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las matematicas

5.2: Sumar y restar polinomios

Sumar y restar polinomios

 

Hemos aprendido cómo simplificar expresiones combinando términos similares. Recuerde, los términos iguales deben tener las mismas variables con el mismo exponente. Como los monomios son términos, sumar y restar monomios es lo mismo que combinar términos similares. Si los monomios son términos similares, simplemente los combinamos sumando o restando los coeficientes.

 
 

ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Sumar o restar:

 
         
  1. (25 años ^ 2 + 15 años ^ 2 )
  2.      
  3. (16pq ^ 3 – (- 7pq ^ 3) ).
  4.  
 
     
Responda a
     
     

( begin {array} {ll} {} & {25y ^ 2 + 15y ^ 2} \ { text {Combinar términos similares.}} Y {40y ^ 2} \ end {array} nonumber )

     
     
Respuesta b
     
     

( begin {array} {ll} {} & {16pq ^ 3 – (- 7pq ^ 3)} \ { text {Combinar términos similares.}} & {23pq ^ 3} \ end {array} nonumber )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Sumar o restar: ⓐ (12q ^ 2 + 9q ^ 2 ) ⓑ (8mn ^ 3 – (- 5mn ^ 3) ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (21q ^ 2 ) ⓑ (13mn ^ 3 )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Sumar o restar: ⓐ (- 15c ^ 2 + 8c ^ 2 ) ⓑ (- 15y ^ 2z ^ 3 – (- 5y ^ 2z ^ 3) )

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (- 7c ^ 2 ) ⓑ (- 10y ^ 2z ^ 3 )

     
 
 
 

Recuerde que los términos similares deben tener las mismas variables con los mismos exponentes.

 
 

ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Simplifica: ⓐ (a ^ 2 + 7b ^ 2−6a ^ 2 ) ⓑ (u ^ 2v + 5u ^ 2−3v ^ 2 )

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ Combina términos similares.

(a ^ 2 + 7b ^ 2−6a ^ 2 ; = ; −5a ^ 2 + 7b ^ 2 )

     

ⓑ No hay términos similares para combinar. En este caso, el polinomio no cambia.

(u ^ 2v + 5u ^ 2−3v ^ 2 )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Agregue: ⓐ (8y ^ 2 + 3z ^ 2−3y ^ 2 ) ⓑ (m ^ 2n ^ 2−8m ^ 2 + 4n ^ 2 )

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (5 años ^ 2 + 3z ^ 2 )
ⓑ (m ^ 2n ^ 2−8m ^ 2 + 4n ^ 2 )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Agregue: ⓐ (3m ^ 2 + n ^ 2−7m ^ 2 ) ⓑ (pq ^ 2−6p − 5q ^ 2 )

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (- 4m ^ 2 + n ^ 2 )
ⓑ (pq ^ 2−6p − 5q ^ 2 )

     
 
 
 

Podemos pensar en sumar y restar polinomios como solo sumar y restar una serie de monomios. Busque los términos similares: aquellos con las mismas variables y el mismo exponente. La propiedad conmutativa nos permite reorganizar los términos para juntar términos similares.

 
 

ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Encuentra la suma: ((7y ^ 2−2y + 9) ; + ; (4y ^ 2−8y − 7) ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {align *} & text {Identifique términos similares.} & & ( Underline { underline {7y ^ 2}} – underline {2y} +9) + ( underline { underline {4y ^ 2}} – underline {8y} −7) \ [6pt]
& text {Reescribir sin paréntesis,} \
& text {reorganizando para obtener los términos similares. } & & Underline { underline {7y ^ 2 + 4y ^ 2}} – underline {2y − 8y} + 9−7 \ [6pt]
& text {Combinar términos similares.} & & 11y ^ 2−10y + 2 end {align *} )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Encuentra la suma: ((7x ^ 2−4x + 5) ; + ; (x ^ 2−7x + 3) )

 
     
Respuesta
     
     

(8x ^ 2−11x + 8 )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Encuentra la suma: ((14y ^ 2 + 6y − 4) ; + ; (3y ^ 2 + 8y + 5) )

 
     
Respuesta
     
     

(17 años ^ 2 + 14 años + 1 )

     
 
 
 

Tenga cuidado con los signos a medida que distribuye mientras resta los polinomios en el siguiente ejemplo.

