot sqrt [3] {x ^ {3 }} quad color {Cerulean} {Simplify.} \ & = 3 cdot x \ & = 3 x end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(3x )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Simplifique: ( sqrt [4] {16 y ^ {4}} ).

 

Solución

 

Usa el hecho de que ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | ) cuando (n ) es par.

 

( begin {alineado} sqrt [4] {16 y ^ {4}} & = sqrt [4] {2 ^ {4} y ^ {4}} quad quad : : : color {Cerulean} {Apply : the : product : rule : for : radicales.} \ & = sqrt [4] {2 ^ {4}} cdot sqrt [4] { y ^ {4}} : : : : color {Cerulean} {Simplify.} \ & = 2 cdot | y | \ & = 2 | y | end {alineado} ) [19459011 ]  

Dado que (y ) es una variable, puede representar un número negativo. Por lo tanto, debemos asegurarnos de que el resultado sea positivo al incluir el valor absoluto.

 

Respuesta :

 

(2 | y | )

 
 
 

Nota

 

Por lo general, en este punto del álgebra notamos que se supone que todas las variables son positivas. Si este es el caso, entonces (y ) en el ejemplo anterior es positivo y no se necesita el operador de valor absoluto. El ejemplo se puede simplificar de la siguiente manera.

 

( begin {alineado} sqrt [4] {16 y ^ {4}} & = sqrt [4] {2 ^ {4} y ^ {4}} \ & = sqrt [4 ] {2 ^ {4}} cdot sqrt [4] {y ^ {4}} \ & = 2 y end {alineado} )

 

En esta sección, asumiremos que todas las variables son positivas. Esto nos permite enfocarnos en calcular (n ) las raíces sin los tecnicismos asociados con el problema principal (n ) th raíz. Por este motivo, utilizaremos la siguiente propiedad para el resto de la sección,

 

( sqrt [n] {a ^ {n}} = a, quad text {if} a geq 0 quad color {Cerulean} {nth : root} )

 
 

Al simplificar expresiones radicales, busca factores con potencias que coincidan con el índice.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Simplifique: ( sqrt {12 x ^ {6} y ^ {3}} ).

 

Solución

 

Comienza determinando los factores cuadrados de (12, x ^ {6} ) y (y ^ {3} ).

 

( left. Begin {array} {l} {12 = color {Cerulean} {2 ^ {2}} color {black} { cdot} 3} \ {x ^ {6} = color {Cerulean} { left (x ^ {3} right) ^ {2}}} \ {y ^ {3} = color {Cerulean} {y ^ {2}} color {black} { cdot} y} end {array} right } quad color {Cerulean} {Square : factor} )

 

Haz estas sustituciones y luego aplica la regla del producto para radicales y simplifica.

 

( begin {alineado} sqrt {12 x ^ {6} y ^ {3}} & = sqrt { color {Cerulean} {2 ^ {2}} color {black} { cdot } 3 cdot color {Cerulean} { left (x ^ {3} right) ^ {2}} color {black} { cdot} color {Cerulean} {y ^ {2}} color { negro} { cdot} y} quad quad quad quad : color {Cerulean} {Apply : the : product : rule : for : radicales.} \ & = sqrt {2 ^ {2}} cdot sqrt { left (x ^ {3} right) ^ {2}} cdot sqrt {y ^ {2}} cdot sqrt {3 y} quad color { Cerulean} {Simplify.} \ & = 2 cdot x ^ {3} cdot y cdot sqrt {3 y} \ & = 2 x ^ {3} y sqrt {3 y} end {alineado } )

 

Respuesta :

 

(2 x ^ {3} y sqrt {3 y} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Simplifique: ( sqrt { frac {18 a ^ {5}} {b ^ {8}}} ).

 

Solución

 

Comience determinando los factores cuadrados de (18 ), (a ^ {5} ) y (b ^ {8} ).

 

( left. Begin {array} {l} {18 = 2 cdot color {Cerulean} {3 ^ {2}}} \ {a ^ {5} = a ^ {2} cdot a ^ {2} cdot a = color {Cerulean} { left (a ^ {2} right) ^ {2}} color {black} { cdot} a} \ {b ^ {8 } = b ^ {4} cdot b ^ {4} quad : : = color {Cerulean} { left (b ^ {4} right) ^ {2}}} end {array} quad right } quad color {Cerulean} {Cuadrado : factores} )

 

Haz estas sustituciones, aplica las reglas del producto y el cociente para radicales y luego simplifica.

 

( begin {alineado} sqrt { frac {18 a ^ {5}} {b ^ {8}}} & = sqrt { frac {2 cdot color {Cerulean} {3 ^ {2}} color {black} { cdot} color {Cerulean} { left (a ^ {2} right) ^ {2}} color {black} { cdot} a} { color { Cerulean} { left (b ^ {4} right) ^ {2}}}} quad quad color {Cerulean} {Apply : the : product : and : quotient : rule : for : radicales.} \ & = frac { sqrt {3 ^ {2}} cdot sqrt { left (a ^ {2} right) ^ {2}} cdot sqrt {2 a} } { sqrt { left (b ^ {4} right) ^ {2}}} quad color {Cerulean} {Simplify.} \ & = frac {3 a ^ {2} sqrt {2 a}} {b ^ {4}} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

( frac {3 a ^ {2} sqrt {2 a}} {b ^ {4}} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Simplifique: ( sqrt [3] {80 x ^ {5} y ^ {7}} ).

 

Solución

 

Comience determinando los factores cúbicos de (80, x ^ {5} ) y (y ^ {7} ).

 

( left. Begin {array} {l} {80 = 2 ^ {4} cdot 5 = color {Cerulean} {2 ^ {3}} color {black} { cdot} 2 cdot 5} \ {x ^ {5} = color {Cerulean} {x ^ {3}} color {black} { cdot} x ^ {2}} \ {y ^ {7} = y ^ {6} cdot y = color {Cerulean} { left (y ^ {2} right) ^ {3}} color {black} { cdot} y} end {array} quad right } quad color {Cerulean} {Cubic : factor} )

 

Haz estas sustituciones y luego aplica la regla del producto para radicales y simplifica.

 

( begin {alineado} sqrt [3] {80 x ^ {5} y ^ {7}} & = sqrt [3] { color {Cerulean} {2 ^ {3}} color {negro} { cdot} 2 cdot 5 cdot color {Cerulean} {x ^ {3}} color {black} { cdot} x ^ {2} cdot color {Cerulean} { left ( y ^ {2} right) ^ {3}} color {black} { cdot} y} \ & = sqrt [3] { color {Cerulean} {2 ^ {3}}} color { negro} { cdot} sqrt [3] { color {Cerulean} {x ^ {3}}} color {black} { cdot} sqrt [3] { color {Cerulean} { left (y ^ {2} right) ^ {3}}} color {black} { cdot} sqrt [3] {2 cdot 5 cdot x ^ {2} cdot y} \ & = 2 cdot xy ^ {2} cdot sqrt [3] {10 x ^ {2} y} \ & = 2 xy ^ {2} sqrt [3] {10 x ^ {2} y} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(2 x y ^ {2} sqrt [3] {10 x ^ {2} y} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Simplifique: ( sqrt [3] { frac {9 x ^ {6}} {y ^ {3} z ^ {9}}} ).

 

Solución

 

El coeficiente (9 = 3 ^ {2} ), y por lo tanto no tiene ningún factor de cubo perfecto. Se dejará como el único radicando restante porque todos los demás factores son cubos, como se ilustra a continuación:

 

( left. Begin {array} {l} {x ^ {6} = left (x ^ {2} right) ^ {3}} \ {y ^ {3} = (y ) ^ {3}} \ {z ^ {9} = left (z ^ {3} right) ^ {3}} end {array} quad right } quad color {Cerulean} { Cúbico : factores} )

 

Reemplace las variables con estos equivalentes, aplique las reglas de producto y cociente para radicales, y luego simplifique.

 

( begin {alineado} sqrt [3] { frac {9 x ^ {6}} {y ^ {3} z ^ {9}}} & = sqrt [3] { frac { 9 cdot left (x ^ {2} right) ^ {3}} {y ^ {3} cdot left (z ^ {3} right) ^ {3}}} \ & = frac { sqrt [3] {9} cdot sqrt [3] { left (x ^ {2} right) ^ {3}}} { sqrt [3] {y ^ {3}} cdot sqrt [3] { left (z ^ {3} right) ^ {3}}} \ & = frac { sqrt [3] {9} : cdot : x ^ {2}} { y : cdot : z ^ {3}} \ & = frac {x ^ {2} : sqrt [3] {9}} {yz ^ {3}} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

( frac {x ^ {2} sqrt [3] {9}} {y z ^ {3}} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Simplifique: ( sqrt [4] {81 a ^ {4} b ^ {5}} ).

 

Solución

 

Determine todos los factores que pueden escribirse como poderes perfectos de (4 ). Aquí, es importante ver que (b ^ {5} = b ^ {4} ⋅ b ). Por lo tanto, el factor (b ) quedará dentro del radical.