 
 

ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Encuentra la diferencia: ((9w ^ 2−7w + 5) ; – ; (2w ^ 2−4) )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {align *} & & & (9w ^ 2−7w + 5) ; – ; (2w ^ 2−4) \ [6pt]
& text {Distribuir e identificar términos similares.} & & underline { underline {9w ^ 2}} – underline {7w} + 5- underline { underline {2w ^ 2}} + 4 \ [6pt]
& text {Reorganizar los términos.} & & Underline { underline {9w ^ 2-2w ^ 2}} – underline {7w} + 5 + 4 \ [6pt]
& text {Combinar términos similares.} & & 7w ^ 2−7w + 9 end {align *} )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Encuentra la diferencia: ((8x ^ 2 + 3x − 19) ; – ; (7x ^ 2−14) )

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ 2 + 3x − 5 )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Encuentra la diferencia: ((9b ^ 2−5b − 4) ; – ; (3b ^ 2−5b − 7) )

 
     
Respuesta
     
     

(6b ^ 2 + 3 )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Resta ((p ^ 2 + 10pq − 2q ^ 2) ) de ((p ^ 2 + q ^ 2) ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {align *} & & & (p ^ 2 + q ^ 2) ; – ; (p ^ 2 + 10pq − 2q ^ 2) \ [6pt]
& text {Distribuya e identifique términos similares.} & & Underline { underline {p ^ 2}} + underline {q ^ 2} – underline { underline {p ^ 2}} – 10pq + underline {2q ^ 2 } \ [6pt]
& text {Reorganizar los términos, juntando términos similares.} & & Underline { underline {p ^ 2-p ^ 2}} – 10pq + underline {q ^ 2 + 2q ^ 2} \ [6pt]
& text {Combinar términos similares.} & & −10pq + 3q ^ 2 end {align *} )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Restar ((a ^ 2 + 5ab − 6b ^ 2) ) de ((a ^ 2 + b ^ 2) )

 
     
Respuesta
     
     

(- 5ab + 7b ^ 2 )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Restar ((m ^ 2−7mn − 3n ^ 2) ) de ((m ^ 2 + n ^ 2) ).

 
     
Respuesta
     
     

7 millones + 4n ^ 2

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Encuentra la suma: ((u ^ 2−6uv + 5v ^ 2) ; + ; (3u ^ 2 + 2uv) )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {align *} & & & (u ^ 2−6uv + 5v ^ 2) ; + ; (3u ^ 2 + 2uv) \ [6pt]
& text {Distribuir e identificar términos similares.} & & underline { underline {u ^ 2}} – underline {6uv} + 5v ^ 2 + underline { underline {3u ^ 2}} + underline {2uv} \ [ 6pt]
& text {Reorganizar los términos para poner términos similares juntos.} & & Underline { underline {u ^ 2}} + underline { underline {3u ^ 2}} – underline {6uv} + Underline {2uv} + 5v ^ 2 \ [6pt]
& text {Combinar términos similares.} & & 4u ^ 2−4uv + 5v ^ 2 end {align *} )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Encuentra la suma: ((3x ^ 2−4xy + 5y ^ 2) ; + ; (2x ^ 2 − xy) )

 
     
Respuesta
     
     

(5x ^ 2−5xy + 5y ^ 2 )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Encuentra la suma: ((2x ^ 2−3xy − 2y ^ 2) ; + ; (5x ^ 2−3xy) )

 
     
Respuesta
     
     

(7x ^ 2−6xy − 2y ^ 2 )

     

Cuando sumamos y restamos más de dos polinomios, el proceso es el mismo.

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Simplifique: ((a ^ 3 − a ^ 2b) ; – ; (ab ^ 2 + b ^ 3) ; + ; (a ^ 2b + ab ^ 2) )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {align *} & & & (a ^ 3 − a ^ 2b) ; – ; (ab ^ 2 + b ^ 3) ; + ; (a ^ 2b + ab ^ 2 ) \ [6pt]
& text {Distribuir} & & a ^ 3 − a ^ 2b – ab ^ 2 – b ^ 3 + a ^ 2b + ab ^ 2 \ [6pt]
& text {Reorganizar los términos para poner términos similares juntos.} & & a ^ 3 − a ^ 2b + a ^ 2b− ab ^ 2 + ab ^ 2 – b ^ 3 \ [6pt]
& text {Combine términos semejantes.} & & a ^ 3 − b ^ 3 end {align *} )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Simplifique: ((x ^ 3 − x ^ 2y) ; – ; (xy ^ 2 + y ^ 3) ; + ; (x ^ 2y + xy ^ 2) )

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ 3 + y ^ 3 )

     
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Simplifique: ((p ^ 3 − p ^ 2q) ; + ; (pq ^ 2 + q ^ 3) ; – ; (p ^ 2q + pq ^ 2) )

 
     
Respuesta
     
     

(p ^ 3−3p ^ 2q + q ^ 3 )

     
 
 
 
 

Evaluar una función polinómica para un valor dado

 

Una función polinómica es una función definida por un polinomio. Por ejemplo, (f (x) = x ^ 2 + 5x + 6 ) y (g (x) = 3x − 4 ) son funciones polinómicas, porque (x ^ 2 + 5x + 6 ) y (3x − 4 ) son polinomios.

 
 
 

Definición: FUNCIÓN POLINOMIAL

 
 

Una función polinómica es una función cuyos valores de rango están definidos por un polinomio.

 
 
 
 

En Gráficos y funciones , donde introdujimos funciones por primera vez, aprendimos que evaluar una función significa encontrar el valor de (f (x) ) para un valor dado de (x ) . Para evaluar una función polinómica, sustituiremos el valor dado por la variable y luego simplificaremos usando el orden de las operaciones.

 
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {25} )

 

Para la función (f (x) = 5x ^ 2−8x + 4 ) encuentre:

 
         
  1. (f (4) )
  2.      
  3. (f (−2) )
  4.      
  5. (f (0) ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

          

          

          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {26} )

 

Para la función (f (x) = 3x ^ 2 + 2x − 15 ), encuentre

 
         
  1. (f (3) )
  2.      
  3. (f (−5) )
  4.      
  5. (f (0) ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

ⓐ 18 ⓑ 50 ⓒ (- 15 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {27} )

 

Para la función (g (x) = 5x ^ 2 − x − 4 ), encuentre

 
         
  1. (g (−2) )
  2.      
  3. (g (−1) )
  4.      
  5. (g (0) ).
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

ⓐ 20 ⓑ 2 ⓒ (- 4 )

     
 
 
 
 
 
 

Las funciones polinómicas similares a las del siguiente ejemplo se utilizan en muchos campos para determinar la altura de un objeto en algún momento después de que se proyecta en el aire. El polinomio en la siguiente función se usa específicamente para dejar caer algo desde 250 pies

 
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {28} )

 

La función polinómica (h (t) = – 16t ^ 2 + 250 ) da la altura de una pelota t segundos después de que se cae de un edificio de 250 pies de altura. Encuentre la altura después de (t = 2 ) segundos.

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} {} & {h (t) = – 16t ^ 2 + 250} \ {} & {} \ { text {Para encontrar} h (2) text {, sustituto} t = 2.} & {h (2) = – 16 (2) ^ 2 + 250} \ { text {Simplify.}} & {h (2) = – 16 · 4 + 250 } \ {} & {} \ { text {Simplify.}} & {h (2) = – 64 + 250} \ {} & {} \ { text {Simplify.}} & {h (2) = 186} \ {} & { text {Después de 2 segundos, la altura de la pelota es de 186 pies.}} \ end {array} nonumber )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {29} )

 

La función polinómica (h (t) = – 16t ^ 2 + 150 ) da la altura de una piedra t segundos después de que se cae de un acantilado de 150 pies de altura. Encuentre la altura después de (t = 0 ) segundos (la altura inicial del objeto).

 
     
Respuesta
     
     
     
     
     

La altura es de (150 ) pies.

     
     
     
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {30} )

 

La función polinómica (h (t) = – 16t ^ 2 + 175 ) da la altura de una pelota t segundos después de que se cae de un puente de 175 pies de altura. Encuentre la altura después de (t = 3 ) segundos.

 
     
Respuesta
     
     

La altura es de (31 ) pies.

     
 
 
 
   
 
 
 
 

Sumar y restar funciones polinomiales

 

Así como los polinomios se pueden sumar y restar, las funciones polinomiales también se pueden sumar y restar.