 

( begin {alineado} sqrt [4] {81 a ^ {4} b ^ {5}} & = sqrt [4] {3 ^ {4} cdot a ^ {4} cdot b ^ {4} cdot b} \ & = sqrt [4] {3 ^ {4}} cdot sqrt [4] {a ^ {4}} cdot sqrt [4] {b ^ { 4}} cdot sqrt [4] {b} \ & = 3 cdot a cdot b cdot sqrt [4] {b} \ & = 3 ab sqrt [4] {b} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(3 a b sqrt [4] {b} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Simplifique: ( sqrt [5] {- 32 x ^ {3} y ^ {6} z ^ {5}} ).

 

Solución

 

Observe que el factor variable (x ) no puede escribirse como una potencia de (5 ) y, por lo tanto, quedará dentro del radical. Además, (y ^ {6} = y ^ {5} ⋅ y ); el factor (y ) también se dejará dentro del radical.

 

( begin {alineado} sqrt [3] {- 32 x ^ {3} y ^ {6} z ^ {5}} & = sqrt [5] { color {Cerulean} {(- 2) ^ {5}} color {black} { cdot} x ^ {3} cdot color {Cerulean} {y ^ {5}} color {black} { cdot} y cdot color { Cerulean} {z ^ {5}}} \ & = sqrt [5] { color {Cerulean} {(- 2) ^ {5}}} color {black} { cdot} sqrt [5] { color {Cerulean} {y ^ {5}}} color {black} { cdot} sqrt [5] { color {Cerulean} {z ^ {5}}} color {black} { cdot } sqrt [5] {x ^ {3} cdot y} \ & = – 2 cdot y cdot z cdot sqrt [5] {x ^ {3} cdot y} \ & = – 2 yz sqrt [5] {x ^ {3} y} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(- 2 y z sqrt [5] {x ^ {3} y} )

 
 

Consejo : Para simplificar la búsqueda de una raíz (n ), divida las potencias por el índice.

 

( begin {alineado} sqrt {a ^ {6}} = a ^ {3}, & text {que es} a ^ {6 div 2} = a ^ {3} \ sqrt [3] {b ^ {6}} = b ^ {2}, & text {que es} b ^ {6 div 3} = b ^ {2} \ sqrt [6] {c ^ { 6}} = c : :, & : text {que es} : {c ^ {6 div 6} = c ^ {1}} end {alineado} )

 

Si el índice no se divide en potencia de manera uniforme, entonces podemos usar el cociente y el resto para simplificar. Por ejemplo,

 

( begin {alineado} sqrt {a ^ {5}} & = a ^ {2} cdot sqrt {a}, text {que es} a ^ {5 div 2} = a ^ {2 r 1} \ sqrt [3] {b ^ {5}} & = b cdot sqrt [3] {b ^ {2}}, text {que es} b ^ {5 div 3} = b ^ {1 r 2} \ sqrt [5] {c ^ {14}} & = c ^ {2} cdot sqrt [5] {c ^ {4}}, text {que es} : c ^ {14 div 5} = c ^ {2r4} end {alineado} )

 

El cociente es el exponente del factor fuera del radical, y el resto es el exponente del factor que queda dentro del radical.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Simplifique: ( sqrt [3] {162 a ^ {7} b ^ {5} c ^ {4}} ).

 
     
Respuesta
     
     

(3 a ^ {2} b c sqrt [3] {6 a b ^ {2} c} )

     

     
 
 
 

Fórmulas que involucran radicales

 

Las fórmulas a menudo consisten en expresiones radicales. Por ejemplo, el período de un péndulo, o el tiempo que tarda un péndulo en balancearse de un lado a otro y viceversa, depende de su longitud de acuerdo con la siguiente fórmula.

 

(T = 2 pi sqrt { frac {L} {32}} )

 

Aquí (T ) representa el período en segundos y (L ) representa la longitud en pies del péndulo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Si la longitud de un péndulo mide (1 frac {1} {2} ) pies, calcule el período redondeado a la décima de segundo más cercana.

 

Solución

 

Sustituye (1 frac {1} {2} = frac {3} {2} ) por (L ) y luego simplifica.

 

( begin {alineado} T & = 2 pi sqrt { frac {L} {32}} \ & = 2 pi sqrt { frac { frac {3} {2}} {32}} \ & = 2 pi sqrt { frac {3} {2} cdot frac {1} {32}} quad color {Cerulean} {Apply : the : quotient : regla : para : radicales.} \ & = 2 pi frac { sqrt {3}} { sqrt {64}} quad quad : : : color {Cerulean} {Simplify. } \ & = frac { pi sqrt {3}} {4} aprox 1.36 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

El período es de aproximadamente (1.36 ) segundos.

 
 

Con frecuencia necesitas calcular la distancia entre dos puntos en un plano. Para hacer esto, forme un triángulo rectángulo usando los dos puntos como vértices del triángulo y luego aplique el teorema de Pitágoras. Recuerde que el teorema de Pitágoras establece que si se le da algún triángulo rectángulo con patas que midan unidades (a ) y (b ), entonces el cuadrado de la medida de la hipotenusa (c ) es igual a la suma de los cuadrados de las patas: (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ). En otras palabras, la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus patas.

 
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Figura 5.2.1
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Encuentra la distancia entre ((- 5,3) ) y ((1,1) ).

 

Solución

 

Forma un triángulo rectángulo dibujando líneas horizontales y verticales a través de los dos puntos. Esto crea un triángulo rectángulo como se muestra a continuación:

 
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Figura 5.2.2
 

La longitud de la pierna (b ) se calcula al encontrar la distancia entre los valores (x ) de los puntos dados, y la longitud de la pierna (a ) se calcula al encontrar la distancia entre dado (y ) – valores.

 

( begin {array} {l} {a = 3 – 1 = 2 text {unidades}} \ {b = 1 – (- 5) = 1 + 5 = 6 text {unidades}} end {array} )

 

Luego, usa el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa.

 

( begin {alineado} c & = sqrt {2 ^ {2} + 6 ^ {2}} \ & = sqrt {4 + 36} \ & = sqrt {40} \ & = sqrt {4 cdot 10} \ & = 2 sqrt {10} text {unidades} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La distancia entre los dos puntos es (2 sqrt {10} ) unidades.

 
 

Generalice este proceso para producir una fórmula que pueda usarse para calcular algebraicamente la distancia entre dos puntos dados.

 
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Figura 5.2.3
 

Dados dos puntos, ( left (x _ {1}, y _ {1} right) ) y ( left (x _ {2}, y _ {2} right) ) la distancia, (d |), entre ellos viene dada por la fórmula de distancia 15 , (d = sqrt { left (x _ { 2} – x _ {1} right) ^ {2} + left (y _ {2} – y _ {1} right) ^ {2}} ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Calcule la distancia entre ((- 4,7) ) y ((2,1) ).

 

Solución

 

Usa la fórmula de la distancia con los siguientes puntos.

 

( begin {array} {l} { left (x _ {1}, y _ {1} right) left (x _ {2}, y _ {2} right)} {( color {Cerulean} {- 4} color {black} {,} color {OliveGreen} {7} color {black} {)} quad ( color {Cerulean} {2} color { negro} {,} color {OliveGreen} {1} color {black} {)}} end {array} )

 

Es una buena práctica incluir la fórmula en su forma general antes de sustituir los valores por las variables; Esto mejora la legibilidad y reduce la probabilidad de cometer errores.

 

( begin {alineado} d & = sqrt { left (x _ {2} – x _ {1} right) ^ {2} + left (y _ {2} – y _ { 1} right) ^ {2}} \ & = sqrt {( color {Cerulean} {2} color {black} {-} ( color {Cerulean} {- 4} color {black} { )}) ^ {2} + ( color {OliveGreen} {1} color {black} {-} color {OliveGreen} {7} color {black} {)} ^ {2}} \ & = sqrt {(2 + 4) ^ {2} + (1-7) ^ {2}} \ & = sqrt {(6) ^ {2} + (- 6) ^ {2}} \ & = sqrt {72} \ & = sqrt {36 cdot2} \ & = 6 sqrt {2} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La distancia entre los dos puntos es (6 sqrt {2} ) unidades.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

¿Los tres puntos ((2, – 1), (3,2) ) y ((8, -3) ) forman un triángulo rectángulo?

 

Solución

 

El teorema de Pitágoras establece que tener longitudes laterales que satisfacen la propiedad (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ) es una condición necesaria y suficiente de los triángulos rectángulos. En otras palabras, si puede demostrar que la suma de los cuadrados de las longitudes de las patas del triángulo es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa, entonces el triángulo debe ser un triángulo rectángulo. Primero, calcule la longitud de cada lado usando la fórmula de la distancia.

                                                                                                                                                                                                                           
Geometría Cálculo
             

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Figura 5.2.4

             
             

Puntos: ((2, -1) ) y ((8, -3) )

                          

( begin {array} {l} {a = sqrt {(8 – 2) ^ {2} + [- 3 – (- 1)] ^ {2}}} \ {= sqrt {(6) ^ {2} + (- 3 + 1) ^ {2}}} \ {= sqrt {36 + (- 2) ^ {2}}} \ {= sqrt {36 + 4 }} \ {= sqrt {40}} \ {= 2 sqrt {10}} end {array} )

             
             
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Figura 5.2.5
             
             

Puntos: ((2, -1) ) y ((3,2) )

                          