 
 
 

Definición: ADICIÓN Y Sustracción de funciones polinomiales

 
 

Para las funciones (f (x) ) y (g (x) ),

 

[(f + g) (x) = f (x) + g (x) ]

 

[(f − g) (x) = f (x) −g (x) ]

 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {31} )

 

Para las funciones (f (x) = 3x ^ 2−5x + 7 ) y (g (x) = x ^ 2−4x − 3 ), encuentre:

 

ⓐ ((f + g) (x) ) ⓑ ((f + g) (3) ) ⓒ ((f − g) (x) ) ⓓ ((f − g) (−2) ).

 
     
Respuesta
     
     

          

ⓑ En la parte (a) encontramos ((f + g) (x) ) y ahora se nos pide encontrar ((f + g) (3) ).

     

( begin {array} {ll} {} & {(f + g) (x) = 4x ^ 2−9x + 4} \ {} & {} \ { text {Para encontrar} (f + g) space (3), text {sustituto} x = 3.} & {(f + g) (3) = 4 (3) ^ 2−9 · 3 + 4} \ {} & {} \ {} & {(f + g) (3) = 4 · 9−9 · 3 + 4} \ {} & {} \ {} & {(f + g) (3) = 36 −27 + 4} \ end {array} nonumber )

     

Observe que podríamos haber encontrado ((f + g) (3) ) al encontrar primero los valores de (f (3) ) y (g (3) ) por separado y luego agregar los resultados .

          

          

                                                                            
.
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {32} )

 

Para las funciones (f (x) = 2x ^ 2−4x + 3 ) y (g (x) = x ^ 2−2x − 6 ), encuentre: ⓐ ((f + g) ( x) ) ⓑ ((f + g) (3) ) ⓒ ((f − g) (x) ) ⓓ ((f − g) (- 2) ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ ((f + g) (x) = 3x ^ 2−6x − 3 )

     

ⓑ ((f + g) (3) = 6 )

     

ⓒ ((f − g) (x) = x ^ 2−2x + 9 )

     

ⓓ ((f − g) (- 2) = 17 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {33} )

 

Para las funciones (f (x) = 5x ^ 2−4x − 1 ) y (g (x) = x ^ 2 + 3x + 8 ), encuentre ⓐ ((f + g) (x ) ) Ⓑ ((f + g) (3) ) ⓒ ((f − g) (x) ) ⓓ ((f − g) (- 2) ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ ((f + g) (x) = 6x ^ 2 − x + 7 )

     

ⓑ ((f + g) (3) = 58 )

     

ⓒ ((f − g) (x) = 4x ^ 2−7x − 9 )

     

ⓓ ((f − g) (- 2) = 21 )

     
 
 
 
 
 
 
 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales al sumar y restar polinomios.

 
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Monomial      
               
    • Un monomial es una expresión algebraica con un término.
    •          
    • Un monomio en una variable es un término de la forma axm, axm, donde a es una constante y m es un número entero.
    •      
         
  •      
  • Polinomios      
               
    • Polinomio —Un monomio, o dos o más términos algebraicos combinados por suma o resta es un polinomio.
    •          
    • monomial —Un polinomio con exactamente un término se llama monomial.
    •          
    • binomial – Un polinomio con exactamente dos términos se llama binomial.
    •          
    • trinomio —Un polinomio con exactamente tres términos se llama trinomio.
    •      
         
  •      
  • Grado de un polinomio      
               
    • El grado de un término es la suma de los exponentes de sus variables.
    •          
    • El grado de una constante es 0.
    •          
    • El grado de un polinomio es el grado más alto de todos sus términos.
    •      
         
  •  
 
 
 

 
 
 

Glosario

 
     
binomial
     
Un binomio es un polinomio con exactamente dos términos.
 
 
     
grado de una constante
     
El grado de cualquier constante es 0.
 
 
     
grado de un polinomio
     
El grado de un polinomio es el grado más alto de todos sus términos.
 
 
     
grado de un término
     
El grado de un término es la suma de los exponentes de sus variables.
 
 
     
monomial
     
Un monomio es una expresión algebraica con un término. Un monomio en una variable es un término de la forma axm, axm, donde a es una constante y m es un número entero.
 
 
     
polinomio
     
Un monomio o dos o más monomios combinados por suma o resta es un polinomio.
 
 
     
forma estándar de un polinomio
     
Un polinomio está en forma estándar cuando los términos de un polinomio se escriben en orden descendente de grados.
 
 
     
trinomio
     
Un trinomio es un polinomio con exactamente tres términos.
 
 
     
función polinómica
     
Una función polinómica es una función cuyos valores de rango están definidos por un polinomio.
 
 
 
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