( begin {array} {l} {b = sqrt {(3 – 2) ^ {2} + [2 – (- 1)] ^ {2}}} \ {= sqrt { (1) ^ {2} + (2 + 1) ^ {2}}} \ = sqrt {1+ (3) ^ {2}} \ {= sqrt {1 + 9}} \ { = sqrt {10}} end {array} )

             
             

adc55720057e6386dd90a2ece072fbed.png

             

Figura 5.2.6

             
             

Puntos: ((3,2) ) y ((8, -3) )

                          

( begin {array} {l} {c = sqrt {(8 – 3) ^ {2} + (- 3 – 2) ^ {2}}} \ {= sqrt {(5 ) ^ {2} + (- 5) ^ {2}}} \ {= sqrt {25 + 25}} \ {= sqrt {50}} \ {= 5 sqrt {2}} end {array} )

             
 

Tabla 5.2.1

 

Ahora verificamos si (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ).

 

( begin {alineado} a ^ {2} + b ^ {2} & = c ^ {2} \ (2 sqrt {10}) ^ {2} + ( sqrt {10}) ^ {2} & = (5 sqrt {2}) ^ {2} \ 4 ( sqrt {10}) ^ {2} + ( sqrt {10}) ^ {2} & = 25 ( sqrt {2}) ^ {2} \ 4 cdot 10 + 10 & = 25 cdot 2 \ 50 & = 50 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

Sí, los tres puntos forman un triángulo rectángulo.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

La velocidad de un vehículo antes de aplicar los frenos se puede estimar por la longitud de las marcas de deslizamiento que quedan en la carretera. En concreto mojado, la velocidad (v ) en millas por hora se puede estimar mediante la fórmula (v = 2 sqrt {3 d} ), donde (d ) representa la longitud de las marcas de deslizamiento en pies . Estime la velocidad de un vehículo antes de aplicar los frenos si las marcas de deslizamiento que quedan atrás miden (27) pies. Redondea a la milla más cercana por hora.

 
     
Respuesta
     
     

(18 ) millas por hora

     

     
 
 
 

Puntos clave

 
         
  • Para simplificar una expresión radical, busca factores del radicando con potencias que coincidan con el índice. Si se encuentran, pueden simplificarse aplicando las reglas de producto y cociente para radicales, así como la propiedad ( sqrt [n] {a ^ {n}} = a ), donde (a ) no es negativa.
  •      
  • Una expresión radical se simplifica si su radicando no contiene ningún factor que pueda escribirse como potencia perfecta del índice.
  •      
  • Por lo general, suponemos que todas las expresiones variables dentro del radical son no negativas. Esto nos permite centrarnos en simplificar los radicales sin los problemas técnicos asociados con la raíz principal (n ) th. Si no se hace esta suposición, aseguraremos un resultado positivo mediante el uso de valores absolutos al simplificar radicales con índices pares.
  •  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Suponga que la variable podría representar cualquier número real y luego simplificar.

 
         
  1. ( sqrt {9 x ^ {2}} )
  2.      
  3. ( sqrt {16 y ^ {2}} )
  4.      
  5. ( sqrt [3] {8 y ^ {3}} )
  6.      
  7. ( sqrt [3] {125 a ^ {3}} )
  8.      
  9. ( sqrt [4] {64 x ^ {4}} )
  10.      
  11. ( sqrt [4] {81 y ^ {4}} )
  12.      
  13. ( sqrt {36 a ^ {4}} )
  14.      
  15. ( sqrt {100 a ^ {8}} )
  16.      
  17. ( sqrt {4 a ^ {6}} )
  18.      
  19. ( sqrt {a ^ {10}} )
  20.      
  21. ( sqrt {18 a ^ {4} b ^ {5}} )
  22.      
  23. ( sqrt {48 a ^ {5} b ^ {3}} )
  24.      
  25. ( sqrt [6] {128 x ^ {6} y ^ {8}} )
  26.      
  27. ( sqrt [6] {a ^ {6} b ^ {7} c ^ {8}} )
  28.      
  29. ( sqrt {(5 x – 4) ^ {2}} )
  30.      
  31. ( sqrt {(3 x – 5) ^ {4}} )
  32.      
  33. ( sqrt {x ^ {2} – 6 x + 9} )
  34.      
  35. ( sqrt {x ^ {2} – 10 x + 25} )
  36.      
  37. ( sqrt {4 x ^ {2} + 12 x + 9} )
  38.      
  39. ( sqrt {9 x ^ {2} + 6 x + 1} )
  40.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (3 | x | )

     

3. (2 años )

     

5. (2 | x | )

     

7. (6 a ^ {2} )

     

9. (2 left | a ^ {3} right | )

     

11. (3 a ^ {2} b ^ {2} sqrt {2 b} )

     

13. (2 | x y | sqrt [6] {2 y ^ {2}} )

     

15. (| 5 x – 4 | )

     

17. (| x – 3 | )

     

19. (| 2x + 3 | )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Simplificar. (Suponga que todas las expresiones variables representan números positivos.)

 
         
  1. ( sqrt {49 a ^ {2}} )
  2.      
  3. ( sqrt {64 b ^ {2}} )
  4.      
  5. ( sqrt {x ^ {2} y ^ {2}} )
  6.      
  7. ( sqrt {25 x ^ {2} y ^ {2} z ^ {2}} )
  8.      
  9. ( sqrt {180 x ^ {3}} )
  10.      
  11. ( sqrt {150 y ^ {3}} )
  12.      
  13. ( sqrt {49 a ^ {3} b ^ {2}} )
  14.      
  15. ( sqrt {4 a ^ {4} b ^ {3} c} )
  16.      
  17. ( sqrt {45 x ^ {5} y ^ {3}} )
  18.      
  19. ( sqrt {50 x ^ {6} y ^ {4}} )
  20.      
  21. ( sqrt {64 r ^ {2} s ^ {6} t ^ {5}} )
  22.      
  23. ( sqrt {144 r ^ {8} s ^ {6} t ^ {2}} )
  24.      
  25. ( sqrt {(x + 1) ^ {2}} )
  26.      
  27. ( sqrt {(2 x + 3) ^ {2}} )
  28.      
  29. ( sqrt {4 (3 x – 1) ^ {2}} )
  30.      
  31. ( sqrt {9 (2 x + 3) ^ {2}} )
  32.      
  33. ( sqrt { frac {9 x ^ {3}} {25 y ^ {2}}} )
  34.      
  35. ( sqrt { frac {4 x ^ {5}} {9 y ^ {4}}} )
  36.      
  37. ( sqrt { frac {m ^ {7}} {36 n ^ {4}}} )
  38.      
  39. ( sqrt { frac {147 m ^ {9}} {n ^ {6}}} )
  40.      
  41. ( sqrt { frac {2 r ^ {2} s ^ {5}} {25 t ^ {4}}} )
  42.      
  43. ( sqrt { frac {36 r ^ {5}} {s ^ {2} t ^ {6}}} )
  44.      
  45. ( sqrt [3] {27 a ^ {3}} )
  46.      
  47. ( sqrt [3] {125 b ^ {3}} )
  48.      
  49. ( sqrt [3] {250 x ^ {4} y ^ {3}} )
  50.      
  51. ( sqrt [3] {162 a ^ {3} b ^ {5}} )
  52.      
  53. ( sqrt [3] {64 x ^ {3} y ^ {6} z ^ {9}} )
  54.      
  55. ( sqrt [3] {216 x ^ {12} y ^ {3}} )
  56.      
  57. ( sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {4}} )
  58.      
  59. ( sqrt [3] {27 x ^ {5} y ^ {3}} )
  60.      
  61. ( sqrt [3] {a ^ {4} b ^ {5} c ^ {6}} )
  62.      
  63. ( sqrt [3] {a ^ {7} b ^ {5} c ^ {3}} )
  64.      
  65. ( sqrt [3] { frac {8 x ^ {4}} {27 y ^ {3}}} )
  66.      
  67. ( sqrt [3] { frac {x ^ {5}} {125 y ^ {6}}} )
  68.      
  69. ( sqrt [3] {360 r ^ {5} s ^ {12} t ^ {13}} )
  70.      
  71. ( sqrt [3] {540 r ^ {3} s ^ {2} t ^ {9}} )
  72.      
  73. ( sqrt [4] {81 x ^ {4}} )
  74.      
  75. ( sqrt [4] {x ^ {4} y ^ {4}} )
  76.      
  77. ( sqrt [4] {16 x ^ {4} y ^ {8}} )
  78.      
  79. ( sqrt [4] {81 x ^ {12} y ^ {4}} )
  80.      
  81. ( sqrt [4] {a ^ {4} b ^ {5} c ^ {6}} )
  82.      
  83. ( sqrt [4] {5 ^ {4} a ^ {6} c ^ {8}} )
  84.      
  85. ( sqrt [4] {128 x ^ {6}} )
  86.      
  87. ( sqrt [4] {243 y ^ {7}} )
  88.      
  89. ( sqrt [5] { frac {32 m ^ {10}} {n ^ {5}}} )
  90.      
  91. ( sqrt [5] { frac {3 ^ {7} m ^ {9}} {n ^ {10}}} )
  92.      
  93. (- 3 sqrt {4 x ^ {2}} )
  94.      
  95. (7 sqrt {9 y ^ {2}} )
  96.      
  97. (- 5 x sqrt {4 x ^ {2} y} )
  98.      
  99. (- 3 y sqrt {16 x ^ {3} y ^ {2}} )
  100.      
  101. (12 a b sqrt {a ^ {5} b ^ {3}} )
  102.      
  103. (6 a ^ {2} b sqrt {9 a ^ {7} b ^ {2}} )
  104.      
  105. (2 x sqrt [3] {8 x ^ {6}} )
  106.      
  107. (- 5 x ^ {2} sqrt [3] {27 x ^ {3}} )
  108.      
  109. (2 a b sqrt [3] {- 8 a ^ {4} b ^ {5}} )
  110.      
  111. (5 a ^ {2} b sqrt [3] {- 27 a ^ {3} b ^ {3}} )
  112.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (7a )

     

3. (xy )

     

5. (6 x sqrt {5 x} )

     

7. (7 a b sqrt {a} )

     

9. (3 x ^ {2} y sqrt {5 x y} )

     

11. (8 r s ^ {3} t ^ {2} sqrt {t} )

     

13. (x + 1 )

     

15. (2 (3 x – 1) )

     

17. ( frac {3 x sqrt {x}} {5 y} )

     

19. ( frac {m ^ {3} sqrt {m}} {6 n ^ {2}} )

     

21. ( frac {r s ^ {2} sqrt {2 s}} {5 t ^ {2}} )

     

23. (3 a )

     

25. (5 x y sqrt [3] {2 x} )

     

27. (4 x y ^ {2} z ^ {3} )

     

29. (2 x y sqrt [3] {y} )

     

31. (a b c ^ {2} sqrt [3] {a b ^ {2}} )

     

33. ( frac {2 x sqrt [3] {x}} {3 y} )

     

35. (2 r s ^ {4} t ^ {4} sqrt [3] {45 r ^ {2} t} )

     

37. (3 x )

     

39. (2xy ^ {2} )

     

41. (a b c sqrt [4] {b c ^ {2}} )

     

43. (2 x sqrt [4] {8 x ^ {2}} )

     

45. ( frac {2 m ^ {2}} {n} )

     

47. (- 6x )

     

49. (- 10 x ^ {2} sqrt {y} )

     

51. (12 a ^ {3} b ^ {2} sqrt {a b} )

     

53. (4 x ^ {3} )

     

55. (- 4 a ^ {2} b ^ {2} sqrt [3] {a b ^ {2}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Reescribe lo siguiente como una expresión radical con coeficiente (1 ).

 
         
  1. (3 x sqrt {6 x} )
  2.      
  3. (5 y sqrt {5 y} )
  4.      
  5. (a b sqrt {10 a} )
  6.      
  7. (2 a b ^ {2} sqrt {a} )
  8.      
  9. (m ^ {2} n sqrt {m n} )
  10.      
  11. (2 m ^ {2} n ^ {3} sqrt {3 n} )
  12.      
  13. (2 x sqrt [3] {3 x} )
  14.      
  15. (3 y sqrt [3] {y ^ {2}} )
  16.      
  17. (2 y ^ {2} sqrt [4] {4 y} )
  18.      
  19. (x ^ {2} y sqrt [5] {9 x y ^ {2}} )
  20.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( sqrt {54 x ^ {3}} )

     

3. ( sqrt {10 a ^ {3} b ^ {2}} )

     

5. ( sqrt {m ^ {5} n ^ {3}} )

     

7. ( sqrt [3] {24 x ^ {4}} )

     

9. ( sqrt [4] {64 y ^ {9}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

El período (T ) en segundos de un péndulo viene dado por la fórmula

 

(T = 2 pi sqrt { frac {L} {32}} )

 

donde (L ) representa la longitud en pies del péndulo. Calcule el período, dada cada una de las siguientes longitudes. Dé el valor exacto y el valor aproximado redondeado a la décima de segundo más cercana.

 
         
  1. (8 ) pies
  2.      
  3. (32 ) pies
  4.      
  5. ( frac {1} {2} ) pie
  6.      
  7. ( frac {1} {8} ) pie
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (π ) segundos; (3.1 ) segundos

     

3. ( frac { pi} {4} ) segundos; (0.8 ) segundos

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

El tiempo (t ) en segundos que un objeto está en caída libre viene dado por la fórmula

 

(t = frac { sqrt {s}} {4} )

 

donde (s ) representa la distancia en pies que ha caído el objeto. Calcule el tiempo que tarda un objeto en caer, dada cada una de las siguientes distancias. Dé el valor exacto y el valor aproximado redondeado a la décima de segundo más cercana.

 
         
  1. (48 ) pies
  2.      
  3. (80 ) pies
  4.      
  5. (192 ) pies
  6.      
  7. (288 ) pies
  8.      
  9. La velocidad de un vehículo antes de aplicar los frenos se puede estimar por la longitud de las marcas de deslizamiento que quedan en la carretera. En pavimento seco, la velocidad (v ) en millas por hora se puede estimar mediante la fórmula (v = 2 sqrt {6 d} ), donde (d ) representa la longitud de las marcas de deslizamiento en pies . Estime la velocidad de un vehículo antes de aplicar los frenos en el pavimento seco si las marcas de derrape dejan atrás los pies (27 ). Redondea a la milla más cercana por hora.
  10.      
  11. El radio (r ) de una esfera se puede calcular usando la fórmula (r = frac { sqrt [3] {6 pi ^ {2} V}} {2 pi} ), donde (V ) representa el volumen de la esfera. ¿Cuál es el radio de una esfera si el volumen es (36π ) centímetros cúbicos?
  12.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( sqrt {3} ) segundos; (1.7 ) segundos

     

3. (2 sqrt {3} ) segundos; (3.5 ) segundos

     

5. (25 ) millas por hora

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Dada la función, encontrar la (y ) – intercepción

 
         
  1. (f (x) = sqrt {x + 12} )
  2.      
  3. (f (x) = sqrt {x + 8} – 3 )
  4.      
  5. (f (x) = sqrt [3] {x – 8} )
  6.      
  7. (f (x) = sqrt [3] {x + 27} )
  8.      
  9. (f (x) = sqrt [3] {x + 16} )
  10.      
  11. (f (x) = sqrt [3] {x + 3} – 1 )
  12.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ((0,2 sqrt {3}) )

     

3. ((0, -2) )

     

5. ((0,2 sqrt [3] {2}) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Usa la fórmula de la distancia para calcular la distancia entre los dos puntos dados.

 
         
  1. ((5, -7) ) y ((3, -8) )
  2.      
  3. ((- 9,7) ) y ((- 8,4) )
  4.      
  5. ((- 3, -4) ) y ((3, -6) )
  6.      
  7. ((- 5, -2) ) y ((1, -6) )
  8.      
  9. ((- 1,1) ) y ((- 4,10) )
  10.      
  11. ((8, -3) ) y ((2, -12) )
  12.      
  13. ((0, -6) ) y ((- 3,0) )
  14.      
  15. ((0,0) ) y ((8, -4) )
  16.      
  17. ( left ( frac {1} {2}, – frac {1} {2} right) ) y ( left (- 1, frac {3} {2} right ) )
  18.      
  19. ( left (- frac {1} {3}, 2 right) ) y ( left ( frac {5} {3}, – frac {2} {3} right ) )
  20.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( sqrt {5} ) unidades

     

3. (2 sqrt {10} ) unidades

     

5. (3 sqrt {10} ) unidades

     

7. (3 sqrt {5} ) unidades

     

9. ( frac {5} {2} ) unidades

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Determine si los tres puntos forman o no un triángulo rectángulo. Use the Pythagorean theorem to justify your answer.

 
         
  1. (( 2 , – 1 ) , ( – 1,2 ) , text { and } ( 6,3 ))
  2.      
  3. (( – 5,2 ) , ( – 1 , – 2 ) , text { and } ( – 2,5 ))
  4.      
  5. (( – 5,0 ) , ( 0,3 ) , text { and } ( 6 , – 1 ))
  6.      
  7. (( – 4 , – 1 ) , ( – 2,5 ) , text { and } ( 7,2 ))
  8.      
  9. (( 1 , – 2 ) , ( 2,3 ) , text { and } ( – 3,4 ))
  10.      
  11. (( – 2,1 ) , ( – 1 , – 1 ) , text { and } ( 1,3 ))
  12.      
  13. (( – 4,0 ) , ( – 2 , – 10 ) , text { and } ( 3 , – 9 ))
  14.      
  15. (( 0,0 ) , ( 2,4 ) , text { and } ( – 2,6 ))
  16.  
 
     
Respuesta
     
     

1. Right triangle

     

3. Not a right triangle

     

5. Right triangle

     

7. Right triangle

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{11})

 
         
  1. Give a value for (x) such that (sqrt { x ^ { 2 } } neq x). Explain why it is important to assume that the variables represent nonnegative numbers.
  2.      
  3. Research and discuss the accomplishments of Christoph Rudolff. What is he credited for?
  4.      
  5. What is a surd, and where does the word come from?
  6.      
  7. Research ways in which police investigators can determine the speed of a vehicle after an accident has occurred. Comparta sus hallazgos en el panel de discusión.
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

1. Answer may vary

     

3. Answer may vary

     
 
 
 
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